1 Занятие 4 Тема: Матрицы и операции с ними Определения. Матрица – это прямоугольная таблица чисел. Каждое число, входящее в такую таблицу, называется элементом матрицы. Размерность матрицы (или порядок матрицы) – это количество строк и столбцов в ней. Размерность (порядок) записывается в виде m n , где m – количество строк, n – количество столбцов. Матрица порядка m n содержит m n элементов. Например, 1 2 5 A 2 3 10 – это матрица порядка 2 3 . В ней, очевидно, 6 элементов. Матрица, у которой всего одна строка, называется матрицей-строкой или векторомстрокой. Матрица, у которой всего один столбец, называется матрицей-столбцом или векторомстолбцом. Операции. 1. Умножение матрицы на число. Умножить матрицу на число означает умножить все элементы матрицы на это число. 2 Пример. Пусть A 5 7 2 4 1 5 3 Решение. cA 2 7 2 4 6 1 3 1 , c . Найти cA . 2 2 0 6 1 2 3 1 2.5 1.5 0.5 . 0 3.5 1 0 2. Сложение двух матриц. Сложить две матрицы одинаковой размерности означает сложить между собой каждый элемент первой матрицы и соответствующий ему (то есть находящийся на таком же месте) элемент второй матрицы. 1 2 5 1 1 2 , B . Найти A B . 2 3 10 5 2 3 1 2 5 1 1 2 0 1 7 Решение. A B . 2 3 10 5 2 3 7 1 7 Пример. Пусть A 3. Правило «строка на столбец». Пусть даны матрица-строка A из n элементов A ( a1 , a2 ,..., an ) и матрица-столбец B тоже из n элементов b1 b B 2. bn Тогда умножить строку A на столбец B означает следующее: каждый элемент строки умножить на соответствующий (по номеру) элемент столбца и результаты сложить. Важно: результат умножения строки на столбец – это число! 2 4 Пример. Умножить A (2, 1,3) на B 5 . 6 Решение. AB 2 4 ( 1) 5 3 (6) 15 . 4. Умножение двух матриц. Пусть даны матрица A порядка m n и матрица B порядка n k a11 a12 a1n a a a 21 21 2 n A amn am1 am 2 b11 b12 b1k b b b 21 21 2 k . B bnk bn1 bn 2 Тогда произведение матрицы A на матрицу B – это новая матрица C порядка m k , у которой элемент, стоящий на пересечении строки i и столбца j равен произведению -й строки с номером i матрицы A на столбец с номером j матрицы B (см. предыдущее правило «строка на столбец»). Важно: матрицу A можно умножить на матрицу B только в том случае, когда количество столбцов первой равно количеству строк второй! Результат умножения матрицы на матрицу – это матрица. 1 Пример. Даны A 1 1 Решение. В матрице A 2 3 3 1 3 2 и B 2 4 . Найти AB и BA . 1 6 1 1 три столбца, а в матрице B три строки, поэтому умножение возможно. Вычисляем 2 3 3 1 1 (3) 2 2 3 1 1 1 2 4 3 6 3 2 2 4 1 (3) 3 2 2 1 1 1 3 4 2 6 3 2 1 1 1 1 4 6 1 6 27 23 . 11 два столбца, а в матрице A три строки, поэтому умножение B на A невозможно (произведение BA не существует). 1 AB 1 1 4 11 0 В матрице B 3 5. Транспонирование матрицы. Транспонировать матрицу означает сделать все ее строки столбцами (тогда столбцы станут строками). 10 9 11 T . Найти A . 15 20 3 10 15 T Решение. A 9 20 . 11 3 Пример. Пусть A 6. Обратная матрица. Матрица B называется обратной к матрице A , если AB BA E . 1 1 Обратная матрица к A обозначается через A . Две матрицы A и A называются взаимно обратными (обратными друг к другу). Задачи на семинаре 3 2 1 1 2 3 , B 4 5 6 . Найти 3 A 2 B . 5 1 4 10 T T 2. Даны A ( 1,2,3) и B 9 . Найти AB , BA и B A . 8 1. Даны A 2 1 2 3 2 5 T T 3. Даны A 3 и B 3 1 1 . Найти AB , BA и B A . 2 7 1 1 1 1 1 4 5 4 4. Даны A и B . Проверить, является ли матрица B обратной к 1 5 1 1 матрице A . Домашнее задание № 4 5 1 4 3 2 , B 1 1. Даны A 2.5 3.5 8 2 2. Даны A (4, 2) и B . Найти 4 3 1 6 . Найти AT и 2 A B . 2 10 AB , BA и BT AT . 1 3 2 2 5 T . Найти AB , BA и A B . и B 8 1 1 1 1 2 1 3 1 4. Даны A и B . Проверить, является ли матрица B обратной к 5 2 5 3 матрице A . 3. Даны A