7-17 И.П. Корнюхин, Л.И. Жмакин Закономерности сушки тонких

УДК 677.057.135.2 : 532.5.031
ЗАКОНОМЕРНОСТИ СУШКИ ТОНКИХ МАТЕРИАЛОВ
ПЕРЕГРЕТЫМ ПАРОМ
Корнюхин И.П., Жмакин Л.И.
Московский государственный текстильный университет им. А.Н. Косыгина
При помощи аппарата статистической физики неравновесных процессов разработан подход, позволивший определить потоки теплоты и влаги между поверхностью и
паром с трехатомными молекулами. Сформулирована замкнутая система уравнений,
позволившая рассчитать изменение параметров влажного материала вплоть до достижения кондиционного влагосодержания. Проанализированы аналоги температуры
точки росы и температуры мокрого термометра при сушке в перегретом паре.
Ключевые слова. Сушка, тонкий материал, перегретый пар, статистическая физика
неравновесных процессов, слой Кнудсена, сорбционное равновесие, тепломассообмен.
1. Введение
В монографии [1] обсуждаются достоинства и преимущества связанные с использованием перегретого пара в качестве теплоносителя в процессах сушки. Однако
надежные методы расчета таких процессов для тонких материалов в настоящее время
практически отсутствуют. При сушке влажным воздухом потенциал переноса влаги
между поверхностью тела и окружающей средой определяется при помощи показателя,
связываемого с концентрацией пара в воздухе. Наличие такого показателя дает возможность определить величину потока массы (влаги) независимо от определения величины потока теплоты. Это позволяет получить для тонкого материала систему независимых дифференциальных уравнений тепло- и массообмена. При переменных параметрах воздуха система дополняется соответствующими дифференциальными уравнениями энергии и массообмена, определяющими изменение параметров воздуха. Система
уравнений замыкается [2] при помощи уравнения межфазного равновесия (уравнения
изотермы десорбции построенного с учетом температурной зависимости), что позволяет описать весь процесс сушки [2] вплоть до полного высушивания материала.
Попытки подобным же образом феноменологически описать процесс сушки перегретым паром не могут быть реализованы, так как при чисто феноменологическом
подходе не удается построить потенциал переноса массы в паровой фазе. Известно
лишь приближенное модельное решение [3], описывающее сопровождающийся конденсацией пара прогрев тонкого высокотеплопроводного материала и начальную стадию сушки до момента испарения сконденсировавшейся влаги. В области постоянной
скорости сушки области, благодаря постоянству температуры влажного материала
расход испаряемой влаги легко рассчитывается по уравнению теплового баланса [4].
Однако следует ожидать, что при переменных параметрах пара, так же как и при переменных параметрах влажного воздуха, как показано в [3, 5, 6], режим постоянной скорости сушки будет отсутствовать и подход [4], основанный на использовании теплового баланса неприменим. Какие-либо методы расчета процесса в области падающей скорости сушки перегретым паром, насколько известно, отсутствуют.
Известны решения [7, 8, 9], позволившие получить значения потоков теплоты и
влаги в процессах испарения и конденсации молекулярно-кинетическими методами
(методами неравновесной статистической физики) в основном применительно к одноатомному газу (пару).
В данном исследовании ставится задача разработки метода расчета потоков теплоты и массы в чистом паре, рассматриваемом как трехатомный газ, как в области высоких, так и в области гигроскопических влагосодержаний. Решение этой задачи ставит
своей целью создание методики расчета тепло- и массообмена в процессах сушки перегретым паром. В рамках данной работы ограничимся рассмотрением процессов сушки
при постоянных параметрах пара.
2. Постановка задачи.
Выше отмечалось, что процесс сушки перегретым паром удается описать лишь
на участке постоянной скорости сушки, реализуемом при постоянных параметрах пара
вдали от поверхности. Чтобы описать процесс сушки в целом, необходимо располагать
независимыми уравнениями для расчета потоков теплоты и массы. В этом случае стало
бы возможным определение изменения внутренней энергии тела, а, следовательно, и
его температуры.
Процессу сушки при постоянных параметрах влажного воздуха свойственно
проявление двух характерных температур. Во-первых, при подаче в сушилку достаточно холодного материала процесс конденсации влаги на нем сменяется процессом испарения при температуре материала равной температуре точки росы. Во вторых, на стадии постоянной скорости сушки, когда все подведенное тепло расходуется на испарение влаги, температура материала равна температуре мокрого термометра. Когда холодный материал поступает в среду перегретого пара, при некоторой температуре материала конденсация должна смениться испарением. При постоянных параметрах пара
должна существовать и температура, при которой подведенная теплота полностью расходуется на испарение влаги. Сопоставляя процессы во влажном воздухе и перегретом
паре, можно заключить, что и для перегретого пара должны существовать аналоги температур точки росы и мокрого термометра. В работе ставится задача определить эти
температуры. Все расчеты предполагается провести при давлении пара равном атмосферному.
В данной работе для расчета тепломассообменных процессов предполагается
привлечь кинетическую теорию газов (неравновесную статистическую механику) [9 –
11]. В [12] справедливо отмечается недостаточная обоснованность формулы ГерцаКнудсена, поскольку она базируется лишь на законе сохранения массы, а законы сохранения нормального компонента импульса и энергии при выводе этой формулы применительно к процессам испарения и конденсации игнорируются. Решение проблемы
должно основываться на строгом молекулярно-кинетическом подходе к учету неравновесных эффектов у межфазной поверхности.
Наиболее часто молекулярно-кинетический подход используется в системах с
разреженными газами при больших числах Кнудсена Kn>>1 (Kn=l0/l, где l0 – длина
свободного пробега молекул, l – характерный размер
системы).
В системах с более плотными газами при Kn<<1
применяется эйлеров (навье-стоксовский) подход, основанный на использовании уравнений сплошной среды. Однако и в этом случае молекулярно-кинетические
эффекты могут оказаться существенными непосредственно у межфазной поверхности в слое толщиной порядка нескольких длин свободного пробега. В частности этими эффектами объясняется явление проскаль-
зывания [10, 13] и скачок температур [7, 10] на межфазной поверхности. На рис. 1 условно показана граница между эйлеровой областью и кнудсеновским слоем у межфазной поверхности пар –жидкость; температура tw поверхности жидкости не совпадает с
температурой tr пара. Решение уравнений переноса в эйлеровской области требует задания граничных условий на поверхности, при х = 0. Корректное решение таких уравнений возможно, если на границе задается экстраполированное из эйлеровской области
значение [7, 10, 14] и, в частности, температура te. Подобным же образом характеризуется экстраполированная к поверхности концентрация молекул ne. Указанные экстраполированные величины будут определены на основе молекулярно-кинетического подхода.
В работах [7 – 14] рассматриваются процессы характерные для одноатомных
молекул, в частности для паров металлов, которые обладают лишь поступательными
степенями свободы. Большую практическую значимость имеют процессы переноса в
молекулярных газах, в частности – в перегретом водяном паре. Эти вопросы рассматриваются в монографии [15] и в работе [16]. В многоатомных газах молекулы обладают
внутренними – вращательными и колебательными степенями свободы. Для большинства молекул, исключая самые легкие типа молекулы водорода, квант энергии вращательного движения настолько мал [15], что спектр энергий вращательного движения
можно считать непрерывным. При этом суммирование по уровням энергии можно заменить интегрированием, что приводит к классическому выражению для величины
удельной массовой изохорной теплоемкости cv. В частности, для трехатомной молекулы воды при помощи такого подхода удается [15] получить такую же величину cv, какую дает классический закон равномерного распределения энергии по степеням свободы
cv=3R
(1)
где R – индивидуальная газовая постоянная.
Оценка фактической величины cv для водяного пара по уравнению Майера или
через показатель адиабаты [17] по табличной [18] величине cp дает в обоих вариантах
примерно одинаковое значение равное приближенно cv=3,3R. Эта величина примерно
на 10% превышает значение cv, рассчитанное по уравнению (1), в предположении, что
колебательные степени свободы выморожены, не активны. Учитывая такое небольшое
отличие, ограничимся в данной работе учетом лишь поступательных и вращательных
степеней свободы молекул воды.
Поставленную задачу расчета процессов испарения (конденсации) в кнудсеновском слое можно свести к решению кинетического уравнения Больцмана либо модельного уравнения Крука [7, 10]. Как показано в [7], для одноатомных газов эти методы
дают близкие результаты. В работе принят первый подход, требующий вычисления интеграла столкновений, для чего использована модель максвелловских молекул. Для решения уравнения Больцмана часто используется дифференциально-моментный метод
[7, 11]. Учитывая общий приближенный характер решения, ограничимся в данной работе использованием шестимоментного приближения при помощи которого достигается приемлемая точность решения [7].
Процессы испарения (конденсации) в зависимости от их интенсивности подразделяют на сильные и слабые. Для первых скорость направленного движения молекул
по нормали к поверхности близка по порядку величины либо заметно превышает скорость звука. Для вторых эта скорость существенно меньше скорости звука. В большинстве случаев расчет сильных процессов требует решения нелинейных задач, что существенно усложняет проблему. В то же время расчет слабых процессов допускает линеаризацию, что значительно упрощает выкладки и делает возможным аналитическое ре-
шение задачи. Как будет показано в дальнейшем, процессы сушки перегретым паром в
практически важном диапазоне параметров относятся к слабым. Исключение составляет лишь начальная стадия процесса, связанная с конденсацией пара на холодном материале.
3. Отыскание функции распределения.
Для нахождения функции распределения в рассматриваемых неравновесных процессах, связанных с испарением или конденсацией, в работе используется основанное
на кинетическом уравнении Больцмана [10, 11] уравнение переноса [10, 11], которое
для рассматриваемой одномерной задачи в стационарных условиях записывается как
d
Ic k
fxk
(2)
dx
где f – функция распределения в неравновесных условиях, k – функция скорости, Ic –
интеграл столкновений, dГ = 4 v2dv4 2d – бесконечно малый элемент в пространстве линейных и угловых скоростей. Интегральное выражение в правой части этого равенства представляет собой момент интеграла столкновений [7]. Моментом функции
распределения называют интеграл вида
fd
(3)
Практически наиболее важны моменты функции распределения при следующих значениях функции
= m, mvx , (mс2 + I 2)/2
Эти функции являются инвариантами столкновений, для них интеграл столкновений
обращается в ноль. Здесь с = v – u – скорость молекулы в системе отсчета, движущейся
со средней макроскопической скоростью пара u. Моменты от этих функций дают, соответственно, плотность, компонент импульса по оси «х» и энергию единицы объема газа
f
(4)
uvx fd
m
(5)
1
(6)
m
I
fd
2
Формула (5) также имеет смысл определения плотности потока массы.
Определения плотности потока импульса в направлении оси «х», а также плотности потока теплоты в направлении той же оси, соответственно, имеют вид
xx
cqx mc
c x2 fd
(7)
1 2
fd
(8)
2
Для описания распределения в неравновесных условиях предлагается использовать разрывную в пространстве скоростей на плоскости vx = 0 функцию, как это сделано, например, в [8, 11]. В каждом из полупространств концентрация молекул n, температура пара T и скорость u макроскопического движения в направлении оси «х» (рис. 3)
предполагаются различными. В этих условиях функцию распределения можно представить и искать в форме:
при vx > 0
I
3
1
12
c01
2
3
I
2
mc01
2
2
uv v
exp
v
I
1
2
c01
2
z
exp
2
mc01
при vx < 0
(9)
3
1
2
c02
2
3
I
2
mc02
2
2
uv v
exp
v
I
2
2
z
exp
2
c02
2
mc02
где с0i – скорость, связанная с температурой Ti (i = 1, 2).
При таком определении функции f представление уравнения (2) конкретизируется
d
dx
0
2 dv x
vdv
2
d
k v x f1dv x 2
vdv4
2
d
Ic
k
(10)
0
Число моментов в уравнении (10) должно совпадать с числом неизвестных функций (в
решаемой задаче их 6) в представлении (9).
Рассмотрение слабого процесса, как уже отмечалось выше, позволяет линеаризовать функции n и c в формулах (9) путем разложения в ряд при параметрах поверхности жидкости
i = 1,2
ni =nw (1+ i )
c0i =cw (1+ i /2)
(11)
i =(Ti - Tw)/Tw
i (x) << 1,
i (x) << 1
Индекс w относится к условиям на поверхности жидкости. Функцию u представим в
виде
ui = i (x) u
(12)
причем i (x) = O (1), а u представляет собой скорость макроскопического движения
пара. Итак, задача отыскания функции распределения сводится к нахождению 6 функций i (x), i (x), i (x) при i = 1,2.
Введем безразмерную координату , выбрав в качестве масштаба величину L близкую к длине свободного пробега
= x/L;
L = /mnwcw
(13)
а также безразмерные функции
U = u/cw j/( wcw);
Q = q/(4nwcwkTw);
P = (pxx – pw)/pw
(14)
Три первых инварианта столкновений дают следующие три уравнения относительно искомых функций
1/2
1/2
U;
( += 1+ 2; –= 1– 2; += 1+ 2 и т.д.)
– + – /2 +
+U = 2
-1/2
+
+
4
U
=2P;
(15)
+
+
–
1/2
1/2
2 – + 3 – +16
(U+Q)/7
+U/ 7 = 32
Остальные 3 уравнения были получены с помощью уравнения моментов для функций
2
2
3
k равных vxv , vx , vx , причем использованы значения интеграла столкновений для
максвелловских молекул, приведенные в [19, 20]. Соответствующие этим моментам
дифференциальные уравнения имеют вид
32
3
d
24
(16)
Q 32
1
U
d
3
d
2
U
(17)
3
2
3
U
d
3
d
16
1
(18)
63
U
32
d
2
Для нахождения констант интегрирования в решении этих уравнений воспользуемся сформулированными в [7] граничными условиями. Они предполагают полную
термическую аккомодацию отраженных молекул (температура потока отраженных мо-
лекул совпадает с температурой жидкости), а также выполнение законов сохранения
потоков вещества, импульса и энергии при х = 0 и имеют вид
1/2
U(1- )/ ,
(19)
1(0) = 2
1(0) = 0,
1(0) = 0
Здесь - коэффициент конденсации, доля захваченных поверхностью молекул из всего
числа, содержащихся в падающем потоке. Кроме того, решение предполагается ограниченным при
. Процедура определения констант приводит к уравнению
U = - (P + c1Q)/(c2 –c3 ); c1 = 0,8402; c2 = 3,5445; c3= 1,0130
(20)
Это уравнение определяет безразмерную плотность потока массы через безразмерные
давление и поток теплоты. По своей структуре оно совпадает с аналогичной формулой
для одноатомного газа [7], хотя численные значения коэффициентов различны.
Решение полученной линейной системы алгебраических уравнений позволяет
найти функции (х), (х), (х), а по ним – функции 1,2(х), 1,2(х), 1,2(х). Тем самым
определена неравновесная функция распределения. Это позволяет согласно формулам
(4) и (6) с учетом закона равномерного распределения энергии по степеням свободы
найти поле концентраций и температур.
n =nw{1+P+0,4848Q +(-0,2475Q+0,9075U)exp(-1,211 )+c4Q+c5U}; c4= 1,851; c5=0,8942
T = Tw{1+0,4848Q +(-0,3877Q+1,4217U) exp(-1,211 )-c4Q – c5U};
(21)
p = pw{1+P+(-0,6352Q+2,3292U)exp(-1,211 )}
Последнее из уравнений (21) является следствием первых двух в силу формулы
p=nkT и ее приближенного представления p = pw{1+ ( )+ ( )}.
4. Точка инверсии потока массы.
Эта точка является аналогом точки росы и поток массы пара в ней обращается в
ноль, так что по уравнению (20)
P+c1Q=0
(22)
Как
отмечалось
в
п.2
и
проиллюстрировано рис. 1, описание
процесса в эйлеровой области будет
справедливым, если в качестве
граничного использовать экстраполированное значение температуры. При этом закон теплоотдачи,
выраженный через безразмерную
плотность потока теплоты (14)
запишется как
Q = (te - t )/(4 wcwRTw)
(23)
Согласно
уравнению
(21)
экстраполированное
к
нулю
значение температуры при U=0
равно te = tw – с4TwQ. Подставим это значение tе в (23) и решим полученное уравнение
относительно Q, которое в свою очередь подставим в (22). Туда же подставим полученное в результате экстраполяции по (21) значение Р =(p - pw)/pw. В результате получим нелинейное уравнение относительно tw
pw
1
w
0;
A = /(4 wcwR)
(24)
1 4
Tw
При решении уравнение (24) дополнялось формулой типа Антуана, описывающей давление насыщенных паров на поверхности от температуры pw(tw). На рис.2 представлены температура насыщения ts при давлении пара р =1 бар, а также значения в
точке инверсии температуры поверхности жидкости tw, экстраполированной темпераpw
w
e
туры te и температуры пара у поверхности tr (см. также рис. 1). Величина tr определена
по среднему уравнению (21) при U =0 и = 0, что дало tr = tw –1,7849 TwQ. Нетрудно
заметить, что рассмотренные температуры довольно мало отличаются от ts. При
уменьшении коэффициента теплоотдачи это различие становится еще меньше.
5. Начальная стадия процесса сушки.
Понятие «тонкий материал» и его определение, введенные в [2] для случая сушки во влажном воздухе, остаются действительными и в данном случае, при сушке перегретым паром. Для тонкого материала температура его поверхности tw совпадает со
средней по толщине температурой t (tw = t, Tw = T, индекс w далее будет опущен).
Дифференциальное уравнение энергии, определяющее изменение температуры материала, и дифференциальное уравнение массообмена, описывающее изменение его влагосодержания, получены в [2]
(Mdcd+Mlcl)(dt/d ) = 2(q+rj)F
(25)
dMl/d = 2jF
(26)
Введем в эти уравнения безразмерные величины – влагосодержание W, плотности потока теплоты Q и массы U, определенные уравнениями (14), и безразмерный аргумент Х; тогда получим
4w R
c
dt
U
dW
2~
(27)
U ~ d ; X
Q r
;
dX ~
dX
4RT
cl
d
1 W
cd
Для определения безразмерной плотности потока теплоты воспользуемся уравнением
(23), в котором коэффициент теплоотдачи представим в виде произведения коэффициента теплоотдачи при бесконечно малой интенсивности массообмена и поправки [21]
на конечную скорость массообмена ~ , рассчитанную по пленочной теории
~
t /(4 c w RT )
(28)
Экстраполированное значение температуры определяется из среднего уравнения (21)
te= t – c4Q – c5U. Исключая U при помощи уравнения (20), подставляя te в (28) и решая
полученное уравнение относительно Q, найдем
c5 P t
B
~
T
(29)
Q 32
;
B
4R
c
1 B
5
1 Bc4
2
3
Система замыкается при помощи уравнения (20) и функциональной зависимости, описывающей pw как давление насыщенного пара при температуре поверхности t. Зависящие от температуры параметры не рассматриваются как отдельные неизвестные.
Задача расчета полей температур и влагосодержаний при постоянных параметрах пара представляет собой задачу Коши – заданы начальная температура t0 и влагосодержание W0 материала. Система уравнений решалась методом Рунге-КуттыМерсона с автоматическим выбором шага интегрирования.
Принятые в работе допущения накладывают ограничения на выбор начальной
температуры. Из неравенств (11) и последних уравнений (14) и определения (21) вытекает необходимость выполнения неравенства Р << 1. Отсюда следует, что давление насыщенного пара pw при температуре поверхности материала t не должно заметно отличаться от давления в системе р. Расчеты выполнялись для атмосферного давления в
системе р = 1бар и приближенно при Р < 0,2. Соответствующее этим условиям минимальное давление pw примерно равно 0,8бар, а температура насыщения составляет 93С.
На графике рис. 3 представлены кривые сушки для трех различных значений начальной
температуры материала 93, 96 и
99С. (При давлении 1бар температура насыщения равна 99,61С
[18]). Для всех трех кривых
начальное влагосодержание равно
W0 = 0,8, температура перегретого
пара равна 140С, а значение
коэффициента конденсации = 0,8.
На этом графике процесс прогрева,
сопровождающийся конденсацией
влаги, протекает настолько быстро,
что соответствующие части кривых
практически сливаются с осью
ординат. Далее следует процесс сушки.
Предположение о линеаризации задачи, подразумевающее малую величину безразмерной плотности потока массы U << 1, не выполняется на всех стадиях процесса.
На графике рис. 4 представлено
изменение величины U на
двух
характерных стадиях процесса при
начальной температуре материала
равной 93С. Относительно высокое
значение U
0,1 в начальный
момент времени (рис. 4а) по мере
прогрева материала в основном за
счет конденсации резко уменьшается по величине, стремясь к
нулю.
График
4б
частично
включает область конденсации, где
U < 0, точку, в которой
влагосодержание
достигает
максимума при U = 0, и начало
области испарения U > 0. В области сушки U << 1, что подтверждает принятое ранее
условие о слабом характере процесса. Однако при прогреве материала за счет конденсации при относительно низкой начальной температуре материала (при t0 < 93C при
давлении пара 1 бар) это условие уже не выполняется.
Хотя процесс прогрева материала скоротечен и время прогрева по сравнению с
общей продолжительностью процесса сушки пренебрежимо мало, тем не менее, количеством сконденсировавшейся на материале в большинстве случаев нельзя пренебречь
(см. на рис. 3 увеличение влагосодержания с 0,800 до 0,813 при t0 = 93С). Чтобы учесть
в расчетах увеличение начального влагосодержания за счет конденсации влаги, было
рассчитано приращение влагосодержания W как функции температуры прогрева по
модели [3] и по рассматриваемому методу при t0 = 93C, причем различия не превысили
0,1% от величины W.
Таким образом, можно ожидать, что приращение влагосодержания при прогреве
материала с довольно низкой начальной температурой до температуры приемлемой по
условию U << 1 можно рассчитать по модели [3] и рассматривать полученные значения
влагосодержания и температуры как начальные в предлагаемом подходе.
6. Аналог температуры мокрого термометра
При постоянных параметрах
сушильного агента, когда вся
подведенная
к
влажному
материалу теплота расходуется на
испарение влаги, температура
материала остается неизменной.
При сушке в среде влажного
воздуха температура материала в
этом случае называется температурой
мокрого
термометра.
Очевидно, что такая закономерность должна наблюдаться и
при сушке перегретым паром с
постоянными параметрами, если
правая часть первого уравнения
(28) обращается в ноль
Q + rU/(4RT) = 0
(30)
Величины Q, U, r зависят от температуры, и корень нелинейного уравнения (32) представляет собой аналог температуры мокрого термометра для перегретого пара. Результаты решения уравнения (32) показаны на рис. 5. При малых перегревах рассматриваемая температура может быть ниже температуры насыщения ts при давлении пара.
7. Сушка перегретым паром.
При сушке перегретым паром так же, как и влажным воздухом, в гигроскопической области давление паров на поверхности материала можно рассчитать в соответствии с [2]
как pw = ps(t). В области высоких влагосодержаний относительная влажность =1. Понятие относительной влажности распространено и на перегретый пар как отношение
барометрического давления к давлению
насыщенного пара при заданной температуре.
Величина связана с влагосодержанием материала и его температурой уравнением
изотермы десорбции, которое для текстильных
материалов имеет вид
aW
ln
exp
;
W W
T
b W
T
Первое уравнение справедливо при 0,07 < <
1, второе – при 0 <
< 0,07. Константы этих
уравнений приведены в [2]. В остальном расчет процесса в целом проводится так же, как
описано в п.5. На рис. 6 представлены графики
изменения температуры материала t, перегретого пара t , влагосодержания W и безразмерной плотности потока массы U. причем
явно видны участки постоянной и падающей скорости сушки, и на этих участках U<<1.
Проведенный анализ процесса сушки показал, что процесс сушки не заканчивается в
том случае, когда кондиционное влагосодержание меньше равновесного при данных
параметрах пара. Были проведены расчеты, в которых величина 4R, представляющая
собой в соответствии с уравнением Майера изобарную теплоемкость газа с шестью
степенями свободы (3 поступательных и 3 вращательных), была заменена реальной
изобарной теплоемкостью водяного пара. Существенного влияния на длительность
процесса сушки такая замена не оказала. Не обнаружено влияния и коэффициента конденсации на продолжительность процесса.
Таким образом, в настоящей работе предложен и обоснован метод расчета процесса
сушки тонкого материала перегретым паром, позволяющий рассчитывать изменение
параметров материала вплоть до достижения им кондиционного влагосодержания.
Литература
1. Михайлов Ю.А. Сушка перегретым паром. М.: Энергия, 1967.
2. Корнюхин И.П., Жмакин Л.И. Тепломассообмен в пористых телах. М.: Информэлектро, 2000.
3. Van der Held E.F.M. Drying with superheated steam.//De Ingenieur. 1953, J.65, N2.
4. Meunier J., Munz R.J. Flash drying with superheated steam – a mathematical model //
Drying’86 (Proceeding 5-th International Symposium), Washington, Hemisphere,
1986.
5. Корнюхин И.П., Жмакин Л.И. Расчет процесса сушки тонкого капиллярнопористого коллоидного материала. // Известия РАН. Сер. Энергетика, №4, 1977.
6. Корнюхин И.П., Жмакин Л.И. Сушка тонкого материала в режимах прямотока и
противотока // Известия РАН. Сер. Энергетика, №4, 2000.
7. Муратова Т.М., Лабунцов Д.А. Кинетический анализ процессов испарения и
конденсации // Теплофизика высоких температур.1969, т.7, №5.
8. Labuntsov D.A., Kryukov A.P. Analysis of intensive evaporation and condensation//
Int. J. Heat & Mass Transfer. 1979, v22, N7.
9. Больцман Л. Лекции по теории газов. М.: ГИТТЛ,1953.
10. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967.
11. Кошмаров Ю.А., Рыжов Ю.А. Прикладная динамика разреженного газа. М.:
Машиностроение, 1977.
12. Лабунцов Д.А. Неравновесные эффекты при испарении и конденсации. // Теплои массоперенос при интенсивном конвективном и лучистом нагреве. Минск,
ИТМО им. Лыкова, 1977.
13. Лабунцов Д.А., Муратова Т.М. Об учете движения при испарении и конденсации. // Теплофизика высоких температур.1969, т.7, №6.
14. Лабунцов Д.А., Крюков А.П. Процессы интенсивного испарения // Теплоэнергетика, 1977, №4.
15. Жданов В.М., Алиевский М.Я. Процессы переноса и релаксации в молекулярных газах. М.:Наука, 1989.
16. Кузнецова И.А., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. Сильная конденсация молекулярного газа. // Механика жидкости и газа, 1977, №6.
17. Вукалович М.П., Новиков И.И. Техническая термодинамика. М.: Госэнергоиздат, 1955.
18. Александров А.А., Григорьев Б.А. Таблицы теплофизических свойств воды и
водяного пара. М.: МЭИ, 1999.
19. Grad H. Communications on pure and applied mathematics v.2, N4,1949. (Cб. переводов Механика 1952, вып. 4)
20. Лабунцов Д.А. Анализ процессов испарения и конденсации.// Теплофизика высоких температур.1967, т.5, №4.
21. Берд Р., Стюарт В., Лайтфут Е. Явления переноса. М.: Химия, 1974.