решение уравнения гельмгольца с комплексным волновым

СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ НГТУ. - 2005. - УДК 53:519.6
РЕШЕНИЕ
УРАВНЕНИЯ
ГЕЛЬМГОЛЬЦА
С
КОМПЛЕКСНЫМ ВОЛНОВЫМ ЧИСЛОМ МЕТОДОМ
КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ


А.Н БОНДАРЕНКО , Д.Н. ИВАНОВ
В статье представлен алгоритм решения уравнения Гельмгольца методом конечных
элементов. Вычислительная схема решения уравнения реализуется в пространстве вещественных чисел, посредством перехода от уравнения с комплексным волновым числом к системе уравнений с вещественными коэффициентами. Решение СЛАУ, полученное при конечно-элементной сборке решается методом бисопряженных градиентов.
1. ВВЕДЕНИЕ
Исследование распространения оптического излучения в светорассеивающих средах и, в частности, распределения поглощающих и рассеивающих неоднородностей, является важной научной проблемой [1]. В
последнее время интерес к ней заметно вырос, что в значительной степени
связано с развитием оптики биологических сред и тканей [2]. Широко
обсуждающиеся в настоящее время экспериментальные методы определения оптических характеристик сильнорассеивающих сред основаны на
измерении интенсивности рассеянного средой диффузного света. Наиболее перспективным методом на сегодняшней день является модуляционный метод ("Frequency-domain technique"). Данный метод описан в работах [3,4]. В качестве источника света используется непрерывное лазерное
излучение, модулированное по амплитуде. Падение амплитудномодулированного излучения на поверхность исследуемой сильнорассеивающей среды приводит к возникновению в ней небольшого, но доступного для измерения возмущения плотности энергии света в среде, которое
распространяется в среде в виде бегущих волн. Выражение для плотности
 Доцент кафедры высшей математики, канд. физ.-мат. наук.
 Аспирант кафедры высшей математики.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 02-01-00809,02-01-00818).
2
А.Н.Бондаренко и др.
энергии света в рассеивающей среде как функции координаты и времени
может быть получено из решения нестационарного уравнения диффузии с
соответствующим граничным условием.
2. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Рассмотрим следующее уравнение
 div( pgrad (u ))  (  
i
)u   (r )
v
(1)
Уравнению (1) соответствует следующая система из двух уравнений


 div ( pgrad (u1 ))  u1  v u 2   ( r )

 div ( pgrad (u ))  u   u  0
2
2
1

v
(2)
где u1 и u 2 соответственно вещественная и мнимая части комплексной
функции u из уравнения (1).
Запишем для системы (2) эквивалентную вариационную формулировку


  pgrad (u1 ) grad ( i ) d   u1 i d  v  u 2 i d    i d




(3)

 pgrad (u ) grad ( )d  u  d   u  d  0
2
i
1 i
 2i

v 

Представим функции u1 и u 2 в виде линейной комбинации базисных
функций
u1   q 1j  j
j
(4)
u 2   q 2j  j
j
(5)
3
Решение уравнения ...
Подставляя (4) и (5) в (3) получаем следующую СЛАУ для компонент
q1j , q 2j .
 pgrad ( i ) grad ( j ) d  q 1j   i  j d  q 1j 

 j 




   i j d  q 2j    i d

v


2
2
  pgrad ( i ) grad ( j ) d  q j    i  j d  q j 
 j 




   i  j d  q1j  0
v

(6)
Будем рассматривать нашу задачу на треугольной сетке, то есть разбиваем
расчетную область на конечные элементы – треугольники. На каждом
конечном элементе  m треугольной сетки определим три локальных базисных функции
 i ( x, y )   0i   1i x   2i y , i  1,2,3
такие, что 1 равна 1 в первой с координатами x1 , y1  в вершине  m и
нулю в двух других,  2 равна 1 во второй вершине  m и нулю в двух
других, и  3 равна 1 в третьей вершине  m и нулю в двух остальных.
Определенные таким образом локальные базисные функции фактически
являются L – координатами этого треугольника, т.е.  i ( x, y )  Li ( x, y ) .
Помимо
этого
считаем
на
p  p  const ,
КЭ
    const ,
f  f 11  f 2 2  f 3 3 .
Обозначим через aij и bij через интегралы из системы (6), т. е.
aij   grad ( i ) grad ( j ) d

bij    i j d

Локальная матрица конечного элемента  m выглядит следующим
образом:
4
А.Н.Бондаренко и др.


 p  a11    b11
  b11
v



 b11
p  a11    b11

v

A














    


    

    

           
           

           
Коэффициенты в разложении базисных функций определяются следующим образом:
1
  01  11  12 
1 1 1 




  2  2  2   D 1   x x x 
0
1
2
1 2 3




  03  13  23 
 y1 y 2 y 3 


Таким образом элементы локальной матрицы A будут следующими:

a12  a 34  a56  det D (   / 12)
v

a 21  a 43  a 65  det D (  / 12)
v

a14  a16  a 32  a 36  a52  a54  det D (   / 24)
v

a 23  a 25  a 41  a 45  a 61  a 63  det D (  / 24)
v
1 1
1 1
a11  a 22  det D ( p  ( 1  1   2 2 ) / 2   / 12)
a33  a 44  det D ( p  ( 12 12   22 22 ) / 2   / 12)
a55  a 66  det D ( p  ( 13 13   23 23 ) / 2   / 12)
a13  a 24  a31  a 42  det D ( p  ( 11 12   12 22 ) / 2   / 24)
a15  a 26  a 51  a 62  det D ( p  ( 11 13   12 32 ) / 2   / 24)
Решение уравнения ...
5
a35  a 46  a53  a 64  det D ( p  ( 12 13   22 33 ) / 2   / 24)
Решение полученной СЛАУ осуществляется методом бисопряженных
градиентов.
3. РЕЗУЛЬТАТЫ
Рисунок 1 Схема двумерной области
Для представленной на (рис. 1) схемы двумерной области, с соответствующими граничными условиями и наличием внутри “трещины”,
представленной однородными условиями второго рода, был проведен ряд
компьютерных экспериментов по исследованию дифракции диффузионных волн на щели.
Компьютерные эксперименты убедительно показывают, что искажение формы диффузионной волны, вызванное наличием "трещины",
очень незначительно (рис. 2) и становится пренебрежительно малым на
6
А.Н.Бондаренко и др.
расстояниях, сравнимых с самой "трещиной". Что позволяет сделать вывод, что использование технологии диффузионных волн в задачах обна-
Рисунок 2. Амплитуда диффузионной волны для поля, дифрагированного на трещине
ружения "трещин" в оптических плотных средах является бесперспективным направлением.
[1] Кузьмин В.Л., Романов В.П. Характерные эффекты при рассеянии света в неупорядоченных системах // УФН, 1996. № 166. С 247.
[2] Welch A.J., van Gemert M.C. Tissue optical properties and lasertissue interactions. New York: Plenium, 1995.
[3] Tromberg B.J., и др. Properties of photon density waves in multiplescattering media // Appl. Optics. 1993. V. 32. No. 4. P. 607.
[4] Boas D.A., и др. Refraction of Diffuse Photon Density Waves // Phys.
Rev. Lett. V. 69. P. 2658.
Решение уравнения ...
7