математика ЗФ 4 семестр

1
Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России)
Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация)
ФГОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный
университет гражданской авиации"
МАТЕМАТИКА
Теория вероятностей и математическая статистика
Методические указания
по выполнению контрольной работы
Для студентов ЗФ
4-го семестра обучения
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2008
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
2
Одобрено и рекомендовано к изданию
Учебно-методическим советом Университета
Ш87 (03)
Математика. Теория вероятностей и математическая статистика:
Методические указания по выполнению контрольной работы / Университет ГА.
С. - Петербург, 2008.
Составлены в соответствии с действующей программой по дисциплине
«Математика».
Включают теоретические сведения по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика» и 10 вариантов заданий к контрольным работам.
Предназначены для студентов заочного факультета.
Ил. 17, табл. 1, библ. 5 назв., прилож.
Составители: И.А.Халидов, докт. физ.– мат. наук, проф.
Е.В. Москалева, доц.
Рецензент: Э. Н. Береславский, докт. физ.– мат. наук, проф.
© Университет гражданской авиации, 2008
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
3
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Работу целесообразно построить по следующей схеме:
1. Изучить теоретический материал по конспектам лекций, используя при этом
теоретические сведения (п.1, 2, 3) и приводимую литературу.
2. Разобрать решения типовых примеров в п. 1, 2, 3.
3. Выполнить задание, вариант которого укажет преподаватель.
Восемь задач каждого варианта охватывают следующие темы:
1. Пространство элементарных событий. Алгебра событий.
2. Методы вычисления вероятностей случайных событий.
3. Формулы сложения и умножения вероятностей.
4. Формулы полной вероятности и Байеса.
5. Последовательность независимых опытов с двумя исходами.
6. Дискретная случайная величина. Закон распределения и функция распределения.
7. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения вероятностей.
8. Числовые характеристики случайной величины.
9. Основные законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин.
10. Математическая статистика. Обработка данных. Статистические оценки.
Литература
1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2001.
2. Вентцель Е.С., Овчаров В.Л. Теория вероятностей. Задачи и упражнения. М.:
Физматгиз, 1969.
3. Гусев В.А., Долгов А.А., Пантелей В.Г., Соколов Н.Н., Цай А.А. Применение
теории вероятностей в задачах воздушного транспорта. /ОЛАГА. Л., 1978.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
4
4. Москалёва Е.В., Родионова В.А. Основы теории вероятностей. Ч.1 / Университет ГА. С.-Петербург, 2007.
5. Москалёва Е.В. Основы теории вероятностей. Ч. 2 / Университет ГА. С.Петербург, 2007.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ
РАБОТЫ
1. Контрольная работа должна
быть
выполнена в тетрадях в клетку.
Для замечаний преподавателя необходимо оставить поля шириной 4–5 см.
2. На обложке тетради должны быть написаны фамилия и инициалы студента,
учебный номер (шифр), название предмета и номер контрольной работы. В
конце работы необходимо поставить подпись.
3. В работу должны быть включены все указанные в задании задачи в строгом
соответствии с номером варианта.
4. Перед решением каждой задачи необходимо полностью записать её условие.
5. Решение задач следует излагать подробно, объясняя все действия.
6. После проверки работы студент должен учесть все замечания и устранить
ошибки.
7. Работа считается принятой, если она содержит запись преподавателя о зачёте.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
5
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
1. Основные понятия и определения
1.1 Эксперимент, пространство элементарных событий
В качестве исходного понятия принимается вероятностный эксперимент
(опыт) – осуществление некоторого комплекса условий σ . Возможные исходы
ω эксперимента образуют множество (пространство) элементарных событий
(исходов), которое обозначим Ω = {ω}. При этом каждый эксперимент заканчивается одним и только одним экспериментальным исходом, эти исходы неразложимы и взаимно исключают друг друга.
Случайное событие (в дальнейшем просто событие) – это такое событие,
которое в результате эксперимента может как произойти, так и не произойти,
заранее неизвестно. Обозначим случайные события через А, В, С,….
Случайное событие А включает элементы некоторого подмножества пространства Ω .
Достоверным называется событие А, если оно наступает при любом элементарном исходе данного эксперимента. Достоверное событие включает все
элементы пространства Ω элементарных событий и обозначается той же буквой
Ω.
Невозможным называется событие ∅ , которое не включает ни одного
элементарного события.
1.2. Операции над случайными событиями
Поскольку между случайными событиями и множествами имеется тесная
связь, то для случайных событий справедливы те же соотношения, что и для
множеств.
Сумма (объединение) двух событий A ⊂ Ω
и B ⊂ Ω (обозначается
С=А U В) – это множество, которое содержит элементарные события, принадлежащие хотя бы одному из событий А и В.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
6
Произведение (пересечение) событий
A⊂ Ω
и B ⊂ Ω (обозначается
С = А I В ) − это множество, которое содержит элементарные события, общие
для событий А и В.
События А и В называются несовместными, если их пересечение является невозможным событием, т.е. A I B = ∅ .
Два события А и A называются противоположными, если их сумма
есть достоверное событие A U A = Ω , а их произведение − невозможное событие A I A = ∅ .
События Ak
( k = 1, 2,..., n )
образуют полную группу попарно несовмест-
ных событий, если их объединение
n
U A представляет собой достоверное собыi
i =1
тие, т.е.
n
UA
i
= Ω , а пересечение любых двух событий есть событие невозмож-
i =1
ное, т.е. Ai I Aj = ∅,
i≠ j
(i ,
j = 1, 2,..., n) .
1.3. Аксиомы теории вероятностей
Рассмотрим аксиоматическое построение теории вероятностей и введём
понятие вероятности случайного события, следуя теоретико-множественному
подходу, разработанному академиком А.Н. Колмогоровым.
Вероятность P ( A ) – это числовая функция, определённая на подмножествах А множества Ω и удовлетворяющая следующим условиям:
1. P ( A ) ≥ 0 .
2. P ( Ω ) = 1 .
3. Для любой последовательности (конечной или бесконечной) событий
A1, А2,… таких, что Ai I A j = ∅ при i ≠ j ,


P  ∑ Ak  = ∑ P ( Ak ) .
 k
 k
Частными случаями являются классическая и статистическая вероятности.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
7
Классическая вероятность соответствует случаю, когда множество Ω состоит из конечного числа равновозможных элементарных событий ωn :
P (ω1 ) = P ( ω2 ) = ... = P (ωn ) = 1 n .
Вероятность любого события А определяется соотношением
P ( A) =
m
,
n
где m – число элементов множества А, т.е. число всех благоприятствующих событию А исходов, n – общее число элементов множества Ω .
Очевидно, имеют место неравенства 0 ≤ P ( A ) ≤ 1.
Объективной экспериментальной характеристикой случайного события А
является относительная частота P* ( A ) появления события А.
Относительной частотой события А в серии из n одинаковых (однородных) испытаний называется отношение:
P* ( A ) =
m ( A)
,
n
где m ( A ) − количество тех испытаний, в которых осуществилось событие А, n –
число испытаний.
Очевидно, что 0 ≤ P* ( A ) ≤ 1, поскольку 0 ≤ m ( A ) ≤ n .
При безграничном возрастании числа опытов относительная частота при
некоторых ограничениях сходится по вероятности к вероятности события А, т.е.
lim P ∗ ( A ) = P ( A ) (закон больших чисел). Поэтому относительная частота
n →∞
P* ( A ) события А называется статистической вероятностью.
Пример. В сборочный цех поступило 50 деталей, из них 8 с дефектом.
Определить вероятность того, что взятая наугад деталь оказалась с дефектом.
Решение
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
8
Общее число всех равновозможных случаев n = 50. Событию А – взятию
детали с дефектом − благоприятствует 8 случаев, т.е. m = 8. Воспользуемся
формулой классической вероятности. Тогда
P ( A) =
m 8
=
= 0,16 .
n 50
В теории вероятностей часто встречаются задачи об определении числа
возможных комбинаций, удовлетворяющих тем или иным условиям, которые
можно составить из элементов заданного конечного множества. Комбинации,
составленные из k элементов ( k ≤ n ) n-элементного множества, которые отличаются хотя бы одним элементом и для которых порядок элементов безразличен, называются сочетаниями из n элементов по m.
Число сочетаний из n элементов по m равно
Cnm =
n!
.
m! ( n − m )!
Пример. Партия самолётов содержит 10 самолётов Ил-62 и 10 самолётов
Ту-154. Из этой партии случайным образом отбирают 4 самолёта для испытаний. Найти вероятность того, что для испытаний будут отобраны самолёты
обоих типов поровну.
Решение
Применяем формулу классической вероятности. Число способов выбора
самолётов Ил–62 из 10 равно C102 , т.к. порядок выбора самолётов роли не играет, а один случай выбора отличается от другого хотя бы одним самолётом. Имеем дело с сочетаниями. Таким же числом способов можно выбрать два самолёта
Ту–154. Число благоприятствующих случаев выбора равно числу комбинаций
пар самолетов, т.е. m = ( C102 ) . Общее число случаев выбора четырёх самолетов
2
любых типов из 20 равно n = C204 . Тогда искомая вероятность равна
( )
2
 10 ! 
m C2

P = = 104 = 
n
C 20
 2!⋅ 8! 
2
20 !
135
=
≈ 0,418 .
4 !⋅ 16 ! 323
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
9
1.4. Свойства вероятности
Кроме трех аксиом, указанных в определении, вероятность обладает следующими свойствами:
1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.
2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
( )
P ( A) + P A = 1.
3. Вероятность невозможного события равна нулю: P ( ∅ ) = 0 .
1.5. Формула сложения вероятностей
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна
сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A I B ) .
1.6. Формула умножения вероятностей
Условной вероятностью P ( A B ) осуществления события А в предположении, что событие В уже наступило, называется величина, определяемая равенством:
P ( A B) =
P ( A I B)
P ( B)
( P ( B ) ≠ 0 ).
Для того чтобы найти вероятность произведения нескольких событий,
нужно расположить их в произвольном порядке, найти вероятность каждого из
них при условии, что реализовались предыдущие события, а затем перемножить
эти вероятности:
P ( A1 I A2 I ... I An−1 I An ) = P ( A1 ) P ( A2 A1 ) ...P ( An A1 I A2 I ... I An−1 ) .
Частный случай:
P ( A I B ) = P ( A) P ( B A) = P ( B ) P ( A B ) .
События А и В называются независимыми, если появление любого из них
не изменяет вероятность появления другого, т.е. условная вероятность каждого
из них при условии, что другое наступило, равна его «безусловной» вероятно-
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
10
сти. В этом случае вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей:
P ( A I B ) = P ( A) P ( B ) .
Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе из первого и второго
P1 = 0,7
орудий соответственно равны
и
P2 = 0,6 . Найти вероятность:
а) одновременного попадания из обоих орудий, б) попадания хотя бы одним из
орудий при одном залпе.
Решение
Обозначим события: А – попадание в цель первого орудия, В – попадание
второго орудия. Необходимо найти вероятности событий A I B и A U B . События А и В независимы и совместны.
а) вероятность попадания из обоих орудий равна
P ( A I B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) = 0,7 ⋅ 0,6 = 0,42 ;
б) вероятность попадания хотя бы одним орудием определяется по теореме
сложения
P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A I B ) = 0,7 + 0,6 − 0, 42 = 0,88 .
Пример. Аэропорт в ноябре будет закрыт ровно 10 дней. Закрытие в любой день равновозможно. Какова вероятность того, что 5, 6, 7, 8 ноября аэропорт
будет открыт?
Решение
Обозначим через A5 событие, состоящее в том, что 5 ноября аэропорт будет открыт; A6 − аэропорт будет открыт 6 ноября и т.д. Тогда интересующее
нас событие А, состоящее в том, что аэропорт будет открыт 5, 6, 7, 8 ноября, яв8
ляется произведением событий
I A . Следовательно,
i
i =5
 8 

P ( A ) = P  I Ai  = P ( A5 ) P ( A6 A5 ) P ( A7 A5 I A6 ) P  A8
 i =5 

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

7
IA ,
i
i =5

11
P ( A5 ) =
20 2
19
18

= , P ( A6 A5 ) = , P ( A7 A5 I A6 ) = , P  A8
30 3
29
28

Итак, получаем
P ( A) =

7
17
I A  = 27 .
i
i =5

20 19 18 17 323
⋅ ⋅ ⋅
=
≈ 0,18.
30 29 28 27 1827
Пример. Вероятность отказа каждого элемента в течение времени Т равна
p = 1 2. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведенной
схеме (рис. 1.1).
1
4
2
5
3
6
7
Рис 1.1
Пусть событие Ai означает отказ элемента с номером i
( i = 1,2,3,...) ,
а
событие В – отказ цепи за время Т (прекращение тока в цепи). Написать формулу, выражающую событие В через все события Ai . Найти вероятность события В
при p = 1 2.
Решение
Цепь состоит из двух блоков, включенных последовательно. Присвоим им
номера 1, 2 слева направо. Пусть B1 – событие, означающее отказ первого блока,
а B2 – отказ второго блока за время Т. Тогда B = B1 U B2 , так как отказ цепи происходит при отказе хотя бы одного блока. Элементы в каждый блок включены
параллельно, поэтому отказ блока происходит при отказе всех элементов, в него
входящих. Отсюда B1 = A1 I A2 I A3 , B2 = A4 I A5 I A6 I A7 ,
B = ( A1 I A2 I A3 ) U ( A4 I A5 I A6 I A7 ).
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
12
Элементы работают независимо, поэтому события Ai взаимно независимые. Применяя теорему сложения вероятностей для двух любых событий и теорему умножения вероятностей для взаимно независимых событий, получаем
P ( B ) = P ( B1 ) + P ( B2 ) − P ( B1 I B2 ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) + P ( A4 ) P ( A5 ) P ( A6 ) P ( A7 ) −
− P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A4 ) P ( A5 ) P ( A6 ) P ( A7 ) = p3 + p 4 − p 7 .
1 1
1
23
При p = 1 2 получаем P ( B ) = + −
=
≈ 0,18 .
8 16 128 128
1.7. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Пусть событие А может наступить с любым из n попарно несовместных
событий H1 , H 2 ,..., H n ,, составляющих полную группу:
Hi I Hk = ∅
при i ≠ k ;
H 1 U H 2 U ... U H n = Ω .
Эти события называются гипотезами. Тогда имеет место формула полной вероятности
P ( A ) = P ( H1 ) P ( A H1 ) + ... + P ( H n ) P ( A H n ) .
Сумма вероятностей гипотез равна единице, т.к. они образуют полную
группу попарно несовместных событий. Это обстоятельство удобно использовать для контроля правильного выбора гипотез. Если появляется дополнительное условие того, что событие А произошло, то первоначальные вероятности
P ( H k ) гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса
P ( H k A) =
P( Hk ) P ( A Hk )
P ( H1 ) P ( A H1 ) + ... + P ( H n ) P ( A H n )
(k = 1,..., n) .
Вероятности P ( H k ) называются априорными (доопытными), а P ( H k A ) –
апостериорными (послеопытными).
Пример. Для выполнения полёта данным рейсом может быть задан один
из следующих эшелонов: H1 = 6,6 км; Н 2 = 7,8 км; H 3 = 9 км с вероятностью, соответственно равной P ( H1 ) = 0,2; P ( H 2 ) = 0,5; P ( H 3 ) = 0,3 . Вычислить вероятность того, что в полете данным рейсом самолет будет выходить на аэродром
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
13
посадки с уклонением от расписания не свыше 5 минут, если эта вероятность зависит от эшелона и соответственно равна
P( A H 1 ) = 0,8; P( A H 2 ) = 0,9; P( A H 3 ) = 0,7.
Решение
Применяя формулу полной вероятности, имеем
P ( A ) = P ( H1 ) P ( A H1 ) + P ( H 2 ) P ( A H 2 ) + P ( H 3 ) P ( A H 3 ) =
= 0,2 ⋅ 0,8 + 0,5 ⋅ 0,9 + 0,3 ⋅ 0,7 = 0,82.
Пример. На маршруте полета из пункта М в пункт Л вероятность встречного ветра равна 0,6, попутного – 0,3 и штиля – 0,1. Самолет, своевременно вылетающий из пункта М, прибывает в пункт Л по расписанию с вероятностью 0,5
при встречном ветре; 0,8 при попутном ветре и 0,9 при штиле. Известно, что в
пункт Л самолет прибыл точно по расписанию (произошло событие А). Вычислить вероятность того, что при этом ветер был встречным.
Решение
Возможны гипотезы: Н1 – ветер встречный с вероятностью P ( H1 ) = 0,6 ; Н2
– ветер попутный с вероятностью P ( H 2 ) = 0,3 и Н3 – ветра нет с вероятностью
P ( H 3 ) = 0,1 . Условные вероятности события А равны:
P ( A H1 ) = 0,5; P ( A H 2 ) = 0,8; P ( A H 3 ) = 0,9.
Условная вероятность встречного ветра вычисляется по формуле
P ( H1 A ) =
=
P ( H1 ) P ( A H1 )
=
P ( H 1 ) P ( A H1 ) + P ( H 2 ) P ( A H 2 ) + P ( H 3 ) P ( A H 3 )
0,6 ⋅ 0,5
0,3
=
≈ 0,48.
0,6 ⋅ 0,5 + 0,3 ⋅ 0,8 + 0,1 ⋅ 0,9 0,63
1.8. Последовательность независимых опытов с двумя исходами.
Биномиальная вероятность
Схемы Бернулли и Пуассона являются удобными математическими моделями для описания многократно ( n - кратно) повторяющегося эксперимента с
двумя взаимно исключающимися исходами.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
14
Схема Бернулли проведения независимых испытаний состоит в том, что
независимо проводится n испытаний (опытов), в каждом из которых наблюдаемое событие А появляется с вероятностью p ( 0 < p < 1) и не появляется с
вероятностью q = 1 − p. Причем p не зависит от номера испытания.
Вероятность Pn ( m ) появления события А ровно m раз в этих испытаниях
определяется по формуле Бернулли:
Pn ( m ) = Cnm p m q n−m =
n!
p m q n −m .
m!( n − m )!
Сумма получившихся биномиальных вероятностей равна единице:
n
n
m=0
m =0
∑ Pn ( m ) = ∑ Cnm pm qn−m = ( p + q ) = 1.
n
Среди всех чисел m появления в испытаниях события А можно найти
число m0 (наивероятнейшее число), при котором вероятность появления события
А
( Pn ( m0 ) = max ).
максимальна
Значение
m0
лежит
в
интервале
np − q ≤ m0 ≤ np + p и является целым числом.
Пример. Рассмотрим воздушное судно с четырьмя двигателями. Пусть
вероятность отказа (выхода из строя) каждого двигателя равна p = const , причем
двигатели выходят из строя независимо друг от друга. Какова вероятность того,
что выйдут из строя: 1) два двигателя; 2) четыре двигателя?
Вероятность того, что двигатель не выйдет из строя, равна q = 1 − p.
Решение
Так как отказы двигателей независимы друг от друга и вероятность p их
выхода из строя постоянна, то имеем дело со схемой Бернулли при n = 4. Искомые вероятности равны:
1) P4 ( 2 ) =
4! 2 2
4! 4 0
p q = 6 p 2 q 2 ; 2) P4 ( 4 ) =
p q = p4.
2! 2!
4! 0!
Пример. На определенном участке трассы ожидается пролет десяти воздушных судов. Для каждого ВС вероятность выхода за пределы назначенного
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
15
коридора составляет 0,05 и не зависит от характера движения остальных судов.
Определить: 1) вероятность того, что число ВС, вышедших за пределы назначенного коридора, не превышает двух; 2) наиболее вероятное число судов, вышедших за пределы коридора.
Решение
Пусть Х – число ВС, вышедших за пределы назначенного коридора. Из
условия задачи следует, что случайная величина Х подчинена биномиальному
распределению. Тогда: 1)
P ( 0 ≤ X ≤ 2 ) = C100 p 0 q10 + C101 p1q 9 + C102 p 2 q 8 =
= 0,9510 +
2)
10 !
10 !
⋅ 0,05 ⋅ 0,959 +
⋅ 0,052 ⋅ 0,958 = 0,988;
1 ! 9 !
2 ! 8!
np − q ≤ m0 ≤ np + p ,
m0 ≤ (n + 1) p = 11 ⋅ 0,05 = 0,55 , т.е. наиболее вероятно, что
ни одно судно не выйдет за пределы воздушного коридора.
Если вероятность pk зависит от номера испытания, то вероятность Pn ( m )
удобно вычислять, используя производящую функцию ϕ n ( x ) , которая представляет собой произведение различных биномов:
n
(
)
ϕ n (x ) = ∏ p k x + q k ,
k =1
где x – произвольный параметр; pk , qk - соответственно вероятности успеха или
неудачи в эксперименте с номером k
( k = 1,2,..., n ) .
Производящая функция обладает тем свойством, что после перемножения
биномов и приведения подобных членов коэффициенты при x m представляют
собой вероятности Pn ( m ) , т.е. Pn ( 0 ) , Pn (1) , … – коэффициенты соответственно
при нулевой, первой и т.д. степенях x. Поэтому можно записать:
n
n
k =1
m=0
ϕ n (x ) = ∏ ( p k x + q k ) = ∑ Pn (m )x m .
Пример. В аэропорту имеются три ВПП. Первая из них занята (выпуском
и приёмом самолётов) на 70%, вторая – на 60%, третья – на 50%. Какова вероят-
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
16
ность того, что: 1) все ВПП свободны; 2) все ВПП заняты; 3) одна ВПП занята;
4) хотя бы одна ВПП занята; 5) не более двух ВПП занято.
Решение
Так как по условию задачи вероятность того, что ВПП будет занята, постоянна для каждой ВПП, для определения вероятностей воспользуемся формулой Бернулли. Имеем при n = 3 вероятности приземления вне зоны ВПП
qk = 1 − pk
(k = 1, 2, 3) .
Найдем все вероятности Pn ( m ) , используя производящую функцию
(
)
3
ϕ 3 ( x ) = (q1 + p1 x ) ⋅ (q 2 + p 2 x ) ⋅ q3 + p3 x = ∑ P(m )x m .
k =0
Искомые вероятности равны:
1) P3 (3) = p1 p 2 p3 = 0,7 ⋅ 0,6 ⋅ 0,5 = 0,21 .
2) P3 (2) = p1 p 2 q3 + p1 q 2 p3 + q1 p 2 p3 = 0,7 ⋅ 0,6 ⋅ 0,5 + 0,7 ⋅ 0,4 ⋅ 0,5 + 0,3 ⋅ 0,6 ⋅ 0,5 = 0,44 .
3) P3 (1) = p1q 2 q 3 +q1 p 2 q3 + q1q 2 p3 = 0,7 ⋅ 0,4 ⋅ 0,5 + 0,3 ⋅ 0,6 ⋅ 0,5 + 0,3 ⋅ 0,4 ⋅ 0,5 = 0,29 .
4) P3 (0) = q1q 2 q3 = 0,3 ⋅ 0,4 ⋅ 0,5 = 0,06 .
Теперь можно определить вероятности других событий.
Событие С (занята хотя бы одна ВПП) определяется с вероятностью
P ( С ) = 1 − P3 ( 0 ) = 1 − 0,06 = 0,94 .
5) событие Д – не более двух ВПП занято:
P ( D ) = P3 ( k ≤ 2 ) = P3 ( 0 ) + P3 (1) + P3 ( 2 ) = 0, 06 + 0, 29 + 0, 44 = 0,79 .
Так как сумма всех вероятностей должна равняться единице, используем
это правило для проверки вычислений:
P3(3) + P3(2) + P3(1) + P3(0) = 0,343 + 0,657 = 1.
Схема Пуассона применяется при большом числе испытаний n и малой
вероятности успеха p. Она имеет вид:
Pn ( m ) ≈
λm ⋅ e − λ
,
m !
m = 0, 1, 2,... ,
где np = λ . Формулу используют при n ≥ 10 0 и λ < 10 .
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
17
Пример. Пусть в каждом полете вероятность того, что воздушное судно
встретится с грозой, равна 0,005. Какова вероятность того, что из 1000 полетов
встреча с грозой произойдет ровно в 40 случаях?
Решение
По условию задачи n = 1000;
p = 0,005; m = 40.
Для нахождения P1000 ( 40 ) воспользуемся формулой Пуассона, считая
λ = np = 1000 ⋅ 0,005 = 5 < 10 :
540 exp ( −5 )
P1000 ( 40 ) ≈
≈ 0,0197 .
40!
2. Одномерная случайная величина
Случайной величиной X называется числовая функция X (ω ) , определенная на множестве элементарных событий Ω , которая каждому элементарному
событию ω ставит в соответствие определённое число. При этом предполагаются определёнными вероятности событий X < x для любых вещественных чисел
x . Случайные величины обозначаются буквами X , Y , Z ,... латинского алфавита.
Для исчерпывающего определения случайной величины Х необходимо задать вероятностную меру Р на множестве ее возможных значений х, т.е. задать
её закон распределения.
Законом распределения вероятностей случайной величины называется
любое правило, по которому каждому множеству значений случайной величины (событию) ставится в соответствие его вероятность.
Рассмотрим три вида задания случайной величины:
1) функция распределения;
2) ряд распределения;
3) плотность распределения вероятностей.
Функцией распределения случайной величины X называется функция
F ( x ) , которая для любого вещественного числа x равна вероятности того, что
X < x:
F ( x) = P ( X < x) .
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
18
Свойства функции распределения F ( x ) :
1. Если
F(x)
–
функция распределения случайной величины X,
то
0 ≤ F ( x ) ≤ 1 для любого x.
2. Функция распределения F(x) случайной величины X – неубывающая
функция, и для любых α < β выполняется равенство
P (α ≤ X < β ) = F ( β ) − F ( α ) .
3. Если F(x) - функция распределения, то
lim F ( x ) = 0 и
x →−∞
lim F ( x ) = 1
x →+∞
( X < +∞ является достоверным).
Функция распределения F ( x ) является полной вероятностной характеристикой случайной величины X , т.е. одним из видов закона распределения случайной величины X .
2.1. Дискретная случайная величина
Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений
может быть пронумеровано натуральными числами (т.е. оно конечно или бесконечно, но счетное).
Закон распределения дискретной случайной величины можно задать, используя табличный, графический или аналитический способ.
При табличном способе задания закон распределения случайной величины
(ряд распределения) имеет вид:
X
P ( X = xk )
x1
x2
…
xn
p1
p2
…
pn
Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины
изображают графически. Для этого в декартовой системе координат строят точки ( xi , pi ) и соединяют их последовательно отрезками прямых линий. Полученную ломаную линию называют многоугольником распределения вероятностей
или полигоном.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
19
Функция распределения дискретной случайной величины
F (x ) =
∑ P( X = x ) .
xk < x
k
Здесь суммирование распространяется на те значения k , для которых xk < x .
Функция распределения представляет собой функцию накопленных вероятностей.
Графиком функции распределения является ступенчатая линия со скачками, равными pk в точках xk , k = 1,2,... (рис.2.1).
Рис. 2.1
2.2. Непрерывная случайная величина
Случайная величина X называется непрерывной, если существует такая
неотрицательная, интегрируемая в бесконечных пределах функция f ( x ) , что при
всех x ∈ R
F ( x) = P ( X < x) =
x
∫ f ( t )dt .
−∞
Функция f ( x ) называется плотностью распределения вероятностей
случайной величины или дифференциальной функцией распределения (в отличие
от F (x ) , которую называют интегральной функцией распределения).
Свойства плотности распределения вероятностей:
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
20
1. f ( x ) ≥ 0, x ∈ ( −∞, +∞ ) .
+∞
2.
∫ f ( x ) dx = 1.
−∞
3. F ′ ( x ) = f ( x ) в точках непрерывности f ( x ) .
x2
4. P ( x1 ≤ X ≤ x2 ) = ∫ f ( x ) dx .
x1
2.3. Числовые характеристики случайной величины
Числовыми характеристиками случайной величины называют специальные числа, характеризующие отдельные свойства закона распределения.
Математическим ожиданием (средним значением) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех возможных значений
случайной величины на вероятности появления этих значений
MX = ∑ xi pi .
i
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X
называется определенный интеграл
∞
MX =
∫ x f ( x)
dx .
−∞
В этих формулах ряд и интеграл предполагаются абсолютно сходящимися.
Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания
DX = M ( X − MX ) .
2
Для дискретной случайной величины дисперсия определяется по формуле
n
DX = ∑ ( xi − MX ) pi ,
2
i =1
для непрерывной
DX =
+∞
∫ ( x − MX ) f ( x ) dx .
2
−∞
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
21
Во многих случаях дисперсию удобнее вычислять по формуле
DX = MX 2 − (MX ) .
2
В качестве характеристики рассеивания используют среднее квадратичное отклонение σ ( X ) , определяемое по формуле σ x = DX .
Для биномиального распределения MX = np,
DX = npq,
σ x = npq .
Пример. Производится три выстрела по мишени. Вероятность попадания
при каждом выстреле p = 0,4 . Построить ряд распределения случайной величины X – числа попаданий в мишень, найти функцию распределения F ( X ) и определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
Решение
Случайная величина X распределена по биномиальному закону с параметn = 3; p = 0,4; q = 1 − 0, 4 = 0,6 .
рами:
1. Определим вероятности P ( k ) для числа попаданий Х, используя формулу
P3 ( k ) = C3k p k q3−k :
P3 ( 0 ) = C30 ⋅ p 0 ⋅ q 3 = 1 ⋅ 1 ⋅ 0,6 = 0,216;
P3 (1) = C31 ⋅ p1 ⋅ q 2 = 3 ⋅ 0,4 ⋅ 0,62 = 0, 432;
P3 ( 2 ) = C32 ⋅ p 2 ⋅ q1 = 3 ⋅ 0,42 ⋅ 0,6 = 0,288;
P3 ( 3) = C33 ⋅ p3 ⋅ q 0 = 1 ⋅ 0,43 ⋅ 1 = 0,064.
Запишем ряд распределения:
X
0
1
2
P ( X = xk )
0,216
0,432
0,288
3
0,064
2. Находим функцию распределения F ( x ) = P ( X < x ) , используя формулу
F ( x ) = ∑ pk :
xk < x
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
22
при −∞ < x ≤ 0
F ( x ) = P ( X < 0) = 0 ;
при 0 < x ≤ 1
F ( x ) = P ( X < 1) = P ( x < 0 ) + P ( x = 0 ) = 0 + 0, 216 = 0, 216;
при 1 < x ≤ 3
F ( x ) = P ( X < 2 ) = P ( x < 1) + P ( x = 1) = 0,216 + 0, 432 = 0,648;
при 2 < x ≤ 3
F ( x ) = P ( X < 3) = P ( x < 2 ) + P ( x = 2 ) = 0,648 + 0, 288 = 0,936;
при 3 < x ≤ +∞
F ( x ) = P( X > 3) = P ( X < 3) + P( X = 3) = 0,936 + 0,064 = 1,0 .
3
3. Определим математическое ожидание MX = ∑ xi pi :
k =0
MX = 0 ⋅ 0,216 + 1 ⋅ 0, 432 + 2 ⋅ 0,288 + 3 ⋅ 0,064 = 1, 2 .
4. Дисперсию определим по формуле DX = M ( X 2 ) − ( MX ) :
2
M ( X 2 ) = 0 ⋅ 0,216 + 1 ⋅ 0, 432 + 4 ⋅ 0,288 + 9 ⋅ 0,064 = 2,16 ;
DX = 2,16 − 1,22 = 2,16 − 1,44 = 0,72 .
5. Среднее квадратичное отклонение
σ x = DX = 0,85 .
2.4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины
1. Показательное
распределение
(рис.2.2)
определяется
вероятности
при x > 0,
0
f ( x ) =  −λ x
при x ≥ 0
λ e
Рис.2.2
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
( λ > 0).
плотностью
23
Основные характеристики: математическое ожидание MX = λ , дисперсия
DX = λ .
Пример. Срок службы Х устройства распределен по показательному закону, причём средний срок службы равен 4. Найти вероятность того, что в результате испытаний случайная величина Х попадёт в интервал (0,2; 0,5).
Решение
По формуле для плотности вероятности имеем:
0
f ( x ) =  −4 x
 4e
при
при
x < 0,
x ≥ 0.
β
Используя формулу P (α < X < β ) = ∫ λ e − λ x dx = e− λα − e− λβ , находим
α
P ( 0, 2 < X < 0,5) = e−4⋅0,2 − e−4⋅0,5 = e−0,8 − e−2 = 0,4493 − 0,1353 = 0,314.
2. Равномерное распределение на отрезке [ a, b] (рис.2.3) определяется плотностью вероятности
 1

f ( x) = b − a
0

при x ∈ [ a, b] ,
при x ∉ [ a, b ].
Рис 2.3
Для него справедливы формулы
b
MX = ∫ x
a
1
a+b
dx =
,
b−a
2
a+b 1
(b − a ) ,

DX = ∫  x −
dx =

2  b−a
12
a
b
2
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
2
24
σ x = DX =
b−a
.
2 3
Пример. Ошибки округления при определении высоты полета воздушного судна являются величинами случайными, подчиненными закону равномерной плотности на отрезке [ −10; +10] :
при x < a,
 0
 1

f ( x) = 
b − a
 0
при a ≤ x ≤ b ,
при
x > b.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины X .
Решение
Математическое ожидание
MX =
а дисперсия
откуда
DX
− 10 + 10
= 0,
2
2
(
10 + 10 )
=
σx =
12
10 + 10
2 3
=
400
= 33,3 ,
12
≈ 5,8 .
3. Нормальный закон распределения (закон Гаусса) случайной величины Х
определяется плотностью распределения вероятности
 ( x − a )2 
1
f ( x) =
exp  −
.
2
2
σ
σ 2π


Интегральная функция распределения F(x) имеет вид
1
F ( x) =
σ 2π
Нормальное распределение
 ( t − a )2 
∫−∞ exp − 2σ 2 dt.


x
определяется
всего двумя параметрами a
и σ , которые являются математическим ожиданием и средним квадратичным
отклонением случайной величины.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
25
Для стандартной нормальной случайной величины U =
распределения вероятностей f (u ) = ϕ (u ) =
1
2π
e
−
u2
2
X −a
плотность
σ
с параметрами a = 0 , σ = 1.
График плотности такого нормального распределения называют кривой Гаусса
(рис 2.4).
Рис.2.4
Интегральная функция распределения F (x ) связана с нормированной
функцией Лапласа Ф(x ) следующим выражением:
F (x ) =
1
 X −a
+ Ф
.
2
 σ 
Значения нормированной функции Лапласа Ф(x ) и её график приведены в
табл. П1 (прилож.) и на рис. 2.5 соответственно.
Φ (x)
0,5
−22
0
2
x
−0,5
Рис.2.5
Для этих функций справедливы формулы:
1. P (α < X < β ) = F ( β ) − F (α ) = Ф ( u2 ) − Ф ( u1 ) , где
ε
ε
ε
2. P ( X − a < ε ) = Ф( ) − Ф( − ) = 2Ф( ) .
σ
σ
σ
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
u1 =
α −a
β −a
, u2 =
.
σ
σ
26
3. Если случайная величина Y имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, то при больших n:
Y

P  − p < ε  ≈ Ф( λ ) ,
 n

λ=
ε n
.
pq
Пример. Найти вероятность попадания в мишень от 90 до 150 раз в серии
из 200 выстрелов, если вероятность попадания при одном выстреле p = 0,4 .
Решение
Воспользуемся формулами для биномиального распределения
MY = np = 200 ⋅ 0, 4 = 80 ; DY = npq = 200 ⋅ 0,4 ⋅ 0,6 = 48 ;
σ = 48 .
Искомая вероятность
 150 − 80 
 90 − 80 
P ( 90 ≤ Y ≤ 150 ) = Ф 
 −Ф
 = Ф (10,1) − Ф (1, 44 ) = 0,5 − 0, 425 = 0, 075 .
48 

 48 
Пример. Экипаж выполняет полет на высоте Н. Ошибка в поддержании
заданной высоты распределена по нормальному закону со средним квадратичным отклонением σ = 8 м. Имеется систематическая ошибка – занижение высоты
на 3м. Найти вероятность нахождения самолета в интервале ∆H = ±10 м.
Решение
Пусть случайная величина Х – ошибка поддержания заданной высоты с
математическим ожиданием MX = −3 и средним квадратичным отклонением σ = 8 . Тогда искомая вероятность
 10 − ( −3) 
 −10 − (−3) 
 13 
 −7 
P ( −10 < X < 10 ) = Ф 
 −Ф
 = Ф   − Ф   = Ф (1, 625 ) − Ф ( −0,875 ) = 0, 757.
8
8




8
 8 
Пример. Расстояние от начала взлетно-посадочной полосы до точки каса-
ния шасси самолета при посадке является случайной величиной, подчиняющейся нормальному закону с математическим ожиданием 20м и дисперсией 64м2.
Какую точность посадки можно гарантировать с вероятностью 0,95?
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
27
Решение
Примем математическое ожидание точки касания шасси MX за начало
отсчета. Тогда точность посадки есть ни что иное как отклонение истинной точки касания от математического ожидания X − MX . Если ε − гарантируемая
точность, то по условию задачи P ( X − MX < ε ) = 0,95. Тогда по формуле
ε
P ( X − MX < ε ) = 2Ф( )
σ
ε 
ε
0,95 = 2Ф   или 0, 475 = Ф   .
σ 
σ 
имеем
По табл. П1 (прилож.)
находим
значение
ε
аргумента,
соответст-
ε
вующее полученному значению Ф   . Имеем
= 1,96 . Откуда
σ
σ 
ε = 1,96 ⋅ 8 = 15,7 м.
Таким образом, с вероятностью 0,95 можно гарантировать, что отклонение точки касания шасси от двадцатиметровой отметки не превзойдет 15,7 м.
Пример. Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения X подчинены нормальному
закону со средним квадратичным отклонением σ = 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, превосходящей по абсолютной
величине 15мм.
Решение
Вследствие отсутствия систематической ошибки математическое ожидание случайной величины равно нулю. В результате применения формулы получаем
 15 − 0 
P ( X < 15 ) = 2Ф 
 = 2 ⋅ 0,4332 = 0,8664 .
10


Пример. Пусть p = 0,7 − вероятность того, что приземление воздушного
судна произойдет в зоне посадочного знака. Найти число n приземлений воз-
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
28
душных судов, удовлетворяющих неравенству
Y
Y
− p ≤ ε с заданной вероятноn

стью α = P  − p ≤ ε  = 0,95 при ε = 0,01 .
 n

Решение
По условию примера p = 0,7 ;

Ф ε

Имеем
q = 1 − p = 0,3 ; ε = 0, 01 .
n  α
 = = 0,475 .
pq  2
Для этого значения функции Ф(u ) по табл. П1 (прилож.) находим значение
n
u pq 1,952 2 ⋅ 0,7 ⋅ 0,3
= 7401,3 .
≈ 1,952 . Тогда n = 2 =
ε
(0,01)2
pq
2
аргумента u = ε
Окончательно получаем n = 7401 .
3. Математическая статистика
3.1.
Обработка статистических данных
Исходным объектом исследования в математической статистике служат множества однородных элементов, которые объединены одной качественной основой, но различаются по значениям одного или нескольких признаков. Например, множества самолетов, пассажиров, рейсов, сбоев в работе и т.п. (их признаками могут быть соответственно срок эксплуатации самолета, вес багажа пассажира, загрузка рейса, продолжительность сбоя). Каждое из таких множеств образует статистическую совокупность. Все значения xi, i=1,…, n, изучаемого
признака для элементов статистической совокупности образуют ряд наблюдений. Первичная обработка данных, составляющих ряд наблюдений, производится по следующей схеме:
– разбиение множества значений xi наблюдаемого признака на m интервалов
шириной ∆ ≈ ( xmax − xmin ) /(1 + 3,32 lg n) , ранжирование (расположение в
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
29
порядке возрастания) ряда наблюдений xi и подсчет чисел mk попаданий
величин xi в каждый интервал;
– нахождение относительных частот pk =
mk
попаданий в интервалы, знаn
чений выборочной плотности распределения f k =
pk
и выборочной
∆
k
функции распределения Fk = ∑ pk и построение интервального вариаj =1
ционного ряда;
– построение статистических графиков: гистограммы (выборочной плотности распределения вероятностей) и выборочной функции распределения
(кривой накопленных частот или кумуляты).
Выполнение этих операций продемонстрируем на примере.
Пример. Дан ряд наблюдений – задержек рейсов самолетов в мин.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
xi
26 35 20
3
17 22
0
15 18 33
0
42
8
7
0
39 14 11
0
31
Первая строка содержит номера наблюдения i, вторая – величины задержек xi. Требуется построить интервальный вариационный ряд и статистические
графики.
Решение
Ранжированный ряд наблюдений получаем, располагая данные наблюдений (во второй строке) в порядке возрастания значений xi.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
xi
0
0
0
0
3
7
8
11
14
15
17
18
20
22
26
31
33
35
39
42
Ширина интервала равна примерно ∆ ≈ ( xmax − xmin ) /(1 + 3,32 lg n) ≈ 7,89 ,
поскольку n = 20, xmin = 0, xmax = 42 (логарифм в формуле – десятичный). Для
удобства округлим и примем Δ = 8. Учитывая, что левую границу первого интервала выбирают с таким расчетом, чтобы значение xmin располагалось ближе к
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
30
середине первого интервала, а xmax – ближе к середине последнего, получаем
интервалы [–3; 5), [5; 13), [13; 21), [21; 29), [29; 37) и [37; 45]. Тогда число интервалов равно m = 6.
Определяем числа mk попаданий xi в каждый из интервалов: m1 =5, m2 =3,
m3 =5, m4 =2, m5 =3, m6 =2. Найденные величины занесем в табл. 3.1 вместе с относительными частотами pk = mk / n , значениями выборочной функции распреk
pk
. В результа∆
деления Fk = ∑ pk и выборочной плотности распределения f k =
j =1
те получаем интервальный вариационный ряд (табл. 3.1).
Таблица 3.1
Интервал
[–3; 5)
[5; 13)
[13; 21)
[21; 29)
[29; 37)
[37; 45]
mk
5
3
5
2
3
2
pk
0,25
0,15
0,25
0,1
0,15
0,1
Fk
0,25
0,4
0,65
0,75
0,9
1
fk
0,03125
0,01875
0,03125
0,0125
0,01875
0,0125
По величинам fk в последней строке табл. 3.1 строим гистограмму – график выборочной плотности распределения (рис. 3.1).
fk
Нормальное распределение
0,03125
0,01875
0,0125 0
0
0
8
16
24
32
Рис.3.1
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
40
48
31
Прямоугольниками обозначены величины fk , а сплошной линией – график плотности нормального распределения с такими же параметрами (средним
значением и дисперсией), что и данные наблюдений.
График выборочной функции распределения (кривой накопленных частот
или кумуляты) строится аналогично по предпоследней строке Fk в табл. 3.1.
3.2. Статистические оценки
Теория статистического оценивания позволяет по данным наблюдений,
т.е. по статистической выборке (или выборочной совокупности) оценить параметры генеральной совокупности, охватывающей намного более широкое
множество значений изучаемого признака.
Несмещенной (по математическому ожиданию), состоятельной (в смысле
сходимости по вероятности) и эффективной оценкой для среднего значения генеральной совокупности является среднее арифметическое данных наблюдений
1 n
M = ∑ xi ,
n i =1
*
x
а для дисперсии генеральной совокупности (если M x* найдено как среднее
арифметическое данных наблюдений) – величина
1 n
D =
( xi − M x* ) 2 .
∑
n − 1 i =1
*
x
*
Верхний индекс * отмечает, что оценки M x* и Dx построены в отличие от
истинных M x и Dx по выборке, т.е. по данным наблюдений.
Для рассмотренного примера при n = 20 получаем оценки M x* =17,05;
Dx* =188,58, откуда среднее квадратичное отклонение σ x* = Dx* =13,73. Именно
эти значения использованы для построения графика плотности нормального
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
32
распределения (на одном графике с гистограммой), которая вычисляется по
формуле
f * ( x) =
1
e
σ x 2π
( x − M *x ) 2
2σ x2
.
Интервальные оценки параметров генеральной совокупности дают возмож*
ность указать не только значения (например, M x* и Dx ), но и границы доверительного интервала, в котором параметры генеральной совокупности (например,
Mx и Dx) содержатся с заданной доверительной вероятностью β. Интервальная
(
оценка M x − ε , M x + ε
*
*
) для среднего значения Mx
генеральной совокупности
определяется выражением
ε=
tβ σ *x
n
,
где величина tβ, так называемая критическая точка распределения Стьюдента,
может быть найдена по заданному значению β по табл. П2 (прилож.). Закон распределения вероятностей Стьюдента и его критические точки, а также таблицы
tβ для более широкого набора значений аргументов рассматриваются, например,
в [1]. Заметим, что при пользовании табл. П2 (прилож.) tβ необходимо знать
число df
(так называемое число степеней свободы – от англ. degrees of
freedom), которое в данном случае равно df = n – 1.
Обычно доверительную вероятность β задают в промежутке от 0,8 до 0,99.
В частности, для нашего примера при n = 20 и β = 0,95 имеем по табл. П2 (прилож.) при df = 19 tβ = 2,093. Отсюда по формуле получаем ε = 6,43, т.е. доверительный интервал ( M x* − ε , M x* + ε ) имеет вид (10,62; 23,48).
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
33
Варианты контрольных заданий
Вариант 1
1. На 10 карточках написаны все натуральные числа от 1 до 10. Из этих 10
карточек случайно выбирают две (без возвращения). Найти вероятность того, что на каждой из них окажутся числа, меньшие 7.
2. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени Т
равна
р=1/2. Элементы работают независимо и включены в цепь по
приведённой схеме (рис. 1).
1
3
Пусть событие Аi
2
4
5
Рис. 1
означает безотказную работу за время Т элемента с
номером i (i =1, 2, 3,…), а событие В – безотказную работу цепи. Требуется выразить событие В через все события Аi . Найти и вычислить вероятность события B при p = 1 2.
3. Произведено два выстрела по цели. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,7. Цель поражается с одного попадания с вероятностью 0,5, а при двух попаданиях – с вероятностью 0,9. Найти вероятность
того, что оба снаряда попали в цель, если оказалось, что цель поражена.
4. Вероятность появления опечатки на странице книги, содержащей 100
страниц, равна 0,03. Найти вероятность того, что в книге имеется не более
двух опечаток.
5. Из партии в 100 предметов, содержащей 10% брака, наугад берут 2 предмета. Составить закон распределения числа небракованных предметов
среди них. Вычислить математическое ожидание и дисперсию.
6. Дана плотность вероятности f ( x ) случайной величины X:
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
34
при x ≤ 0,
0

  x
f ( x ) = C  1 −  при 0 < x ≤ 3,
  3
0
при x > 3.
Найти C , MX , DX , σ x , P ( X > MX ) .
7. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение нормально
распределённой случайной величины X равны 10 и 2 соответственно.
Найти вероятность того, что в результате испытаний X примет значение,
заключенное в интервале (12; 14).
8. Ряд наблюдений для числа рейсов, прибывших с задержкой, имеет вид:
63; 55; 42; 77; 18; 68; 35; 43; 58; 19; 73; 59; 41; 36; 57; 67; 25; 59; 17; 28; 44;
50; 27; 48; 24; 64.
Построить интервальный вариационный ряд. Дать статистические оценки
*
среднего значения M x* , дисперсии Dx и среднего квадратичного отклонения σ x генеральной совокупности, а также интервальную оценку M x* с до*
верительной вероятностью 0,8. Построить статистические графики – гистограмму (вместе с плотностью нормального распределения с параметрами
M x* и σ x ) и выборочную функцию распределения.
*
Вариант 2
1. От каждой из двух групп людей путем жеребьёвки выбираются по одному
представителю. В первой группе 5 мужчин и 4 женщины, во второй группе
3 мужчин и 7 женщин. Найти вероятность того, что представители будут
разного пола.
2. Вероятность отказа каждого элемента в течение времени Т равна p = 1 2.
Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме
(рис. 2).
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
35
1
2
3
4
5
Рис 2
Пусть событие Ai означает отказ элемента с номером i
( i = 1,2,3,...) ,
а со-
бытие В – отказ цепи за время Т (прекращение тока в цепи). Требуется написать формулу, выражающую событие В через все события Ai . Найти вероятность события В при p = 1 2.
3. Детали изготавливаются на двух станках. На первом станке – 40%, на втором – 60%. Среди деталей, изготовленных на первом станке, брак составляет 2%, на втором – 1,5%. Случайным образом взята одна деталь для контроля. Найти вероятность того, что взятая для контроля деталь бракованная.
4. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,3. При одном
попадании цель не подавляется. При двух подавляется с вероятностью 0,5.
При трёх и более попаданиях подавляется с вероятностью 1. По цели произведено 4 выстрела. Найти вероятность подавления цели.
5. По каналу связи независимо друг от друга передают четыре сообщения.
Вероятность приема каждого без искажения равна 0,8. Составить закон
распределения случайной величины Х – числа сообщений, переданных без
искажений. Найти математическое ожидание МХ и дисперсию DX .
6. Дана плотность вероятности f ( x ) случайной величины X:
0
f ( x) = 
6
C x
при x < 1,
при x ≥ 1.
Найти C , MX , DX , σ x , P ( X − MX < σ x ) .
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
36
7. Ошибка X измерительного прибора распределена нормально. Систематической ошибки прибор не имеет ( MX = 0 ). Каким должно быть среднее
квадратичное отклонение σ x , чтобы с вероятностью не меньшей 0,9 ошибка измерения не превышала 20 мкм по модулю?
8. Ряд наблюдений числа летных происшествий в разные годы имеет вид:
17; 23; 44; 5; 11; 36; 25; 8; 14; 33; 40; 2; 18; 22; 28; 12; 6; 35; 24; 30; 26; 6; 24.
Построить интервальный вариационный ряд. Дать статистические оценки
*
среднего значения M x* , дисперсии Dx и среднего квадратичного отклонения σ x генеральной совокупности, а также интервальную оценку M x* с до*
верительной вероятностью 0,9. Построить статистические графики – гистограмму (вместе с плотностью нормального распределения с параметрами
M x* и σ x ) и выборочную функцию распределения.
*
Вариант 3
1. Каждый билет из 25 экзаменационных билетов содержит по 2 вопроса,
причем вопросы в билетах не повторяются. Студент подготовил 45 вопросов. Найти вероятность того, что в билете, доставшемся студенту, он знает
только один из двух вопросов (либо первый, либо второй).
2. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени Т
равна р=1/2. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме (рис.3).
1
2
4
3
5
6
Рис. 3
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
37
Пусть событие Аi означает безотказную работу за время Т элемента с номером i (i =1, 2, 3,…), а событие В – безотказную работу цепи. Требуется
выразить событие В через все события Аi . Найти и вычислить вероятность
события B при p = 1 2.
3. В цепь включены элементы двух типов. Элементы первого типа составляют 30% от общего числа, второго – 70%. При перегрузке элементы первого типа выходят из строя с вероятностью 0,08, второго – с вероятностью
0,04 каждый. Найти вероятность того, что при перегрузке какой-либо элемент выйдет из строя.
4. Испытываются 10 одинаковых приборов. Вероятность выхода из строя каждого прибора равна p = 0,1. Найти вероятность P ( A ) выхода из строя не
более трех приборов.
5. Четыре одинаково подготовленных экипажа независимо друг от друга работают на тренажере. Вероятность своевременной отработки задачи одним
экипажем равна 0,8. Составить таблицу распределения вероятности числа
экипажей, успешно справившихся с задачей, и функцию распределения
этой случайной величины.
6. Дана плотность вероятности f ( x ) случайной величины X:
0
f ( x) = 
−2 x
Cxe
п ри x < 0,
п ри x ≥ 0.
Найти C , MX , DX , σ x , P ( X − MX < σ x ) .
7. Ошибка X измерительного прибора распределена нормально. Систематической ошибки прибор не имеет ( MX = 0 ). Среднее квадратичное отклонение σ x = 12 мкм. Найти вероятность того, что ошибка измерения по модулю не превысит 20 мкм.
8. Ряд наблюдений для числа деталей с дефектами в крупных партиях имеет
вид: 29; 43; 14; 6; 18; 27; 35; 31; 8; 5; 37; 23; 11; 40; 10; 7; 15; 28; 22; 13; 44;
17; 27; 30; 24; 21; 16.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
38
Построить интервальный вариационный ряд. Дать статистические оценки
*
среднего значения M x* , дисперсии Dx и среднего квадратичного отклонения σ x генеральной совокупности, а также интервальную оценку M x* с до*
верительной вероятностью 0,95. Построить статистические графики – гистограмму (вместе с плотностью нормального распределения с параметрами
M x* и σ x ) и выборочную функцию распределения.
*
Вариант 4
1. На книжной полке случайным образом расставлены 4 учебника и 3 задачника. Найти вероятность того, что все учебники окажутся рядом.
2. Вероятность отказа каждого элемента в течение времени Т равна p = 1 2.
Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме
(рис. 4).
Рис.4
Пусть событие Ai означает отказ элемента с номером i
( i = 1,2,3,...) ,
а со-
бытие В – отказ цепи за время Т (прекращение тока в цепи). Требуется написать формулу, выражающую событие В через все события Ai . Найти вероятность события В при p = 1 2.
3. Противник может применить в налёте самолеты одного из двух типов α и
β с вероятностями соответственно 0,7 и 0,3. Самолет типа α сбивается ракетой с вероятностью 0,7, типа β – с вероятностью 0,9. По появившемуся
самолету выпущены одновременно две ракеты. Найти вероятность того,
что сбитый самолет был типа α .
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
39
4. Каждый прибор проходит два независимых испытания. Вероятность выхода из строя прибора при первом испытании равна p1 = 0, 2 , при втором –
p2 = 0,3 . Испытано независимо 5 приборов. Найти вероятность выхода из
строя не более одного прибора.
5. Самолеты испытывают при перегрузочных режимах. Вероятность каждого
самолета пройти испытание равна 0,8. Испытания заканчиваются после
первого самолета, не выдержавшего испытания. Составить закон распределения и функцию распределения числа испытаний самолетов.
6. Дана плотность вероятности f ( x ) случайной величины X:
C x
f ( x) = 
0
при x ∈ [ 0,1],
при x ∉ [ 0,1].
Найти C , MX , DX , σ x , P ( X − MX < σ x ) .
7. Случайная
величина X распределена по закону Гаусса с MX = 40 и
DX = 200. Найти вероятность попадания X в интервал (30; 80).
8. Ряд наблюдений для отклонения воздушного судна от заданной высоты полета (в м) имеет вид: +27; +38; –5; –36; –62; –77; –85; –54; –8; +25; +34;
+73; +112; +90; +61; +37; –15; –29; –62; –33; –44; –17; +20; +40; +47; +61;
+10; –8.
Построить интервальный вариационный ряд. Дать статистические оценки
*
среднего значения M x* , дисперсии Dx и среднего квадратичного отклонения σ x генеральной совокупности, а также интервальную оценку M x* с до*
верительной вероятностью 0,99. Построить статистические графики – гистограмму (вместе с плотностью нормального распределения с параметрами
M x* и σ x ) и выборочную функцию распределения.
*
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
40
Вариант 5
1. Экзамены в учебной группе принимают 2 экзаменатора. Каждый из экзаменаторов должен проэкзаменовать по 12 студентов. Найти вероятность
того, что при случайном распределении студентов два конкретных студента попадут к одному экзаменатору.
2. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени Т
равна р=1/2. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме (рис.5).
1
3
2
4
5
Рис.5
Пусть событие Аi означает безотказную работу за время Т элемента с номером i (i =1, 2, 3,…), а событие В – безотказную работу цепи. Требуется
выразить событие В через все события Аi . Найти и вычислить вероятность
события B при p = 1 2.
3. При разрыве бронебойного снаряда крупные осколки составляют 20% от
общего числа осколков, средние – 30% и мелкие – 50%. Вероятность того,
что крупный осколок пробьет броню танка, равна 0,8; для среднего и мелкого вероятности равны 0,5 и 0,2 соответственно. Найти вероятность того,
что попавший в танк осколок пробьет броню.
4. По каналу связи посылаются п сообщений. Помехами каждое сообщение
может быть искажено с вероятностью p. Каким должно быть n, чтобы хотя бы одно сообщение дошло без искажения до адресата с вероятностью не
меньшей 0,99 при p = 0,3 ?
5. На пути проверки качества двигателя самолета четыре контроля. Каждый
из них с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо запрещает эксплуатацию
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
41
самолета. Построить многоугольник распределения вероятностей числа
контролей, пройденных самолетом.
6. Дана плотность вероятности f ( x ) случайной величины X:

C cos x

f ( x) = 
0

 π
при x ∈ 0,  ,
 2
 π
при x ∉ 0,  .
 2
Найти C , MX , DX , σ x , P ( X > MX ) .
7. Случайная
величина
распределена
нормально
с
параметрами
MX = 8, σ x = 3 . Найти вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значение, заключенное в интервале (12,5; 14).
8. Ряд наблюдений для числа сбоев в работе диспетчера в год имеет вид: 29;
18; 15; 33; 21; 17; 8; 14; 11; 25; 34; 36; 12; 9; 19; 37; 25; 20; 27; 33; 14; 13; 20;
40.
Построить интервальный вариационный ряд. Дать статистические оценки
*
среднего значения M x* , дисперсии Dx и среднего квадратичного отклонения σ x генеральной совокупности, а также интервальную оценку M x* с до*
верительной вероятностью 0,8. Построить статистические графики – гистограмму (вместе с плотностью нормального распределения с параметрами
M x* и σ x ) и выборочную функцию распределения.
*
Вариант 6
1. В партии из 15 изделий содержится 10 изделий первого и 5 второго сорта.
Берут наудачу два изделия. Найти вероятность того, что оба – одного и того же сорта.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
42
2. Вероятность отказа каждого элемента в течение времени Т равна p = 1 2.
Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме
(рис.6).
2
1
3
4
5
Рис.6
Пусть событие Ai означает отказ элемента с номером i
( i = 1,2,3,...) ,
а со-
бытие В − отказ цепи за время Т (прекращение тока в цепи). Требуется написать формулу, выражающую событие В через все события Ai . Найти вероятность события В при p = 1 2.
3. В партии 30% изделий произведено первым заводом и 70% − вторым. Вероятность брака на первом заводе равна 0,03, на втором – 0,02. Из партии
случайным образом взято 2 изделия. При контроле оба изделия оказались
бракованными. Найти вероятность того, что оба изготовлены первым
заводом.
4. В аэропорту эксплуатируются 50 авиационных приборов. Вероятность выхода из строя каждого из них в течение времени Т равна p = 0,01 . Вычислить с помощью приближённой формулы Пуассона вероятность того, что
за время Т из строя выйдет не более одного прибора.
5. Испытываются 3 прибора на надёжность. Вероятности выхода из строя каждого прибора соответственно равны 0,1; 0,2; 0,3. Пусть X – число вышедших из строя приборов. Составить таблицу распределения случайной
величины X. Найти MX , σ x , P ( X < MX ) .
6. Дана функция распределения случайной величины X:
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
43
при x < 2,
0

F ( x) =  2
1 − x
при x ≥ 2.
Найти P ( X < 3); P ( 5 ≤ X < 10 ) ; P ( X ≥ 4 ) .
7. Случайная погрешность измерения подчинена нормальному закону распределения с параметрами MX = 0; σ x = 9 мм. Проводятся три независимых измерения. Найти вероятность того, что погрешность хотя бы одного
измерения не превосходит по абсолютной величине 3 мм.
8. Ряд наблюдений числа дней с нелетной погодой в год имеет вид: 49; 48;
35; 33; 27; 28; 25; 24; 41; 25; 34; 36; 52; 49; 39; 37; 25; 50; 57; 33; 24; 23; 30.
Построить интервальный вариационный ряд. Дать статистические оценки
*
среднего значения M x* , дисперсии Dx и среднего квадратичного отклонения σ x генеральной совокупности, а также интервальную оценку M x* с до*
верительной вероятностью 0,9. Построить статистические графики – гистограмму (вместе с плотностью нормального распределения с параметрами
M x* и σ x ) и выборочную функцию распределения.
*
Вариант 7
1. Из партии в 100 предметов, содержащей 5% брака, наугад взяты 3 предмета. Найти вероятность того, что среди них есть хотя бы один небракованный предмет.
2. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени Т
равна р=1/2. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме (рис. 7).
2
5
1
3
4
Рис 7
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
6
44
Пусть событие Аi означает безотказную работу за время Т элемента с номером i (i =1, 2, 3,…), а событие В – безотказную работу цепи. Требуется
выразить событие В через все события Аi . Найти и вычислить вероятность
события B при p = 1 2.
3. Экипажу для безопасного прохождения грозового фронта может быть задано три направления – слева, справа и сверху с одинаковой вероятностью.
Вычислить вероятность благополучного пересечения фронта, если эта вероятность зависит от выбора направления и равна слева 0,9; справа – 0,8;
сверху – 0,5.
4. Найти вероятность разрушения объекта, если для этого необходимо не менее трёх попаданий, а сделано 15 выстрелов. Вероятность попадания при
каждом выстреле равна 0,4.
5. Группа из пяти самолётов бомбит объект, причем каждый сбрасывает одну
бомбу. Вероятность попадания в объект при одном сбрасывании одной
бомбы равна 1/3. Составить таблицу распределения X числа попаданий в
объект и функцию распределения.
6. Дана функция распределения случайной величины X:
при x < 0,
0
F ( x) = 
−x
1 − e
при x ≥ 0.
Найти MX , DX .
7. Известно, что при контроле бракуется 10% изделий. На контроль отобрано
625 изделий. Какова вероятность того, что среди отобранных не менее 550
и не более 575 стандартных изделий?
8. Ряд наблюдений для числа оставшихся незанятыми пассажирских мест на
рейсах имеет вид: 6; 8; 5; 23; 27; 28; 25; 24; 14; 15; 0; 0; 15; 19; 9; 7; 5; 5; 16;
22; 24; 13; 1; 4; 20.
Построить интервальный вариационный ряд. Дать статистические оценки
*
среднего значения M x* , дисперсии Dx и среднего квадратичного отклоне-
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
45
ния σ x генеральной совокупности, а также интервальную оценку M x* с до*
верительной вероятностью 0,95. Построить статистические графики – гистограмму (вместе с плотностью нормального распределения с параметрами
M x* и σ x ) и выборочную функцию распределения.
*
Вариант 8
1. Из ящика, содержащего 8 белых и 4 черных шара, наугад берут два шара.
Найти вероятность того, что они одного цвета.
2. Вероятность отказа каждого элемента в течение времени Т равна p = 1 2.
Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме
(рис.8).
1
3
5
2
4
6
Рис. 8
Пусть событие Ai означает отказ элемента с номером i
( i = 1,2,3,...) , а со-
бытие В − отказ цепи за время Т (прекращение тока в цепи). Требуется написать формулу, выражающую событие В через все события Ai . Найти
вероятность события В при p = 1 2.
3. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий
конвейер. Первый автомат дает 70% , второй – 30% деталей. Первый автомат производит 60% деталей отличного качества, второй – 85% деталей
отличного качества. Наугад взятая деталь оказалась отличного качества.
Найти вероятность того, что эта деталь произведена вторым автоматом.
4. Некоторое электронное устройство выходит из строя, если откажет определенная микросхема. Вероятность её отказа в течение 1 часа работы устрой-
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
46
ства равна 0,004. Какова вероятность того, что в течение 1000 часов работы
устройства придется 5 раз менять микросхему?
5. Обстрел низколетящего самолета производится из зенитного орудия с вероятностью попадания при одном выстреле 0,2. Произведено 6 независимых выстрелов. Составить закон распределения числа независимых выстрелов, найти функцию распределения.
6. Дана функция распределения случайной величины X:
0

F ( x ) =  x2

1
при x < 0,
при 0 ≤ x < 1,
при x > 1.
Найти MX , DX , σ x , P ( X − MX < σ x ) .
7. Вероятность того, что с конвейера сойдет бракованный прибор, равна 0,02.
За смену было изготовлено 3600 приборов. Найти максимальное отклонение относительной частоты появления бракованных приборов от вероятности 0,02, если вероятность такого отклонения равна 0,95.
8. Ряд наблюдений для срока службы приборов (в час) имеет вид: 250; 180;
500; 230; 470; 400; 510; 270; 240; 170; 55; 460; 360; 230; 20; 330; 480; 260;
370; 420; 440; 430; 510; 40.
Построить интервальный вариационный ряд. Дать статистические оценки
*
среднего значения M x* , дисперсии Dx и среднего квадратичного отклонения σ x генеральной совокупности, а также интервальную оценку M x* с до*
верительной вероятностью 0,98. Построить статистические графики – гистограмму (вместе с плотностью нормального распределения с параметрами
M x* и σ x ) и выборочную функцию распределения.
*
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
47
Вариант 9
1. Предполагая, что для шахматиста равновероятны три исхода каждой партии (выигрыш, проигрыш, ничья), найти вероятность того, что шахматист
из четырех партий не проиграет ни одной.
2. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени Т
равна р=1/2. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме (рис.9).
2
4
6
8
3
5
7
9
1
Рис.9
Пусть событие Аi означает безотказную работу за время Т элемента с номером i (i =1, 2, 3,…), а событие В – безотказную работу цепи. Требуется
выразить событие В через все события Аi . Найти и вычислить вероятность
события B при p = 1 2.
3. Три самолета – ведущий и два ведомых – посылаются на бомбометание.
Радионавигационное оборудование для выхода на цель есть только у ведущего. После выхода на цель бомбометание самолетами осуществляется независимо друг от друга. Вероятность разрушения объекта для каждого из
них равна 0,3. Перед выходом на цель они проходят зону зенитной обороны, где каждый может быть сбит с вероятностью 0,2. Найти вероятность
того, что объект будет разрушен.
4. Сколько нужно взять деталей, чтобы наивероятнейшее число годных было
50, если вероятность того, что наудачу взятая деталь будет бракованной,
равна 0,1?
5. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины
x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1 , а также известны математические ожидания этой
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
48
величины и её квадрата: MX = 0,1; MX 2 = 0,9 . Найти
вероятности
p1 , p2 , p3 , соответствующие возможным значениям x1 , x2 , x3 .
6. Дана плотность распределения вероятности случайной величины X:
при x < 0 или x > 2,
при 0 ≤ x < 1,
при 1 < x ≤ 2.
0

f ( x ) = C
C (2 − x)

Найти MX , DX , σ x , F ( x), P ( X − MX < σ x ) .
7. Вероятность того, что на станке-автомате будет отштампован корпус некоторого механического устройства, не удовлетворяющий допуску, равна
0,01. Сколько надо изготовить корпусов, чтобы с вероятностью 0,99 ожидать не превосходящее 0,03 по абсолютной величине отклонение относительной частоты появления нестандартного корпуса от вероятности его появления?
8. Ряд наблюдений для количества осадков в аэропорту за сезон (в мм) имеет
вид: 220; 280; 155; 230; 270; 180; 250; 240; 140; 150; 330; 70; 150; 190; 90;
170; 190; 130; 160; 210; 240; 130; 100; 400; 290; 80.
Построить интервальный вариационный ряд. Дать статистические оценки
*
среднего значения M x* , дисперсии Dx и среднего квадратичного отклонения σ x генеральной совокупности, а также интервальную оценку M x* с до*
верительной вероятностью 0,99. Построить статистические графики – гистограмму (вместе с плотностью нормального распределения с параметрами
M x* и σ x ) и выборочную функцию распределения.
*
Вариант 10
1. Из ящика, содержащего 2 белых, 3 красных и 4 черных шара, наугад берут
3 шара. Найти вероятность того, что они одного цвета.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
49
2. Вероятность отказа каждого элемента в течение времени Т равна p = 1 2.
Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме
(рис. 10).
1
3
6
4
2
5
7
Рис. 10
Пусть событие Ai означает отказ элемента с номером i
( i = 1,2,3,...) ,
а со-
бытие В – отказ цепи за время Т (прекращение тока в цепи). Требуется написать формулу, выражающую событие В через все события Ai . Найти вероятность события В при p = 1 2.
3. Вероятность выхода самолета на заданный аэродром при работающих радиотехнических средствах равна 0,93 и при неработающих – 0,7. Известно,
что 20% всех полетов будет выполнено при неработающих РТС. Самолет
вышел на аэродром. Найти вероятность того, что РТС не работали.
4. Рабочий обслуживает 12 одинаковых станков. Вероятность того, что в течение часа станок потребует регулировки, равна 1/3. Какова вероятность
того, что в течение часа рабочему придется регулировать 4 станка?
5. Дан
перечень возможных значений дискретной случайной величины:
x1 = 8, x2 = 4, x3 = 12 , а также известны математическое ожидание и дисперсия этой величины: MX = 9; DX = 11. Найти вероятности p1 , p2 , p3 ,
соответствующие возможным значениям x1 , x2 , x3 .
6. Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением:
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
50
0

F ( x ) = ax 3

1
x ≤ 0,
при
при
при
0 < x ≤ 2,
x > 2.
Найти коэффициент а, MX, DX и плотность вероятности случайной величины.
7. Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле равна 0,2. Произведено 625 выстрелов. Найти вероятность того, что число попаданий m в цель
удовлетворяет неравенству 115 ≤ m < 145 .
8. Ряд наблюдений для длины очереди на регистрацию (чел.) имеет вид: 16; 8;
25; 33; 27; 8; 45; 14; 41; 10; 0; 35; 19; 17; 5; 38; 36; 0; 2; 43; 1; 4.
Построить интервальный вариационный ряд. Дать статистические оценки
*
среднего значения M x* , дисперсии Dx и среднего квадратичного отклонения σ x генеральной совокупности, а также интервальную оценку M x* с до*
верительной вероятностью 0,98. Построить статистические графики – гистограмму (вместе с плотностью нормального распределения с параметрами
M x* и σ x ) и выборочную функцию распределения.
*
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
51
Примеры решения контрольного задания
1. В подгруппе для лабораторных занятий 12 студентов, среди которых 8
имеют хорошую успеваемость. По списку наугад отобраны 9 студентов.
Какова вероятность того, что среди отобранных студентов окажутся 5 человек, имеющих хорошую успеваемость?
Решение
Введем обозначения А1 и А2 – события, состоящие в том, что из 9 отобранных студентов соответственно 5 имеют хорошую подготовку, а 4 – слабую.
Событие А, состоящее в отборе 5 студентов с хорошей и 4 со слабой подготовкой, является пересечением событий А1 и А2: A = A1 I A2 .
Число всех исходов равно n = C129 =
12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4
= 220.
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9
Число всех исходов, благоприятствующих событию А, равно m = m1 ⋅ m2 ,
где
m1 = C85 =
8⋅7⋅6⋅5⋅ 4
= 56;
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5
m2 = C44 =
4!
= 1.
4! 0!
Вероятность события А равна
P ( A) =
m m1 ⋅ m2 56
=
=
= 0,255.
n
n
220
2. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени Т
равна р=1/2. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме (рис.11).
1
3
4
2
6
5
Рис. 11
Пусть событие Аi означает безотказную работу за время Т элемента с номером i (i =1, 2, 3,…), а событие В – безотказную работу цепи. Требуется
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
52
выразить событие В через все события Аi. Найти и вычислить вероятность
события B при p = 1 2.
Решение
Цепь состоит из трех последовательно включенных блоков. Цепь работает,
когда все три блока работают совместно. Присвоим блокам номера 1, 2, 3 слева
направо. Пусть Bk – событие, означающее безотказную работу блока с номером
k (k =1, 2, 3). Тогда
B = B1 I B2 I B3 .
Первый блок состоит из двух элементов с номерами 1, 2, включенных параллельно. Поэтому блок работает, когда работает хотя бы один элемент блока,
следовательно,
B1 = A1 U A2 .
Второй блок содержит 3 элемента с номерами 3, 4, 5, включенных параллельно, поэтому
B2 = A3 U A4 U A5 .
Третий блок состоит из одного элемента с номером 6, поэтому B3 = A6 .
Таким образом,
B = ( A1 U A2 ) I ( A3 U A4 U A5 ) I A6 .
Так как элементы, а следовательно, и блоки работают независимо, то можно применить теоремы сложения и умножения вероятностей для взаимно независимых событий:
P ( B ) = P ( A6 ) ⋅ P ( A1 U A2 ) ⋅ P ( A3 U A4 U A5 ) =
= P ( A6 ) ⋅  P ( A1 ) + P ( A2 ) − P ( A1 ) P ( A2 )  ⋅ 1 − (1 − P ( A3 ) ) ⋅ (1 − P ( A4 ) ) ⋅ (1 − P ( A5 ) )  =
3
= p ( 2 p − p 2 ) 1 − (1 − p )  .


Подставляя p = 1 2, получим
1  1  1  1 3 7 21
P ( B ) =  1 − 1 −  = ⋅ ⋅ =
≈ 0,328.
2  4  8  2 4 8 64
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
53
3. Ремонтно-наладочная бригада завода обслуживает станки трёх типов: первого, второго и третьего, которые находятся на заводе в соотношении 1: 2: 3. Вероятности обращения к бригаде за время Т для обслуживания станков каждого типа соответственно равны 0,5; 0,3 и 0,2. Поступил
вызов в бригаду (событие А). Какого типа станок вероятнее всего потребовал усилий бригады?
Решение
Введем событие H k
( k = 1,2,3) ,
означающее, что выбран станок k -го ти-
па. По условию задачи имеем вероятности
1
1
= ;
1+ 2 + 3 6
2
P ( H2 ) = ;
6
3
P ( H3 ) = ;
6
P ( H1 ) =
P ( A H1 ) = 0,5;
P ( A H 2 ) = 0,3;
P ( A H 3 ) = 0,2.
По формуле полной вероятности получаем
P ( A ) = P ( H1 ) P ( A H1 ) + P ( H 2 ) P ( A H 2 ) + P ( H 3 ) P ( A H 3 ) =
1
2
3
1
1,7
= ⋅ 0,5 + ⋅ 0,3 + ⋅ 0,2 = ( 0,5 + 0,3 + 0, 2 ) =
≈ 0,283.
6
6
6
6
6
По формуле Байеса находим
P ( H1 A ) =
P ( H 2 A) =
P ( H1 ) P ( A H1 ) 0,5 6 5
=
= ;
P ( A)
1,7 6 17
P ( H 2 ) P ( A H 2 ) 0,6 6 6
=
= ;
P ( A)
1,7 6 17
P ( H 3 A) = 1 −
5 6
6
− = .
17 17 17
Вероятнее всего потребовались усилия бригады для станков второго или
третьего типа.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
54
4. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырёх или три партии из шести (ничьи во внимание
не принимаются)?
Решение
Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша
p=
1
1
, следовательно, вероятность проигрыша q = . Так как во всех партиях
2
2
вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности
будут выиграны партии, то применима формула Бернулли:
P4 ( 2 ) = C42 p 2q 4−2 =
4! 1 1
6
⋅ 2⋅ 2= ,
2!⋅ 2! 2 2 16
P6 ( 3) = C63 p 3q 6−3 =
6! 1 1
5
⋅ 3⋅ 3= .
3! ⋅ 3! 2 2 16
Так как P 4 ( 2 ) > P6 ( 3) , то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем
три из шести.
5. Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Построить ряд
распределения и функцию распределения числа отказавших элементов в
одном опыте.
Решение
Дискретная случайная величина X (число отказавших элементов в одном
опыте) имеет следующие возможные значения: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3.
Отказы элементов независимы один от другого, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли. Имеем p = 0,1, q = 1 − p = 0,9. Используя производящую функцию
ϕ ( x ) = ( px + q ) = p3 x3 + 3 p 2 x 2 q + 3 pxq 2 + q 3 = P3 ( 3) x3 + P3 ( 2 ) x 2 + P3 (1) x + P3 ( 0 ) =
3
= 0,13 x 3 + 3 ⋅ 0,12 ⋅ 0,9 x 2 + 3 ⋅ 0,1 ⋅ 0,92 x + 0,93 ,
находим P3 ( 3) = 0,001;
P3 ( 2 ) = 0,027;
P3 (1) =0,243;
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
P3 ( 0 ) = 0,729.
55
Ряд распределения имеет вид
Контроль
X
0
1
2
3
P
0,729
0,243
0,027
0,001
∑p
i
=1
Найдём функцию распределения
0
0,729

F ( x ) = 0,972
0,999

1
при
x = 0,
при 0 < x ≤ 1,
при 1 < x ≤ 2,
при 2 < x ≤ 3,
при
x > 3.
n
Математическое ожидание определяется по формуле MX = ∑ xi pi :
i =1
MX = 0 ⋅ 0,729 + 1 ⋅ 0,243 + 2 ⋅ 0,027 + 3 ⋅ 0,001 = 0,300 .
В этом случае
P ( X < MX ) = P ( X < 0,3) = P ( X = 0 ) = 0,729.
Дисперсия находится по формуле DX = MX 2 − ( MX ) :
2
MX 2 = 0 ⋅ 0,729 + 1 ⋅ 0,243 + 4 ⋅ 0,027 + 9 ⋅ 0,001 = 0,360 ,
DX = 0,360 − 0,09 = 0,351.
Отсюда
σ x = DX = 0,593.
6. Случайная величина X задана дифференциальной функцией распределения
 a

f ( x ) = 1 + x 2
0

при
x ≤ 1,
при
x > 1.
Построить интегральную функцию распределения. Найти коэффициент а,
(
математическое ожидание MX , DX , σ x , P 0 < x < 1
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
)
3 .
56
Решение
Построим интегральную функцию распределения F ( x ) , которая связана с
f ( x ) следующим соотношением:
F ( x) =
+∞
∫ f ( x ) dx .
−∞
Тогда
а) при x ≤ −1 F ( x ) = 0,
б) при −1 < x ≤ 1
F ( x) =
−1
x
2dx
2
∫ f ( x )dx + ∫ π (1 + x ) = 0 + π arctgx
−∞
2
−1
x
−1
=
2
2
π
( arctgx + arctg1) =  arctgx +  ,
π
π
4
в) при x > 1
F ( x) =
−1
∫
−∞
1
x
−1
1
f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x ) dx = 0 +
2
2 π π
( arctg1 + arctg1) + 0 =  +  = 1.
π
π 4 4
Таким образом, имеем
при x < −1,
0

π
2
F ( x ) =   arctgx +  п ри x ≤ 1,
4
π 
при x > 1.
1
Коэффициент а находим из условия
∞
∫ f ( x ) dx = 1 ;
−∞
a
π
π π 
1
dx
=
a
⋅
arctgx
=
a
arctg
1
+
arctg
1
=
a
+
=
a
⋅
= 1.
(
)
1


−
2
∫−1 1 + x
2
4 4
1
Отсюда a =
2
.
π
Найдем математическое ожидание
1
1
1 2 xdx 1
MX = ∫ x f ( x )dx = ∫
= ln (1 + x 2 ) 1−1 = 0.
2
π −1 1 + x
π
−1
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
57
Вероятность попадания случайной величины X в заданный интервал равна
1 
2
1 π 2 π

 1 
P0 < X <
+ − ⋅ =
= F
 − F ( 0 ) = π  arctg
4 π 4
3
3
3





2 π π  1 1 1 1 1
=  + − = + − = .
π6 4 2 3 2 2 3
7. Определить среднеквадратичную ошибку прибора, если он систематических ошибок не имеет, а случайные ошибки измерения распределены нормально и с вероятностью 0,9 не выходят за пределы ± 5 мм.
Решение
Пусть X – ошибка измерительного прибора. Из условия задачи следует,
ε 
что P ( X < 5) = 0,9. По формуле P ( X − MX < ε ) = 2Ф   с учетом MX = 0 наσ 
ходим
ε
P ( X < 5) = 2Ф 
σ

5
 = 2Ф   = 0,9.

σ 
5
По табл. П1 (прилож.) из условия Ф   = 0,45 находим u = 1,65. Следоσ 
вательно,
5
= 1,65 и σ = 3 мм.
σ
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
58
Приложение
Таблица П1
Таблица значений нормированной функции Лапласа
u
1
− t2 2
Ф (u ) =
e
∫ dt
2π 0
u
Ф (u )
u
Ф (u )
u
Ф (u )
u
Ф (u )
0
0
1,0
0,3413
2,0
0,4772
3,0
0,4986
0,1
0,0398
1,1
0,3643
2,1
0,4821
3,1
0,4990
0,2
0,0793
1,2
0,3849
2,2
0, 4861
3,2
0,4993
0,3
0,1179
1,3
0,4032
2,3
0,4892
3,3
0,4991
0,4
0,1554
1,4
0,4192
2,4
0,4918
3,4
0,4996
0,5
0,1915
1,5
0,4332
2,5
0,4938
3,5
0,4997
0,6
0,2257
1,6
0,4452
2,6
0,4953
3,6
0,4998
0,7
0,2580
1,7
0,4554
2,7
0,4965
3,7
0,4998
0,8
0,2881
1,8
0,4641
2,8
0,4974
3,8
0,4999
0,9
0,3159
1,9
0,4713
2,9
0,4981
3,9
0,4999
Таблица П2
Критические точки для t-распределения Стьюдента
β
df
0,2
0,5
0,8
0,9
0,95
0,98
0,99
0,999
1
0,324920 1,000000 3,077684 6,313752 12,70620 31,82052 63,65674 636,6192
2
0,288675 0,816497 1,885618 2,919986 4,30265
6,96456
9,92484
31,5991
3
0,276671 0,764892 1,637744 2,353363 3,18245
4,54070
5,84091
12,9240
4
0,270722 0,740697 1,533206 2,131847 2,77645
3,74695
4,60409
8,6103
5
0,267181 0,726687 1,475884 2,015048 2,57058
3,36493
4,03214
6,8688
6
0,264835 0,717558 1,439756 1,943180 2,44691
3,14267
3,70743
5,9588
7
0,263167 0,711142 1,414924 1,894579 2,36462
2,99795
3,49948
5,4079
8
0,261921 0,706387 1,396815 1,859548 2,30600
2,89646
3,35539
5,0413
9
0,260955 0,702722 1,383029 1,833113 2,26216
2,82144
3,24984
4,7809
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
59
10
0,260185 0,699812 1,372184 1,812461 2,22814
2,76377
3,16927
4,5869
11
0,259556 0,697445 1,363430 1,795885 2,20099
2,71808
3,10581
4,4370
12
0,259033 0,695483 1,356217 1,782288 2,17881
2,68100
3,05454
4,3178
13
0,258591 0,693829 1,350171 1,770933 2,16037
2,65031
3,01228
4,2208
14
0,258213 0,692417 1,345030 1,761310 2,14479
2,62449
2,97684
4,1405
15
0,257885 0,691197 1,340606 1,753050 2,13145
2,60248
2,94671
4,0728
16
0,257599 0,690132 1,336757 1,745884 2,11991
2,58349
2,92078
4,0150
17
0,257347 0,689195 1,333379 1,739607 2,10982
2,56693
2,89823
3,9651
18
0,257123 0,688364 1,330391 1,734064 2,10092
2,55238
2,87844
3,9216
19
0,256923 0,687621 1,327728 1,729133 2,09302
2,53948
2,86093
3,8834
20
0,256743 0,686954 1,325341 1,724718 2,08596
2,52798
2,84534
3,8495
21
0,256580 0,686352 1,323188 1,720743 2,07961
2,51765
2,83136
3,8193
22
0,256432 0,685805 1,321237 1,717144 2,07387
2,50832
2,81876
3,7921
23
0,256297 0,685306 1,319460 1,713872 2,06866
2,49987
2,80734
3,7676
24
0,256173 0,684850 1,317836 1,710882 2,06390
2,49216
2,79694
3,7454
25
0,256060 0,684430 1,316345 1,708141 2,05954
2,48511
2,78744
3,7251
26
0,255955 0,684043 1,314972 1,705618 2,05553
2,47863
2,77871
3,7066
27
0,255858 0,683685 1,313703 1,703288 2,05183
2,47266
2,77068
3,6896
28
0,255768 0,683353 1,312527 1,701131 2,04841
2,46714
2,76326
3,6739
29
0,255684 0,683044 1,311434 1,699127 2,04523
2,46202
2,75639
3,6594
30
0,255605 0,682756 1,310415 1,697261 2,04227
2,45726
2,75000
3,6460
∞
0,253347 0,674490 1,281552 1,644854 1,95996
2,32635
2,57583
3,2905
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com