Определение удельного заряда электрона с помощью

Министерство образования Российской Федерации
Томский политехнический университет
Кафедра теоретической и экспериментальной физики
«УТВЕРЖДАЮ»
Декан ЕНМФ
__________Ю.И. Тюрин
________________2007г.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОГО ЗАРЯДА ЭЛЕКТРОНА С
ПОМОЩЬЮ ВАКУУМНОГО ДИОДА
Методические указания к выполнению лабораторной работы Э-13а
по курсу «Общая физика» для студентов всех специальностей
Томск 2007
УДК 53.01
Определение удельного заряда электрона с помощью вакуумного диода.
Методические указания к выполнению лабораторной работы Э-13а по
курсу «Общая физика» для студентов всех специальностей. Томск, изд.
ТПУ 2002. – 12 с.
Составитель: С.Н. Гриняев
Рецензент: Н.С. Кравченко
Методические указания рассмотрены и рекомендованы методическим
семинаром кафедры теоретической и экспериментальной физики.
Зав. кафедрой
В.Ф. Пичугин
«___»___________2007 г.
2
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение вакуумного диода и определение удельного
заряда электрона
цифровые
вольтметр
и
миллиамперметр для измерения вольт-амперной характеристики диода,
амперметр для измерения тока накала диода, стабилизированные
источники питания, панель с размещенной на ней электронной лампой
и электрической схемой
ПРИБОРЫ
И
ПРИНАДЛЕЖНОСТИ:
ВВЕДЕНИЕ
При низких температурах электроны, имеющиеся в металле,
практически не покидают его объем. Это связано с тем, что на границе с
вакуумом существует потенциальный барьер, препятствующий выходу
электронов в вакуум. Металл для электронов представляет собой
потенциальную яму. Это значит, что внутри металла потенциальная
энергия электронов W(x) меньше потенциальной энергии в области
вакуума W0 (вакуумного потенциала). Переход от потенциальной
энергии в области металла в вакуумный потенциал W0 происходит в
пределах тонкого слоя, толщиной в несколько ангстрем (10-1010-9 м).
Поэтому график потенциальной энергии W(x) изображается
ступенчатой функцией с разрывом на границе (рис.1). Энергетический
спектр электронов в металле непрерывный, его уровни электроны
заполняют снизу вверх, вплоть до наивысшего уровня -уровня Ферми с
энергией EF. На каждом уровне согласно принципу Паули находятся не
более двух электронов с противоположными спинами. Разница между
энергией покоящегося электрона в вакууме и максимальной энергией
электрона в металле W0 - EF и представляет собой высоту
потенциального барьера, который должен преодолеть электрон, чтобы
выйти из металла. Ее называют работой выхода металла А = W0 - EF.
Наименьшие значения работы выхода А = 11.5 эВ имеют оксиды
щелочноземельных металлов (Ca, Ba, Cs,…), у вольфрама А = 4.5 эВ, у
платины А= 6.3 эВ.
В классической теории работа выхода рассматривается как
работа, совершаемая электроном, во-первых, при его вылете из металла
против сил притяжения со стороны положительных зарядов,
индуцируемых электроном на поверхности металла и, во-вторых,
против сил электрического поля двойного электрического слоя. Этот
двойной слой возникает у поверхности металла благодаря тому, что в
процессе теплового движения электроны пересекают поверхность
металла, образуя около нее “электронное облако”. Данный слой
3
подобен тонкому заряженному конденсатору, одной из обкладок
которого является поверхность металла с находящимися на нем
положительными ионами, а другой - “электронное
облако”. За
пределами двойного слоя напряженность электрического поля равна
нулю.
W(x)
Вакуум
Металл
W0
A
EF
Рис. 1 Изменение потенциальной
энергии
электрона
W(x)
в
направлении
перпендикулярном
границе металл/вакуум. Стрелками
показана
ориентация
спинов
электронов
на
энергетических
уровнях.




При температурах, близких к
комнатной температуре (Тк = 293К),
0
x
за счет теплового движения
электроны приобретают сравнительно небольшую дополнительную
энергию kTк  0,026 эВ и поэтому, согласно распределению Больцмана,
лишь малая часть электронов способна преодолеть высокий
потенциальный барьер (А > 1 эВ). С ростом температуры скорости
теплового
движения
и
кинетические
энергии
электронов
увеличиваются, с ними растет и число электронов выходящих из
металла. Вырывание электронов из металла вследствие его нагревания
называется термоэлектронной эмиссией.
Явление термоэлектронной эмиссии используется в вакуумных
электронных лампах. Лампа с 2-мя электродами (катодом и анодом)
называется диодом. Катод делают из тугоплавкого металла (например,
вольфрама). Если катод лампы нагревать, пропуская ток через нить
накала, и постепенно увеличивать положительное напряжение на аноде
Ua, то анодный ток Ia будет увеличиваться, пока не достигнет
насыщения Iнас, при котором почти все электроны, покидающие катод,
достигают анода.
Зависимость анодного тока Ia от анодного напряжения Ua
называется вольтамперной или анодной характеристикой лампы. На
рис.2 изображены две анодные характеристики, полученные при
температурах T1 и T2 (T2 > T1). С ростом температуры ток насыщения
растет за счет увеличения числа и скорости вырываемых электронов.


4
Рис. 2
Как видно, анодный ток зависит от напряжения не линейным
образом, поэтому для вакуумного диода закон Ома не выполняется. При
Ua = 0 анодный ток не обращается в ноль, так как часть электронов
обладает энергией большей работы выхода металла. Если поменять
полярность напряжения, то величина тока будет существенно меньше, а
начиная с некоторого, “запирающего“ напряжения Ua зап ток вообще
прекращается. Поэтому в электрической цепи лампа выступает
выпрямителем тока (диодом), пропускающем ток только в одном
направлении.
В области малых положительных напряжений Ua анодный ток Ia
описывается законом трех вторых Богуславского – Ленгмюра
Ia = BUa3/2
(1)
где B – коэффициент, зависящий от формы, размеров электродов их
взаимного расположения, а также массы и заряда электрона. На рис.2
закон трех вторых показан пунктирной линией. Как видно, он хорошо
выполняется на начальном участке вольт-амперной характеристики
лампы, но при напряжениях Ua несколько больших нуля.
Выведем закон Богуславского – Ленгмюра, используя
упрощающие предположения:
1)
начальная скорость электронов, покидающих катод, равна нулю
5
2)
пространственный
заряд
создает
такое
распределение
электростатического потенциала между электродами, при котором
непосредственно у поверхности катода нет градиента потенциала
d
=0
dr r=r
k
3)
анодный ток далек от насыщения.
Рассмотрим двухэлектродную вакуумную
ra
лампу, у которой катод и анод имеют вид

двух коаксиальных цилиндров (рис.3).
Обозначим радиус анода rа, радиус катода
rк , длину электродов l, rа > rк.
Связь между электростатическим
потенциалом  и объемной плотностью
зарядов  определяется уравнением
Пуассона:
 2  2
 2

Рис. 3
  2 



(2)
0
x
 y2  z2
где
0 =
8,85
10-12
Ф/м
–
электрическая
постоянная,
2
2
2
  2  2  2 - оператор Лапласа. Так как катод и анод имеют
x y z
цилиндрическую форму, то уравнение (2) удобнее
цилиндрических координатах, в которых оно примает вид
решать
в
1     1  2  2

 
 2 
(3)
r
 2
2
r r  r  r 
z
0
Благодаря цилиндрической симметрии, электростатический
потенциал  одинаков во всех направлениях, перпендикулярных оси
цилиндров, и не меняется вдоль оси цилиндров. Поскольку  не зависит
от угла  и координаты z, а зависит только от расстояния r до оси
цилиндров, то выражение (3) упрощается

1 d  d 
r

(4)
r dr  dr 
0
Найдем анодный ток Iа. Плотность тока равна
j = n 0 e
6
где n0 – концентрация электронов в промежутке между катодом и
анодом лампы; e – заряд электрона ( e < 0 );  - скорость
упорядоченного движения электронов.
Плотность тока связана с силой тока: j = I/S, где S = 2rl – площадь
поверхности, через которую проходят электроны, а  = n0 e, поэтому
Iа =  2r l
(5)
При Ua > 0 электростатический потенциал растет от катода к
аноду. Электрическое поле совершает работу по перемещению
электрона, в результате его потенциальная энергия переходит в
кинетическую энергию. Поскольку считается, что электроны вылетают
1
2
из катода с нулевой скоростью, то можем записать | e |   k  = mυ ,
2
где  (r ) - электростатический потенциал в пространстве между
катодом и анодом,

k
- электростатический потенциал катода. Отсюда
2|e|
1/ 2
  k  , тогда из (5) находим плотность  :
m
m
2|e|
1/ 2

I a    k 
2 rl
(6)
Подставляя (6) в (4), получаем
Ia
d 2 1 d



dr 2 r dr
2 lr 0
m
2(  k ) | e |
(7)
Частным решением этого неоднородного дифференциального
уравнения является функция вида
определяется из подстановки
1 (r )  Ar 2/ 3 . Коэффициент А
1 (r ) в (7)
A3/ 2  
9I a
8 l 0
m
2|e|
Общим решением однородного дифференциального уравнения (с
правой частью равной нулю) является функция
o (r )  C ln r  D
7
Поэтому общим решением неоднородного уравнения (7) является
сумма
1 (r )  o (r )
 (r )  Ar 2/ 3  C ln r  D
(8)
Коэффициенты C и D находятся из граничных условий
 (r ) r=r = k = Ark 2/3 + Clnrk + D
k
d
2
C
= Ark-1/3 + = 0
dr r=r
3
rk
k
2
C = - Ark 2 / 3
3
2
Ark 2/ 3 ln rk
3
Подставляя найденные коэффициенты в (8), получаем
окончательное выражение для электростатического потенциала
D = k - Ark 2/ 3  C ln rk  k - Ark 2/ 3 
 9I a
 (r )  k   
 8 l 0
m 

2 | e | 
2/3
 2/3 2/3 2 2/3  r
 r - rk - rk ln 
3
 rk


 

(9)
из которого и следует закон Богуславского – Ленгмюра
где

|Iа| = B(а – к)3/2 = BUа 3/2
(10)
8 2 0 
9
(11)
B
l
1
ra   2/3 
r
2 r
 1-  k   1+ ln  a
  ra   3  rk

|e|
m

  

3/2
- коэффициент, зависящий от
l
параметров лампы. Если rа >> rк, то   .
ra
С использованием (11) удельный заряд электрона можно выразить
через коэффициент В
|e|
81

B2
2 2 2
m 128   0
8
(12)
Коэффициент В в данной работе находится из измерений
вольтамперной характеристики вакуумного диода (10).
Существует ряд факторов, приводящих к отклонению от закона
«трех вторых». Наиболее существенными из них являются:
1) Начальные скорости электронов эмитируемых катодом не равны
нулю. Это меняет характер распределения потенциала между катодом и
анодом, напряженность электрического поля у поверхности катода не
равна нулю.
2)
Наличие контактной разности потенциалов между катодом
и анодом приводит к изменению полной разности потенциалов между
катодом и анодом.
3)
Асимметрия
системы
электродов
(например,
не
концентричность катода и анода).
4)
Наличие остатков газа в лампе. При достаточно высокой
разности потенциалов между катодом и анодом происходит ионизация
газа. Положительные ионы нейтрализуют действие отрицательного
пространственного заряда, и анодный ток возрастает значительно
быстрее, чем это следует из закона «трех вторых».
Факторы (1-2) особенно заметны при малых разностях
потенциалов (см. рис.2), где закон 3/2 дает заниженные значения
термоэлектронного тока. При больших напряжениях ток стремится к
насыщению, поэтому закон 3/2 здесь тоже не справедлив.
Описание экспериментальной установки
Схема установки изображена на рис.4. Ее основным элементом
является вакуумный диод (стеклянный баллон с цилиндрическими
катодом и анодом). Цилиндрический катод нагревается посредством
нити накала, расположенной внутри катода. Ток накала регулируется
стабилизированным источником питания. Цилиндрический анод
расположен коаксиально по отношению к катоду. На электроды
подается напряжение Ua, которое измеряется вольтметром, анодный ток
Iа измеряется миллиамперметром. У используемой лампы катод
оксидирован окислами других металлов, имеющих небольшую работу
выхода. Оксидный катод отличается той особенностью, что у него не
наблюдается резко выраженного, как у катодов из чистых металлов,
насыщения анодного тока. Это связано с сильным влиянием внешнего
электрического поля на величину тока эмиссии оксидного катода.
Поэтому даже при значительных внешних полях явно выраженного
насыщения анодного тока не наблюдается, ток продолжает расти.
9
Рис. 4
Принципиальная электрическая схема установки изображена на рис.5.
Рис. 5
Анодное напряжение Ua на лампу подается через потенциометр
Ra от выпрямителя. Оно измеряется вольтметром V. Ток накала катода
IH регулируется с помощью переменного сопротивления RH. Параметры
лампы l = 710-3 м, ra = 910-4 м, β =131.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1) Вольт-амперную характеристику вакуумного диода снимают
при двух токах накала 0,3 А и 0,35 А. Анодное напряжение меняют
через 1 В от 0 до 10 B. Измерения начинают после пятиминутного
10
прогрева катода, когда ток накала стабилизируется. Результаты
измерений записывают в таблицу.
Iн, А
0.3
0.35
№
Ia,mА
Uа, В
U a3/ 2 , B
3
2
В
e/m
1
2
3
…
…
…
N
2) Строят график зависимости анодного тока Ia от анодного
напряжения в степени трех вторых Ua3/2 (рис. 6).
Ia,mА
ΔI a

ΔUa3/2
Ua3/2
Рис. 6
Для расчета коэффициента В выбирают участки графиков,
имеющие вид прямой линии
B  tg α 
ΔI a
ΔUa 3/2
Значение В определяют для каждого тока накала. По формуле (12)
вычисляют удельный заряд электрона и находят его среднее значение.
3) Сравнивают полученное среднее значение удельного заряда
электрона с табличным значением. Проводят анализ причин, влияющих
на точность определения удельного заряда электрона предложенным в
работе методом.
11
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что называется удельным зарядом электрона ?
2. Каковы причины возникновения потенциального барьера в
поверхностном слое металла ?
3.
По какому закону изменяется ток в электронной лампе в
зависимости от анодного напряжения до наступления насыщения ?
4. Как определяется работа выхода электрона из металла ?
5. Почему при большом анодном напряжении имеет место ток
насыщения ?
6. Почему при использовании диода с оксидным катодом не
наблюдается насыщения ?
ЛИТЕРАТУРА
1. Физический практикум под редакцией В.И. Ивероновой.
Изд-во физико-математической литературы, 1962.
2. С.Г. Калашников, Электричество. – М.: Наука, 1985.
3. К.Н. Путилов, Курс физики т. II.
4. «Электроника», под ред. А.А. Жигарева.
5. В.Ф. Власов, «Электровакуумные приборы». Связьиздат.
12
М.,