Чернюгов В. В., Даугавет О. К. Теория понятий

Знания-Онтологии-Теории (ЗОНТ-09)
Теория понятий
О.К.Даугавет, В.В. Чернюгов
Санкт-Петербургский экономико-математический институт РАН, ул. Чайковского, д. 1, г. СанктПетербург, 191187, Россия.
Notions@Mail.ru, TheNotions@GMail.com
Аннотация. Доклад посвящен основным проблемам формализации понятий содержательных
теорий. Отмечается, что многие содержательные проблемы оказываются понятийными. Теория
понятий предлагает технологию определения, построения и преобразования формальных понятий. В
качестве первого и основного применения технологии рассматривается формализация неформальной
теории понятий. В теории понятий удается дать формальное определение определения и
предложить метод проверки правильности утверждений. Теория понятий использует технологию
установления правильности утверждений в качестве замены концепции истинности утверждений.
Ключевые слова: сущности, понятие, семантика, определения, взаимодействие сущностей,
семантический гомоморфизм, теория понятий, теория алгоритмов, типы данных, формальные
языки, языки программирования, парадокс.
1 Введение
Многие проблемы, парадоксы, противоречия и заблуждения (от парадоксов теории множеств и
до проблем алгоритмической неразрешимости) обусловлены неправильным определением и
некорректным использованием понятий. В метаматематике имеются семантические ошибки из-за
неразличения понятий истинности и правильности, в теории множеств и в логике Аристотеля – из-за
противопоставления понятий единичности и общности (которые не сопоставимы). Даже
профессиональные математики недостаточно ясно различают понятие множества и понятие
совокупности, понятия неоднозначности и неопределенности. Все эти проблемы оказываются
понятийными. Оказывается, что определение, преобразование и использование понятий одинаковы,
что в математике или физике, равно как в философии или быту. Понятийные методы не зависят от
прикладной области и обусловлены собственной спецификой. Понятия составляют предмет
исследования теории понятий. Собственные понятия теории понятий (такие, как: утверждения,
определения, теории, алгебры и даже само понятие “понятие” и др.) являются понятиями (в
соответствии с собственным определением понятия).
Парадокс лжеца: некто говорит, что он лжец; если он действительно лжец, то он должен был
бы сказать, что он не лжец; если он не лжец, то он тем более не мог сказать, что он лжец. Если же этот
некто, несмотря на все это, заявляет, что он лжец, то на самом деле он просто мошенник, а не лжец.
Эффект парадокса состоит в том, что понятия мошенника и понятие лжеца довольно близки (и даже
одно “входит” в другое) и неправомерная подмена понятия более “узким” понятием создает
семантическую некорректность, которая воспринимается как парадокс. Для теории понятий парадокс
лжеца парадоксом не является – она его квалифицирует как неправомерную подмену понятий.
Нормальный алгорифм, например, a→b в соответствии с его формальным определением
буквально означает возможность переделки буквы “a” в букву “b”, ибо никакого смыслового значения
теория нормальных алгорифмов для букв не предполагает и не допускает.
Доказательство теоремы Гёделя о неполноте основано на использовании утверждения, что
некоторое предложение нечто означает. Это утверждение сделано без обсуждения вопроса, способно
ли рассматриваемое предложение это делать, и если может, то как, каким образом оно это делает. И
вообще, что означает, что некоторая сущность “означает” некоторую другую сущность. Это сугубо
понятийные проблемы, и без их достаточного исследования и обоснования такие утверждения
являются, мягко говоря, не очень понятными и адекватными.
Бытует мнение, что вся математика может быть выведена из теории множеств (правда без
каких-либо уточнений, какими средствами). Для всей математики это утверждать проблематично, а
вот теория понятий выводится элементарно. Теория множеств зиждется на предположении, что
множество подмножеств некоторого множества больше исходного множества. Пусть имеется
множество {a, b, c}; выберем из этого множества два элемента, скажем a и b, образуем из них новый
элемент d и добавим его в рассматриваемое множество; теория множеств полагает, что получающееся
новое множество {a, b, c, d} больше исходного множества. Это справедливо, если множества
организованы из ничего не значащих элементов. Если полагать, что элементы это такие сущности,
которые способны нечто означать, то при добавлении в множество нового элемента (a, b) нельзя
исключать, что, например, элемент (c) был получен точно таким же способом и тогда нового, более
мощного множества при добавлении такого элемента не будет образовываться. Теория, которая
получается с учетом этой возможности – допускать возможность элементов нечто означать, и будет
теорией понятий.
С простейшими, но достаточно характерными понятиями приходится иметь дело еще даже до
знакомства с арифметикой. Когда к трем яблокам требуется добавить две груши, то для того, чтобы
имелась возможность сформулировать результат этой не сложной операции, требуется создание
нового понятия — понятия фрукта. Без наличия такого понятия яблоки с грушами не “складываются”.
В математических текстах можно встретить такую, например, фразу: «Рассмотрим некоторое
N-мерное пространство». Зададимся вопросом, что на самом деле предлагает автор этого
предложения рассматривать? Понятно, что пространства с неопределенным числом измерений в
“природе” не существует. Может быть, что и рассматривать нечего? Ан, нет, вроде бы и 2-мерное
пространство, и 13-мерное пространство позволительно рассмотреть. Так что за объект есть N-мерное
пространство? Этот объект есть понятие пространства.
Многие абстрактные теории (и в наибольшей степени – метаматематика) представляют собой
работу с понятиями. Так, например, во многих теориях рекомендуется использование более общих
(как более продуктивных) понятий, а вот каким образом эти более общие понятия могут быть
построены или получены и имеются ли методы построения общих понятий в этих теориях не
говорится.
Работать с понятиями приходится практически на каждом шагу. Процесс работы с понятиями
называется мышлением. Мышление необходимо в любой деятельности, особенно в
интеллектуальной. Мышление – трудное и не простое дело! Искусство мышление заключается в
правильном определении, преобразовании и использовании понятий. Человеческое мышление не
представляет собой достаточно надежного средства для построения и использования сколь-нибудь
сложных понятий. Технология построения и работы с понятиями определяются специальной, новой
дисциплиной – теорией аналитических понятий. Предлагаемая теория понятий обеспечивает
семантически корректную технологию определения и использования понятий. Теория понятий
превращает искусство мышления в ремесло, в технологию. Технология мышления позволяет создать
если не мыслящую машину, то машину для мышления или, в крайнем случае, машину для обучения
мышлению. Профессиональный подход к технологии обработки понятий допускает и предлагает
методы, неочевидные на интуитивном уровне, на уровне «здравого смысла».
К понятиям возможно применение различных действий, методов. Теория понятий предлагает
некоторую схему применения методов к понятию. Эта схема называется понятийным
(семантическим) гомоморфизмом. Новые понятия являются результатом некоторых действий над уже
имеющимися понятиями. Преобразование понятий обеспечивает построение новых понятий
аналитическим (а не интуитивным) способом.
2 Сущности и отношения
Теория понятий в качестве инициальных сущностей допускает все, что может иметь (но
изначально не имеет) “некоторое” значение, все, что может что-либо означать; понятие инициальной
сущности является частным случаем определяемого в теории понятий понятия сущности.
Рассмотрим инициальные сущности u и v в отношении u:v, означающем, что сущность u
рассматривается как обобщение инициальной сущности v и инициальная сущность v рассматривается
как конкретизация сущности u. Инициальные сущности u и v при образовании отношения u:v
претерпевают изменения своего статуса и становятся сущностями: сущность u в отношении u:v
становится менее неопределенной (более определенной) по сравнению с сущностью v, сущность v
(наряду с инициальностью) обретает возможность иметь в качестве значения сущности (вместо
недостаточно четко определенной возможности для инициальной сущности иметь “некоторые”
значения). Такое отношение будем считать отношением “обобщения:конкретизации”. Отношение
“обобщения : конкретизации” u:v означает, что сущность v “входит” в сущность u и, обратно,
сущность u “содержит” сущность v.
Определение. Две сущности находятся в отношении u:v, если имеется два некоторых других
(взаимообратных) отношения, скажем “p” и “q”, таких, что если u и v находятся в отношении upv, то
они находятся и в отношении vqu.
Данное
определение
определяет
отношение,
которое
является
отношением
“обобщения:конкретизации”. Определяемый таким образом объект называется семантическим
отношением.
Определение. Две сущности u и v, находящиеся в отношении u:v, образуют сущность.
Замечание. Отношение u:v не следует понимать как обозначение двух определенных
взаимообратных отношений; это отношение означает, что любая пара взаимообратных отношений
сущностей u и v может рассматриваться в качестве частного случая (конкретизации) отношения u:v.
Отношение u:v можно считать определением, причем сущность u будет определяемой
сущностью этого определения, и сущность v будет сущностью, удовлетворяющей этому
определению. Это утверждение может быть обосновано далее, когда будет иметься определение
определения и технология использования определений.
Можно рассмотреть много примеров пар отношений, на основе которых может быть построено
отношение “обобщения:конкретизации”. Самым простым примером может служить использование
отношений больше и меньше: действительно, если a>b, то b<a. Аналогичную пару отношений
образуют отношение вхождения элемента в множество elS и отношение включения множеством
некоторого элемента Sel. Функциональная зависимость y = f(x) величин x и y может быть
представлена отношением y:x, если эта зависимость такова, что if y = f(x) then x = f -1(y), т.е. (y:x) : if
y = f(x) then x = f -1(y). Отношения необходимости и достаточности в их классической интерпретации
составляют пару отношений, которая образует отношение “обобщения:конкретизации”. Пара таких,
например, нормальных алгоритмов a→b и b→a может рассматриваться в качестве конкретизации
отношения a:b. Отношения обозначения (именования), нередко применяемые в утверждениях,
являются еще одним примером. Аксиомы, аксиоматические утверждения, рассматриваемые при
построении
аксиоматических
систем,
как
правило,
также
являются
отношениями
“обобщения:конкретизации”. Отношение равенства двух различных величин также может
рассматривать в качестве конкретизации отношения, как это и было сделано при рассмотрении
функциональной зависимости. Заметим, что отношение тождественности (в отличие от отношения
эквивалентности) отношения “обобщения:конкретизации” не образует. Отношение, которое имеется
между
определением
и
определяемой
им
сущностью
является
отношением
“обобщения:конкретизации”. В качестве примера можно рассмотреть определение сущности:
определение сущности представляет собой отношение “обобщения:конкретизации” (т.е. определение
сущности является сущностью). Действительно, определение сущности устанавливает отношение
между определением u:v и определяемой сущностью “сущность” такое, что если имеет место u:v, то
считается, что это отношение определяет сущность “сущность” и наоборот: если имеется сущность
“сущность” то она представима в виде u:v. Т.е. тем самым определение представляет собой
отношение “обобщения:конкретизации”.
Отношения “обобщения:конкретизации” могут представлять отношение между сущностями и
реальными объектами, которые призваны их представлять. Этим обеспечивается технология
прикладного применения отношений, прагматика отношений [7].
2.1. Семантический гомоморфизм
Взаимодействие сущностей. Концепция семантического гомоморфизма теории понятий
утверждает возможность взаимодействия двух подходящих для этого сущностей с получением в
качестве результата эффекта этого взаимодействия. Эффектом взаимодействия сущностей является
сущность. Схемы, удовлетворяющие концепции семантического гомоморфизма, являются
семантическими гомоморфизмами. Схема, представляющая эффект суперпозиции подходящих
сущностей, представляет гомоморфизм.
При рассмотрении гомоморфизма и технологии верификации используется одна из
разновидностей взаимодействия сущностей – применение некоторой подходящей сущности к
аргументной сущности. Эта разновидность взаимодействия сущностей нотируется использованием
квадратных скобок для указания аргументной сущности. Частным случаем применения является
подстановка (суперпозиция) сущностей. В этом случае применение сущности к аргументной
сущности, представляемой отношением, осуществляется подстановкой аргументной сущности вместо
вхождений соответствующей компоненты применямой сущности с получением в качестве результата
эффекта этой подстановки.
Схема гомоморфизма. Пусть имеются две сущности (w:(u:v)) и (w:u)[u:v] (совокупность
сущностей (w:u)[u:v] можно считать инициальной сущностью, поскольку инициальная сущностью
допускает любое значение). Оказывается, что первая сущность (w:(u:v)) получается из второй при
взаимодействии ее компонент (путем подстановки сущности, заключенной в квадратные скобки,
вместо компоненты u в сущности, заключенной в круглые скобки), и, наоборот, первая сущность
представима в виде двух взаимодействующих компонент, представленных во второй сущности
фрагментами, заключенными, соответственно, в круглые и квадратные скобки. Поскольку эти две
сущности такие, что если имеется одна из этих сущностей, то имеет место и другая, то,
следовательно, можно утверждать, что они находятся в отношении “обобщения:конкретизации”:
(w:(u:v)) : (w:u)[u:v].
Сущность v в этом отношении продолжает оставаться как сущностью, так и инициальной
сущностью.
Определение. Поскольку схемы такого вида удовлетворяют концепции гомоморфизма и
реализуют ее, будем их именовать семантическими гомоморфными схемами (или просто
гомоморфизмом) и рассматривать в качестве определения семантического гомоморфизма.
Проанализируем это отношение рассматриваемых сущностей более тщательно. Прежде всего,
отметим, что оно имеет место безотносительно к чему-либо. Не имеется обстоятельств, которые
исключали бы, не допускали бы это отношение: оно безусловно. На этом основании можно сказать,
что это правильное отношение, абсолютно правильное отношение и, как следствие этого, сущность,
представляющая эффект взаимодействия сущностей, является правильным и более абстрактным
отношением по отношению к инициальной сущности (w:u)[u:v].
Если взаимодействующие компоненты гомоморфизма рассматривать как семантические
отношения, гомоморфизм будет утверждать, что предлагаемое им взаимодействие отношений
“обобщения : конкретизации” дает в качестве эффекта отношение “обобщения:конкретизации”.
С гомоморфизмом можно связать два взаимообратных алгоритма. При рассмотрении перехода
слева направо он означает, что некоторую подходящую сущность можно разложить на две такие
сущности, что их взаимодействие (путем подстановки) будет давать исходную. Рассмотрение
перехода справа налево определяет такое взаимодействие сущностей, что эффект этого
взаимодействия оказывается разложимым на эти рассматриваемые, взаимодействующие сущности.
На этом основании каждую часть гомоморфизма можно считать его полноценным представлением.
Гомоморфизм также говорит, что некоторая сущность w:u может быть применена к некоторой
другой сущности u:v с получением эффекта (w:(u:v)) такого, что он разложим на две упомянутые
сущности. Это означает, что такое применение такой сущности к такому аргументу будет неоспоримо
и правильно. Таким образом, использование гомоморфизма будет преобразовывать аргумент
правильным образом.
3 Заключение
Верификация показывает, что для исследования различных свойств определяемых объектов
построение самих объектов не является необходимым: вполне достаточно использования их
определений [8]. Это замечание может оказаться особенно полезным в случаях, когда построение
требуемого объекта по различным обстоятельствам затруднительно. Так, в частности, построение
бесконечных множеств неосуществимо из-за бесконечности процесса построения, но, тем не менее,
многие свойства множеств могут быть вполне конструктивно установлены и исследованы
посредством использования их определения [6]. Еще одним примером определяемого, но
невозможного для построения объекта являются понятия, определяемые рекурсивно-замкнутыми
определениями, которые были упомянуты в разделе, посвященном понятиям.
Использование отношения “обобщения:конкретизации” в модификации нормальных
алгорифмов [1]
усиливает понятие
нормального алгорифма до ненормализуемости
модифицированных нормальных алгорифмов.
В настоящее время предполагается разработка и построение компьютерной системы
верификации утверждений. Такая система, кроме выполнения своей непосредственной задачи –
проверки правильности произвольных утверждений, сможет являться технологическим средством
разработки и построения правильных теорий.
Можно считать, что предлагаемая технология семантического анализа, способна и на
“понимание” этих теорий, если полагать, что понимание (как естественным, так и искусственным
интеллектом) заключается в разложении теории на простейшие сущности, для принятия которых
требуется лишь допущение, что они способны нечто означать.
В заключение можно коснуться гносеологического аспекта сущностей. В теории понятий
большое, если не основополагающее, значение имеет концепция семантического значения сущностей.
Оказывается, что семантическое значение возникает лишь при взаимодействии сущности с другой
сущностью, т.е. посредством утверждения отношения u:v. И здесь возникает более сложная
проблема: способно ли уже это значение, появляющееся при взаимодействии сущностей,
взаимодействовать с чем-либо? Семантический гомоморфизм предлагает утвердительный ответ.
Литература
[1] Чернюгов В.В. Ненормализуемость модифицированных нормальных алгорифмов // Экономикоматематические исследования: математические модели и информационные технологи. СПб,
Наука, 2000. – С. 291-295.
[2] Чернюгов В.В. Введение в теорию понятий // Экономико-математические исследования:
математические модели и информационные технологи, II. СПб, Наука, 2001. – С. 286-299.
[3] Чернюгов В.В. Введение в теорию понятий // Труды Международного семинара Диалог2002
“Компьютерная лингвистика и интеллектуальные технологии”. М., 2002. – С. 595-603.
[4] Чернюгов В.В. Концепция семантического формализма // Петербургские фрагменты научной
картины мира. СПб:СПбНЦ РАН. 2003 – С. 266-277.
[5] Даугавет О.К., Чернюгов В.В. Основы теории понятий // Экономико-математические
исследования: математические модели и информационные технологии, IV. СПб, Наука, 2005. –
С. 112-130
[6] Даугавет О.К., Чернюгов В. В.
ВИНИТИ. № 132-В2008
О технологии доказательств общих утверждений // Деп. в
[7] Чернюгов В.В. Прагматика теорий // Экономико-математические исследования: математические
модели и информационные технологии IV. СПб. Нестор-История, 2007. – С. 235-248
[8] Даугавет О.К., Чернюгов В.В. Определения // Экономико-математические исследования:
математические модели и информационные технологии, VI. СПб. Нестор-История, 2007. – С.
249-264.
[9] Теория понятий // http://www.publicant.ru/book.aspx?id_d=747613