МЕТОД САМОСОГЛАСОВАНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Машиностроение и машиноведение
УДК 539.3
МЕТОД САМОСОГЛАСОВАНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ЭФФЕКТИВНЫХ УПРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЕНИСТЫХ
МЕТАЛЛИЧЕСКИХ КОМПОЗИЦИЙ
И.А. Архипов, В.И.Абрамова
Использован известный из статистической механики деформируемых тел
метод самосогласования (self-consistent method) для определения эффективных механических характеристик металлических пен (cellular metallic materials). Получены соотношения для эффективного модуля нормальной упругости (Юнга) и коэффициента
Пуассона таких материалов. Произведено сравнение расчетных и экспериментальных
значений этих величин.
Ключевые слова: композит, металлическая пена, пористый металл, модуль
Юнга, коэффициент Пуассона, эффективные характеристики, оболочки, метод самосогласования.
Применение метода самосогласования для определения эффективных упругих характеристик композитов и однофазных поликристаллов [1,
2, 3] показало удовлетворительную точность при сравнении расчетных и
экспериментальных данных. Металлические пенистые материалы характеризуются значительно меньшей концентрацией каркаса (ячеек), чем композиты. Прямое применение методов статистической механики неоднородных сред [1] к таким материалам приводит к существенным ошибкам.
Кроме того, значительным фактором, влияющим на эффективные характеристики, является конструкция ячеек и их упругое взаимодействие друг с
другом [4, 5]. Однако расчеты механических характеристик таких материалов с учетом конструкции ячеек весьма сложны и приводят к противоречивым результатам [5]. В данной работе предлагается использовать метод
самосогласования, учитывающий конструктивные особенности представительного элемента пенистого материала, а также взаимодействие этих элементов, помещенных в среду с эффективными свойствами.
Рассмотрим расчетную модель, лежащую в основе метода самосогласования. Выберем одну ячейку, которую представим в виде тонкой
сферической оболочки. Воздействие окружающей среды представим следующим образом: вырежем вокруг оболочки слой, толщина которого составляет по порядку несколько средних диаметров ячейки. За пределами
этого переходного слоя упругие свойства с достаточной степенью точности описываются эффективными постоянными упругости всего материала.
Приближение метода самосогласования заключается в том, что толщина
переходного слоя устремляется к нулю. При этом на оболочку воздействуют сосредоточенные силы, вызванные напряжениями в соседних оболочках (в точках касания этих оболочек с представительным элементом,
25
Известия ТулГУ. Технические науки. 2014. Вып. 5
рисунок). Тогда местные деформации будут определяться соотношениями
[6, 7]:
εθ =
1
( Nθ − ν1 N φ );
E1h
εφ =
1
( N φ − ν1 Nθ );
E1h
(1)
(2)
3 + ν1
(−a σ )
;
2π
3 + ν1
Nθ =
a σ .
2π
(3)
Nφ =
(4)
где εθ , ε φ - касательные и нормальные компоненты тензора деформаций
оболочки; E1 , ν1 -модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала оболочки
(ячейки); h, a - толщина и радиус (внутренний) оболочки; N φ , Nθ - меридиональные и тангенциальные составляющие усилий в оболочке.
Переход от модельной среды к схеме самосогласования показан на
рисунке.
<σ >
<σ >
h
h
a
a
<σ >
<σ >
Переход от модельной среды к схеме самосогласования
Из геометрических соображений отношение h a выражается через
пористость p следующим образом:
h
=
a
3
1
−1 .
p
(5)
Согласно алгоритму метода самосогласования приравниваем деформации εθ и ε φ к соответствующим деформациям стержня, изготовленного из эффективного материала и подвергнутого одноосному растяжению
со средним напряжением σ . Тогда из уравнений (1)-(5) получим зависимость относительного модуля
на
E∗
и относительного коэффициента ПуассоE1
ν∗
от пористости материала p:
ν1
26
Машиностроение и машиноведение
 1

E∗
2πν∗
=
 3 − 1 ;
E1 ( 3 + ν1 )(1 + ν1 )  p 
ν∗
(1 − ν1 ) 3
=
p.
ν1 2ν1 (1 + ν1 )
(6)
(7)
Расчетные значения эффективного модуля Юнга и относительного
модуля
E∗
сравниваются с экспериментом, проведенным для алюминиеE1
вых пен [8] методом резонансных испытаний. Исследовались пены Alporas
(Япония: Shinko Wire Co. Ltd. Osaka) с плотностью ρ=0,25 мг/м3 (1,4 % Ca
и 1,4 % Ti) и ρ=0,4мг/м3 (0,6 % Ca и 0,4 % Ti) и остаточная часть пеноалюминия Alulight ρ=0,58 мг/м3 (Австрия: Leichtmetall-Kompetenz-zentum Raushofen). Исследовались образцы с пористостью 90, 85 и 80 %, средний
диаметр пор 3-4 мм. Сравнение расчетных и экспериментальных значений
для указанных материалов приведено в таблице.
Сравнение расчетных и экспериментальных модулей
алюминиевых пен
Материал
Al
Alporas 0,2
Alporas 0,4
Alporas 0,6
E∗
E1
1
0,01
0,03
0,052
1
0,011
0,032
0,047
0
0,9
0,85
0,8
(эксперимент)
E∗
E1
(расчетный)
Пористость
Из анализа результатов таблицы следует сделать вывод
об удовлетворительной адекватности метода самосоглавования в предлагаемой модели. Однако при уменьшении пористости пенистый материал
превращается в пористый композит. Представительный элемент
в виде тонкой оболочки не будет соответствовать реальной структуре
материала. В этом случае следует использовать классические модели
метода
самосогласования,
применяемые
для
двухфазных
композитов.
27
Известия ТулГУ. Технические науки. 2014. Вып. 5
Список литературы
1. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.:
Наука, 1977. 399 с.
2. Канаун С.К. Метод самосогласованного поля в задаче об эффективных свойствах упругого композита // ПМТФ. №4. 194. 1975.
3. Kneer G. Die elastischen Konstanten quasiisotroper Vielkristallagregate // Phys. Stat. Sol. 3. №9. K331. 1963.
4. Gibson L.J, Ashby M.F. Cellular solids. Cambridge, 1997. 510p.
5. Banhart J. Manafacture characterization and application of cellular
metals and metals foams // Progress in Mat. Sci. 2001. 46. Р. 559-632.
6. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки.
М.: Наука, 1966. 635 с.
7. Новожилов В.В., Черных К.Ф. К расчету оболочек на сосредоточенные воздействия // Исследования по упругости и пластичности. Л.:
ЛГУ, 1963. №2.
8. Головин И.С., Зиннинг Х.-Р. Внутреннее трение в высокопористых сплавах // Взаимодействие дефектов и неупругие явления в твердых
телах. Тула, 2002. С. 134-142.
Архипов Игорь Константинович, д-р техн. наук, проф., tgpu@tula.net, Россия,
Тула, Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова. Тульский филиал,
Абрамова Влада Игоревна, канд. техн. наук, доц., tgpu@tula.net, Россия, Тула,
Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н.Толстого
THE METHOD OF SELF-CONSISTENT OF FOR DETERMINING THE EFFECTIVE
ELASTIC PROPERTIES OF FOAM METAL COMPOSITS
I.K. Arkhipov, V.I. Abramova
In this paper we used a well-known statistical mechanics of deformable bodies of
self-consistent method to determine the effective mechanical properties of metallic foams (cellular metallic materials). Relations for the effective modulus of elasticity (Young's modulus)
and Poisson's ratio of these materials were obtained.The comparison of calculated and experimental values of these quantities was produced.
Key words: composite, metal foam , porous metal, Young's modulus, Poisson's ratio,
the effective characteristics, shell, self-consistent method.
Arkhipov Igor Konstantinovich, doctor of technical science, professor,
tgpu@tula.net, Russia, Tula, Plekhanov Russian University of Economics. Tula branch,
Abramova Vlada Igorevna, candidate of technical science, docent, tgpu@tula.net,
Russia, Tula, Tula Leo Tolstoy State Pedagogical University
28