РАЗДЕЛЫ КУРСА &quot

РАЗДЕЛЫ КУРСА
"ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ",
выносимые на экзамен
1. Комплексные числа: определения, алгебраические операции. Геометрическая
интерпретация комплексных чисел и действий над ними (сложение, вычитание, умножение,
деление, возведение в степень, взятие корня). Формулы Эйлера и Муавра.
2. Последовательности комплексных чисел. Предел последовательности комплексных чисел.
Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности комплексных чисел.
Теорема Вейерштрасса. Критерий Коши. Понятие бесконечно удаленной точки. Расширенная
комплексная плоскость. Стереографическая проекция.
3. Множества на комплексной плоскости. Понятия области, ее границы, ее связности. Понятие
функции комплексной переменной. Однозначные/многозначные, однолистные/многолистные
функции. Однозначные ветви многозначных функций. Точки ветвления. Предел функции
комплексной переменной. Непрерывность. Линейная и дробно-линейная функции. Степенная
функция с целочисленным показателем и обратная к ней.
4. Дифференцируемость функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана: теорема
и различные формы записи (в полярных и комплексных координатах). Аналитические
функции и их свойства. Сопряженные гармонические функции. Геометрический смысл
модуля и аргумента производной.
5. Элементарные функции комплексной переменной: классификация и свойства. Функция
Жуковского и обратная к ней. Экспонента и логарифм. Степенные функции с произвольным
показателем (сопоставление и классификация). Тригонометрические и гиперболические
функции и обратные к ним.
6. Понятие контура. Интеграл от функции комплексной переменной по кусочно-гладкой
кривой на комплексной плоскости (два способа введения), его свойства, связь с
криволинейными интегралами, сведение к интегралу по действительной переменной.
Интегрирование многозначных функций (пример).
7. Формула Ньютона – Лейбница. Возможность применения формулы Ньютона–Лейбница в
случае многозначной производной. Индекс замкнутого контура. Вычисление интегралов от
рациональных функций. Свойства индекса замкнутого контура. Интегральная теорема Коши
для односвязной области (нестрогое доказательство, схема строго доказательства). Свойства
первообразных аналитической функции. Интегральная теорема Коши для многосвязной
области (применимость, неприменимость).
8. Интегральная формула Коши для многосвязной области. Интегральная формула Коши для
произвольного замкнутого кусочно-гладкого контура в односвязной области. Теорема о
среднем. Интегралы Коши и типа Коши. Теорема о производных интеграла типа Коши.
Доказательство бесконечной дифференцируемости аналитических функций. Интегральная
формула Коши для бесконечной области. Граничные значения функций. Условия Гельдера.
Значение интеграла типа Коши на линии интегрирования.