Ивановский государственный энергетический университет

Министерство образования Российской Федерации
Ивановский государственный энергетический университет
Кафедра физики
ВОЛНЫ.
ВОЛНОВЫЕ И КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА
Расчетнографические задания по физике
Иваново 2004
Составители: М. В. Дмитриев,
В. Х. Костюк,
Г. А. Шмелёва
Редактор М. Н. Шипко
Настоящие
задания
предназначены
для
обеспечения
самостоятельной работы студентов по теме “Волны. Волновые и
квантовые свойства света”.
В заданиях учтены особенности учебных планов различных
факультетов. Дана таблица вариантов контрольной работы для студентов
заочной формы обучения.
Расчетно–графические
методической комиссией ИФФ
задания
утверждены
цикловой
Рецензент
кафедра физики Ивановского государственного энергетического
университета
2
1. УПРУГИЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси X,
имеет вид:
  ACos(t  kx  0 ) ,
 – смещение частицы среды, имеющей координату x в
момент времени t ; A – амплитуда смещения;  – циклическая частота;
k – волновое число;  0 – начальная фаза.
где
Для одномерной волны уравнение волновой поверхности имеет
вид:
  t  kx  0 .
Скорость перемещения волновой поверхности равна:
dx  
   v  V ,
dt k T
где  – длина волны; T  2 /  – период колебаний; v – частота
колебаний.
Уравнение волны, распространяющейся в среде с затуханием:
  A0e t cos(t  kx  0 ),
где  – коэффициент затухания; A0 – амплитуда волны в точке
x  0.
Объёмная плотность энергии упругой волны:
w  A2 2 Sin 2 (t  kx  0 ),
где
 – плотность среды.
Плотность потока энергии упругой волны
распространяющейся в среде со скоростью

V , равна:

U (вектор Умова),


U  wV .
Поток энергии, переносимый волной через поверхность площадью
S , равен:
 
 w  U  S  VwSCos ,
где  – угол между вектором скорости и единичным вектором нормали к
поверхности S .
Интенсивность волны:
3

I  U  w V  1 A2 2V .
2
Уравнение плоской электромагнитной волны:


E y  E0Cos(t  kx   0 ),


H z  H 0Cos(t  kx   0 ),
где


E0 , H 0 – амплитуды векторов напряженности электрического и
магнитного поля соответственно. Модули амплитуды
напряжённости
магнитного
и
электрического
поля
соотношением:
εε 0
E0 ,
μμ 0
H0 
где

– относительная
векторов
связаны
диэлектрическая
проницаемость
среды,
 – относительная магнитная проницаемость среды,  0 – электрическая
постоянная,  0 – магнитная постоянная. Фазовая скорость волны:
1
c
c
U

 ,
 0  0
 n
здесь
c 1
 0 0
– скорость электромагнитной волны в вакууме;
n   – показатель преломления среды.
Объемная плотность энергии электромагнитной волны:
w  wE  wH 
0 E 2
2

0 H 2
2

EH
.
V
Плотность потока энергии электромагнитной волны, называемая
вектором Пойнтинга, равна:



P  wV  [ EH ],
где V – групповая скорость волны. В среде, обладающей дисперсией,
групповая скорость связана с фазовой скоростью волны соотношением:
u
d
dV
V 
.
dk
d
В вакууме вектор Пойнтинга равен :
4


P  wc.
Интенсивность электромагнитной волны:

1
1  0 2
I  P  E0 H 0 
E0 .
2
2  0
Давление плоской электромагнитной волны:
P  w(1  R) cos 2  ,
где R – коэффициент отражения,  – угол между направлением
распространения волны и нормалью к поверхности.
Коэффициент отражения света в случае его падения по нормали к
поверхности равен:
R
где
I отр
I0
2
 n 1
  21  ,
 n21  1 
I отр – интенсивность отраженного света, I 0 – интенсивность
падающего
вещества.
света,
n21 – относительный
показатель
преломления
Задача 1. Тонкая длинная струна с закрепленными концами
натянута вдоль координатной оси Х. Если вывести струну из положения
равновесия, то все частицы струны
движутся
перпендикулярно
ее
положению равновесия (поперечные
колебания). В каждый момент времени
струна находится в плоскости ХОУ. В
процессе
колебания
величина
отклонения частиц струны от положения
равновесия y зависит от координаты x и
времени t. Найти зависимость y(x,t).
Решение. При фиксированном
значении t график функции y(x,t)
представляет форму колеблющейся струны в момент времени t (рис.1).
Частная производная
dy/dx= yx' ( x, t ) дает угловой коэффициент к
касательной в точке с абсциссой х.
Для заданного значения х функция y(x,t) определяет закон
движения точки струны с координатой х вдоль прямой, параллельной оси
5
dy
 yt' ( x, t ) есть скорость движения этой точки,
dt
d2y
вторая производная
– ускорение.
dt 2
OY, производная
Выделим
бесконечно
малый
проектирующейся на ось ОХ интервалом
участок
струны
М1М2,
[x,x+dx] . На него действуют
силы натяжения T1 и T2 . При малых колебаниях частиц струны угол
наклона касательной к любой точке струны мал,   sin   tg .
Приняв, что величина силы натяжения вдоль струны постоянна и
равна T0 , получим
 T1 sin 1  T2 sin  2  T0 (sin  2  sin 1 )
T0 (tg 2  tg 1 )  T0 [ y`x ( x  dx, t )  y`x ( x, t )]  T0
где
tg1  y`x ( x, t ), tg 2  y`x ( x  dx, t ).
Здесь частное приращение производной
d2y
dx,
dx 2
dy
при переходе от
dx
(х,t) к аргументам (x+dx,t) заменено ее частным
d2y
dx.
дифференциалом 
2 
dx


аргументов
Масса участка струны M 1M 2 равна
mM M   ( M1M 2 ),
1
где
2
 – линейная плотность вещества струны (кг/м).
Запишем второй закон Ньютона для этого участка:
d2y
d2y

T
dx.
0
dt 2
dx 2
Обе части уравнения разделим на dx и получим уравнение:
dx
2
d2y
2 d y
V
,
dt 2
dx 2
6
где V
2

T0

– положительная постоянная величина.
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с
постоянными коэффициентами называется одномерным волновым
уравнением. Оно описывает свободные колебания струны.
В случае бесконечно длинной струны общее решение волнового
уравнения имеет вид:
y ( x, t )   ( x  Vt )   ( x  Vt ) .
Функция  ( x  Vt ) в момент времени t=0 описывает
перемещение волны вдоль оси ОХ в положительном направлении со
скоростью
V, которая равна
T0

. Функция
 ( x1  Vt )
описывает
волну, распространяющуюся вдоль оси ОХ в обратном направлении.
Если точки струны колеблются по гармоническому закону

y ( x, t )  A cos( (Vt  x)), то вдоль струны будет распространяться
V
волна со скоростью V, описываемая гармонической функцией.
Задача 2. Смещение от положения равновесия точки, находящейся
на расстоянии 4см от источника колебаний, в момент времени t=T/6
равно половине амплитуды. Найти длину волны.
Решение. В уравнении плоской волны y  A sin( t  kx)
подставим   2 / T ,
длину волны:
k  2 /  и выразим из него в явном виде

2x
2
y
t  arcsin
T
A
.
Подставим числовые данные:

2  3,14  4  102
 0,48 м.
2  3,14 T
0,5 A
  arcsin
T
6
A
Задача 3. По какому закону изменяется с расстоянием амплитуда
незатухающей цилиндрической воны?
7
Решение.
Поток
энергии,
цилиндрическую поверхность радиуса
волны и площади поверхности S
переносимой
волной
через
R, пропорционален интенсивности
  I R 2Rh ,
где h – высота цилиндра. Этот же поток энергии переносится волной и
через цилиндрическую поверхность радиуса r. Следовательно,
I R 2Rh  I r 2rh ,
Ir  IR
R
.
r
Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды
I ~ A2
R
.
r
Ar  AR
Если источником волн является тонкая нить; то амплитуда AR
выбирается равной амплитуде волны на расстоянии R=1 м от оси нити.
Закон убывания амплитуды с расстоянием от источника принимает вид:
A
AR
r
.
1.1. Написать уравнение плоской монохроматической волны,
распространяющейся вдоль оси Х. Частицы среды колеблются вдоль оси
Z. Известно, что амплитуда волны равна А, циклическая частота ω,
начальная фаза π/6, длина λ. Рассеянием энергии пренебречь.
1.2. Получить дифференциальное уравнение, решением которого
является функция y ( x, t )  A cos( wt  kx).
1.3. Получить дифференциальное уравнение, решением которого
является функция y ( x, t )  A exp( x) cos( wt  kx). Какой физический
смысл имеет коэффициент  ?
1.4. Плоская монохроматическая волна распространяется вдоль оси
Υ. Амплитуда волны А=0,05 м. Считая, что в начальный момент времени
смещение точки Р, находящейся в источнике, максимально, определить
8
смещение от положения равновесия точки М, находящейся на расстоянии
y=λ/2 от источника колебаний в момент времени t=T/6.
1.5. В условии задачи 1.4 определить разность фаз колебаний точек
М и Р.
1.6. В некоторый момент времени t1 в точке х1=0 фаза плоской
монохроматической волны равна нулю. Какова будет фаза волны в точке
х2=10-3 м в тот же момент времени? Какова будет фаза волны в точке х2 в
момент времени t2=10-2 c? Длина волны λ=10-4 м.
1.7. Плоские волны переходят из среды, в которой фазовая скорость
волны равна V, в среду, в которой фазовая скорость в два раза больше.
Что происходит при этом с частотой  и длиной волны  ?
1.8. Какие из приведённых функций можно использовать при
описании волновых движений:
у  А( х  Vt ) 2 ,
y  A ( x  Vt ) ,
y  A ln( x  Vt ) ?
1.9. Записать уравнение цилиндрической волны. Установить закон,
по которому меняется амплитуда и интенсивность цилиндрической волны
с изменением расстояния от источника.
1.10. Записать уравнение сферической волны. Установить закон,
по которому меняется амплитуда и интенсивность сферической волны с
изменением расстояния от источника.

n2

n1
2
1
1.11. В окрестностях точек 1 и 2
известны направления распространения
сферической волны (рис.1.1). Найти
графическим построением положение
источника излучения.
Рис. 1.1
1.12. В поглощающей среде вдоль оси Х распространяется плоская
волна. Определить расстояние, на котором амплитуда волны уменьшается
в е раз. Коэффициент затухания волны известен и равен  .
9
1.13. Указать направление, вдоль которого распространяется
плоская волна, имеющая волновой вектор (k,0,0). Определить частоту ν и
длину λ этой волны. Скорость распространения волны в среде равна V.
1.14. Решить задачу 1.13, приняв волновой вектор равным (0,k,0).
1.15. Решить задачу 1.13, приняв волновой вектор равным (0,0,-k).
1.16. На больших расстояниях от точечного источника сферическая
волна может рассматриваться как плоская. При каком характерном
размере d малый участок волновой поверхности может считаться
плоским? Длина волны λ задана.

1.17. Найти волновой вектор k и скорость волны V. Волна
описывается уравнением f ( x, y, z , t )  A cos(t  x  y  z ) , где
, 
и
 – постоянные.
1.18. Плоская волна с длиной λ распространяется вдоль
направления, образующего с осями Х, Υ, Z углы π/3, π/4, и π/3
соответственно. Написать уравнение волны. Амплитуда и частота равны
соответственно А и ν.
1.19. Доказать, что любая функция вида f ( x  t ) является
решением волнового уравнения. Каков физический смысл постоянной
?
1.20. Плоская волна задана уравнением
y ( x, t )  60 cos(1800t  5,3x) ,
где смещение частиц среды y задано в мкм, t в с, х в м. Найти отношение
амплитуды смещения частиц среды к длине волны.
1.21. Плоская волна задана уравнением y ( x, t )  A cos(t  kx) .
Для момента времени
у, ∂y/∂t и ∂y/∂x.
t=0 изобразите графики зависимости от х величин
10
1.22. Две плоские синусоидальные волны, амплитуды которых
одинаковы, а частоты соответственно  и +∆ (∆<<),
накладываются друг на друга. Какова максимальная амплитуда
результирующей волны? Каково распределение средней плотности
энергии вдоль направления распространения волны?
1.23. Вдоль оси Х распространяется плоская волна с длиной волны
λ. Каково наименьшее расстояние ∆x между точками среды, которые
колеблются в противофазе?
1.24. Как изменяется интенсивность волны, если ее частота
увеличивается в два раза при 1) неизменной скорости волны; 2)
неизменной длине волны?
1.25. Задано уравнение плоской волны:
y ( x, t )  A cos(t  kx   / 2) .
Изобразить графически смещения точек среды у1(λ/2,t) и у2(х,Т/2). Где
∂y1/∂t и ∂y2/∂t максимальны?
1.26. Электромагнитные волны от двух когерентных источников
падают в некоторую точку экрана. Интенсивность от первого источника в
этой точке I1, а от второго I2=4I1. Суммарная интенсивность от обоих
источников I0=I1. Какова разность фаз между векторами напряженности
электрического поля волн


E1 и E 2 в этой точке?
1.27. Плотность потока электромагнитного излучения Солнца у
поверхности Земли составляет 1400 Вт/м2. Какова cредняя
напряженность электрического поля излучения?
1.28. Плоская электромагнитная волна с напряженностью
электрического поля Еz=200cos(6,28·108t+4,55х) распространяется в
среде с относительной магнитной проницаемостью μ=1. Какова скорость
волны и показатель преломления вещества среды?
1.29. Два когерентных источника электромагнитных волн создают в
некоторой точке экрана интенсивность I0. Интенсивность первого
источника в этой точке I1, а второго – I2=9I1. Разность фаз между
векторами напряженности электрического поля этих волн составляет
∆φ=π. Вычислить отношение интенсивности I0/I1.
11
1.30.
Две
поляризованные в
синусоидальные
электромагнитные
волны,
одной плоскости, Еz=Е1sin(ω(t-x/c)+φ1) и
Еz=Е2sin(ω(t-x/c)+φ2) накладываются друг на друга. Какова амплитуда
напряженности электрического поля и фаза результирующей волны?
1.31. Выразить групповую скорость U=dω/dk через фазовую
скорость электромагнитной волны V и dV/dλ, а также через V и dn/dλ. В
этих законах n – показатель преломления, k – волновой вектор, ω –
циклическая частота, λ – длина волны.
1.32. Амплитуда напряженности электрического поля плоской
электромагнитной волны равна 1000 В/м. Какова амплитуда
напряженности магнитного поля этой же волны?
1.33. Какова интенсивность электромагнитной волны в вакууме,
если амплитуда напряженности ее электрического поля составляет
27,5 В/м.
1.34. Вывести формулу групповой скорости U=dω/dk для волн
(ω – циклическая частота, k – волновой вектор), фазовая скорость
которых в зависимости от длины волны описывается выражением
V  c2  A22 , где с и A – постоянные величины,  – длина волны.
1.35. В вакууме вдоль оси Х распространяется плоская
электромагнитная волна, амплитуда напряженности магнитного поля
которой
равна
0,05 А/м. Какова амплитуда напряженности
электрического поля волны и ее интенсивность?
1.36. Через плоскую поверхность площадью S  2 м2 проходит
монохроматическая электромагнитная волна под углом π/4 к площадке.
Напряженность электрического поля волны Е=104 В/м. Каков поток
энергии через эту поверхность?
1.37. В однородной среде распространяется плоская электромагнитная
волна, описываемая уравнением E=E0exp(-γx)cos(ωt-kx). Приняв длину
12
волны λ=1 м и γ=0,1 м-1, найти разность фаз
отношение амплитуд равно 1,01.
∆φ в точках, для которых
1.38. В однородной изотропной среде с ε=3 и μ=1
распространяется
плоская
электромагнитная
волна,
амплитуда
напряженности электрического поля которой Е=10 В/м. Найти амплитуду
напряженности магнитного поля и фазовую скорость волны.
1.39. Электромагнитная
волна
с
частотой
распространяется в стекле, показатель преломления которого
скорость волны в стекле и значение волнового числа?
6·1014 Гц
1,5. Какова
1.40. Электромагнитное излучение с длиной волны 6·10-7 м падает
на пластинку прозрачного вещества. Волновое число равно 1,39·107 м-1.
Какова скорость волны в веществе? Каков показатель преломления
вещества?

1.41. Как связаны вектор напряженности электрического поля E с

B электромагнитной волны,
вектором магнитной индукции
распространяющейся в среде с диэлектрической проницаемостью ε и
магнитной проницаемостью μ?
1.42. Выразить вектор напряженности магнитного поля плоской
монохроматической электромагнитной волны через волновой вектор

напряженность электрического поля E . Параметры среды ε,
заданными.
1.43. В изотропной
распространяется плоская

k и
μ считать
среде с показателем преломления n
электромагнитная волна с циклической

ω. Определить волновой вектор k . Считать, что векторы


напряженности электрического и магнитного поля волны E и H
частотой
известны.
1.44. Параметры импульса рубинового лазера следующие: время
импульса τ=0,1 мс, средняя энергия импульса W=0,3 Дж, диаметр пучка
13
d=5 мм. Каковы напряженность электрического поля и интенсивность
излучения лазера?
1.45. В современных технологических импульсных лазерных
установках напряженность электрического поля достигает Еmax~109 В/м.
Оценить соответствующую плотность энергии, а также интенсивность
лазерного излучения.
1.46. Амплитуда напряженности электрического поля плоской
синусоидальной электромагнитной волны равна Е0. Какое среднее
давление оказывает волна на плоскую металлическую стенку при
падении, на нее по нормали?
1.47. Среднее давление, оказываемое плоской синусоидальной
электромагнитной волной, падающей под углом α на металлическую
поверхность, равно p0. Определить амплитуду напряженности
электрического поля этой волны.
1.48. Электромагнитная волна в вакууме описывается уравнением
E=E0cos(ωt-kx), H=H0cos(ωt-kx). Волна отражается от плоскости,
перпендикулярной к оси Х, без потери энергии. Написать уравнение,
описывающее отраженную волну.
1.49. Для электромагнитной волны с частотой ω диэлектрическая
проницаемость среды ε=2, магнитная проницаемость среды μ=1. Найти
модуль вектора Пойнтинга в точке, где вектор напряженности


E  10 cos(t   )ez .


Амплитуда напряженности магнитного поля равна H  H 0 ex . Здесь
  
e x , e y , e z  единичные орты декартовой системы координат.
электрического поля изменяется по закону
1.50. Электромагнитная волна падает по нормали к границе раздела
двух сред воздухстекло. Каков коэффициент отражения этой волны?
Относительный показатель преломления стекла равен 1,5.
2. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА
Оптическая длина пути световой волны
14
L  nl ,
где l – геометрическая длина пути световой волны в среде с
показателем преломления n.
Оптическая разность хода двух световых волн равна
  L1  L2 .
Зависимость разности фаз двух волн от оптической разности их
хода:
  2

,

где  – длина световой волны.
Условия максимумов и минимумов при интерференции:
  m ,

  (2m  1) , m  0,1, 2, ... .
2
Ширина интерференционной полосы (расстояние  y между
соседними минимумами) при интерференции света от двух когерентных
источников света в виде двух параллельных щелей, находящихся на
расстоянии l друг от друга и на расстоянии L от экрана, равна
y 
L
l
.
Оптическая разность хода световых волн, возникающая при
отражении света от двух поверхностей тонкой пленки, равна
  2d n 2  sin 2  
или
  2dn cos  

2

2
,
где d – толщина пленки, n –показатель преломления вещества,   угол
падения света,  - угол преломления.
Расстояние между соседними максимумами при интерференции
света на оптическом клине
y 

2 n cos 
15
,
 – угол между гранями клина, n – показатель преломления вещества,
 – угол преломления.
где
Радиус светлых колец Ньютона в отраженном свете

rmcв  (2m  1) R , m  1, 2, 3,... .
2
Радиус темных колец Ньютона в отраженном свете
rmтем  mR , m  1, 2, 3,... ,
где R – радиус кривизны линзы, m – номер кольца.
Условие минимума и максимума соответственно при дифракции
света в щели

b sin   2m ,
2

b sin   (2m  1) , m  1, 2, 3,... ,
2
где b – ширина щели,  – угол дифракции света, m – порядок максимума
(минимума).
Условие главных
дифракционной решетке
максимумов
при
дифракции

d sin   2m , m  0,1, 2, ... ,
2
где d – период решетки.
Угловая ширина главного максимума
m 
2
,
Nd cos m
где N – число щелей решетки.
Угловая дисперсия дифракционной решетки
D
d
m

.
d d cos m
Разрешающая способность дифракционной решетки
R

 mN ,

16
света
на
где  –наименьшая разность длин двух соседних спектральных линий
(  и    ), при которой эти линии могут быть видны раздельно в
спектре порядка m, N – число щелей.
Формула Вульфа-Брэгга
2d sin   m ,
 – угол между атомной плоскостью кристалла и лучом
рентгеновского излучения; d – расстояние между атомными плоскостями.
где
При отражении неполяризованного света от диэлектрического
зеркала
2
 sin(    ) 
I I  0,5I 0 
 ,
 sin(    ) 
2
 tg (   ) 
I II  0,5I 0 
 ,
 tg (   ) 
где
I I – интенсивность
световых
колебаний
в
отраженном
луче,
совершающихся в направлении, перпендикулярном к плоскости падения света;
I II – интенсивность световых колебаний в отраженном луче, совершающихся в
направлении, параллельном плоскости падения света; I 0 – интенсивность
падающего естественного света;  – угол падения,
 – угол преломления.
    90 , то I II  0 . В этом случае угол падения αБ и
показатель преломления n диэлектрика связаны соотношением (закон Брюстера)
tg Б  n.
Если
Закон Малюса
I  I 0 cos 2  ,
где
I 0 – интенсивность плоскополяризованного света, падающего на
анализатор; I – интенсивность света, прошедшего анализатор;  – угол
между направлением колебаний вектора напряженности электрического поля
световой волны, падающей на анализатор, и плоскостью пропускания
анализатора.
Задача 1. В опыте с зеркалами Френеля расстояние между
мнимыми изображениями источниками света равно l=1,5 мм, расстояние
17
до экрана L=5 м. На экране расстояние между интерференционными
полосами составляет Δy=2 мм. Какова длина волны света?
Решение. Все приведенные величины связаны уравнением
y 
L
l
.
Отсюда длина волны света равна

yl 2  103  1,5  103

 6  10 7 м.
L
5
Задача 2. Найти расстояние между третьим и шестнадцатым
темными кольцами Ньютона, если расстояние между вторым и двадцатым
темными кольцами равно 4,8 мм. Наблюдение ведется в отраженном
свете.
Решение. Расстояние между кольцами представим как разность
соответствующих радиусов колец
r16,3  r16  r3  R ( 16  3 ),
r20, 2  r20  r2  R ( 20  2 ).
Разделив первое уравнение системы на второе, получим:
r16,3
r20, 2

16  3
20  2
.
Из этого уравнения следует, что
r16,3  r20, 2
16  3
 3,56 мм.
20  2
Задача 3. Естественный свет проходит анализатор и поляризатор ,
в каждом из которых поглощается 5 % падающего на них света. Какова
интенсивность света, вышедшего из поляризатора, по отношению к
интенсивности естественного света (в %), если угол между главными
плоскостями анализатора и поляризатора равен 60?
Решение. Интенсивность света на выходе из идеального
поляризатора составляет половину интенсивности естественного света,
падающего на него. Из условия задачи следует, что поляризатор не
идеален и поглощает 5 % проходящего через него света. Таким образом,
18
интенсивность света после поляризатора I 1 относительно интенсивности
естественного света I 0 составит величину
I1  0,5I 0  0,05(0,5I 0 )  0,475 I 0 .
Идеальный
анализатор
пропустит
свет
с
интенсивностью
I1 cos  . Анализатор из задачи поглощает 5 % проходящего через него
2
света. Следовательно, на выходе из анализатора интенсивность света
будет равна
I  I1 cos2   0,05I1 cos2   0,95I1 cos2 .
Подставим сюда I 1 выраженное через I 0
I  0,95  0,475I 0 cos2   0,11I 0 .
Интенсивность света, вышедшего из анализатора, составит 11 % от
интенсивности естественного света.
2.1. На пути света с длиной волны 0,6 мкм поставлена
плоскопараллельная стеклянная пластинка толщиной 0,1 мм. Свет
падает на пластинку по нормали к ее поверхности. На какой угол следует
повернуть пластинку, чтобы оптическая длина пути изменялась на λ/2?
Показатель преломления стекла равен 1,55.
2.2. Найти все длины интерферирующих волн видимого света,
которые при оптической разности хода равной 1,8 мкм будут:
1) максимально усилены; 2) максимально ослаблены.
2.3. На экране наблюдается интерференционная картина от двух
когерентных источников света с длинной волны λ=480 нм. Когда на пути
одного из пучков поместили тонкую пластинку из плавленого кварца с
показателем преломления n=1,46, интерференционная картина
сместилась на N=69 полос. Определить толщину кварцевой пластины.
2.4. Определить перемещение зеркала в интерферометре
Майкельсона, если интерференционная картина сместилась на N=100
полос. В опыте использован свет с длиной волны λ=546 нм.
2.5. Для измерения показателя преломления аргона в одно из плеч
интерферометра Майкельсона поместили пустую стеклянную трубку
длиной 12 см с плоскопараллельными торцевыми поверхностями. При
заполнении трубки аргоном интерференционная картина сместилась на
19
N=106 полос. Определить показатель преломления аргона. Длина волны
света равна 639 нм.
2.6. На пути одного из интерферирующих пучков света с длиной
волны 590 нм поместили закрытую с обоих концов стеклянную трубку
длиной 10 см, откачанную до высокого вакуума. При заполнении трубки
хлористым водородом произошло смещение интерференционной
картины. Когда хлористый водород был заменён бромистым водородом,
смещение интерференционной картины возросло на 42 полосы.
Определить разность показателей преломления бромистого и хлористого
водорода.
2.7. Для измерения показателя преломления аммиака в одно из плеч
интерферометра Майкельсона поместили откачанную трубку длиной
14 см. Концы трубки закрыты плоскопараллельными стёклами. При
заполнении трубки аммиаком интерференционная картина для длины
волны 0,59 мкм сместилась на 180 полос. Найти показатель
преломления аммиака.
2.8. На пути одного из лучей в интерферометре
Жамена
поместили трубку длиной 10 см, заполненную хлором. После этого
интерференционная картина сместилась на 131 полосу. Длина волны
монохроматического света равна 590 нм. Найти показатель преломления
хлора.
2.9. В опыте Юнга расстояние между щелями равно 0,8 мм. На
каком расстоянии от щелей следует расположить экран, чтобы для света с
длиной волны 0,6 мкм ширина интерференционной полосы оказалась
равной 2 мм?
2.10. В опыте с зеркалами Френеля расстояние между мнимыми
изображениями источника света равно 3 м. Длина волны 0,6 мкм.
Определить ширину интерференционных полос на экране.
2.11. Пучок монохроматических световых волн с длиной волны
0,6 мкм падает под углом 30 на мыльную плёнку, показатель
преломления которой равен 1,3. При какой наименьшей толщине пленки
отражённые световые волны будут максимально ослаблены при
интерференции, максимально усилены?
20
2.12. На тонкий стеклянный клин в направлении нормали к его
поверхности падает монохроматический свет с длиной волны 600 нм.
Определить угол α между поверхностями клина, если расстояние между
смежными интерференционными минимумами в отраженном свете равно
4 мм. Показатель преломления стекла равен 1,55.
2.13. На мыльную плёнку, показатель преломления которой равен
1,3, по нормали к поверхности падает пучок лучей белого света. При
какой наименьшей толщине плёнки отражённый свет с длиной волны
0,55 мкм окажется максимально усиленным в результате
интерференции?
2.14. На мыльную плёнку, показатель преломления которой равен
1,33, падает луч белого света под углом 45. При какой наименьшей
толщине плёнки отражённый луч будет окрашен в жёлтый цвет?
2.15. Две плоскопараллельные стеклянные пластинки образуют
клин с углом α=30//. Пространство между пластинами заполнено
глицерином, показатель преломления которого равен 1,48. На клин в
направлении
нормали
к
его
поверхности
падает
пучок
монохроматического света с длиной волны 500 нм. В отражённом свете
наблюдается интерференционная картина. Какое число тёмных
интерференционных полос приходится на единицу длины клина?
2.16. Угол тонкого стеклянного клина равен α=0,2/. На клин по
нормали к его поверхности падает пучок лучей монохроматического света
с длиной волны 0,55 мкм. Определить в отражённом свете ширину
интерференционной полосы. Показатель преломления стекла равен 1,55.
2.17. Мыльная плёнка, расположенная вертикально, вследствие
стекания жидкости образует клин. Наблюдая интерференцию при
отражении излучения ртутной дуги с длиной волны 546,1 нм, нашли, что
расстояние между двумя полосами равно 2 см. Найти угол клина в
секундах. Свет падает перпендикулярно к поверхности клина. Показатель
преломления мыльной воды равен 1,33.
2.18. Мыльная плёнка, расположенная вертикально, образует клин
вследствие стекания жидкости. Интерференция наблюдается при
отражении красного света с длиной волны 631 нм. Расстояние между
соседними интерференционными полосами равно 3 мм. Затем
интерференцию наблюдают для синего света с длиной волны 400 нм.
21
Найти расстояние между интерференционными полосами в этом случае.
Считать, что за время измерений форма плёнки не изменяется, свет
падает на плёнку по нормали к ее поверхности.
2.19. На стеклянный клин по нормали к поверхности падает пучок
света с длиной волны 582 нм. Угол клина равен 20//. Какое число
интерференционных полос приходится на единицу длины клина?
Показатель преломления стекла 1,5.
2.20. Установка для получения колец Ньютона освещается
монохроматическим светом. Наблюдение ведётся в отражённом свете.
Радиусы двух соседних темных колец равны 4,0 мм и 4,38 мм. Радиус
кривизны
линзы
равен
6,4 м. Найти порядковые номера
интерференционных колец и длину волны падающего света.
Рис.2.1
2.21. Интерференционные кольца Ньютона
образуются в установке, состоящей из
плоского стекла и линзы с радиусом
кривизны 8,6 м. Монохроматический свет
падает по нормали к горизонтальной
поверхности линзы (рис. 2.1). Диаметр
четвертого
темного
кольца,
считая
центральное темное кольцо нулевым, равен
9 мм. Найти длину волны падающего света.
2.22. Установка для получения интерференционных колец Ньютона
освещается светом от ртутной дуги. Опыт производят в отраженном свете.
Номер какого светлого кольца для света с длиной волны 579,1 нм
совпадает с кольцом для света с длиной волны 577 нм, номер которого
на единицу больше?
2.23. В установке для наблюдения интерференционных колец
Ньютона луч света падает по нормали к горизонтальной поверхности
линзы (рис.2.1). После того как пространство между линзой и стеклянной
пластинкой заполнили жидкостью, радиусы темных колец уменьшились в
1,26 раза. Найти показатель преломления жидкости. Опыт выполнен в
отраженном свете.
2.24. В отраженном свете был измерен радиус третьего темного
интерференционного кольца Ньютона. Когда измерительную ячейку
заполнили жидкостью, тот же радиус стало иметь темное кольцо с
22
номером на единицу больше. Определить показатель преломления
жидкости.
2.25. На поверхности объектива, показатель преломления которого
равен n1=1,5, нанесена тонкая пленка с показателем преломления
n2=1,2 ("просветляющая " пленка). При какой наименьшей толщине этой
пленки произойдет максимальное ослабление отраженного света в
средней части видимого спектра?
2.26. Какой наибольший порядок спектра излучения натрия можно
наблюдать при помощи дифракционной решетки, имеющей 500 штрихов
на 1 мм? Расчёт выполнить для основной линии спектра излучения
натрия, имеющей длину волны 590 нм.
2.27. Какой должна быть ширина щели, чтобы первый
дифракционный минимум можно было наблюдать под углом 30 ? Лучи
красного света с длиной волны 760 нм падают по нормали к плоскости
щели.
2.28. На грань кристалла каменной соли падает параллельный
пучок рентгеновских лучей с длиной волны 0,15 нм. Расстояние между
атомными плоскостями кристалла равно 0,28 нм. Под каким углом к
плоскости грани наблюдается дифракционный максимум второго
порядка?
2.29. Естественный луч падает на полированную поверхность
стеклянной пластинки, погруженной в жидкость. Отраженный от
пластинки луч образует угол 95 с падающим лучом. Определить
показатель преломления жидкости, если отраженный свет максимально
поляризован. Показатель преломления стекла равен 1,55.
2.30. Луч неполяризованного света падает под углом Брюстера на
поверхность стекла с показателем преломления n=1,5. Найти отношение
интенсивности отраженного света к интенсивности падающего света.
2.31. Дифракционная решетка имеет 200 штрихов на миллиметр.
Под каким углом надо поставить трубу гониометра, чтобы наблюдать
спектральную линию с длинной волны 486,1 нм в первом порядке?
2.32. Какой должна быть ширина щели, чтобы при освещении ее
синим светом с длиной волны 440 нм первый дифракционный минимум,
наблюдался под углом 45? Лучи перпендикулярны к плоскости щели.
23
2.33. На грань кристалла падает параллельный пучок рентгеновских
лучей с длиной волны 0,125 нм. Под углом α=31 к плоскости грани
наблюдается дифракционный максимум второго порядка. Определить
расстояние между атомными плоскостями кристалла.
2.34. Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность
естественного света при его прохождении через поляризационную призму
(николь). Коэффициент поглощения света в николе равен 0,05.
2.35. Неполяризованный свет падает на стекло под углом полной
поляризации. Определить коэффициент отражения стекла, если его
показатель преломления равен 1,54.
2.36. Найти период дифракционной решетки, которая при порядке
спектра 2 и длине волны 500 нм имеет дисперсию 0,2·105 см –1.
2.37. При наблюдении дифракции света на щели ширину последней
уменьшили в 1,5 раза. Как и во сколько раз необходимо изменить угол
наблюдения дифракции, чтобы количество зон Френеля, укладывающих
щели, не изменилось? Первоначальный угол наблюдения равен 30.
2.38. Угол преломления луча света в жидкости равен 35.
Определить показатель преломления жидкости, если известно, что
отраженный луч максимально поляризован.
2.39. Интенсивность естественного света, прошедшего через
поляризатор и анализатор, уменьшалась в 9 раз. Определить угол между
главными плоскостями поляризатора и анализатора. Поглощением света
пренебречь.
2.40. Ширина дифракционной решетки равна 10 см, ее период –
5 мкм. Наблюдают дифракцию света с длиной волны 500 нм. Найти
угловое расстояние (в угловых секундах ) между главным максимумом
первого порядка и ближайшим к нему побочным минимумом
дифракционной картины.
2.41. На щель шириной 2·10-3 см перпендикулярно к ее плоскости
падает параллельный пучок монохроматического света с длиной волны
500 нм. Найти ширину изображения щели на экране, удаленном от нее
на 1 м. Шириной изображения считать расстояние между первыми
дифракционными минимумами, расположенными по обе стороны от
главного максимума.
24
2.42. На сколько процентов уменьшается интенсивность света
после прохождения через призму Николя, если потери энергии,
обусловленные поглощением света, составляют 10 %?
2.43. При прохождении света через трубку длиной 15 см,
содержащую десятипроцентный раствор сахара, плоскость поляризации
света повернулась на угол 12,9. В другом растворе сахара, налитом в
трубку длиной 12 см, плоскость поляризации повернулась на 7,2.
Определить концентрацию второго раствора.
2.44. Сколько штрихов на 1 мм должна иметь дифракционная
решетка, чтобы для света с длиной волны 500 нм угол дифракции 90
соответствовал максимуму пятого порядка?
2.45. Под каким углом должны наблюдать отраженный от
кристалла каменной соли луч, чтобы он был максимально поляризован?
Падающий луч неполяризован, показатель преломления каменной соли
n=1,54.
2.46. Пучок света, длина волны которого равна 589 нм, падает на
пластинку исландского шпата перпендикулярно к его оптической оси.
Найти длины волн обыкновенного и необыкновенного лучей внутри
пластинки, если показатель преломления для обыкновенного и
необыкновенного лучей равны соответственно n0=1,66; ne=1,49.
2.47. Дифракционная решетка имеет ширину 3 мм. Определить
наибольшую разрешающую способность решетки для желтой линии
спектра излучения натрия, имеющего длину волны λ=589,6 нм.
2.48. Определить длину волны излучения, дифракционный спектр
третьего порядка которого совпадает с дифракционным спектром
четвертого порядка для излучения с длиной волны 486,1 нм.
d
S1
Q
S2
Рис. 2.2.
2.49. Два когерентных источника электромагнитного
излучения S1 и S2 лежат в плоскости Q. Расстояние
между источниками d=20,0 см (рис. 2.2). Найти
точки на этой плоскости, в которых амплитуда
результирующих колебаний максимальна. Вектор
напряженности
электрического
поля
волны
перпендикулярен плоскости Q. Длина волны
излучения λ=5 см.
25
2.50. При интерференции на тонкой пленке отраженный свет с
длиной волны λ1=0,64 мкм максимально усилен, а свет с длиной волны
λ2=0,4 мкм максимально ослаблен. Найти минимальную толщину
пленки, если ее показатель преломления n=4/3, а угол падения света
α=30.
Рис.2.3
2.51. На рис. 2.2 среда I – воздух,
среда II – обычное стекло, среда III –
"тяжелое стекло". Для показателей
преломления
сред
выполняются
неравенства
n3 > n2 > n1 (n1=1).
Луч естественного света падает на
границу воздух – стекло под углом
Брюстера. За счет преломлений и
отражений луч разделяется на
несколько лучей. Какие из лучей (1÷6)
будут полностью поляризованы?
2.52. При дифракции на щели минимум третьего порядка
наблюдается при угле дифракции 45. Какое общее количество
минимумов можно наблюдать в дифракционной картине? Под каким
углом будет наблюдаться последний минимум?
2.53. В опыте по наблюдению дифракции Френеля круглое
отверстие открывает две зоны Френеля. Диафрагма с отверстием
расположена на одинаковом расстоянии от точечного источника света и
экрана. Между источником света и отверстием поставили собирающую
линзу так, чтобы при этом источник света оказался в ее фокусе. Светлое
или темное пятно будет наблюдаться в центре дифракционной картины?
2.54. На тонкую прозрачную пленку с показателем преломления
n=1,33 по нормали к ее поверхности падает световой луч. При
непрерывном изменении длины волны света обнаружили, что в
отраженном луче за счет интерференции максимальное увеличение
интенсивности наблюдается у лучей с длинами волн λ1=450 нм и
λ2=750 нм. Найти толщину пленки.
2.55. Пучок естественного света падает на поляризатор, состоящий
из N поляризационных пластинок. Плоскость поляризации каждой из
пластинок повернута на 30 по часовой стрелке относительно плоскости
поляризации предыдущей пластинки. Какая доля интенсивности
26
падающего света пройдет через поляризатор? Поглощением света
пренебречь.
2.56. Две когерентные световые волны, поляризованные во взаимно
перпендикулярных плоскостях, имеют разность фаз ∆φ=π/3. Модули
амплитуд векторов напряженности электрического поля волн одинаковы
E1=E2=E0. В результате интерференции получили эллиптически
поляризованный свет. Найти наибольшее и наименьшее значения модуля
вектора напряженности электрического поля световой волны.
3. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. КВАНТОВЫЕ
СВОЙСТВА СВЕТА.
Поток энергии, испускаемый единицей площади поверхности
нагретого тела по всем направлениям в пределах телесного угла 2π
(энергетическая светимость тела Rm), равен

Rm   rT d ,
0
где rT – испускательная способность тела,  – циклическая частота.
Закон Стефана-Больцмана:
R  T 4 ,
где
  5,67  108 Вт/м2К4
–
постоянная
Стефана – Больцмана;
T – температура.
Закон Кирхгофа: отношение испускательной способности тела rT
к его поглощательной способности aT есть универсальная функция
частоты и температуры f(ω,T). Испускательная способность абсолютно
черного тела, описывается формулой Планка:
r w,T 
 3

4 2 c 2
1
e

kT
,
1
где  – постоянная Планка; с – скорость света; k – постоянная
Больцмана. При переходе от частоты  к длине волны  эта функция
приобретает вид:
27
 ( , T ) 
4 2c 2

5
1

e
2c
kT
.
1
Испускательная способность абсолютно черного тела связана с
равновесной плотностью энергии теплового излучения u(ω,T)
соотношением
f ( , T ) 
c
u ( , T ).
4
Закон Вина
где F (

T

f ( , T )   3 F ( ),
T
) – некоторая функция отношения частоты к температуре.
 ( , T ) закон Вина имеет вид
1
 ( , T )  5  ( , T ),

где  ( , T ) некоторая функция произведения (λ;T).
Для функции
Закон смещения Вина:
m 
где
m –
b
,
T
длина волны, на которую приходится максимум функции
 ( , T ) ; b=2,898  10 3 (м·К) – постоянная Вина.
Формула Рэлея-Джинса
2
kT ;
4 2 c 2
2
u ( , T )  2 3 kT.
 c
f ( , T ) 
Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
hv  Aвых 
28
mV 2
,
2
где
v – частота света, Aв ых – работа выхода электронов с поверхности
mV 2
жидкости или твердого тела,
– кинетическая энергия вылетающих
2
электронов.
Изменение длины волны рентгеновского излучения при рассеянии
на свободном электроне (эффект Комптона)
  1  0 
1
h
h

(1  cos  )  2
sin 2 ,
m0c
m0c
2
– длина волны рентгеновского излучения после рассеяния;
0 –
длина волны падающего излучения; m0 – масса покоя электрона;
 –
где
угол, под которым рассеивается излучение;
волны.
Энергия фотона
h
– комптоновская длина
m0 c
E    hv.
Масса фотона
hv
.
c2
mф 
Импульс фотона
p
hv
.
c
Задача 1. Определить энергетическую светимость абсолютно
черного тела в интервале длин волн  =1 нм, соответствующую
максимуму его испускательной способности при T=1000 К.
Решение. Из закона смещения Вина определим длину волны
излучения абсолютно черного тела, на которую приходится максимум
излучения.
b 2,898  103

 2,898  10 6 м.
3
T
10
Интервал длин волн  много меньше длины волны max ,
max 
поэтому энергетическую светимость можно определить как произведение
испускательной способности на 
29
RT   (max , T ) 
4 2 c 2

5
max


e
2c
T
1
 13
Вт
.
м2
Задача 2. На металлическую пластину падает свет с длиной волны
λ=420 нм. Фототок прекращается при запирающем потенциале
U=0,95 В. Определить скорость выбиваемых электронов и работу
выхода.
Решение. Скорость электронов найдем, воспользовавшись законом
сохранения энергии mV2/2=eU, где е – заряд электрона. Скорость
электрона:
V
2eU
2 1.6 1019  0.95

 5.8 105 м/с.
31
m
9.110
Работа выхода фотоэлектронов равна
Авых 
hc

 eU 
6,63  1034  3  108
 1,6  1019  0,95 
7
4,2  10
 3,2  1019 Дж  2 эВ
Задача 3. В опыте Комптона угол рассеивания рентгеновских
фотонов равен φ=90. Энергия рассеянных фотонов Е=0,4 МэВ.
Какова энергия фотонов до рассеивания? Какова энергия, импульс и
скорость электронов отдачи?
Решение. Изменение длины волны в результате рассеяния на
свободном электроне определяется с помощью формулы Комптона:
h

sin 2 .
m0 c
2
Длины волн выразим через энергии Е1 и Е0 соответствующих
  1  0  2
фотонов:
hc hc
hc



2  sin 2 .
2
E1 E0 m0 c
2
Отсюда следует, что энергия фотонов до рассеивания равна
E0 
m0c 2 E1
m0 c  E1 2sin
2
30
2

2
.
Энергия покоя электрона
выразим в мегаэлектронвольтах:
E0 
m0c2=0,51 МэВ. Энергию фотона
0.51 0.4
 1.85 МэВ.
0.51  0.4  2  0.5
Из закона сохранения энергии следует, что кинетическая энергия
электрона отдачи равна разности энергии фотона до рассеяния и после
рассеяния Ее=E0-E1=1,85–0,4=1,4 МэВ.
Импульс электрона найдем из закона сохранения импульса:
Pe  P0  P1 , где P0 и P1 - импульс фотона до

Pe

P1
рассеяния и после рассеяния. Векторная
диаграмма импульсов при рассеянии изображена
на рис.2. Из диаграммы следует, что

P0
Pe  P02  P12 .
Рис. 2
Импульс фотонов представим через их энергию,
выраженную в джоулях,
2
2
 E   E  1,6  103
Pe   0    1  
1,852  0,42  10 21 кг·м/с.
8
3  10
 c   c 
Скорость
электронов
отдачи
найдем,
выражением для релятивистского импульса
Pe 
moV
V2
1 2
c
воспользовавшись
.
Отсюда следует, что
V
Pe
P 
m02   e 
c 
2

9.6 1022
 9.110 
31 2
 1021 

8 
 3 10 
2
 2.9 108 м/с.
3.1. Участок поверхности нагретого тела площадью
излучает в пределах телесного угла 2π энергию
энергетическая светимость этого участка?
∆S за время τ
∆W. Какова
3.2. Испускательная способность тела задана уравнением
31
0, ω < ω1,
b, ω1 <ω ≤ω2,
r=
0, ω > ω2,
где b – постоянная,
светимость тела.
ω – частота излучения. Рассчитать энергетическую
3.3. Испускательная
rω=roexp(αω), где ro и
светимость тела.
α
0
Рис.3.1
способность тела задана уравнением
 постоянные. Определить энергетическую
3.4.
На
графике
испускательной
способности абсолютно черного тела
выделены два узких участка, площади
которых равны (рис. 3.1). Одинаковы ли на
указанных
частотах
ω1
и
ω2:
1) испускательная способность rω.т;
2) энергетическая светимость ∆Rω.Τ?
3.5. С помощью формулы Вина показать, что наиболее вероятная
частота теплового излучения пропорциональна температуре ωвер~T.
3.6. С помощью формулы Вина показать, что максимальная
испускательная
способность
теплового
излучения
(rω)max~T5.
T – абсолютная температура.
3.7. С помощью формулы Планка показать, что в области, где
hω<<kT, для испускательной способности абсолютно черного тела
справедлив закон Рэлея – Джинса.
3.8. С помощью формулы Планка показать, что в области, где
hω>>kT, для испускательной способности абсолютно черного тела
справедлива формула Вина.
3.9. Найти соотношение между величинами rω.T. и rλ.T. Записать
формулу Планка для величины rλ.T.
3.10. Вычислить с помощью формулы Планка энергетическую
светимость абсолютно чёрного тела в интервале длин волн Δλ=1 нм,
32
соответствующем
Т=3000 К.
максимуму
испускательной
способности
при
3.11. С помощью формулы Планка показать, что максимальное
значение испускательной способности абсолютно чёрного тела
пропорционально абсолютной температуре в пятой степени: r0 ~T5.
3.12. С помощью формулы Планка показать, что длина волны, на
которую приходится максимум испускательной способности чёрного
тела, обратно пропорциональна температуре: λ0=b/T, где b – постоянная
Вина.
3.13. Температура поверхности Солнца равна T0=5500 К.
Принимая Солнце за абсолютно черное тело, оценить массу, теряемую им
за секунду в результате излучения.
3.14. Для абсолютно черного тела вблизи его максимума
испускательной способности рассчитать с помощью формулы Планка
мощность излучения с единицы поверхности в интервале длин волн
∆λ=1 нм. Температура тела равна 4000 К.
3.15. Вблизи максимума испускательной способности Солнца
рассчитать с помощью формулы Планка энергию, которую оно излучает с
единицы поверхности в интервале длин волн ∆λ=1 нм. Температура
Солнца T=5500 К. Считать, что Солнце обладает свойствами абсолютно
черного тела.
3.16. В условиях задачи 3.15 рассчитать энергию, которую излучает
Солнце с единицы поверхности в интервале длин волн λ≤λmax.
3.17. В условиях задачи 3.15 рассчитать энергию, которую излучает
Солнце с единицы поверхности в интервале длин волн λ>λmax.
3.18. На экране получен спектр излучения положительного кратера
вольфрамовой дуги, имеющего температуру 4000 К. Определить
отношение мощностей, излучаемых кратером в интервалах длин волн от
695 до 705 нм (участок красного цвета) и от 395 до 405 нм (участок
фиолетового цвета). Принять, что кратер излучает как черное тело а
поглощение в стекле и воздухе одинаково для красных и фиолетовых
лучей.
3.19. Для абсолютно чёрного тела в области максимума
испускательной способности определить мощность излучения с 1 см2 его
33
поверхности для интервала длин волн
Т=2000 К.
λ  0,01λмах. Температура тела
3.20. Абсолютно чёрное тело имеет температуру t1=200 С.
Какова будет температура тела, если в результате нагревания поток
излучения увеличился в 100 раз?
3.21. Как и во сколько раз изменится поток излучения абсолютно
чёрного тела, если его максимум испускательной способности
переместится из красной части видимого спектра λ1=700 нм в
фиолетовую λ2=393,6 нм?
3.22. На 1 см2 земной поверхности падает в среднем около
8,4 Дж солнечной энергии в 1 мин. Расстояние от Земли до Солнца
1,5·1011 м, диаметр Солнца 1,39 109 м, температура Солнца 6000 К.
Считая Солнце абсолютно чёрным телом, найти постоянную в законе
Стефана-Больцмана.
3.23. Источником радиоизлучения Солнца в метровом диапазоне
является его корона. Определить поток радиоизлучения от Солнца на
Земле в полосе шириной Δω=1 МГц вблизи длины волны λ=1 м,
предполагая, что это излучение является тепловым. Эффективная
температура короны равна Т=106 К, эффективный радиус короны
r=6,95·105 км, радиус земной орбиты R=1,5·108 км.
3.24. Металлический шар радиусом R=1 см и теплоемкостью
C=14 Дж/К при температуре T=1200 К выброшен в межпланетное
пространство. Коэффициент поглощения шара A=0,4. Через какое время
температура шара уменьшится вдвое?
3.25. По пластинке длиной l=4 см и шириной b=0,5 см проходит
электрический ток I=15 А. После установления теплового равновесия
температура пластинки стала равной T=2000 К. Определить
напряжение, подводимое к пластинке, если коэффициент поглощения
пластинки А=0,6. Считать, что температура по всей площади пластинки
постоянна, а все выделяющееся тепло теряется в результате излучения.
3.26. Удаленный от других тел медный шарик
облучен
электромагнитным излучением с длиной волны λ=140 нм. Определить
его потенциал?
34
3.27.
Небольшое
идеальное
отражающее
зеркальце
массой
m=10 мг подвешено на нити длиной l=10 см. Найти угол, на который
отклониться нить, если по нормали к зеркалу в горизонтальном
направлении произвести "выстрел" импульсом лазерного излучения с
энергией E=13 Дж.
3.28. Найти среднее давление лазерного импульса на поверхности
тела. Длительность импульса τ=0,13 мс, средняя энергия импульса
W=10 Дж, диаметр пятна d=10 мкм. Свет падает по нормали к
поверхности тела, коэффициент отражения которой  =0,5.
3.29. Сколько фотонов попадает на 1 см2 поверхности Земли,
перпендикулярной к солнечным лучам, за 1 мин? Солнечная постоянная
ω≈1,4·103 Дж/(м2·с), средняя длина волны λср≈550 нм.
3.30. Точечный источник монохроматического света на длине
волны λ=500 нм имеет мощность P=10 Вт. На каком максимальном
расстоянии этот источник будет замечен человеком? Глаз человека
реагирует на световой поток W=60 фотонов в секунду. Диаметр зрачка
глаза человека d=0,5 см.
3.31. Параллельный пучок света с интенсивностью Io падает под
углом φ на плоское зеркало с коэффициентом отражения ρ. Определить
давление света на зеркало.
3.32. В сферическом сосуде, из которого откачан воздух, помещены
два электрода из цинка. К ним подсоединён
конденсатор ёмкостью c=3,5 мкФ (рис. 3.2.).
Один из электродов освещается светом с длиной
волны λ=0,25 мкм. Какой заряд будет
находиться на конденсаторе при длительном
освещении? Работа выхода электрона для цинка
А=3,74 эВ.
Рис. 3.2
3.33. На пластинку площадью S=8 см2 по нормали к ее
поверхности падает излучение с плотностью энергии q=1 Вт/см2.
Частота света ν=4,6·1015 с-1. Какой ток может быть снят с пластинки,
если считать, что каждый фотон выбивает электрон?
35
3.34. Какой частоты нужно взять свет, чтобы выбитые из
вольфрамового катода электроны задерживались на расстоянии 4 см в
электрическом поле напряженностью 1,7 В/см?
3.35. Опыт показал, что задерживающее напряжение для
фотоэлектронов равно 2 В. Электрод облучили светом с длиной волны
λ=200 нм. Найти красную границу фотоэффекта.
3.36. Частота падающего света в опыте Комптона равна 4·1018 Гц.
Найти частоту света, отраженного под углом 120 к направлению его
падения.
3.37. Длина волны падающего света в опыте Комптона равна λ.
Найти длину волны отраженного света, если известно, что электрон
отдачи полетел под углом α=60 к первоначальному направлению
распространения света и обладал импульсом  .
3.38. На площадь S=6 см2 по нормали падает монохроматический
свет с плотностью потока энергии q=1,5 Вт/см2. Снятый с этой
площади фототок насыщения равен 0,2 А. Считая, что каждый фотон
выбивает электрон, найти частоту света и энергию фотона.
3.39. Фотоны с длиной волны 330 нм выбивают электроны,
которые могут быть задержаны на расстоянии 2 см в электрическом поле
напряженностью 2 В/см. Какова работа выхода электронов из металла
(в эВ)?
3.40. Фототок вызывается светом с длиной волны 400 нм. Красная
граница фотоэффекта 800 нм. Найти запирающее напряжение для
электронов.
3.41. Частота падающего света в опыте Комптона ν1=3·1022 1/с.
Под каким углом рассеивается свет, если частота рассеянного света
ν2=2,5·1022 1/с?
3.42. Скорость фотоэлектронов равна 3·106 м/с. Найти
задерживающую разность потенциалов и частоту падающего света.
Работа выхода равна 4,5 эВ.
36
3.43. Найти красную границу фотоэффекта и построить график
зависимости задерживающей разности потенциалов от частоты. При
длине волны света 520 нм кинетическая энергия электронов равна 2 эВ.
3.44. В опыте Комптона угол рассеяния фотонов равен 180. Длина
волны падающих фотонов равна λ=0,5 нм. Найти частоту рассеянных
фотонов.
3.45. При облучении катода фотоэлемента ток насыщения равен
0,01 А. Длина волны света равна 500 нм. Площадь катода 2 см2. Найти
плотность потока энергии света.
3.46. Известно, что при освещении фотоэлемента светом с длиной
волны λ1=400 нм вылетают электроны, которые могут быть задержаны
запирающим напряжением U1=6 В. Каково, запирающее напряжение для
электрона, выбитого светом с длиной волны λ2=650 нм?
3.47. Красная граница фотоэффекта для катода равна 900
Построить график зависимости запирающего напряжения от частоты.
нм.
3.48. В эффекте Комптона найти изменение длины волны
рентгеновского излучения. Угол рассеяния фотонов равен 120, а их
длина волны 0,5 нм.
3.49. Какая доля энергии фотона в эффекте Комптона приходится
на электроны отдачи? Угол рассеяния для фотонов с энергией
ε=0,6 МэВ равен φ=π/2.
3.50. В опыте Комптона угол рассеяния света изменился от 90 до
180. Во сколько раз изменится сдвиг по длине волны в результате
опыта?
3.51. Фотон с частотой ω0 испущен с поверхности звезды, масса
которой М и радиус R0. Вычислить гравитационное смещение частоты
фотона ∆ω/ω0 на очень большом расстоянии от звезды.
37
r1
3.52. Два абсолютно черных шарика радиусами
r1=4 см и r2=2 см, имеющие постоянные
r2
r0
T1
T2
температуры T1=400 К и T2=800 К, находятся в
вакууме на расстоянии d0=0,6 м. Между шариками
X
помещена небольшая пластинка радиусом r0 << d0,
d0
плоскость которой перпендикулярна к прямой,
соединяющей шарики (рис. 3.3). Пластинка обладает
Рис 3.3
свойствами черного тела. На каком расстоянии Х от
первого шарика надо поместить пластинку, чтобы ее
температура была наименьшей? Каково значение этой температуры?
Фоном излучения от окружающих предметов пренебречь.
3.53. Распределение температуры по поверхности круглой
пластинки радиусом R=0,2 м в некоторый момент времени задано
уравнением
T (r ) 
T0
4
1 r 2 / R2
, где
T0=1000 К, r – расстояние до
центра пластинки. Найти поток теплового излучения с двух сторон
пластинки. Считать, что она обладает свойствами абсолютно черного
тела.
3.54. Тонкая круглая пластинка радиусом R=0,1 м в некоторый
момент времени имеет температуру, распределенную по закону
T(r)=T0exp(-αr2), где α=25,0 1/м2, r – расстояние до центра
пластинки, T0=1000 К. Найти мощность излучения с двух сторон
пластинки, считая, что она излучает как абсолютно черное тело.
3.55. Тонкая прямолинейная полоса шириной b=5,0 см и длиной
l=1,0 м имеет в некоторый момент времени температуру,
распределенную вдоль полосы по закону T=T0(1+x/l), где T0=500 К,
х – расстояние от одного из концов полосы. Полоса излучает как серое
тело, ее коэффициент поглощения равен α=0,4. Найти поток теплового
излучения с двух сторон полосы.
3.56. Обладающий свойствами черного тела шарик с площадью
поверхности S=0,4 см2 нагрет до температуры T0=1000 К. Его
поместили в вакуумную камеру, температура стенок которой T1=250 К.
Теплоемкость шарика С=5,67 Дж/К. Считая, что шарик обменивается
энергией со стенками камеры только за счет излучения, найти, за какое
время t он охладился до температуры T=500 К?
38
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 5
Варианты заданий для студентов
Заочной формы обучения
Вариант
Номер задачи
0
1.1
1.26
2.1
2.26
2.29
3.1
3.26
3.28
1
1.2
1.28
2.3
2.27
2.30
3.2
3.29
3.27
2
1.4
1.28
2.3
2.27
2.30
3.2
3.29
3.27
3
1.5
1.30
2.9
2.31
2.35
3.4
3.32
3.37
4
1.6
1.31
2.10
2.32
2.38
3.5
3.33
3.41
5
1.7
1.32
2.11
2.33
2.39
3.6
3.34
3.44
6
1.8
1.33
2.19
2.36
2.42
3.7
3.35
3.48
7
1.9
1.34
2.21
2.37
2.43
3.8
3.38
3.49
8
1.10
1.35
2.23
2.40
2.45
3.9
3.39
3.50
9
1.11
1.38
2.25
2.41
2.50
3.11 3.40
3.31
39
Библиографический список.
1.Волков В.Н., Рыбакова Г.И., Шипко М.Н. Физика.Т.3 –
Иваново ИГЭУ: 1993. – 152 с.
2.Ландсберг Г.С. Оптика. – М.: Наука, 1976. – 928 с.
3.Савельев И.В. Курс общей физики. Т.2 – М.: Наука, 1988. –
496 с.
4.Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высш. шк.,
1989. – 608 с.
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ПО ФИЗИКЕ.
РАЗДЕЛ «ВОЛНЫ. ВОЛНОВЫЕ И КВАНТОВЫЕ
СВОЙСТВА СВЕТА»
Составители:ДМИТРИЕВ МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ
КОСТЮК ВЛАДИМИР ХАРИТОНОВИЧ
ШМЕЛЕВА ГАЛИНА АЛЕКСАНДРОВНА
Редактор В.Н. Махова
Лицензия ИД №05285 от 4 июля 2001 года
Подписано в печать 20.11.2003. Формат 60х84 1/16
Печать плоская. Усл. Печ. л. 2,57. Тираж
Ивановский государственный энергетический университет
Отпечатано в РИО ИГЭУ
153003 Иваново, ул. Рабфаковская, 34.
40