3 Лекция 6. ДИФРАКЦИЯ В КИНЕМАТИЧЕСКОМ

Лекция 6.
ДИФРАКЦИЯ В КИНЕМАТИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ.
З-н Брэгга. Обратная решетка. Индексы Миллера-Вейса. Сфера Эвальда. Вектор
отклонения. Атомный и структурный фактор рассеяния. Разрешенные и запрещенные
рефлексы. Индексирование рефлексов. Дифракция от суперрешеток. Размерные
эффекты в дифракции.
Дифракция электронов в ПЭМ является проявлением эффекта рассеяния
электронной волны на атомной плоскости. В режиме дифракции исследуют
кристаллическую структуру образца. Обычные вопросы: Является ли образец
кристаллическим или аморфным? Если кристаллический, то каковы кристаллические
параметры (тип структуры, симметрия, параметр решетки и т.д.? Моно- поли- или
нанокристаллический? Размер зерна? Ориентация зерен относительно пучка? Каков
Рис.6.1. Типичные ДК для А-аморфное вещество
(углерод), В – монокристалл (Al), C - поликристалл
(Au), D – ДК в сходящемся пучке (Si).
фазовый состав образца? И т.п.
Некоторые характерные дифракционные картины (ДК) приведены на рис. 1.
Диффузные кольца вокруг диффузного центрального рефлекса характерны для
аморфных образцов (рис.1а), четкую симметричную картину пятен-рефлексов дают
монокристаллы (рис.1б), мелкозернистые поликристаллические и нанокристаллические
образцы легко опознать по системе концентрических колец (рис.1в). ДК зависит от
характеристик пучка и, прежде всего от угла сходимости. Фокусировка пучка на
образце приводит к росту размеров пятен и появлению тонкой структуры в них,
отражающей детали структуры, формирующей данный рефлекс (рис.1г). Эти и
3
некоторые другие особенности мы будем обсуждать в этой и последующих лекциях.
Но сначала мы кратко рассмотрим основы электронной дифракции.
Закон Брэгга.
Рассеяние электронов плоскостью сопровождается передачей импульса. Пусть
падающие электроны имеют волновой вектор kI , а рассеянные электроны - kD. Тогда,
переданный импульс
K = k D – k I,
(6.1)
При этом векторы kD и k образуют угол 2θ. Поскольку
рассеяние упругое, то
|kD| =|kI| = |k|=1/λ.
(6.2)
Как видно из рис.6.2
|K| = 2 sin θ /λ
(6.3)
Для рассеяния электронов в кристаллах ур-е (6.3) означает,
что при совпадении численного значения передаваемого
импульса с одним из векторов обратной решетки K = g, в
Рис.6.2. Векторная
рассеянии электронов будет наблюдаться конструктивная
диаграмма рассеяния.
интерференция. Иначе говоря, условие конструктивной
интерференции имеет вид
K = kD – kI = g
(6.4а)
Конструктивная интерференция будет происходить в направлении углов Брэгга, что
можно выразить переписав (6.3) в виде
nλ = 2 sin θB /|KB| =2 sin θB/|g| = 2dsin θB.
(6.4б)
Здесь подразумевается, что вектор обратной решетки есть обратная величина
межплоскостного расстояния, т.е. d = 1/|g| и что интерференция может быть
конструктивной при любом целом числе n периодов интерферирующих волн. Угол
Брэгга, θB, и уравнение (6.4), называемое условием Брэгга, играют центральную роль в
явлении дифракции. Из (6.4) видно, что дифракционный рефлекс, наблюдаемый под
двойным углом Брэгга относительно прямого пучка, называемого в этой терминологии
0-рефлексом, соответствует определенному вектору g обратной решетки.
(6.5)
2θB,n=1 = arcsin(λ|g|)
Однако, наряду с g-рефлексом, имеются рефлексы более высокого порядка,
соответствующие вектору ng обратной решетки при n≠1
2θB,n= arcsin(λ|ng|).
(6.6)
Физический смысл этого выражения состоит в том, что дифракция является
конструктивной не только при рассеянии на
плоскостях, разделенных периодом d, но и на
виртуальных плоскостях с периодом d/n, как это
проиллюстрировано на рис. 6.3 для n=2.
Обратная решетка (reciprocal lattice/space).
Индексы Миллера-Вейса.
Как видно из предыдущего, анализ дифракционных
Рис.6.3. Рассеяние для n=2
на
данных
проще
производить
опираясь
представление
об
обратном
пространстве.
Аналогично реальному пр-ву, где вектор определяется как линейная комбинация
базисных векторов
4
(6.7)
R = Σi=13 niai,
вектор обратного пр-ва также является линейной комбинацией базисных векторов
обратного пространства
R* = Σi=13 nia*i.
(6.8)
Каждой реальной решетке соответствует своя обратная решетка. Базисные вектора этих
двух решеток как
ai·a*j = 0 для i≠j
(6.9а)
и
ai·a*j = 1 для i=j
(6.9б)
Из условия (6.9а) следует, что вектор a*3 всегда перпендикулярен векторам a1 и a2, и
стало быть, плоскости, образуемой этими векторами. При этом, вектор a3 не
обязательно будет перпендикулярен им! Т.е., вектор a*3 не обязательно параллелен
вектору a3.
Полезно помнить, что обратной решеткой для простой кубической решетки
является простая кубическая решетка с параметром решетки 1/а, для
гранецентрированной кубической решетки (гцк) – объемоцентрированная (оцк), для
оцк – гцк, для простой гексагональной решетки с параметрами с и а – простая
гексагональная с параметрами 1/с и 2/(√3а), повернутая на 300 вокруг с-оси по
отношению к прямой решетке.
В соответствии с (6.8), любой вектор обратной решетки можно разложить по
базисным векторам
ghkl = ha1* +ka2* +la3*.
(6.10)
Тройка целых чисел (hkl) определяет не только вектор в обратном пространстве, но и
соответствующую плоскость в реальном
пространстве. Эту плоскость можно
построить, отложив на базовых векторах отрезки равные, соответственно, a1/h, a2/k, a3/l,
как изображено на рис. 6.4. Числа h, k, и l называют индексами Миллера.
Приняты следующие обозначения: тройка (hkl) сокращенное обозначение конкретного вектора в
обратном пространстве, который перпендикулярен
конкретной плоскости (hkl) в реальном пространстве.
Отрицательные индексы принято обозначать в виде
черты над индексом, что, впрочем, не очень удобно при
наборе текста в рамках простых (или не очень простых)
текстовых редакторов, поэтому в данном курсе мы
−
− −
будем обозначать (-h,-k,-l), а не (h, k , l ) . Обозначение в
Рис. 6.4. Определение
фигурных скобках {hkl}объединяет все семейство
индексов Миллера
плоскостей и векторов (с отрицательными или
плоскости (hkl)
положительными
индексами,
индексами,
отличающимися перестановкой чисел). Тройкой [UVW]
обозначают конкретную плоскость в обратном пространстве, т.е. которая может
содержать много точек {hkl}. В реальном пространстве тройке [UVW] соответствует
конкретное направление – ось зоны для плоскостей {hkl}.Индексы тройки [UVW]
называют индексами Вейса. При индексировании рефлексов в электронограммах для
краткости часто скобки опускают.
Следует иметь ввиду, что векторы реальной и обратной решеток (скажем, [123]
и (123)) взаимно параллельны только для кубических решеток. Например, если
направить пучок вдоль оси зоны [123] орторомбического кристалла оливина, то пучок
не будет перпендикулярен плоскости (123).
5
С учетом соотношений (6.7-6.9), связывающих вектора в реальном и обратном
пространстве, условие Брэгга (6.4) может быть переписано в эквивалентной форме
условия Лауэ:
K·Rn = N,
(6.11)
где Rn – радиус вектор n-ного узла прямой
решетки, N – любое целое число.
В кристаллах с гексагональной и
тригональной
сингониях
пользуются
обычно четырехосной системой координат,
в которой три оси, пересекаются под
углами
1200.
Перпендикулярно
им
проходит
четвертая
(вертикальная,
главная)ось с, а отсекаемые на ней отрезки
могут быть либо длинее, либо короче
отрезков по горизонтальным осям. Ось с Рис.6.5. Сфера Эвальда.
совмещается с 6-кратной или 3-кратной
осями симметрии, а горизонтальные оси совпадают с 2-кратной осью симметрии. Для
обозначения символов плоскостей (граней) гексагональных кристаллов О. Бравэ
предложил использовать миллеровские индексы, учитывая, однако, четырехосность
координатной системы. Плоскости обозначаются четырьмя индексами – (hkil) - это так
называемые индексы Бравэ. Индекс I отвечает третьей дополнительной горизонтальной
оси и равен по абсолютной величине сумме первых двух индексов: i=h+k. Так как
индекс относится к условно отрицательному направлению оси, равенство следует
записывать так: i= - (h+k). Поскольку первые три индекса не независимы, то часто
третий индекс опускают, либо заменяют точкой.
Сфера Эвальда (the Ewald sphere).
Построение со сферой отражения или сферой Эвальда хорошо известно по
рентгеноструктурному анализу и позволяет наглядно проиллюстрировать некоторые
важные особенности наблюдаемых электронограмм. Если изобразить сферу с радиусом
1/λ, проходящую через начало обратной решетки, то условие Брэгга будет выполняться
для тех узлов обратной решетки, которые лежат на этой сфере. Другими словами
говорят о возбуждении пересекаемых узлов. На самом деле, как будет видно из
дальнейшего, узел обратной решетки представлен «стержнем» (relrod) некоторой
эффективной длины, а не точкой. Так что возбуждение узлов возможно и при
(небольшом) отклонении от точного условия Брэгга в пределах длины этого стержня.
Из рис. 6.5 видно, что построение Эвальда – наглядная иллюстрация условия Брэгга
(6.4). Сопоставим величины, входящие в (6.4а): |k| =1/λ = 1012/3.7 1/m (для Е0 = 100 кэВ,
см. Табл.1.1), |g| = 1/d ~ 1010/3. Т.е. |k|/|g| ~ 100. Для сравнения, для типичных
рентгеновских лучей, скажем для К-линии Cu λ = 0.153 нм, длина волнового вектора
|k| =1/λ = 1010/1.5 1/m и, соответственно, |k|/|g| ~ 2. Иначе говоря, для электронов ПЭМ,
сфера Эвальда является практически плоской! Практически в электронограмме
наблюдаются целые сечения обратной решетки! А для рентгеновских лучей, радиус
сферы Эвальда того же порядка, что и период обратной решетки, и сфера Эвальда
пересекает весьма малое количество узлов или соответствующих им стержней.
Вектор отклонения (excitation error).
Если исходить из строгого выполнения условия Брэгга (6.4) или условия Лауэ (6.11),
то, вследствие конечной кривизны сферы Эвальда, в электронограмме не должно было
6
бы быть ни одного рефлекса! Раз они есть, значит условия (6.4) и (6.11) не должны
быть строгими. А именно, вместо (6.4а) должно быть условие
K=g+s
(6.12)
Вектор s есть мера того насколько реальные условия могут
отклоняться от точного условия Брэгга. Иллюстрация такой
дифракции приведена на рис.6.6. Этот вектор называют в
англоязычной литературе excitation error, в отечественной
литературе – вектором отклонения от точного условия
Брэгга (или отклонения от узла обратной решетки). Мы
здесь будем называть его кратко вектором отклонения.
Нетрудно видеть, что длина этого вектора и есть длина
узлового стержня, о котором мы говорили в предыдущей
части.
Рис. 6.6. Дифракция с
отклонением от
точных условий Брэгга
Амплитуда рассеяния и структурный фактор
рассеяния.
Движение электрона подчиняется ур-ю Шредингера. В стационарной (независящей от
времени) форме оно имеет вид
[-h2/(8π2m)∇2 + V(r)]ψ(r) =Eψ(r)
(6.13)
Первый член представляет кинетическую энергию, второй член представляет
потенциальную энергию и, учитывая, что заряд электрона отрицателен V(r) = -eV(r),
где потенциал V(r) всегда положительное число, достигающее максимума на
положительно заряженном ядре, полная энергия E равна произведению заряда (-е) на
ускоряющее напряжение (-Е), т.е. E =еЕ. В результате мы получаем ур-е Шредингера в
виде
∇2ψ(r) + (8π2me/h2)[E+V(r)]ψ(r) = 0
(6.14)
В качестве решения вне образца (входящая волна) берется плоская волна
ψ(r) = Aexp(2πikr),
(6.15)
Рассеянная на изолированном атоме волна может быть представлена в виде:
ψs = (2πme/h2)[exp(2πikr)/r]∫атом V(ri)exp[2πi(k-k’)ri]dηi.
(6.16а)
или
(6.16б)
ψs = f(θ) [exp(2πikr)/r].
Здесь dηi- элемент фазового объема, а f(θ) уже упоминавшаяся в Лекции 1 атомная
амплитуда рассеяния, связанная с сечением рассеяния соотношением (1.13) и которую
переписать в виде
(6.17)
f(θ) = (2πme/h2) ∫атом V(ri)exp[-2πiK’ri]dηi,
учитывая, что, аналогично (6.1), переданный импульс K’ = k’ – k. Результирующая
волна при рассеянии на изолированном атоме есть суперпозиция падающей и
рассеянной волны
ψ(r) = A[exp(2πikr) + if(θ)exp(2πikr)/r],
(6.18)
как проиллюстрировано на рис. 6.7. Отметим, что фаза рассеянной волны смещена по
отношению к падающей на 900. Опуская дальнейшие детали рассмотрения, которые
можно найти в Главе 2, Хирш и др. [16], запишем атомную функцию рассеяния в
удобном виде:
f(θ)=(me2/2h2)(λ/sinθ)2(Z-fx)
(6.19а)
или
f(θ) = 2.38 10-12(λ/sinθ)2(Z-fx), (6.19б)
7
где [λ] = нм, [fx] = см. Здесь первый член (Z) в третьей скобке обусловлен
резерфордовским рассеянием на ядре, а второй (fx) – фактор рассеяния для
рентгеновских лучей, определяется рассеянием на электронном облаке
(протабулирован).
Амплитуда рассеяния на ансамбле
атомов, например, на ячейке кристалла,
рассчитывается суммированием по всем
рассеивающим центрам
А(θ) = [exp(2πikr)/r] Σifi(θ)exp(2πiK’Ri),
(6.20)
где fi(θ) – амплитуда рассеяния на i-том
атоме. Или
А(θ) = [exp(2πikr)/r] F(θ), (6.21)
где
F(θ) = Σifi(θ)exp(-2πiK’Ri) (6.22)
– структурный фактор определяется
вкладом всех атомов, входящих в
элементарную
ячейку. Учитывая, что
Рис. 6.7. Формирование рассеянной
Ri = xia1 + yia2 + zia3,
(6.23а)
волны
и пренебрегая вектором отклонения s, т.е.
принимая условие дифракции (6.4а), запишем
K’ = K = ha*1 + ka*2 + la*3.
(6.23б)
Тогда структурный фактор имеет вид
Fhkl = Σifiexp[2πi(hxi + kyi + lzi)]
(6.24)
Суммирование идет по всем атомам ячейки.
Запрещенные рефлексы
Из сказанного следует, что рефлекс hkl -плоскости не наблюдается на
электронограмме, если соответствующий структурный фактор равен нулю. Эти
рефлексы являются запрещенными.
Примеры:
В ячейке оцк решетки имеется два атома с координатами (0,0,0) и (1/2,1/2,1/2).
Подставляя в (6.24), получаем
F = f exp[πi(h + k + l)]
(6.25)
Отсюда, получаем
F = 2f для N=h + k + l = четное число, и
F = 0 для N=h + k + l = нечетное число.
На рис. 6.8 изображена гцк-решетка (обратная оцк-решетке), из которой удалены
запрещенные узлы, соответствующие нечетному N, т.е. (100), (010),(001), (111) и т.д.
В гцк-структуре имеется 4 атома в элементарной ячейке (0,0,0), (1/2,1/2,0),
(1/2,0,1/2), (0,1/2,1/2). Подставляя эти значения Ri в (6.24) получаем:
F = f {1+exp[πi(h + k)] + exp[πi(h + l)] + exp[πi(k + l)]}
(6.26)
Отсюда следует, что
F = 4f если h,k,l все четные или все нечетные, и
F = 0 если h,k,l, смешанно четные и нечетные.
8
Обратная решетка с удаленными узлами с F = 0 изображена на рис. 6.9.
Индексирование гпу решетки более сложно по нескольким причинам: 1) За
исключением (0001), все электронограммы могут отличаться для различных
Рис.6.8. Обратная решетка для оцк
структуры с удаленными узлами с
Fhkl = 0
Рис.6.9. Обратная решетка для гцк
структуры с удаленными узлами с Fhkl =
0
материалов, поскольку отношение с/а
различно. 2) Мы используем 3х индексную систему обозначений для вывода правил,
основанных на свойствах структурного фактора. 3) Мы используем 4х индексную
систему Миллера-Бравэ для индексирования плоскостей и, т.о., электронограммы.
Можно рассматривать решетку гпу как простую гексагональную решетку с
двухточечным базисом. Координаты этих атомов (x,y,z) = (0,0,0),(1/3,2/3,1/2).
Подставляя в (6.24), получаем
F = f {1+ exp[2πi(h/3 + 2k/3 +l/2)]}
(6.27)
Вводя обозначения h/3 + 2k/3 +l/2 = X, мы видим, что усложнение может иметь место в
тех случаях, когда Х является дробным числом. Однако, для
(6.28)
|F|2 = f2(4cos2πX)
характеризующей интенсивность, некоторые выводы можно сделать.
|F|2 =0 если h + 2k=3m и l нечетное
|F|2 =4f2 если h + 2k=3m и l четное
|F|2 =3f2 если h + 2k=3m±1 и l нечетное
(6.29)
|F|2 =f2 если h + 2k=3m±1 и l четное
Таким образом, рефлексы 11-20 и 11-26 будут сильными, а 11-23 отсутствовать.
Аналогично, 10-10 и 20-20 будут слабыми, а 30-30 –сильным. Очень важно, что
рефлекс 0001 будет отсутствовать!
Если кристалл не моноатомен, то амплитуда рассеяния есть суперпозиция
атомных амплитуд. Например, в NaCl, имеющем гранецентрированную кубическую
решетку, с каждым узлом решетки связана пара ионов Na+ и ClF = fNa +fClexp(-iπh) = fNa ± fCl.
(6.30)
в зависимости от того, является ли h четным или нечетным.
Более подробную информацию о структурных факторах конкретных решеток и о
подавлении рефлексов можно найти, например, в «Международных таблицах по
рентгеновской кристаллографии» (т.1).
Индексирование рефлексов
Как уже было сказано, в идеальном случае сферу Эвальда можно заменить
приближенно плоскостью. Тогда дифракционная картина (ДК) –есть некоторое сечение
обратной решетки. Масштаб ДК определяется дифракционной константой λL, так что
9
расстояния, измеряемые на ДК, являются, по сути, увеличенными в λL раз векторами
обратной решетки.
В качестве примера, представим себе ДК от гцк решетки. Как мы знаем, что ее
обратная решетка – оцк, в которой некоторые узлы будут невидимыми, рис.6.8. Если
пучок направлен вдоль оси [100] реальной решетки, (будем обозначать это как
В=[100]), то в обратном пространстве этот пучок будет представлен вектором,
ориентированном вдоль оси [100] обратной решетки и упирающимся своим концом в
начало координат 000. На электронограмме будет представлено сечение обратной
решетки плоскостью, проходящей через узлы 000, 020, 022, 002, и т.д (рефлексы типа
(010), как мы знаем, запрещены). Более полная схема рефлексов для типичных решеток
и ориентаций пучка представлена в Дополнении 6.2.
Следуя рецепту из [17], индексирование ДК можно выполнить в следующем
порядке.
1. Измерить несколько векторов обратной решетки, не лежащих на одной
прямой, найти их отношение и приписать узлам пробные индексы hkl. Если
используются фотопластинки, то все измерения проводятся на эмульсионной (матовой)
стороне. Межплоскостное расстояние рассчитывают по соотношению
dhkl = λL/Rhkl
(6.31)
Для измерения используются обычно все видимые рефлексы. Полученные таким
образом индексы являются пробными, имея в виду эквивалентность многих плоскостей
в кристалле, индексы которых отличаются порядком или знаком.
2. Измерить угол между двумя векторами обратной решетки и приписать этим
векторам знаки и индексы в соответствии со значением угла. Знаки и положение
индексов находят их сравнения угла между векторами обратной решетки
cos α = (g1g2)/(|g1| |g2|)
(6.32)
с измеренным углом на электронограмме.
3. Рассчитать векторное произведение результирующих векторов обратной
решетки и определить ось зоны отражающих плоскостей. Ось зоны рассеивающих
плоскостей (или направление падающего пучка) определяется как
[g1g2]
= [UVW]
~
a*1
h1
h2
a*2
k1
k2
a*3
l1
l2
(6.33)
или
U
V
W
=
=
=
k1l2 – k2l1
h2l1 – h1l2
h1k2 – h2k1
(6.34)
Т.о., независимо от сингонии получим индексы оси зоны отражающих плоскостей, т.е.
ориентировку кристалла в терминах прямой, атомной решетки.
4. Приписать разумные индексы остальным рефлексам ДК. Воспользовавшись
правилами сложения векторов можно последовательно приписать индексы всем
рефлексам, присутствующим на ДК. Необходимо иметь ввиду, однако, что описанным
выше способом электронограмма расшифровывается с точностью до 1800. Более точное
определение ориентировки кристалла получатся с помощью анализа, например, т.н.
линий Кикучи (см. след. лекцию).
Дифракция от суперрешеток
10
В упорядоченных сплавах или в кристаллах химических соединений возникает
упорядоченное чередование в заселении узлов кристаллографической решетки.
Поскольку атомный фактор является химически зависимым, то запрещенные рефлексы
могут проявляться на ДК. Например, NiAl имеет оцк структуру, в которой, как мы уже
знаем, рефлексы типа 001, как и все другие с нечетными h+k+l, являются
запрещенными.
Периодическое
и
попеременное
заполнение
же
узлов
решетки атомами Ni и Al приводит к
неполному подавлению этих рефлексов в
ДК. Формально же с учетом периодичного
заполнения узлов, размер элементарной
ячейки увеличивается в двое, стало быть,
период обратной решетки уменьшился
вдвое и рефлекс, который по параметру
Рис. 6.10. DF от рефлекса 002
решетки
соответствует
001
оцк
квантоворазмерной гетероструктуры
неупорядоченной решетки NiAl является,
GaAs/AlxGa1-xAs.
на
самом
деле,
002
рефлексом
упорядоченной решетки этого соединения.
В приведенном примере «запрещенный» рефлекс
001 называют рефлексом суперрешетки.
Другой пример приведен на рис. 6.10, на
котором приведено DF изображение от 002
рефлекса от квантоворазмерной гетероструктуры
GaAs/AlxGa1-xAs. Рефлекс 002 в алмазоподобной
структуре (например, в Si) запрещен. В структуре
GaAs запрет снимается благодаря неполному
гашению из-за различной амплитуды рассеяния на
атомах Ga и As. В решетке AlxGa1-xAs различие
амплитуд fIII-fV возрастает благодаря тому, что
часть узлов заселяется атомами Al с еще большей
разницей в амплитуде рассеяния. Именно,
поэтому, в DF от рефлекса 002 слои AlxGa1-xAs
Рис. 6.11. Дифракция от
выглядят ярче, чем слои GaAs.
многослойной структуры
Многослойные
структуры
с
малым
Si/Mo.
периодом могут давать наблюдаемую тонкую
структуру рефлексов, как изображено на рис. 6.11
для системы чередующихся слоев Si/Mo [19]. Тонкая
структура наблюдается вблизи прямого пучка. По
периоду осцилляций в тонкой структуре можно
достаточно точно определить периодичность
многослойной структуры в реальном пространстве.
Размерные эффекты в дифракции
Представим себе, что электронный пучок
проходит
через
фольгу,
содержащую
Рис. 6.12. Схема к
кристаллическое
зерно
в
виде
параллелепипеда
с
рассмотрению размерных
размерами ребер Nxax· Nyay· Nzaz, рис.6.12. Чтобы
эффектов.
вычислить амплитуды рефлексов от такого зерна,
нужно просуммировать амплитуды (6.21) от каждой ячейки. Получим амплитуду g рефлекса
11
Аg = [exp(2πikr)/r] ΣnFn exp(-2πiKRn) (6.35)
Поскольку K = g + s, то
Аg = [exp(2πikr)/r] ΣnFn exp[-2πi(g+sg)Rn]
(6.36)
Поскольку Rn есть целое число, согласно (6.4а) и (6.11), то, заменяя sg на s,
(6.37а)
Аg = [exp(2πikr)/r] ΣnFn exp[-2πisRn],
где s вектор отклонения для рефлекса g. В приближении больших Nx, Ny, Nz, сумму
можно заменить интегралом, тогда
(6.37б)
Аg = [exp(2πikr)/(rVc)Fg ∫crystal exp[-2πisRn]dV.
Предполагая, что
s = ua*x+ va*y+ wa*z,
(6.38)
Rn = hax + kay + laz Æ R = xax + yay + zaz, (6.39)
мы можем записать
Аg = [exp(2πikr)/(rVc)] Fg ∫0С ∫0В ∫0А exp[2πi(ux+vy+wz)]dxdydz,
(6.40)
где А = Nxаx, и т.д. Поскольку,
∫0А exp(-2πiux)dx = [1 – exp(-2πiuA)]/(-2πiu) =
=[exp(-πiuA)/(πu)][exp(-πiuA)-exp(πiuA)]/(2i) =
= [exp(-πiuA)/(πu)] sin(πuA), то
(6.40)
Аg = [exp(2πikr)/(rVc)] Fg ·
Рис. 6.13. Схема,
· [sin(πAu)/(πu)] [sin(πBv)/(πv)]
иллюстрирующая
[sin(πCw)/(πw)]exp[iD]
(6.41)
появление рефлексов при
где D не существенный фазовый фактор. Выражение
s≠0.
(6.41) свидетельствует о том, что интенсивность |Аg|2
будет иметь не δ-образный вид, а распределена вокруг
центра рефлекса с тем большей шириной, чем
больше величина вектора отклонений s, рис.6.13.
Принимая во внимание, что
limbÆ0 [sin(bx)/x] = δ(x),
(6.42)
в частности, для тонкой пленки получаем
(6.43)
Ig ~ δ(x) δ(y) sin2(πszt)/(πsz)2,
где t = Nzaz – толщина пленки. Если длина стержня
s=0, то рефлекс будет иметь δ-образное
распределение
интенсивности,
т.е.
будет
присутствовать в ДК только, если сфера Эвальда
будет пересекать узел обратной решетки. Если s≠0,
то рефлекс будет присутствовать даже при
отклонении узла от сферы в пределах s ~ 1/t,
например, для наклоненного кристалла на угол ∆φ
~ 2d/t, рис. 6.13. Следующие волны осцилляций по
(6.43) имеют ничтожную интенсивность и обычно
Рис. 6.14. Форма
не наблюдаются.
низкоразмерных кристаллов и
Распределение интенсивности, согласно
формы рефлексов.
(6.41), позволяет оценить форму и размеры малых
дифрагирующих включений в образце. На рис.
6.14 изображены примеры форм частиц и форм
узлов обратной решетки для этих частиц [20]. В
частности, если тонкие пластины преципитатов ориентированы тонкой стороной
перпендикулярно пучку, то в направлении, перпендикуляром тонкой стороне
12
возникают линии, идущие от центров пятен. Примером может являться ДК «тяжи»
(streaks) на рис.
6.15,
соответствующ
ая выделению
тонкослойных
преципитатов
CrN,
ориентированн
б)
а)
ых
Рис.6.15. ДК от оцк-решетки α-Fe, содержащей преципиты CrN.
параллельно
Тяжи от {200} соответствуют малой толщине преципитатов.
плоскости
Запрещенные рефлексы 100 и крестообразные сателлиты (б) –
{100}
в
эффект стержней от тонкого слоя Fe3O4.
матрице оцкрешетки α-Fe [21]. В дополнение к тяжам, в ДК видны пятна в положении
запрещенных
рефлексов
100.
Эти
рефлексы
соответствуют
стержням,
перпендикулярным сфере Эвальда, узлов 220 обратной решетки от тонкого слоя Fe3O4 c
гцк структурой. Крестообразные сателлиты вокруг 110 рефлексов – стержни 311 и 131
рефлексов Fe3O4.
Дополнение 6.1.
Таблица Д6.1. Некоторые правила отбора для дифракции в распространенных
структурах.
Структура
Примитивная
Объемоцентрир.
Гранецентрир.,
включая GaAs и
NaCl
Алмазоподоб.
Базоцентрирован.
Гексагональн.
плотноупаков.
Присутствуют
рефлексы
Любые h,k,l
h+k+l=2n
h,k и l все нечет.
или все четн.
Структурный
фактор, F
f
2f
4f
Число атомов в
ячейке
1
2
4
2f
2
0
Примеры
0001
2f
f√3
0002
01-11
f
01-10
Как гцк, но если
все четн. и
h+k+l≠4N, тогда
запрещены
h,k и l все нечетн.
или все четн.
h+k+l=3n с l
нечетн.
h+k+l=3n с l четн.
h+k+l=3n±1 с l
нечетн.
h+k+l=3n±1 с l
четн.
13
Дополнение 6.2. Схемы дифракционных рефлексов для типичных кристаллов и
ориентаций пучка электронов [2].
Рис. Д6.2.1. Четыре схемы стандартных дифракционных картин для оцк структуры.
14
Рис. Д6.2.2. Четыре схемы стандартных дифракционных картин для гцк
структуры.
15
Рис.Д6.2.3. Шесть схем стандартных дифракционных картин для гпу структуры.
16