Решения 8 класса

2
Электронная физико-техническая школа
1 Введение
Конкурс «Волшебный сундучок» — это заочный конкурс по математике для
школьников, который проводится Электронной школой еФТШ.
Ученикам 4-9 классов предлагаются нестандартные интересные задачи по
математике, которые они могут решить дома, оформить свои решения и отправить
через Интернет. На решение задач и отправку работы отводится около месяца.
Задания конкурса состоят из двух частей. Решение заданий первой части
сводится к выбору правильного ответа из числа предложенных. Решение задачи
второй части нужно оформить со всеми необходимыми пояснениями и
обоснованиями. Подводя итоги, жюри будет учитывать обоснованность
рассуждений, полноту решения и его оригинальность.
Адрес конкурса в России: http://eftsh.ru/maths/magicbox
«Волшебный сундучок»
3
Решебник для 8 класса
2 Перваячастьзаданий
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Б
В
В
Г
А
В
Б
Б
А
Б
Задача №1
Диаметр сечения вала колодца равен 32 см. Расстояние от вала до поверхности воды в
колодце — 7 м. Сколько раз нужно повернуть ручку вала на 360, чтобы вытащить из
колодца ведро, зачерпнувшее немного воды?
А. 8 раз.
Решение
Б. 7 раз.
В. 6 раз.
Г. 5 раз.
За один оборот ручки вала конец верёвки поднимается на расстояние, равное длине
окружности сечения вала, то есть на 32  100 см. С глубины 7 м он поднимется за 7
оборотов.
Ответ: Б. 7 раз.
Задача №2
За сколько примерно часов конец минутной стрелки проходит путь, превышающий
длину этой стрелки в 125 раз? Выберите наиболее точное значение.
В. За 20 ч.
А. За 15 ч.
Б. За 18 ч.
Г. За 24 ч.
Решение
За один час конец минутной стрелки проходит путь, равный 2l, где l — длина
стрелки. Это скорость движения минутной стрелки, выраженная в единицах длины за
час. Путь, равный 125l, конец минутной стрелки преодолевает за 125l:2l  20 (ч).
Ответ: В. За 20 ч.
Задача №3
Робот начинает движение в некоторой точке, в начале движения он выбирает
направление перемещения. Далее робот движется прямолинейно 10 м, затем
поворачивает на 90 вправо или влево и движется прямолинейно 10 м, далее снова
поворачивает на 90 вправо или влево и движется прямолинейно 10 м и т. д. Какое
наименьшее количество поворотов мог сделать робот к тому моменту, когда он удалился
от точки выхода на 30 м?
В. 4.
А. 2.
Б. 3.
Г. 5.
Решение
Изобразим первое перемещение робота горизонтальным
отрезком. Тогда дальнейшее движение робота будет проходить по
сторонам квадратной сетки, изображённой на рисунке, со
стороной 10 м. Точка О — начало движения.
На окружности с центром в точке О радиуса 30 м отмечены
точки, в которых мог находиться робот после 4-х поворотов.
Электронная физико-техническая школа
4
После меньшего числа поворотов робот находится внутри круга, ограниченного
указанной окружностью.
Ответ: В. 4.
Задача №4
Все ученики класса посещают хотя бы один из трёх кружков, причём 12 человек
посещают математический кружок, 10 — драматический и 9 — шахматный. Какое из
приведенных количеств учеников может быть в классе, если по крайней мере два ученика
посещают три кружка?
А. 31.
Б. 29.
В. 28.
Г. 27.
Решение
Количество учеников в классе меньше суммы 10 + 12 + 9 = 31. При нахождении этой
суммы трижды (вместо одного раза) учитывались два ученика, посещающих три кружка.
Из числа 31 нужно вычесть число 22 = 4. Получим 27. Количество учеников в классе не
превосходит 27. Из приведенных ответов только число 27 удовлетворяет этому условию.
Заметим, что в классе может быть 27 учеников, если ни один ученик не посещает ровно
два кружка.
Ответ: Г. 27.
Задача №5
В городе есть гостиницы трёх типов. В каждой гостинице первого, второго и третьего
типа имеются соответственно 17, 37 и 5 номеров высшего разряда. Всего в гостиницах
города 123 номера высшего разряда. Найдите количество гостиниц третьего типа, зная,
что их общее количество не превосходит 10.
А. 3.
Б. 2.
В. 1.
Г. Невозможно определить.
Решение
Если х, у, z — количество гостиниц каждого типа соответственно, то из условия
следует равенство 17x + 37y + 5z = 123, откуда y  3.
При у = 1 получаем, что 17x + 5z = 86. Этому уравнению удовлетворяет только одна
пара чисел х = 3, z = 7. Но тогда x + y + z = 11, что противоречит условию.
При у = 3 получаем 17x + 5z = 12. Не существует натуральных значений х и у,
удовлетворяющих этому уравнению.
Наконец, при у = 2 получаем равенство 17x + 5z = 49, откуда x = 2, z = 3, и
следовательно, в городе было 2 гостиницы первого, 2 гостиницы второго и 3 гостиницы
третьего типа.
Ответ: А. 3.
Задача №6
Из конечных пунктов маршрута выехали одновременно навстречу друг другу автобус
и маршрутное такси. Автобус преодолевает маршрут за 1 ч 40 мин, а маршрутное такси
— за 1 ч 10 мин. Через сколько примерно минут после выезда автобус и маршрутное
такси встретятся, если скорости их движения мало изменяются в пути? Выберите
наиболее точное значение.
А. Через 75 мин.
Б. Через 55 мин.
В. Через 40 мин.
Г. Через 30 мин.
«Волшебный сундучок»
5
Решение
Обозначим расстояние между конечными пунктами маршрута через s (км). Тогда
3s
6s
средняя скорость автобуса равна
(км/ч), средняя скорость такси —
(км/ч), а
5
7
3s
6s
51s
средняя скорость их сближения —
+
=
(км/ч). Если бы их движение было
5
7
35
51s
35
35
=
(ч) или через
60  41
равномерным, то их встреча произошла бы через s:
35
51
51
(мин). Но можно считать, что за промежуток времени длиной 10 мин каждый из них
проходит примерно одно и то же расстояние. Поэтому из приведенных ответов наиболее
подходящим является ответ В.
Ответ: В. Через 40 мин.
Задача №7
Какое наименьшее количество автобусных маршрутов, соединяющих два города,
каждый из которых позволяет добраться из одного города в другой и обратно,
необходимо для того, чтобы из каждого из n городов можно было добраться автобусом в
любой другой, сделав не более одной пересадки?
А. n.
Б. n – 1.
В. n – 2.
Г.
n(n  1)
.
2
Решение
Можно один из городов, например N, соединить автобусными маршрутами с
остальными (n – 1) городами. Для этого понадобится n – 1 автобусный маршрут. Тогда из
любого из n городов можно попасть в любой другой, сделав пересадку в городе N.
Это количество маршрутов минимально. Действительно, пусть n городов соединены n
– 2 маршрутами так, что из любого города можно добраться автобусом в любой другой,
сделав не более одной пересадки (даже если маршрутов было меньше, всегда можно
добавить маршруты так, чтобы их было n – 2). Отбросим все города, из которых выходит
только один маршрут, вместе с маршрутами, выходящими из них. Пусть таких городов k
 0. Тогда осталось n – k = m городов. Так как два города не могут быть соединены
маршрутами только между собой, то количества отбрасываемых городов и маршрутов
одинаковы, то есть маршрутов осталось n – 2 – k = m – 2.
Из условия следует, что осталось не менее двух городов. В противном случае все
отброшенные города были связаны автобусными маршрутами с оставшимися (не
остаться не могло). И количество маршрутов было n – 1, а не n – 2.
Докажем методом от противного, что из любого из оставшихся городов выходит, по
крайней мере, 2 маршрута. Пусть есть город X, из которого выходит только 1 маршрут в
город Y. Так как мы его не выкинули, значит до этого из него выходили маршруты в
какие-либо из городов, которые мы выкинули. Z1, Z2, … Мы уже показали, что осталось не
менее двух городов, значит, есть еще какой-то город, отличный от X и Y, но тогда из этого
города нельзя было добраться ни да какого из городов Z1, Z2, … Таким образом, получаем,
что из каждого из оставшихся городов выходит не менее двух маршрутов.
Следовательно, всего маршрутов не меньше, чем m. Но по предположению их m – 2.
Возникшее противоречие доказывает, что количество маршрутов не может равняться п –
2.
Ответ: Б. n – 1.
6
Электронная физико-техническая школа
Задача №8
Эскалатор стоящего на нём человека поднимает наверх за 80 с. Если человек
спускается по движущемуся вниз эскалатору, начиная движение с верхней точки, шагая
вниз и не пропуская ни одной ступеньки, то спуск займет 60 с, а человек пройдет 45
ступенек. Сколько ступенек между входом и сходом неподвижного эскалатора?
Б. 180.
А. 200.
В. 150.
Г. 120.
Решение
Обозначим искомое количество ступенек через х. За 80 с лента эскалатора сдвинулась
x
на х ступенек, а за 60 с — на 60 80 ступенек. За это же время человек самостоятельно
x
1
сдвинулся на 45 ступенек. Имеем уравнение: 60 80 + 45 = х или 4 х = 45. Отсюда х = 180.
Ответ: Б. 180.
Задача №9
Вода в некотором водоёме пополняется равномерно из источника. Известно, что 70
коров выпили бы воду из водоёма за 40 дней, а 50 коров — за 64 дня. Каков примерно
объём воды в водоёме до запуска коров в этот водоём, если считать, что корова за день
выпивает 80 л воды?
А. 170 м3.
Б. 17000 л.
В. 1700 л.
Г. 1700 м3.
Решение
Обозначим объём воды в водоёме до запуска коров в этот водоём через x (л), а через v
л/день — скорость поступления воды из источника. Тогда из условия следует следующая
система уравнений:
 x  40v  80  70  40,

 x  64v  80  50  64.
Умножив первое уравнение на 8, а второе — на 5 и вычтя почленно из первого
уравнения второе, получим:
3х = 8070408 – 8050645 = 512 000 (л), х = 512 000:3  170 000 (л) = 170 (м3).
Ответ: А. 170 (м3).
Задача №10
В кинотеатре два прямоугольных зала для просмотра кинофильмов. В одном из них в
каждом ряду по 38 мест, в другом – по 24 места, причём в первом зале на 168 мест больше,
чем во втором. Сколько мест в двух залах вместе, если количество рядов в обоих залах
более 20 и менее 40?
Б. 1656.
А. 1336.
В. 1800.
Г. 2112.
Решение
Обозначим количество рядов в зале, где 38 мест в каждом ряду, через х, а количество
рядов в другом зале — через у. Тогда, по условию, 38х – 24у = 168, 20 < x < 40, 20 < y < 40.
Из этого уравнения следует, что х делится на 4. Следовательно, х может принимать
значения 24, 28, 32, 36. Для этих значений х полученное уравнение принимает вид:
12у = 1924 – 84 = 372, 12у = 1928 – 84 = 448,
12у = 1932 – 84 = 524, 12у = 1936 – 84 = 600.
«Волшебный сундучок»
7
Только первое и последнее уравнения имеют решения в целых числах. Но решение
последнего не удовлетворяет условию у < 40. Следовательно, у = 31, х = 24 и в двух
кинозалах 2438+ 3124 = 2469 = 1656 мест
Ответ: Б. 1656 мест.
8
Электронная физико-техническая школа
3 Втораячастьзаданий
Задача №1
Торт, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием,
сверху и с боков равномерно покрыт шоколадной глазурью. Как разрезать этот торт на 7
частей с одинаковой массой глазури на каждом?
Решение
Если разделить границу квадрата на 7 равных по длине частей
и соединить эти точки с центром квадрата О, то квадрат
разобьётся на треугольники и, быть может, на четырёхугольники,
площади которых равны. Площадь каждого треугольника равна
1 a 4a a 2
 

, где а — сторона квадрата.
2 2 7 7
Если разбить четырёхугольник на два треугольника
диагональю, соединяющей центр квадрата с вершиной квадрата,
то можно показать, что площадь четырёхугольника также равна
a2
.
7
Площади участков боковой поверхности торта, соответствующие частям,
образованным по краям верхнего основания, также равны. Доказательство аналогично
предыдущему.
Учитывая, что толщина шоколадной глазури мала, то, в соответствии с точностью
измерений длин на поверхности торта, можно считать, что массы глазури на боковой
поверхности торта тоже равны.
Приведенный способ деления торта обеспечивает и равенство масс кусков, то есть
полную справедливость деления.
Задача №2
Участок квадратной формы разделили на четыре участка прямоугольной формы,
имеющих общую угловую точку. Площади трёх из них относятся как 1:2:3. Найдите
площадь четвёртого участка, если длина забора вокруг всего участка равна 240 м и
известно, что четвёртый участок имеет наименьшую площадь из всех 4-х частей.
Решение
Обозначим через х и у (у  х) размеры участка наибольшей
площади. Данный участок и его разбиение на 4 прямоугольные
части, соответствующие условию, изображены на рисунке. Так
как периметр участка равен 240 м, то сторона квадрата на
рисунке равна 60 м.
Наименьшую площадь S имеет прямоугольник, не имеющий
общей стороны с прямоугольником, имеющим наибольшую
площадь.
Из условия и введенных обозначений следуют следующие равенства:
S1 = 2S2, S1 = 3S3, S1 = xy, S2 = y(60 – x), S3 = x(60 – y).
Следовательно, имеем систему уравнений:
 xy  2 y (60  x),
 x  2(60  x),
3x  120,
 x  40,
или 
или 
или 

 y  3(60  y )
 xy  3x(60  y )
4 y  180
 y  45.
«Волшебный сундучок»
9
Искомая площадь равна S = (60 – 40)(60 – 45) = 300 (м2).
Случай второй:
S1 = 2S2, S1 = 3S, S1 = xy, S2 = y(60 – x), S = (60 – x)(60 – y).
Аналогично составляем систему уравнений. Решая систему уравнений, получаем S =
(60 – 40)(60 – 36) = 480 (м2).
Случай третий:
S2 = 2S3, S2 = 3S, S2 = y(60 – x), S3 = x(60 – y), S = (60 – x)(60 – y).
Аналогично составляем систему уравнений. Решая систему уравнений, получаем S =
(60 – 45)(60 – 36) = 360 (м2).
Ответ: 300 м2, 360 (м2), 480 (м2).
Задача №3
В классе часть учеников изучает английский язык, часть — французский. Изучающих
английский язык в два раза больше изучающих французский. Девочек, изучающих
английский язык, столько же, сколько всего мальчиков в классе, а вместе девочек,
изучающих английский язык, и мальчиков, изучающих французский язык, в два раза
больше, чем всех остальных. Сколько в классе мальчиков, если количество учеников в
классе не меньше 20, но не больше 30?
Решение
Обозначим через ам и ад количества соответственно мальчиков и девочек в классе,
изучающих английский язык, а через fм и fд — количества соответственно мальчиков и
девочек в классе, изучающих французский язык.
Из условия задачи следуют равенства:
ам + ад = 2(fм + fд), ад = ам + fм, fм + ад = 2(aм + fд).
Если в третье равенство подставить выражение для ад из второго и преобразовать
полученное равенство, то будем иметь:
ам + 2fм = 2fд + 2ам или 2fм = 2fд + ам.
Если полученное равенство сложить почленно с первым равенством и преобразовать
его, то придём к следующему равенству:
ад = 4fд.
Следовательно, количество девочек, равное ад + fд = 5fд, делится на 5.
Рассматривая все возможные значения количества девочек в классе, найдём, пользуясь
приведенными равенствами, соответствующие количества учащихся в классе.
fд
ам
ад
ад +
Количество учеников
fд
+ fм
5
4
1
4
9
10
8
2
8
18
15
12
3
12
27
20
16
4
16
36
Так как количество учеников в классе не меньше 20, но не больше 30, то количество
девочек в классе может равняться только 15. Тогда значения ад = 12, fд = 3, ам = 6, fм = 6
удовлетворяют всем условиям задачи. В классе 12 мальчиков.
Ответ: 12 мальчиков.
Задача №4
По окружности расположено n кружочков, занумерованных числами 1, 2, …, n. Будем
закрашивать кружочки, начиная с кружочка с номером 2, через один незакрашенный
10
Электронная физико-техническая школа
кружочек (кружочки с номерами 2, 4, 6, …) до тех пор, пока останется один
незакрашенный. Каков его номер?
Решение
Если n = 2k, то останется незакрашенным кружочек с номером 1. Это следует из того,
что обход по окружности приводит к закрашиванию половины кружочков. При этом
закрашенным будет кружочек, стоящий перед кружочком с номером 1. После первого
обхода количество незакрашенных кружочков будет равняться 2k – 1 . Продолжая этот
процесс, придём к паре незакрашенных кружочков, в которой первым будет кружочек с
номером 1.
Если n = 2k + р, где 0 < p < 2k, то последним незакрашенным останется кружочек с
номером 2р + 1. Чтобы доказать это, закрасим р кружочков (2, 4, 6, …, 2р) по правилу,
указанному в условии. Вдоль окружности незакрашенными останется 2k кружочков.
Первым после незакрашенных будет кружочек с номером 2р + 1. Он и останется
незакрашенным после выполнения всех закрашиваний.
Ответ: 2р + 1, если n = 2k + р, где 0  p < 2k.
«Волшебный сундучок»
11