1. Раскрыть сущность понятия «вычислительные приемы

1. Раскрыть сущность понятия «вычислительные приемы»,
«вычислительные умения» и «вычислительные навыки». Указать
признаки, по которым можно оценивать сформированность
вычислительных умений и вычислительных навыков
Одной из основных задач преподавания курса математики в школе
является формирование у учащихся сознательных и прочных вычислительных
умений и навыков.
Вычислительная культура формируется у учащихся на всех этапах
изучения курса математики, но основа её закладывается в первые 5–6 лет
обучения.
В
использовать
этот
период
законы
школьники
математических
обучаются
действий
умению
(сложение,
осознанно
вычитание,
умножение, деление, возведение в степень). В последующие годы полученные
умения и навыки совершенствуются и закрепляются в процессе изучения
математики, физики, химии и др. предметов.
В зависимости от сложности задания на практике используются три вида
вычислений: письменное, устное и письменное с промежуточными устными
вычислениями.
Раскроем суть вычислительного приёма. Пусть надо сложить числа 8 и 6.
Приём вычисления для этого случая будет состоять из ряда операций:
1. замена числа 6 суммой удобных слагаемых 2 и 4;
2. прибавление к числу 8 слагаемого 2;
3. прибавление к полученному результату, к числу 10, слагаемого 4.
Здесь
выбор операций и порядок
их выполнения
определяется
соответствующей теоретической основой приёма – применением свойства
прибавления к числу суммы (сочетательное свойство): замена числа 6 суммой
удобных слагаемых, затем прибавление к числу 8 последовательно каждого
слагаемого. Кроме того, здесь используются и другие знания, например, при
выполнении первой операции используется знание состава чисел первого
десятка: 10=8+2 и 6=2+4.
Таким образом, можно сказать, что приём вычисления над данными
числами складывается из ряда последовательных операций, выполнение
которых приводит к нахождению результата требуемого арифметического
действия над этими числами; причём выбор операций в каждом приёме
определяется теми теоретическими положениями, которые используются в
качестве теоретической основы.1
Вычислительный
навык
–
это
высокая
степень
овладения
вычислительными приёмами.
В большинстве случаев уже в начальных классах школы для нахождения
результата арифметического действия можно использовать в качестве
теоретической основы различные теоретические положения, что приводит к
разным приёмам вычислений.
Например:
1) 15×6=15+15+15+15+15+15=90;
2) 15×6=(10+5)×6=10×6+5×6=90;
3) 15×6=15×(2×3)=(15×2)×3=90.
Теоретической основой для выбора операций, составляющих первый из
приведённых приёмов, является конкретный смысл действия умножения;
теоретической основой второго приёма – свойство умножения суммы на число,
а третьего приёма – свойство умножения числа на произведение. Операции,
составляющие приём вычисления, имеют разный характер. Многие из них сами
являются арифметическими действиями. Эти операции играю особую роль в
процессе овладения вычислительными приёмами: выполнение приёма в
свёрнутом плане сводится к выделению и выполнению именно операций,
являющихся арифметическими действиями. Поэтому операции, являющиеся
арифметическими действиями, можно назвать основными. Например, для
случая 16×4 основными будут операции: 10×4=40, 6×4=24, 40+24=64. Все
другие операции – вспомогательные.
Число операций, составляющих прием, определяется прежде всего
выбором теоретической основы вычислительного приема. Например, при
сложении чисел 57 и 25 в качестве теоретической основы может выступать
1
Грин Р., Лаксон В. Введение в мир числа. – М., 1982, с.13-15
2
свойство прибавления суммы к числу, тогда прием будет включать три
операции: замена числа 25 суммой разрядных слагаемых 20 и 5, прибавление к
числу 57 слагаемого 20 и прибавление к результату, к 77, слагаемого 5; если же
теоретической основой является свойство прибавления суммы к сумме, то
прием для того же случая будет включать пять операций: замена числа 75
суммой разрядных слагаемых 50 и 7, замена числа 25 суммой разрядных
слагаемых 20 и 5, сложение чисел 7 и 5, сложение полученных результатов 70 и
12. Число операций зависит также от чисел, над которыми выполняются
арифметические действия.
Число
операций,
выполняемых
при
нахождении
результата
арифметического действия, может сокращаться по мере овладения приемом.
Например, для случаев вида 8+2 на начальной стадии формирования навыка
ученик выполняет три операции: замена числа 2 суммой 1 и 1, прибавление
числа 1 к 8 , прибавление числа 1 к результату, к 9. Однако после заучивания
таблицы сложения ученик выполняет одну операцию – он сразу связывает
числа 8 и 2 с числом 10. Как видим, здесь прием как бы перерастает в другой.1
Вычислительные умения – это развёрнутое осуществление действия, в
котором каждая операция осознаётся и контролируется. В отличие от умения
навыки характеризуются свёрнутым, в значительной мере автоматизированным
выполнением действия, с пропуском промежуточных операций, когда контроль
переносится на конечный результат.
Качество вычислительных умений определяется знанием правил и
алгоритмов вычислений. Поэтому степень овладения вычислительными
умениями зависит от четкости сформулированного правила и от понимания
принципа его использования. Умение формируется в процессе выполнения
целенаправленной системы упражнений. Очень важно владение некоторыми
вычислительными умениями доводить до навыка.
Вычислительные навыки отличаются от умений тем, что выполняются
почти бесконтрольно. Такая степень овладения умениями достигается в
1
Грин Р., Лаксон В. Введение в мир числа. – М., 1982, с.15-16
3
условиях целенаправленного их формирования. Образование вычислительных
навыков ускоряется, если учащемуся понятен процесс вычислений и их
особенности.
Как в письменных, так и в устных вычислениях используются
разнообразные
правила
и
приемы.
Уровень
вычислительных
определяется систематичностью закрепления ранее
навыков
усвоенных приемов
вычислений и приобретением новых в связи с изучаемым материалом.
В век компьютерной грамотности значимость навыков письменных
вычислений, несомненно, уменьшилась. Вместе с тем, научиться быстро и
правильно выполнять письменные вычисления важно для младших школьников
как в плане продолжающейся работы с числами, так и в плане практической
значимости этих навыков для дальнейшего обучения в школе.
Итак, формирование вычислительных умений и навыков является одной
из основных задач преподавания математики в начальных классах.
Формирование всякого вычислительного навыка включает в себя ряд
этапов:
I – подготовительный этап;
II – ознакомление с новым вычислительным приемом;
III – усвоение вычислительного приема и формирование вычислительного
умения и навыка.
Рассмотрим подробнее первый (подготовительный этап) формирования
вычислительного навыка. Одной из задач первого этапа является актуализация
через систему специально подобранных заданий определенного круга знаний,
умений и навыков учащихся, необходимых и достаточных для ознакомления с
новым вычислительным приемом:
ö
выделяется теоретическое обоснование вычислительного приема;
ö
выделяются операции, входящие в вычислительный прием;
ö
выделяются знания, умения, навыки учащихся, необходимые для
ознакомления с новым вычислительным приемом;
4
ö
составляется система упражнений, актуализирующая знания, умения,
навыки, выделенные на третьем уровне.
Организуя
аналогичным образом
деятельность
по формированию
вычислительного навыка на втором и третьем этапах, можно добиться высокой
степени овладения младшими школьниками вычислительными навыками.1
Особенность изучения письменных вычислений обусловлена тем, что у
детей быстро развивается усталость при работе с числами. Это объясняется
большим количеством операций как письменного сложения и вычитания, так и
письменного умножения и деления. Избежать быстрой утомляемости и
снижения
внимания
чередование
при
различных
изучении
видов
письменных
деятельности,
вычислений
отказ
от
поможет
однообразных
тренировочных упражнений, обучение приёмам действия контроля. Действие
контроля
должно
присутствовать
на
каждом
этапе
выполнения
вычислительного приёма. Только в этом случае возможно постоянное
прослеживание
хода
выполнения
учебных
действий,
своевременное
обнаружение различных больших и малых погрешностей в их выполнении, а
также внесение необходимых корректив в них. Обнаруженная ошибка в
процессе
вычислений
позволит
сохранить
ребёнку
внутренние
силы,
предотвратить преждевременную усталость. Для контроля в выполнении
письменных вычислений целесообразно показать ученикам, как использовать
опорные сигнал, например точки, напоминающие о том, что следует учесть
перенесённую через разряд единицу. В связи с этим необходимо больше
внимания уделять формированию действия контроля в процессе работы над
вычислительными приёмами и навыками, так как организационное действие
контроля приводит к концентрации внимания всех учащихся, формирует в
практической деятельности каждого ученика умение рассуждать, исключает
ошибки в тетрадях, что позволяет совершенствовать умения осознанно
выполнять вычислительные приёмы.
1
Чернова Л.И. Организация деятельности студентов при формировании общеметодических
умений// Начальная школа. – 2005. - № 9, с.6
5
Вычислительные умения и навыки можно считать сформированными
только в том случае, если учащиеся умеют с достаточной беглостью
производить устные и письменные вычисления, рационально организовать ход
вычислений, убеждаться в правильности полученных результатов.1
2. Раскрыть сущность понятия «разноуровневые задания». Указать
признаки, характеризующие каждый из уровней, и значение
дифференциации обучения
В настоящее время дифференциация обучения в единстве с базовым
образованием
является
определяющим
фактором
демократизации
и
гуманизации учебного процесса.
Проблема
дифференциации
обучения
принадлежит
к
числу
традиционных для отечественной школы. Ее методологические основы
отражены в работах Ю.К. Бабанского, А.А. Бударного, Б.П. Есипова, А.А.
Кирсанова, И.Я. Лернера, Е.С. Рабунского, И.Э. Унт, Н.М. Шахмаева и др.
Изучению индивидуальных психологических особенностей обучаемых уделено
большое внимание в трудах психологов Л.С. Выготского, И.В. Дубровиной,
З.И. Калмыковой, В.А. Крутецкого, А.Н. Леонтьева, Н А. Менчинской, Н.Ф.
Талызиной, Б.М. Теплова и др. Различные аспекты дифференцированного
обучения математике исследованы в работах С.В. Алексеева, В.А. Гусева, М.И.
Зайкина, Ю.М. Колягина, Г.И. Саранцева, И.М. Смирновой, А.А. Столяра, Н.А.
Терешина, В.В. Фирсова и др. Они внесли значительный вклад в развитие
теории и практики дифференцированного обучения математике.
Процесс
решения
задачи
обусловлен
возможностями
ученика,
решающего ее, поэтому обучение, ориентированное на «среднего» ученика,
недостаточно эффективно. Ребенок не осуществляет активную учебную
деятельность, если учебное задание не соответствует его возможностям.
Во многих работах дифференциацию обучения применительно к
решению
1
математических
задач
предлагается
осуществлять
за
счет
Федотова Л.Н. Повышение вычислительной культуры учащихся// Начальная школа. – 1991.
- № 2, с.11
6
варьирования их по степени сложности, т.е. разработка проблемы представлена
преимущественно в содержательном аспекте обучения. Но в начальных классах
индивидуальные особенности школьников еще незначительно связаны с
системой
знаний,
и
это
существенно
ограничивает
возможности
дифференциации обучения решению задач по содержанию. Поэтому, по
мнению Бариновой О.В., необходима дифференциация деятельности учащихся
в процессе решения одной и той же задачи.1
Психологами установлено, что оптимально развивающим может быть
лишь такое обучение, которое опирается на достигнутый учащимся уровень
развития. Поэтому обучение решению задач целесообразно строить на
уровневой основе, с учетом доминирующих особенностей умственной
деятельности младших школьников.
При уровневой дифференциации перед учащимися, занимающимися в
одном классе и по одному учебнику, ставятся разные требования к овладению
учебным материалом. При этом определяется опорный уровень подготовки,
задаваемый стандартом математического образования, и на его основе
формируются более высокие уровни овладения материалом.
Диагностика типичных проявлений особенностей учащихся позволяет,
подчеркивает Баринова О.В., выделить и охарактеризовать уровни умения
решать задачи. В основу этих уровней положены различные виды анализа
(элементный, комплексный, предвосхищающий):
ö
пониженный уровень. Восприятие задачи осуществляется учеником
поверхностно, неполно. При этом он вычленяет разрозненные данные,
внешние, зачастую несущественные элементы задачи. Ученик не может и не
пытается предвидеть ход ее решения. Характерной является ситуация, когда, не
поняв, как следует задачу, ученик уже приступает к ее решению, которое чаще
всего оказывается беспорядочным манипулированием числовыми данными.
Здесь преобладает «элементный» анализ;
1
Баринова О.В. Особенности организации уровневой дифференциации в обучении
математике младших школьников. – Пенза, 1997, с.105
7
ö
средний уровень. Восприятие задачи сопровождается ее анализом
(причем осуществляется анализ «комплексный»). Ученик стремится понять
задачу, выделяет данные и искомое, но способен при этом установить между
ними лишь отдельные связи. Из-за отсутствия единой системы связей
затруднено предвидение последующего хода решения задачи. Чем более
разветвлена эта сеть, тем больше вероятность ошибочного решения задачи.
Доступно пошаговое планирование решения. Ученик способен обобщить
способ решения, но для этого требуется большое количество упражнений в
решении однотипных задач и помощь учителя. Недостаточно развита гибкость
мышления, поэтому имеются трудности в установлении обратных связей между
величинами, проявляется склонность к привычным формам предъявления
заданий, способам решений. Ученику становится доступно нахождение разных
способов решения задачи, если имеется такой опыт при решении аналогичных
задач;
ö
повышенный уровень. На основе полного всестороннего анализа
задачи, ученик выделяет целостную систему взаимосвязей между величинами,
видит
«скелет
задачи».
Это
позволяет
ему
осуществлять
целостное
планирование решения задачи, причем разными способами. При анализе
задачной ситуации учащийся свободно отбрасывает несущественные и лишние
элементы с точки зрения ее требования. Легко обобщает способ решения
частной задачи. Гибкость мышления проявляется в свободном переключении с
одного способа решения на другой, в правильном установлении как прямых,
так
и
обратных
связей
между
величинами.
Здесь
преобладает
«предвосхищающий» анализ.1
Баринова О.В. отмечает далее, что известны различные способы
деятельности
по
решению
задач:
алгоритмический
и
эвристический.
Алгоритмический способ характеризуется тем, что решающий осуществляет
1
Баринова О.В. Особенности организации уровневой дифференциации в обучении
математике младших школьников. – Пенза, 1997, с.105-106
8
свою
деятельность
в
соответствии
с
известным
ему
алгоритмом,
а
эвристический отличается отсутствием у решающего такого алгоритма, и
главная часть его деятельности состоит в поисках плана или способа решения
данной задачи. Таким образом, алгоритмическую деятельность составляют
исполнительные действия и операции, реализация которых заведомо приводит
к достоверному выводу; а эвристическую - ориентировочные, реализация
которых обещает лишь вероятностно достоверный вывод. Учитывая это,
Баринова О.В. выделяет опорный, повышенный и переходный между ними
уровни обучения.1
Новикова Н.Ф. и Рейш Е.А. также отмечают эффективность применения
разноуровневых заданий на уроках математики. Задания подбираются так,
чтобы при единой познавательной цели и общем содержании они отличались
разной степенью трудности. Задания составляются таким образом, чтобы к
достижению единой цели учащиеся шли разными путями.
Для достижения этой цели Новикова Н.Ф. и Рейш Е.А. рекомендуют
карточки, в которые включены задания двух уровней. При выполнении первого
уровня ученик закрепляет базовые знания традиционной системы. Второй
уровень – уровень повышенной сложности. Он предполагает не только
выполнение заданий по отработке учебного материала, но и развития
логического мышления, проявления сообразительности в выборе способов
решения
или
применения
дополнительных
знаний.
При
выполнении
самостоятельной работы учащиеся становятся субъектом познавательной
деятельности, которая воспитывает инициативность (в данном случае выбор
уровня и т.д.), самостоятельность в усвоении знаний, умений и навыков, в
развитии мышления, памяти и творческого мышления. Целесообразность
поуровнего обучения обусловлена стремлением создать более благоприятные
1
Баринова О.В. Особенности организации уровневой дифференциации в обучении
математике младших школьников. – Пенза, 1997, с.106
9
условия для гуманизации образования, творческого развития каждого ученика с
учетом его индивидуальных способностей и интересов.1
Наиболее полная характеристика каждого из уровней задания дана
Караевым Ж.А.
Согласно его методике, при выполнении задания каждый
ученик, несмотря на свои способности, начинает свою деятельность с заданий
обязательного (ученического) уровня. Это обеспечивает для всех получение
опорных знаний и самое главное – гарантированное выполнение обязательного
уровня для всех. Как правило, первый раз преодолев обязательный уровень,
ученик стремится дальше, у него появляется мотив, уверенность в самом себе.
Каждый из них обязан выполнить задания первого уровня, и имеет полное
право выполнять задания высших уровней, развивая тем самым свои
способности и повышая постепенно свои знания от уровня к уровню. При
выполнении заданий высших уровней становится целью каждого ученика, так
как по мере правильного выполнения задания каждого из уровней, ученики
получают соответствующие этим уровням усвоения количество балов.
Профессор Караев Ж.А. разработал требования к составлению заданий
различных уровней:
1.
ö
К заданиям первого ученического уровня относятся:
задания
на
припоминание
и
актуализацию
уже
имеющихся,
усвоенных и новых знаний без их видоизменения, т.е. копирование. Это
задания,
решаемые
аналогичным
путем,
выполняя
которые
ученики
самостоятельно закрепляют основные опорные знания, т.е. это тренировочные
задания – воспроизведение изученного в процессе применения на практике
усвоенных правил, определений и законов. Это типичные для новой темы
задания, связанные с жизнью.
Например, это задания типа:
§ умножение и деление чисел;
§ решение простого уравнения.
1
Новикова Н.Ф., Рейш Е.А. Использование разноуровневых заданий для самостоятельной
работы по математике как средство повышения качества знаний младших школьников//
Начальная школа. – 1997. - № 2, с.9
10
2.
ö
К заданиям второго алгоритмического уровня относятся:
задания в измененной ситуации на систематизацию и упорядочение
ранее изученного материала, т.е. аналогичные задания, но требующие при их
решении преобразования полученных знаний. Задания на внимание, имеющие
познавательное значение.
Например:
§ решение задач с применением различных арифметических действий;
§ составление уравнения и решение его.
3.
ö
К заданиям третьего эвристического уровня относятся:
задания познавательно-поискового (эвристического) типа, в процессе
выполнения которых учащиеся вместе с совершенствованием и углублением
ранее усвоенных знаний, приобретают еще и новые знания. Такая работа
требует применения таких приемов мыслительных операций как: анализ,
синтез, сравнение и выделение главного, обобщения. При решении таких задач
учащиеся сталкиваются с новыми заданиями, возникает проблемная ситуация,
требующая поисков путей овладения новыми методами и приемами решения
учебных программ. Задания на самостоятельное составление примеров на
основе собранного материала из жизни.
Например:
§ составление задач, используя данные таблицы и решение их;
§ решение составной задачи и составление двух обратных к ней задач;
§ составление сложного уравнения и его решение.
4.
ö
К заданиям четвертого творческого уровня относятся:
задания, которые составляются таким образом, чтобы учащиеся,
опираясь на богатство понятий и связей, а также способов действий,
накопленных в ученическом и жизненном опыте, силой воображения и
активного мышления создавали нечто новое, оригинальное в той или иной мере
выражающее их индивидуальные склонности. Т.е. это задания на выявление и
оценивание уровня сформированности компетенции учащихся.
11
Например:
§ нестандартная логическая задача.1
Таким образом, на основании вышеизложенного можно сделать вывод,
что рациональное и систематическое использование учителем разноуровневых
заданий положительно влияет на целостность дидактического процесса,
активизацию
познавательной
деятельности
учащихся,
на
осознанность,
прочность, глубину усвоенных знаний. Соблюдается главный принцип
гуманизации, так как у любого ученика, независимо от его способностей,
появляется
возможность
добиться
более
высоких
результатов.
При
мониторинге развития ученик сравнивается сам с собой, а не с достижениями
других учащихся. Переходя от уровня к уровню естественным образом, ученик
приобретает чувство уверенности, активности, самостоятельности. Двигаясь к
творческому
уровню,
ученик
постепенно
развивает
свои
творческие
способности и заинтересованность в предмете. Разноуровневые задания
являются не столько способом проверки знаний, сколько инструментом
диагностики, которая позволяет определить «проблемную зону» и построить
соответствующую
коррекционную
работу.
Применение
разноуровневых
заданий в системе обеспечивает повышение качества знаний по предмету.
1
Караев Ж.А. Об одной педагогической технологии// Поиск. – 1998. - № 3, с.12-14
12
Список использованной литературы:
1.
Баринова О.В. Особенности организации уровневой дифференциации в
обучении математике младших школьников. – Пенза, 1997
2.
Грин Р., Лаксон В. Введение в мир числа. – М., 1982
3.
Караев Ж.А. Об одной педагогической технологии// Поиск. – 1998. - № 3
4.
Новикова Н.Ф., Рейш Е.А. Использование разноуровневых заданий для
самостоятельной работы по математике как средство повышения качества
знаний младших школьников// Начальная школа. – 1997. - № 2
5.
Федотова
Л.Н.
Повышение
вычислительной культуры
учащихся//
Начальная школа. – 1991. - № 2
6.
Чернова Л.И. Организация деятельности студентов при формировании
общеметодических умений// Начальная школа. – 2005. - № 9
13