Семинар 3 Алгебра СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ

Семинар 3
Алгебра
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ
План занятия
• Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
• Общий знаменатель
• Сложение дробей с разными знаменателями
Основные определения и соотношения
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями складывают по тому же правилу, что
a±c
a c
, b 6= 0.
и обыкновенные дроби: ± =
b b
b
♦
♦
♦
♦
Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, в числителе
записываем сумму числителей обеих дробей, а знаменатель оставляем без
изменений.
♦
♦
♦
♦
x2 − 2
x+3
+ 2
.
2
y +x y +x
Решение. Действуем, как обычно, по правилам:
Пример 3.1. Найдите сумму двух дробей:
x2 − 2
x+3
x2 − 2 + x + 3
x2 + x + 1
+
=
=
. Вот и все! Ничего сложного.
y2 + x y2 + x
y2 + x
y2 + x
Общий знаменатель
Алгебраические дроби, как и обыкновенные, полезно уметь приводить к общему знаменателю. Для этого нужно разложить знаменатель каждой дроби на множители. Затем, используя
основное свойство, домножить числитель и знаменатель каждой дроби на алгебраические выражения так, чтобы в итоге все знаменатели стали одинаковыми.
b2 − a
a−b
и
.
Пример 3.2. Приведите к общему знаменателю две дроби: 2
a − ab + b2 a3 + b3
Решение. Знаменатель первой дроби разложить на множители не удается. А знаменатель
второй раскладывается по известной формуле (сумма кубов): a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ).
Для того, чтобы получить одинаковые знаменатели, нужно числитель и знаменатель первой
дроби домножить на (a + b):
(a − b)(a + b)
a2 − b 2
a−b
=
=
. Что и требовалось получить!
a2 − ab + b2
(a + b)(a2 − ab + b2 )
a3 + b 3
Университет Иннополис
41
Сложение дробей с разными знаменателями
Не мудрствуя лукаво, сразу дадим алгоритм, по которому нужно складывать дроби с разными знаменателями:
♦
♦
♦
♦
♦
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, следует привести все дроби
к общему знаменателю. И получившиеся дроби сложить по уже известному
алгоритму сложения дробей с одинаковыми знаменателями.
♦
♦
♦
♦
♦
a2 − b 2
.
a+b
Решение. Представим первое выражение в виде дроби и выполним действия согласно алгоритму:
Пример 3.3. Выполните действие: a + b +
a2 − b 2
a + b a2 − b 2
(a + b)2 a2 − b2
a2 + 2ab + b2 + a2 − b2
2a2 + 2ab
a+b+
=
+
=
+
=
=
= 2a.
a+b
1
a+b
a+b
a+b
a+b
a+b
b2 − a
a−b
+
.
a2 − ab + b2 a3 + b3
Решение. Используя результаты примера 3.2 , получаем:
Пример 3.4. Выполните действие:
b2 − a
a2 − b 2
b2 − a
a2 − b 2 + b 2 − a
a2 − a
a−b
+
=
+
=
=
.
a2 − ab + b2 a3 + b3
a3 + b 3 a3 + b 3
a3 + b 3
a3 + b 3
Ключевые задачи
ab − b ab − a a2 − b2
1) Преобразуйте выражение:
−
−
.
a
b
ab
Решение. Воспользуемся правилом сложения дробей с разными знаменателями:
(ab − b) · b (ab − a) · a a2 − b2
ab − b ab − a a2 − b2
−
−
=
−
−
=
a
b
ab
ab
ab
ab
=
(ab − b) · b − (ab − a) · a − (a2 − b2 )
ab2 − b2 − a2 b + a2 − a2 + b2
=
=
ab
ab
=
(b − a) · ab
ab2 − a2 b
=
= b − a.
ab
ab
Ответ: b − a.
2) Упростите выражение:
1
a2 + 4
4
− 3
− 2
.
a a − 4a a + 2a
Решение. Используем основное свойство дроби, предварительно разложив знаменатели:
a2 + 4
4
1
a2 + 4
4
1
a2 + 4
4
1
− 3
− 2
= −
−
=
−
−
=
2
a a − 4a a + 2a
a a(a − 4) a(a + 2)
a a(a + 2)(a − 2) a(a + 2)
=
(a + 2)(a − 2)
a2 + 4
4(a − 2)
(a + 2)(a − 2) − (a2 + 4) − 4(a − 2)
−
−
=
=
a(a + 2)(a − 2) a(a + 2)(a − 2) a(a + 2)(a − 2)
a(a + 2)(a − 2)
42
=
3 Алгебра. Сложение и вычитание алгебраических дробей
a2 − 4 − a2 − 4 − 4a + 8
−4a
−4
4
=
=
=− 2
.
a(a + 2)(a − 2)
a(a + 2)(a − 2)
(a + 2)(a − 2)
a −4
Ответ: −
a2
4
.
−4
Задачи для решения в классе
I
Задача 3.1. Вычислите сумму двух дробей:
a)
2b
a−b
+
;
a+b a+b
в)
б)
3p − q q + pq
+
;
p2
p2
г)
x2
12
x+y
+ 2
;
2
−y
x − y2
5p2
5q 2 − 10pq
+
.
(p − q)2
(q − p)2
Задача 3.2. Приведите дроби к общему знаменателю:
a)
3a
b
и ;
2
ba a
в)
б)
y
x−y
и
;
2
x
yx
г)
a2
12
1
и
;
2
−b
a+b
a2
3b − a
a
и
.
2
− 2ab + b
b−a
Задача 3.3. Упростите выражение:
2x − 3y 11y − 2x
+
.
4xy
4xy
Задача 3.4. Упростите выражение:
16
x2
−
.
x−4 x−4
Задача 3.5. Докажите, что выражение
стимых значениях переменных) равно 2.
(a + b)2 (a − b)2
+ 2
тождественно (т.е. при всех допуa2 + b 2
a + b2
a2 + 16
8a
+
.
a−4
4−a
2x − y x + 4y
+
.
Задача 3.7. Упростите выражение: 3 −
4
12
5
3
+
.
Задача 3.8. ГИА2012 Упростите выражение
4x 20x
1
20
1
А. .
Б.
.
В.
.
x
x
20x
Задача 3.6. Упростите выражение:
Задача 3.9.
ГИА2012
Упростите выражение
Ответ:
Задача 3.10.
Ответ:
ГИА2012
15a2
− 5a.
3a − 2
Упростите выражение
2x2
− 2x.
x−8
Г.
8
.
24x
43
Университет Иннополис
Задача 3.11.
1)
ГИА2012
1
2−a
Задача 3.12.
Найдите разность выражений
2)
ГИА2012
Ответ:
a+2
(a − 2)2
2
a
.
2
(a − 2) (2 − a)2
1
a−2
3)
В выражение x − y подставьте x =
4)
1
a+2
a+b
a−b
,y=
и упростите его.
a+b
a−b
II
x−4
16
−
.
2
x + 4x 16 − x2
Задача 3.13.
ГИА2012
Упростите выражение
Задача 3.14.
ГИА2012
В выражение x − y подставьте x =
Ответ:
1
1
1
+
+ .
ab ac bc
Задача 3.15. Преобразуйте в дробь выражение:
Задача 3.16. Упростите:
Задача 3.17. Упростите:
Задача 3.18. Упростите :
a+b
a−b
,y=
и упростите его.
a+b
a−b
3
2
5x − 5
+
− 2
.
x + 5 x − 5 x − 25
x2
x−2
2x
x+2
+ 2
− 2
.
− 4x + 4 x + 4x + 4 x − 4
a+2
1
2
−
− .
2
a + 3a 3a + 9 3a
Задача 3.19. Представьте дробь в виде суммы целого выражения и дроби:
Задача 3.20. Учащимся была поставлена задача: “Представьте дробь
суммы целого выражения и дроби.” Были получены три ответа:
7x
35
2x − 25
а) x + 5 +
; б) x + 12 +
; в) −x +
.
x−5
x−5
x−5
Все ли ответы верные?
y 2 + 5y − 8
.
y+5
x2 + 7x − 25
в виде
x−5
(a + x)2
2a + 2x
Задача 3.21. Докажите, что выражение
−
тождественно равно
a+x−2
a+x−2
многочлену a + x.
III
Задача 3.22. Упростите выражение:
Задача 3.23. Упростите выражение:
c + 6b
b
2b
−
+ 2
.
2
ac + 2bc − 6ab − 3a
a + 2ab ac − 3a2
2y 2 − y
1
y2 − y +
4
−
2y 2 + y
1
y2 + y +
4
−
1
y2 −
1
4
.
44
3 Алгебра. Сложение и вычитание алгебраических дробей
Задача 3.24. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение
1
1
1
+
+
.
выражения равно нулю:
(a − b)(b − c) (c − a)(a − b) (b − c)(c − a)
Задача 3.25. Упростите выражение:
Задача 3.26. Докажите тождество:
1
1
1
+
+
.
a(a − b)(a − c) b(b − c)(b − a) c(c − a)(c − b)
abc − a3 abc − b3 abc − c3
+
+
= 0.
a2 b
b2 c
c2 a
Занимательные задачи
Задача 3.27. Винни-Пух, Сова и Пятачок делят между собой воздушные шарики. Сначала
Пух дал каждому из двух других по одной четверти имевшихся у него (у Пуха) шариков и
еще полшарика. Затем Сова дала каждому из двух других по одной четверти оказавшихся у
нее шариков и еще полшарика. Затем это сделал Пятачок. В результате у каждого оказалось
по 30 шариков. Сколько шариков было у каждого из них первоначально?
Задача 3.28. Пришли как-то к Великому Султану три мудреца. И попросили рассудить —
кто из них самый мудрый. Султан устроил им состязание. Он показал им 2 белых колпака и 3
черных. Потом посадил их в кружок и надел каждому один из этих пяти колпаков. Каждый
видит других двоих, но своего колпака увидеть не может. Сидят молча, думают. Кто первый
поймет, какой у него колпак — тот, значит, и самый мудрый. Если султан всем троим надел
по черному колпаку, как один из мудрецов через некоторое время смог об этом догадаться?
Задача 3.29. Альпинисту нужно спуститься со отвесной скалы высотой 100 метров. Есть у
него лишь одна веревка. Но, к счастью, на краю обрыва и на самой скале на высоте 50 м
растет по дереву, к которым веревку можно привязывать. Только вот длина веревки 75 м.
Как ему действовать, чтобы спуститься со скалы без повреждений?
Домашнее задание
I
Задача 3.30. Вычислите сумму двух дробей:
x+y
1
a+b
xy
+
;
в)
+
;
a)
x−y x−y
ab
ab
б)
m 2 + n2
2mn
+
;
2
(m + n)
(m + n)2
г)
l + m + n 2l − 3m + 4n
+
.
lmn
lmn
Задача 3.31. Приведите дроби к общему знаменателю:
p
q
x+y
1
a)
и
;
в) 3
и
;
2
3
12q
4pq
x −y
x−y
б)
10 + a b − 1
и
;
a3
b
Задача 3.32. Упростите выражение:
г)
13
k
и
.
k 2 − kl + l2 k + l
5a + b5 5a − 7b5
−
.
8b
8b
45
Университет Иннополис
Задача 3.33. Упростите выражение:
25
a2
−
.
a+5 a+5
Задача 3.34. Докажите, что выражение
(a + b)2 (a − b)2
−
тождественно равно 4.
ab
ab
Задача 3.35. Упростите выражение:
6xy
x2 + 9y 2
+
.
x − 3y
3y − x
Задача 3.36. Упростите выражение:
6a − 4b b + 7a
−
− 2.
5
3
Задача 3.37.
А.
ГИА2012
5
.
12x
Задача 3.38.
Упростите выражение
Б.
29
.
35x
2
3
+ .
5x 7x
В.
29
.
12x
ГИА2012
Упростите выражение
8b2
− 4b.
2b − 3
ГИА2012
Упростите выражение
2x
− x.
x−2
Г.
5
.
35x
4)
x
x−2
Ответ:
Задача 3.39.
1)
− x2
x−2
2)
4x − x2
x−2
3)−2 − x
II
Задача 3.40. ГИА2012 Упростите выражение
m = 0, 75.
Ответ:
2m
1 + 2m
+
и найдите его значение при
3
(m − 1)
(1 − m)3
Задача 3.41. Преобразуйте в дробь выражение:
Задача 3.42. Упростите:
Задача 3.43. Упростите:
Задача 3.44. Упростите:
5
50 − 2a
7
−
+ 2
.
a + 4 a − 4 a − 16
a−b
3b
a+b
−
−
.
a2 − 2ab + b2 a2 + 2ab + b2 a2 − b2
x + 15
x+5
x+5
+
−
.
2(x2 − 25) 2x2 − 10x x2 − 5x
Задача 3.45. Докажите, что выражение
равно многочлену x + y.
b−a c−b c−a
+
−
.
ab
bc
ac
x+y
x2 − y 2
+
тождественно
x−y−1 y−x+1
46
3 Алгебра. Сложение и вычитание алгебраических дробей
Задача 3.46. Представьте дробь в виде суммы или разности целого выражения и дроби:
a2 + 7a + 2
.
a+6
Задача 3.47. Упростите выражение:
a + 3b a + 2c
a2 − 4ac + 3bc
+
+
.
2
a − ab + bc − ac
b−a
a−c
III
Задача 3.48. Упростите выражение:
Задача 3.49. Упростите выражение:
1
4
8
16
1
2
+
+
+
.
+
+
1 − a 1 + a 1 + a2 1 + a4 1 + a8 1 + a16
2x
1, 8xy + 0, 81y 2
.
+
0, 81y 2 − 4x2
2x − 0, 9y
Задача 3.50. Докажите, что значения следующих выражений тождественно равны:
bx − ay
a2 + b 2
ax + by
−
и
.
(a − b)(x + y) (a + b)(x + y) a2 − b2
Задача 3.51. Упростите выражение:
x2
y2
z2
+
+
.
(x − y)(x − z) (y − x)(y − z) (z − x)(z − y)
Геометрия
УВЛЕКАТЕЛЬНЫЕ
ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ
План занятия
• Определение
• Свойства и признаки
Основные определения и соотношения
Определение
Очень важным частным случаем четырехугольника является параллелограмм.
Определение 3.1. Параллелограммом называется четырехугольник,
противоположные стороны попарно параллельны (рис. 3.1).
которого
B
A
D
у
C
Рис. 3.1: Параллелограмм ABCD
Параллелограмм является выпуклым четырехугольником. Также параллелограмм обладает
другими
интересными
свойствами,
которые
отличают
его
от
других
четырехугольников.
Свойства и признаки параллелограмма
Свойства параллелограмма.
1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
48
3 Геометрия. Увлекательные параллелограммы
Признаки параллелограмма.
1. Если в четырехугольнике две стороны
четырехугольник — параллелограмм.
равны
и
параллельны,
то
этот
2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот
четырехугольник — параллелограмм.
3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Очень важно уметь отличать свойства и признаки. Свойства — это некоторые характеристики параллелограмма. Признак же помогает определить, является ли заданная фигура
параллелограммом или нет. При решении задач сначала следует с помощью признаков выяснить, является ли данный четырехугольник параллелограммом, а потом при помощи свойств
доказывать утверждение задачи.
Ключевые задачи
1) Дано: KHP T — параллелограмм, HB = T D, HC = AT (рис. 3.2). Доказать, что ABCD
— параллелограмм.
H
C
P
B
D
K
A
T
Рис. 3.2: К ключевой задаче (1)
Доказательство. KHP T — параллелограмм ⇒ по свойству параллелограмма
KH = T P , HP = KT . Значит, KB = DP , P C = KA. Из другого свойства
параллелограмма следует, что ∠K = ∠P . Итак, ∠K = ∠P , KB = DP , P C = KA ⇒
△KBA = △P DC (по первому признаку равенства треугольников). Следовательно, AB =
CD.
Аналогично: ∠H = ∠T , HB = T D, HC = T A ⇒ △HBC = △T DA. Откуда BC = AD.
Итак, AB = CD, BC = AD ⇒ ABCD — параллелограмм (по признаку).
Университет Иннополис
49
2) Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырехугольником.
Доказательство. Рассмотрим прямую, проходящую через две соседние вершины A и B.
Отрезок CD не имеет общих точек с прямой AB, так как прямые CD и AB параллельны.
Поэтому отрезок CD лежит по одну сторону от прямой AB. А значит, и весь параллелограмм
лежит по одну сторону от прямой AB. Аналогично доказывается и для других прямых.
Задачи для решения в классе
I
Задача 3.52. Найдите углы параллелограмма ABCD, если ∠A = 45◦ .
Задача 3.53. Периметр параллелограмма равен 36. Найдите все его стороны, если сумма
двух из них равна 16.
Задача 3.54. В четырехугольнике ABCD ∠ACB = ∠CAD, ∠ACD = ∠BAC (рис. 3.3).
Докажите, что ABCD — параллелограмм.
Задача 3.55. AECF — параллелограмм. B и D — точки на сторонах EC и AF , причем
BE = DF (рис. 3.4). Докажите, что ABCD — параллелограмм.
Задача 3.56. ABCD — параллелограмм (рис. 3.5). ∠ADB = 40◦ , ∠ABD = 35◦ . Найдите
углы параллелограмма.
Задача 3.57. Перечислите все параллелограммы на рисунке 3.6. Какие из них равны друг
другу? Почему?
Задача 3.58. В параллелограмме ABCD диагональ BD перпендикулярна CD. BC = 2BD.
Найдите углы параллелограмма.
Задача 3.59. ГИА2012 Укажите номера верных утверждений:
1) Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то это параллелограмм.
2) Сумма углов любого параллелограмма 180◦ .
3) Соседние углы параллелограмма равны.
4) Четырёхугольник является параллелограммом.
Задача 3.60. ГИА2012 Укажите номера верных утверждений:
1) Диагонали параллелограмма равны.
2) Существует параллелограмм, у которого одна диагональ меньше другой в 1000 раз.
3) В равных треугольниках все медианы равны.
4) Соседние стороны параллелограма равны.
II
Задача 3.61. ГИА2012 В параллелограме проведены биссектрисы противоположных углов.
Докажите, что отрезки биссектрис, заключённые внутри параллелограма, равны.
50
3 Геометрия. Увлекательные параллелограммы
Задача 3.62. В параллелограмме ABCD точка E лежит на стороне BC, DE — биссектриса
угла ADC. BE = 4, CD = 10. Найдите периметр ABCD.
Задача 3.63. Может ли одна диагональ параллелограмма быть в тысячу раз меньше другой?
Ответ обоснуйте.
B
E
C
A
D
B
A
C
D
Рис. 3.3: К задаче 3.54
F
Рис. 3.4: К задаче 3.55
B
35◦
A
C
40◦
A
B
E
D
G
D
Рис. 3.5: К задаче 3.56
C
F
H
I
Рис. 3.6: К задаче 3.57
Задача 3.64. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD провели две
различные прямые a и b. Прямая a пересекает стороны AB и CD в точках L и N , а прямая
b — стороны BC и DA в точках K и M , соответственно. Докажите, что KLM N является
параллелограммом.
Задача 3.65. AKCF — параллелограмм (рис. 3.7). Точки B и D находятся на прямых AK
и CF соответственно за точками K и F так, что BD делит отрезок AC пополам. Докажите,
что ABCD — параллелограмм.
51
Университет Иннополис
B
C
K
O
F
A
D
Рис. 3.7: К задаче 3.65
III
Задача 3.66. Четырехугольник симметричен относительно точки O. Докажите, что он является параллелограммом.
Задача 3.67. Докажите, что в параллелограмме диагональ, соединяющая вершины тупых
углов, меньше диагонали, соединяющей вершины острых углов.
Задача 3.68. Верно ли, что выпуклый четырехугольник
параллелограммом (O — точка пересечения диагоналей), если:
а) AO = OC, AB k CD;
б) AB = CD, ∠BAD = ∠DCB;
в) AO = OC, AB = CD?
ABCD
является
Задача 3.69. На стороне AB параллелограмма ABCD или на ее продолжении взята точка
M такая, что угол M AD равен углу AM O (O — точка пересечения диагоналей параллелограмма). Докажите, что M D = M C.
Домашнее задание
I
Задача 3.70. Точки P , M , E и K принадлежат соответственно сторонам AB, BC, CD и DA
четырехугольника ABCD, причем ∠AP E = ∠P EC, ∠AKM = ∠KM C (рис. 3.8). Докажите,
что ABCD — параллелограмм.
52
3 Геометрия. Увлекательные параллелограммы
Задача 3.71. AM CN — параллелограмм (рис. 3.9). Точки B и D лежат на прямых AM
и CN за точками M и N соответственно так, что BM = DN . Докажите, что ABCD —
параллелограмм.
Задача 3.72. ABCD — параллелограмм (рис. 3.10). O — точка пересечения диагоналей.
Точки E и F принадлежат сторонам BC и AD, причем прямая EF проходит через точку O.
Докажите, что OE = OF .
Задача 3.73. Периметр параллелограмма равен 42. Найдите все его стороны, если одна на
3 больше другой.
B
M
C
B
P
C
M
N
E
K
A
D
A
Рис. 3.8: К задаче 3.70
B
Рис. 3.9: К задаче 3.71
C
E
D
B
C
O
F
A
F
E
A
D
Рис. 3.10: К задаче 3.72
D
Рис. 3.11: К задаче 3.78
Задача 3.74. ГИА2012 Укажите номера верных утверждений:
1) В равнобедренном треугольнике все углы равны.
2) Сумма углов невыпуклого шестиугольника 720◦ .
3) Противоположные углы параллелограмма равны.
4) Параллелограмм является четырёхугольником.
II
Задача 3.75. ГИА2012 В параллелограмме ABCD отмечена точка M - середина отрезка CD.
Отрезок BM пересекается с диагональю AC в точке K. Докажите, что AK : CK = 2 : 1.
53
Университет Иннополис
Задача 3.76. ГИА2012 В параллелограмме ABCD опущены перпендикуляры BE и DP на
диагональ AC. Докажите, что AP = CE.
Задача 3.77. O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Докажите, что
середины отрезков OA, OB, OC и OD являются вершинами параллелограмма.
Задача 3.78. ABCD — параллелограмм (рис. 3.11). E — середина стороны AD.
F — точка пересечения диагонали AC и отрезка BE. Докажите, что BF = 2F E.
Задача 3.79. Могут ли обе диагонали параллелограмма быть меньше его сторон?
Задача 3.80. Докажите, что четыре основания перпендикуляров из вершин параллелограмма на диагонали, не содержащие их, являются вершинами параллелограмма или совпадают.
III
Задача 3.81. На диагонали KE параллелограмма KCEA взяты точки B и D, KB = DE.
Докажите, что ABCD — параллелограмм.
Задача 3.82. Верно ли, что выпуклый четырехугольник
параллелограммом (O — точка пересечения диагоналей), если:
а) AB = CD, ∠BAD = ∠DCB;
б) AO = OC, ∠ABC = ∠ADC?
ABCD
является
Задача 3.83. Выпуклый многоугольник разрезали на параллелограммы. Назовем вершину
многоугольника хорошей, если она принадлежит всего одному параллелограмму. Докажите,
что хороших вершин не менее трех.
Задача 3.84. С помощью циркуля и линейки постройте параллелограмм ABCD, если известна его вершина A и середины сторон BC и CD.