Математика Приведение дробей к общему знаменателю

Математика
Приведение дробей к общему
знаменателю
Основное свойство дроби. Приведение дроби к новому
знаменателю.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или
разделить на одно и то же натуральное число, то получится
равная ей дробь.
2
2 2
4
Умножим числитель и знаменатель дроби
на 2:
.
5
5 2 10
4
2
4
Получим равную ей дробь
.
10
5 10
2
Говорят, что мы привели дробь к новому знаменателю 10.
5
2
Приведем, например, дробь
к знаменателю 35. Для этого
7
знаменатель данной дробь надо умножить на число 5. Тогда и
числитель надо умножить на число 5. Получим
2 5
7 5
10
.
35
Число, на которое надо умножить знаменатель дроби, чтобы
получить новый знаменатель, называют дополнительным
множителем.
Итак, чтобы привести дробь к новому знаменателю, надо
числитель и знаменатель умножить на дополнительный
множитель.
Приведение дробей к наименьшему общему
знаменателю
Любые две дроби можно привести к одному и тому же
знаменателю, т.е. к общему знаменателю.
2
4
Например, дроби 3 и 5 можно привести к знаменателю
15.
2
4
15 – общий знаменатель дробей
и
.
3
5
2
4
Также число 45 – общий знаменатель дробей
и
.
3
5
Общим знаменателем дробей может быть любое общее
3
кратное их знаменателей. Например, для дробей
и 5
4
6
общим знаменателем может быть любое общее кратное
чисел 4 и 6: 12, 24, 36 и т.д. Заметим, что наименьшим
из них является 12. То есть 12 – наименьший общий
3
5
знаменатель дробей
и
.
4
6
Обычно дроби приводят к наименьшему общему
знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному
знаменателей данных дробей.
Чтобы привести дроби к наименьшему общему
знаменателю, надо:
1) найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей
(оно и будет их наименьшим общим знаменателем);
2) найти для каждой дроби дополнительный множитель (т.е.
разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели
данных дробей);
3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее
дополнительный множитель.
1
3
Приведем к наименьшему общему знаменателю дроби
и
.
6
8
1)
Наименьшее общее кратное чисел 6 и 8 равно 24.
Значит, 24 – наименьший общий знаменатель данных дробей.
24 : 6 = 4.
4 – дополнительный множитель дроби
24 : 8 = 3.
3 – дополнительный множитель дроби
1
умножим на 4:
6
3
а числитель и знаменатель дроби
умножим на 3:
8
3) Числитель и знаменатель дроби
1
6
3
8
1
.
6
3
.
8
14 4
,
6 4 24
33 9 .
8 3 24
Нахождение наименьшего общего знаменателя с помощью
разложения на простые множители.
В сложных случаях наименьший общий знаменатель и
дополнительные множители находят с помощью разложения на
простые множители.
Приведем дроби 10 и 14 к наименьшему общему знаменателю.
297
363
1) Чтобы найти наименьший общий знаменатель, разложим
знаменатели данных дробей на простые множители.
297 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11;
363 = 3 ∙ 11 ∙ 11.
Наименьший общий знаменатель равен наименьшему общему
кратному знаменателей.
НОК (297;363) = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 11 = 3267 – наименьший общий
знаменатель данных дробей.
10
2) Дополнительным множителем для дроби
является число 11,
297
т.е. множитель, который надо добавить к разложению числа 297,
чтобы получить разложение общего знаменателя 3267.
10 10 11 110
297 297 11 3267
14
Для дроби 363 дополнительным множителем является
произведение 3 ∙ 3, т.е. произведение тех множителей, которые
надо добавить к разложению числа 363, чтобы получить
14 9
126
разложение числа 3267. 14
363
363 9
3267