Документ 235890

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра алгебры и математической логики
Шармин В.Г.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления
01.03.03 – Механика и математическое моделирование, профиль подготовки:
«Механика жидкости, газа и плазмы».
Форма обучения - очная
Тюменский государственный университет
2014
2
Шармин В.Г. Аналитическая геометрия. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 01.03.03 – Механика и математическое моделирование, профиль подготовки: «Механика жидкости, газа и плазмы», форма обучения – очная.
Тюмень, 2014, 43 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом рекомендаций и ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ: «Аналитическая
геометрия» [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3plus.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики. Утверждено директором Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Кутрунов В.Н., д.ф.-м.н., профессор
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Шармин В.Г., 2014.
3
1. Пояснительная записка
Цели и задачи дисциплины (модуля)
Целями освоения дисциплины (модуля) "Аналитическая геометрия" являются:
формирование математической культуры студента, начальная подготовка в области алгебраического анализа простейших геометрических объектов, овладение классическим математическим аппаратом для дальнейшего использования в приложениях.
Задачи изучения дисциплины:
1. Формирование у студентов представлений об аналитической геометрии, как одной
из важнейших математических дисциплин, имеющей свой предмет, задачи и методы.
2. Формирование у студентов знаний и умений, необходимых для освоения и использования метода координат и векторного метода при решении теоретических и прикладных задач.
3. Формирование у студентов знаний и умений, необходимых для дальнейшего самообразования в области современной математики.
1.1.
1.2.Место дисциплины в структуре образовательной программы
Аналитическая геометрия входит в базовую часть цикла Б1. Для ее успешного изучения достаточно знаний и умений, приобретенных в средней школе.
Освоение аналитической геометрии является основанием для успешного освоения
дальнейших базовых курсов – алгебры, математического анализа, дифференциальной геометрии и топологии, теоретической и прикладной механики и общей физики; приобретенные знания также могут помочь в научно-исследовательской работе.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
Таблица 1.
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
Наименование обеспечиваемых Темы дисциплины необходимые для изучения
(последующих) дисциплин
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
Математический анализ
Алгебра
Общая физика
Дифференциальная геометрия и
топология
Теоретическая и прикладная механика
1.1
+
+
+
+
1.2
+
+
+
+
2.1
+
+
+
+
2.2
+
+
+
+
3.1
+
3.2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими компетенциями:
готовностью использовать фундаментальные знания в области теоретической и прикладной механики, механики сплошной среды, математического анализа, комплексного и
функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, численных методов, теории вероят4
ностей, математической статистики и случайных процессов в будущей профессиональной
деятельности (ОПК-2);
способностью строго доказать утверждение, сформулировать результат, увидеть следствия полученного результата (ПК-3).
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
Знать основные понятия аналитической геометрии, определения и свойства математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы их доказательства,
возможные сферы их приложений, в том числе в компьютерном моделировании геометрических объектов и явлений.
Уметь решать задачи вычислительного и теоретического характера в области геометрии
трехмерного евклидова (аффинного) пространства и проективной плоскости, доказывать
утверждения.
Владеть математическим аппаратом аналитической геометрии, аналитическими методами
исследования геометрических объектов.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр – первый. Форма промежуточной аттестации экзамен - первый семестр.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единиц, 144 академических часов, из них 76,65 часа, выделенных на контактную работу с преподавателем, 67,35 часа,
выделенных на самостоятельную работу.
Таблица 2.
Вид учебной работы
Контактная работа со студентами
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Иные виды работ
Самостоятельная работа (всего)
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
Общая трудоемкость
час
зач. ед.
Всего часов
76,65
72
36
36
4,65
67,35
экзамен
144
4
5
3. Тематический план
Таблица 3.
Тема
1
1.1.
1.2.
2.1.
2.2.
3.1.
3.2.
2
Модуль 1
Векторная алгебра.
Координаты
на плоскости и
в
пространстве.
Всего*
Модуль 2
Прямая
на
плоскости.
Прямая
и
плоскость
в
пространстве.
Всего*
Модуль 3
Кривые второго порядка.
Поверхности
второго
порядка.
Всего*
Итого (часов,
баллов) *
В том числе в
интерактивной
форме
Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.
Итого
часов
по теме
В том
числе в
интерактивной
форме
Итого
количество
баллов
8
4
9
недели семестра
№
Лекции
3
4
Семинарские
(практические)
занятия
5
1-4
8
8
16
32
5-6
4
4
8
16
2
0-10
12
12
24
48
6
0-30
7-9
6
6
12
24
4
0-20
10-12
6
6
12
24
4
0-20
12
12
24
48
8
0-40
13-16
8
8
16
32
4
0-15
17-18
4
4
8
16
2
0-15
12
36
12
36
24
72
48
144
6
20
0-30
0-100
8
12
Самостоятельная
работа *
6
7
0-20
20
* - с учетом иных видов работ
6
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 4.
№ темы
Устный опрос
Письменные работы
коллоквиумы
ответ на семинаре
контрольная
работа
тест
Итого количество баллов
Модуль
1
1.1
0-6
0-4
0-6
0-4
0-20
1.2
0-3
0-2
0-3
0-2
0-10
Всего
Модуль
2
2.1
0-9
0-6
0-9
0-6
0-30
0-6
0-4
0-6
0-4
0-20
2.2
Всего
Модуль
3
3.1
0-6
0-12
0-4
0-8
0-6
0-12
0-4
0-8
0-20
0-40
0-4
0-3
0-4
0-4
0-15
3.2
0-4
0-3
0-4
0-4
0-15
Всего
0-8
0-6
0-8
0-8
0-30
Итого
0-29
0-20
0-29
0-22
0 – 100
5. Содержание дисциплины.
Содержание дисциплины.
Модуль 1
1.1. Векторная алгебра.
Понятие вектора. Сложение векторов и умножение вектора на число. Понятие линейного векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Координаты вектора.
Скалярное, векторное и смешанное произведения. Длина вектора, угол между векторами,
площадь треугольника, объем параллелепипеда.
1.2. Координаты на плоскости и в пространстве.
Аффинная и декартова системы координат. Деление отрезка в данном отношении. Переход от одной системы координат к другой. Задание фигур уравнениями и неравенствами.
Модуль 2
2.1.
Прямая на плоскости.
Каноническое и параметрическое уравнение прямой. Общее уравнение прямой.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Взаимное расположение двух прямых. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми. Полуплоскость.
2.2.
Прямая и плоскость в пространстве.
Общее уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение двух и трех плоскостей. Угол между плоскостями. Канонические уравнения пря1.
7
мой. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми в пространстве. Общее уравнение прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и
плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
Модуль 3
3.1.Кривые второго порядка.
Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. Исследование свойств
кривых второго порядка по их каноническим уравнениям. Директриальное свойство.
Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Приведение линии
второго порядка к каноническому виду и построение ее точек. Классификация линий второго порядка.
3.2. Поверхности второго порядка.
Поверхности второго порядка. Метод сечений. Поверхности вращения. Цилиндрические и конические поверхности. Конические сечения. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
6. Планы семинарских занятий.
Модуль 1.
1.1.Векторная алгебра.
Занятие 1. Линейные операции над векторами.
Занятие 2. Координаты вектора.
Занятие 3. Скалярное произведение и его приложение.
Занятие 4. Векторное и смешанное произведение и их приложения.
1.2.Координаты на плоскости и в пространстве.
Занятие 5. Координаты точки на плоскости. Деление отрезка в данном отношении.
Преобразование координат на плоскости.
Занятие 6. Контрольная работа №1.
Модуль 2.
2.1.
Прямая на плоскости.
Занятие 7. Прямая на плоскости.
Занятие 8 Прямая на плоскости.
2.2.
Прямая и плоскость в пространстве.
Занятие 9. Прямая и плоскость в пространстве.
Занятие 10. Прямая и плоскость в пространстве.
Занятие 11. Контрольная работа №2.
Занятие 12. Коллоквиум №2. Контрольная работа №3.
Модуль 3
3.1.Кривые второго порядка.
Занятие 13. Эллипс. Гипербола. Парабола.
Занятие 14. Эллипс. Гипербола. Парабола.
Занятие 15. Приведение линии второго порядка к каноническому виду и построение ее точек.
3.2.Поверхности второго порядка.
Занятие 16. Поверхности второго порядка.
Занятие 17. Контрольная работа №3.
Занятие 18. Коллоквиум №3. Итоговое тестирование.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены
8
8. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрены
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной
работы студентов.
Таблица 5.
№
Модули и темы
Модуль 1
1.1 Векторная алгебра.
1.2
.
Виды СРС
обязательдополнительные
ные
Домашние
задания.
Координаты
на Домашние
плоскости и в про- задания.
странстве
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1 Прямая на плоско- Домашние
.
сти.
задания.
2.2
.
Прямая и плоскость Домашние
в пространстве.
задания.
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1 Кривые второго по- Домашние
.
рядка.
задания.
Неделя
семестра
Чтение дополни- 1-4
тельной литературы;
Знакомство
с
содержанием
электронных источников.
Чтение дополни- 5-6
тельной литературы;
Знакомство
с
содержанием
электронных источников.
Чтение дополни- 7-9
тельной литературы;
Знакомство
с
содержанием
электронных источников.
Чтение дополни- 10-12
тельной литературы;
Знакомство
с
содержанием
электронных источников.
Чтение дополни- 13-16
тельной литературы;
Знакомство
с
содержанием
электронных ис-
Объем
часов*
Кол
-во
баллов
16
0-20
8
0-10
24
0-30
12
0-20
12
0-20
24
0-40
16
0-15
9
3.2
.
Поверхности второ- Домашние
го порядка.
задания.
Всего по модулю 3:
ИТОГО*
точников.
Чтение дополни- 17-18
тельной литературы;
Знакомство
с
содержанием
электронных источников.
16
0-15
24
72
0-30
0100
* с учетом иных видов работ
10

+
+
+
+
+
+
Дисциплина относится к базовой части
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Теоретическая и прикладная механика *
+
+
+
+
+
Уравнения математической физики
Динамические системы
4 семестр
Функциональный анализ *
Основы численных методов *
+
+
+
Математические модели в механике сплошной среды *
Комплексный анализ *
+
Векторный и тензорный анализ
Теоретическая и прикладная механика *
Математический анализ *
3 семестр
Основы механики сплошной среды *
Дифференциальные уравнения *
+
Математический анализ*
2 семестр
Дифференциальные уравнения *
Дифференциальная геометрия и
топология *
Математический анализ*
Циклы, дисциплины
(модули) учебного
1 семестр
плана ОП бакалавриата
Алгебра *
Избранные вопросы математики *
Математический анализ *
ОПК-2
ПК-3
Аналитическая геометрия *
Индекс
компетенции
Алгебра 
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы (выдержка из
матрицы компетенций):
Таблица 6.
Б.1. Дисциплины (модули)
5 семестр
+
+
ОПК-2
ПК-3
+
+

+
+
+
+
+
+
Физико-механический практикум
и вычислительный эксперимент *
Асимптотические методы нелинейной механики
Теория колебательных процессов
+
+
+
+
+
Физико-механический практикум
и вычислительный эксперимент *
Вариационное исчисление и оптимальное управление
Нелинейные уравнения с обратной
связью
Устойчивость и управление движением
6 семестр
Математические методы решения
задач механики *
Теория вероятностей, математическая статистика, случайные процессы *
Уравнения математической физики
Функциональный анализ *
Циклы, дисциплины
(модули) учебного
плана ОП бакалавриата
Теория вероятностей, математическая статистика, случайные процессы *
Теоретическая и прикладная механика *
Основы численных методов *
Индекс
компетенции
Комплексный анализ
Б.1. Дисциплины (модули)
7 семестр
8 семестр
+
+
+
+
+
Дисциплина относится к базовой части
12
Код компетенции
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 7.
Карта критериев оценивания компетенций
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
базовый (хор.)
76-90 баллов
Знает: основные
понятия
и
утверждения
:
Знает: основные
понятия и утверждения, а также
методы доказательства
стандартных утверждений
Умеет: решать Умеет:
решать
простейшие
задачи вычислительного и
теоретического характера
аналитической
геометрии
трехмерного
евклидова
(аффинного)
пространства и
проективной
плоскости
ОПК-2
Владеет: мате-
матическим
аппаратом
аналитической
геометрии,
аналитическими методами
исследования
геометрических объектов
в простейших
случаях
стандартные
задачи вычислительного
и
теоретического
характера аналитической
геометрии
трехмерного
евклидова (аффинного) пространства
и
проективной
плоскости, доказывать стандартные утверждения
Владеет: математическим аппаратом аналитической геометрии, аналитическими методами
исследования
геометрических
объектов
в
стандартных
случаях
Виды занятий
(лекции, семинарские,
практические, лабораторные)
Оценочные
средства (тесты, творческие работы,
проекты и
др.)
Знает: основные Лекции,
понятия и утвер- практические
ждения, а также занятия
методы доказательства утверждений:
Тестовые задания, контрольные
работы, коллоквиумы,
домашние
задания.
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
решать
задачи вычислительного
и
теоретического
характера аналитической
геометрии
трехмерного
евклидова (аффинного) пространства
и
проективной
плоскости, доказывать утверждения
Умеет:
Владеет: матема-
тическим аппаратом аналитической геометрии, аналитическими методами
исследования
геометрических
объектов
ПК-3
Знает: простейшие утверждения аналитической геометрии
Умеет: доказывать
простейшие утверждения
Владеет: методами
доказательств
простейших утверждений
Знает: основные
утверждения аналитической геометрии
Умеет: сформулировать результат, доказывать
основные утверждения аналитической
геометрии,
получать
следствия из них
Владеет: методами доказательств
стандартных
утверждений
Знает:
теоремы Лекции,
аналитической
практические
геометрии
занятия
Умеет: сформулировать результат, доказывать
утверждения аналитической геометрии, получать
следствия из них
Тестовые задания, контрольные
работы, коллоквиумы,
домашние
задания.
Владеет: методами доказательств
утверждений
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Контрольные работы.
Контрольная работа № 1.
1. Дана четырехугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит параллелограмм. Найдите координаты вектора SD в базисе {SA, SB, SC}.
2. В треугольнике AB = c, AC = b, BC = a. Найдите длину медианы CM.
3. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов
его сторон.
4. Векторы

a
и
b образуют
угол


6
. Зная, что
a  1и b  2 ,
вычислить
a  3b 3a  b .
Доказать, что abc   b(ac)  a(bc) .
2
5.
6. Объем тетраэдра равен 5. Три его вершины находятся в точках А(2,1,-1), В(3,0,1),
С(2,-1,3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на
оси ординат.
Контрольная работа № 2.
Треугольник ABC задан координатами своих вершин в прямоугольной декартовой системе координат. Найти:
1. Уравнения сторон треугольника.
2. Систему неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника ABC.
3. Углы треугольника ABC.
4. Длину высоты СН.
5. Уравнение медианы АМ.
6. Уравнение высоты СН.
14
7. Уравнение прямой ВК, где К – точка пересечения медианы АМ и высоты СН;
8. Уравнение биссектрисы внутреннего угла С.
9. Уравнение прямой А1В1, симметричной прямой АВ относительно точки С.
10. Координаты точки С1, симметричной точке С относительно прямой АВ.
Сделать чертеж.
Контрольная работа № 3.
Тетраэдр ABCD задан координатами своих вершин в декартовой системе координат.
Найти:
1. Уравнения грани АВС.
2. Уравнение плоскости, проходящей через ребро АВ параллельно ребру CD.
3. Уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно ребру СВ.
4. Объем тетраэдра.
5. Площадь грани АВС.
6. Двугранный угол при ребре СВ.
7. Длину высоты, опущенной из вершины D.
8. Уравнение высоты тетраэдра, проходящей через точку D.
9. Основание высоты тетраэдра, опущенной из вершины D.
10. Координаты точки Р симметричной точке D относительно грани АВС.
Сделать чертеж.
Контрольная работа № 4.
1.
Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, заданной в декартовой системе координат xOy
2.
 : A * x 2  2B * x * y  C * y 2  2D * x  2E * y  F  0 .
3. (1)
Определить вид линии. Записать формулы преобразования координат. Построить чертеж.
2. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку (1 2) , асимптотами которой
1
служат прямые y   x
2
3. Составить уравнение такой хорды эллипса
, которая точкой (2,1) делится пополам.
4. Исследовать уравнение поверхности второго порядка методом сечений.
5. Найти прямолинейные образующие гиперболического параболоида x 2  y 2  4 * z , параллельные плоскости x  y  z  1  0.
Темы коллоквиумов.
1. Векторная алгебра. Координаты на плоскости и в пространстве.
2. Прямая на плоскости. Прямая и плоскость в пространстве.
3. Линии и поверхности второго порядка.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ (КОЛЛОКВИУМУ)
Вопросы к экзамену (коллоквиуму).
1. Сложение векторов и его свойства.
2. Умножение вектора на число и его свойства.
3. Линейная зависимость векторов.
4. Координаты вектора.
5. Скалярное произведение и его свойства.
6. Векторное произведение и его свойства.
7. Смешанное произведение и его свойства.
8. Деление отрезка в данном отношении.
15
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
Переход от одной системы координат к другой.
Каноническое и параметрическое уравнение прямой.
Общее уравнение прямой.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми.
Полуплоскость.
Уравнение плоскости.
Расстояние от точки до плоскости, нормальное уравнение плоскости.
Взаимное расположение плоскостей.
Уравнение прямой.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Эллипс и его свойства.
Гипербола и ее свойства.
Парабола и ее свойства.
Полярное уравнение линии второго порядка.
Эллипсоид и его свойства.
Гиперболоиды и их свойства.
Параболоиды и их свойства.
Прямолинейные образующие на п.в.п.
Цилиндрические поверхности.
Конические поверхности.
Поверхности вращения.
10.4. Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования компетенций.
Текущая аттестация:
Контрольные работы; В каждом семестре проводятся контрольные работы (на семинарах).
Коллоквиумы;
Тестирование (письменное или компьютерное) по разделам дисциплины;
Промежуточная аттестация:
Тестирование по дисциплине;
Экзамен (письменно-устная форма). Экзамены оцениваются по системе: неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины
осуществляется в рамках рейтинговой (100-балльной) и традиционной (4-балльной) систем оценок.
Экзаменационная оценка студента в рамках рейтинговой системы оценок является
интегрированной оценкой выполнения студентом заданий во время практических занятий,
индивидуальных домашних заданий, контрольной работы, сдачи коллоквиумов и результатов тестирования. Эта оценка характеризует уровень сформированности практических
умений и навыков, приобретенных студентом в ходе изучения дисциплины. Соответствующие умения и навыки, а также критерии их оценивания приведены в таблице 9.
Экзаменационная оценка студента в рамках традиционной системы оценок выставляется на основе ответа студента на теоретические вопросы, перечень которых представлен в п. 10.3, а также решения задач, примерный уровень которых соответствует уровню
задач, приведенных в п.10.3 (контрольные работы). Эта оценка характеризует уровень
16
знаний, приобретенных студентом в ходе изучения дисциплины. Соответствующие знания
и критерии их оценивания приведены в таблице 9.
11. Образовательные технологии.
При организации самостоятельной работы применяются технологии проблемного
обучения, проблемно-исследовательского обучения (в частности, при самостоятельном
изучении теоретического материала), дифференцированного обучения, репродуктивного
обучения, проектная технология, а также современные информационные технологии обучения.
В процессе проведения аудиторных занятий используются следующие активные и
интерактивные методы и формы обучения: проблемное практическое занятие, работа в
малых группах, дискуссия, самостоятельная работа с учебными материалами, представленными в электронной форме, защита проектов.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
(модуля).
12.1 Основная литература:
1. Буров, А.Н. Линейная алгебра и аналитическая геометрия [Электронный ресурс]: учебное пособие / А.Н. Буров, Э.Г. Соснина. - Новосибирск: НГТУ, 2012.
- 186 с.- Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=228751
(дата обращения: 14.10.2014).
2. Остыловский, А.Н. Аналитическая геометрия [Электронный ресурс]: учебное
пособие / А.Н. Остыловский. - Красноярск: Сибирский федеральный университет,
2011.
92
с.
–
Режим
доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=229150
(дата
обращения:
14.10.2014).
3. Углирж, Ю.Г. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия [Электронный ресурс]: учебное пособие / Ю.Г. Углирж. - Омск: Омский государственный университет,
2013.
148
с.
–
Режим
доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=238212
(дата
обращения:
14.10.2014).
12.2 Дополнительная литература:
1. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве [Электронный ресурс] :
учебное пособие: учебное пособие/ сост. Л. В. Львова ; Алтайская гос. пед. акад.. Барнаул:
[б.
и.],
2012.
212
с.
Режим
доступа:
http://icdlib.nspu.ru/catalog/details/icdlib/645022/ (дата обращения: 14.10.2014).
2. Геометрия: сборник индивидуальных контрольных заданий по аналитической геометрии: дидактические материалы для самоконтроля, текущего контроля знаний и
промежуточной аттестации: учебно-методический комплекс/ Л. В. Абдубакова [и
17
др.] ; отв. ред. В. Н. Кутрунов; Тюм. гос. ун-т, Ин-т математики и компьютерных
наук. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2014. - 64 с.
3. Клетеник, Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии/ Д. В. Клетеник ; ред.
Н. В. Ефимов. - 17-е изд., стер. - Санкт-Петербург: Профессия, 2009. - 200 с.
4. Львова, Л. В.. Геометрия [Электронный ресурс] : преобразования и построения :
учебное пособие для мат. специальностей пед. вузов / Л. В. Львова: преобразования
и построения : учебное пособие для мат. специальностей пед. вузов/ Л. В. Львова ;
Алтайская гос. пед. акад.. - Барнаул: АлтГПА, 2012. - 174 с.: ил. - Библиогр.: с. 171. Загл. из текста. - Режим доступа: http://icdlib.nspu.ru/catalog/details/icdlib/644953/
(дата обращения: 14.10.2014).
5. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: учеб. пособие/ Л.
А. Беклемишева [и др.] ; ред. Д. В. Беклемишев. - 3-е изд., испр. - Санкт-Петербург:
Лань, 2008. - 496 с.
6. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: учеб. пособие для
студ. ун-тов, обуч. по спец. "Математика" и "Прикл. математика"/ Моск. гос. ун-т
им. М. В. Ломоносова; ред. Ю. М. Смирнов. - 2-е изд., перераб. и доп.. - Москва:
Логос, 2005. - 376 с.
7. Сборник задач по геометрии: учебное пособие для вузов по направлению 050100
"Педагогическое образование"/ С. А. Франгулов [и др.]. - 2-е изд., доп. - СанктПетербург: Лань, 2014. - 256 с.
8. Цубербиллер, О.H. Задачи и упражнения по аналитической геометрии/ О. H. Цубербиллер. - 33-е изд., стер.- Санкт-Петербург: Лань, 2007. - 336 с.
9. Баврин, И. И. Аналитическая геометрия: учеб. для студ. вузов, обуч. по напр. "Естественнонауч. образование" и спец. "Математика", "Физика", "Химия", "Биология",
"География"/ И. И. Баврин. - Москва: Высшая школа, 2005. - 85 с.
10. Ильин, В. А. Аналитическая геометрия: учеб. для студентов физ. спец. и спец.
"Прикл. мат."/ В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. - 7-е изд., стер. - Москва: Физматлит, 2009.
- 234 с.
12.3 Интернет-ресурсы:
1. Федеральный портал «Российское образование»: http://www.edu.ru /.
2. Федеральное хранилище «Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов»: http://school-collection.edu.ru /.
3. Научная электронная библиотека eLIBRARY.RU: http://elibrary.ru /.
4. http://www.wolframalpha.com/.
5. www.math.ru - сайт посвящён Математике (и математикам. Этот сайт — для
школьников, студентов, учителей и для всех, кто интересуется математикой.
6. www.exponenta.ru - образовательный математический сайт.
7. www.matematicus.ru - учебный материал по различным математическим курсам.
8. www.geometry.ru – материалы по элементарной геометрии.
9. www.xplusy.isnet.ru - математика для студентов.
18
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
1.
2.
3.
4.
Microsoft Word.
Microsoft Excel.
Microsoft PowerPoint.
http://www.wolframalpha.com/
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в частности,
оснащенные интерактивной доской и/или проектором.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
(модуля).
Методические указания к выполнению контрольных работ.
Ниже приведены образцы решения некоторых типичных задач для подготовки к
контрольным работам, а также задания для самостоятельного решения.
ЗАДАЧА 1. Треугольник ABC задан координатами своих вершин в прямоугольной декартовой системе координат. Найти:
1. Уравнения сторон треугольника.
2. Уравнение прямой d, проходящей через вершину С параллельно стороне AB.
3. Систему неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника ABC.
4. Периметр треугольника ABC.
5. Углы треугольника ABC.
6. Длину высоты СН.
7. Уравнение медианы АМ.
8. Уравнение высоты СН.
9. Уравнение прямой ВК, где К – точка пересечения медианы АМ и высоты СН;
10. Уравнение биссектрисы внутреннего угла С.
11. Уравнение прямой А1В1, симметричной прямой АВ относительно точки С.
12. Координаты точки С1, симметричной точке С относительно прямой АВ.
Сделать чертеж.
ВАРИАНТЫ.
1. А(-5,2); В(5,7); С(1,-1).
26. А(-5,8); В(5,13); С(1,5).
2. А(-1,11); В(14,6); С(2,2).
27. А(1,7); В(16,2); С(4,-2).
3. А(4,0); В(-6,-5); С(-2,3).
28. А(9,-5); В(-1,-10); С(3,-2).
4. А(4,-8); В(-11,-3); С(1,1).
29. А(4,-10); В(-11,-5); С(1,-1).
5. А(-11,-10); В(13,17); С(1,1).
30. А(-13,13); В(11,20); С(-1,4).
6. А(-6,5); В(4,10); С(0,2).
31. А(1,4); В(11,9); С(7,1).
7. А(-3,11); В(12,6); С(0,5).
32. А(2,8); В(17,3); С(5,-1).
8. А(2,-3); В(-10,-8); С(-6,0).
33. А(0,-7); В(-10,-12); С(-6,-4).
19
9. А(4,-2); В(-11,3); С(1,7).
10. А(-10,9); В(14,6); С(2,0).
11. А(-3,3); В(7,8); С(3,0).
12. А(-1,9); В(14,4); С(2,0).
13. А(10,-4); В(0,-9); С(4,-1).
14. А(-1,-7); В(-16,0); С(-4,2).
15. А(-12,11); В(12,18); С(0,3).
16. А(2,9); В(12,14); С(8,6).
17. А(0,16); В(15,5); С(3,1).
18. А(1,-2); В(-9,-7); С(-5,1).
19. А(0,-6); В(-15,-1); С(-3,3).
20. А(-9,9); В(15,16); С(3,0).
21. А(-7,7); В(3,12); С(-1,4).
22. А(-2,12); В(13,7); С(1,3).
23. А(7,-6); В(-3,11); С(1,-3).
24. А(1,-5); В(-14,0); С(-2,4).
25. А(-4,15); В(20,22); С(8,6).
34. А(2,-8); В(-13,-3); С(-1,1).
35. А(-11,14); В(13,21); С(1,5).
36. А(-8,6); В(2,11); С(-2,3).
37. А(3,9); В(18,4); С(6,0).
38. А(5,-1); В(-5,-6); С(-1,2).
39. А(3,-7); В(-12,-2); С(0,2).
40. А(-5,10); В(19,17); С(7,1).
41. А(2,5); В(12,10); С(8,2).
42. А(-2,4); В(13,-1); С(1,-5).
43. А(8,-3); В(-2,-8); С(2,0).
44. А(5,-9); В(-10,-4); С(2,-3).
45. А(-14,12); В(10,19); С(-2,3).
46. А(-2,2); В(8,7); С(4,-1).
47. А(-2,10); В(13,5); С(1,1).
48. А(6,-1); В(-4,-6); С(0,2).
49. А(3,-9); В(-12,-4); С(0,0).
50. А(-4,11); В(20,18); С(8,2).
ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ 1.
Пусть А(-3,10); В(2,13); С(8,-2).
y
B
P
H
A
K
M
j
O
i
x
C
20
1. Составим уравнение стороны АВ треугольника АВС. Для этого используем
уравнение прямой, проходящей через две точки А(x0,y0) и В(x1.y1):
x  x0
y  y0

.
x1  x 0 y1  y 0
В нашем случае оно примет вид:
x  3 y  10

2  3 13  10
или
3 x  5 y  59  0.
Аналогично находятся уравнения остальных сторон треугольника АВС:
АС: 12 x  11y  74  0,
ВС: 15 x  6 y  108  0.
2. Составим уравнение прямой d, проходящей через вершину С параллельно прямой АВ. Поскольку прямые параллельны, то их нормальные векторы коллинеарные.
Уравнение искомой прямой можно составить, как уравнение прямой, проходящей через

данную точку C(x0,y0) перпендикулярно данному вектору N ( А, В) :
A( x  x 0 )  B( y  y 0 )  0.

В нашем случае С(8,-2) и N (3,5). Имеем:
3( x  8)  5( y  2)  0,
или
3 x  5 y  34  0.
3.Прямая l : Ax  By  C  0, лежащая на плоскости, разбивает ее на две полуплоскости с границей l, которые задаются неравенствами:
Ax  By  C  0 или Ax  By  C  0.
Для того чтобы определить, каким из неравенств задается данная полуплоскость
достаточно в левую часть уравнения прямой l подставить координаты любой точки, принадлежащей этой полуплоскости, и определить знак полученного числового выражения.
В рассматриваемом случае, треугольник АВС лежит по отношению к прямой АВ в
той полуплоскости, которой принадлежит точка С. Найдем неравенство, задающее эту полуплоскость. Для этого в левую часть уравнения прямой АВ подставим координаты точки
С:
3  8  5  (2)  59  93  0.
Таким образом, искомая полуплоскость задается неравенством:
3 x  5 y  59  0.
Аналогично получим неравенства, задающие две другие полуплоскости:
12 x  11y  74  0 и 15 x  6 y  108  0.
4. Длина отрезка с концами А(x0,y0) и В(x1.y1) вычисляется по формуле:
AB  ( x1  x 0 ) 2  ( y1  y 0 ) 2 .
Тогда
AB  (2  3) 2  (13  10) 2  34 .
21
Аналогично AC  265иBC  261.
Таким образом, периметр треугольника АВС равен


34  265  261 лин. ед.


5. Косинус угла между векторами a ( a1 , a 2 ) и b (b1 , b2 ) находится по формуле:
cos  
a1b1  a 2 b2
a12  a 22  b12  b22
.
Найдем косинус угла ВАС. Так как вектор с началом в точке А и концом в точке В
имеет координаты (5,3), а вектор с началом в точке А и концом в точке С имеет координаты (11,-12), то получим:
5  11  3  (12)
19
cos BAC 

.
34  625
9010
Аналогично вычисляя, получим:
246
15
и cos ACB 
.
cos АВС 
69165
8874
6. Для нахождения длины высоты СН воспользуемся формулой, с помощью которой вычисляется расстояние от точки C ( x 0 , y 0 ) до прямой l : Ax  By  C  0 :

Ax0  By 0  C
A2  B 2
.
Итак, для рассматриваемой задачи:
3  8  5  (2)  59
93
CH 

.
9  25
34
7. Найдем уравнение медианы АМ. Для этого сначала вычислим координаты точки
М, а потом составим уравнение прямой, проходящей через точки А и М. Точка М делит
отрезок ВС пополам, поэтому ее координаты равны:
x
y B  y C 11
x B  xC 8  2
 .

5 и y 
2
2
2
2
Тогда уравнение прямой АМ имеет вид:
x  3 y  10

5  3 11
 10
2
или
9 x  16 y  133  0.
8. Прямая, проходящая через точку C ( x 0 , y 0 ) и имеющая угловой коэффициент k,
задается уравнением:
22
y  y 0  k ( x  x 0 ).
Прямые СН и АВ перпендикулярны, поэтому их угловые коэффициенты удовлетворяют условию kCH  k AB  1 , а так как угловой коэффициент прямой АВ равен
3
, то
5
5
3
угловой коэффициент прямой СН равен ( ) . Запишем уравнение прямой СН:
5
y  2   ( x  8)
3
или
5 x  3 y  34  0.
9. Прямая ВК проходит через точки В и К. Координаты точки В известны. Чтобы
найти координаты точки К достаточно решить систему уравнений, составленную из уравнений прямых АМ и СН:
9 x  16 y  133  0
,

5 x  3 y  34  0
145 359
,
).
53 53
решением которой является К (
Теперь можно записать уравнение прямой ВК, так как известны координаты двух
точек, через которые она проходит.
10. Точка Р – точка пересечения биссектрисы внутреннего угла С со стороной АВ.
Основание биссектрисы внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону
на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Тогда точка Р делит
сторону АВ в отношении
x

x A  x B

1 
АС
265

. Найдем координаты точки Р
ВС
261
265
261 2  265  3  261

265
261  265
1
261
3 2
и
y
y A  y B

1 
265
261 13  265  10  261

.
265
261  265
1
261
10  13 
Далее остается записать уравнение прямой, проходящей через точки С и Р:
x 8
y2

.
2  265  3  261
13  265  10  261
8
2
261  265
261  265
23
Упрощая последнее уравнение, получим:
x(5  265  12  29 )  y (2  265  11  29 )  36  265  74  29  0.
11. Прямая A1B1 симметрична прямой АВ относительно точки С. Тогда точка С является серединой отрезков АА1 и ВВ1.
B
A1
C
A
B1
Координаты точек А, В и С известны. По формулам для вычисления координат точки, делящей отрезок пополам, найдем координаты точек A1 и B1.
A1(19, -6) и В1(14, -17).
Далее можно записать уравнение прямой, проходящей через две точки.
12. Точка С1, симметричная точке С, принадлежит прямой СН, и точка Н является
серединой отрезка СС1.
C
B
H
A
C1
Поэтому найдем координаты точки Н, как точки пересечения прямых СН и АВ:
3x  5 y  59  0
,

5 x  3 y  34  0
Решив последнюю систему уравнений, получим, что Н (
 7 397
,
).
34 34
Найдем координаты точки С1:
x  2*(
7
143
397
431
)8
2
.
и y  2*
34
17
34
17
24
ЗАДАЧА 2. Тетраэдр ABCD задан координатами своих вершин в декартовой системе координат. Найти:
1. Уравнения граней тетраэдра.
2. Уравнение плоскости, проходящей через вершину A параллельно грани BCD.
3. Уравнение плоскости, проходящей через ребро АВ параллельно ребру CD.
4. Систему неравенств, задающую внутреннюю область тетраэдра.
5. Уравнение ребра СВ.
6. Уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно ребру СВ.
7. Объем тетраэдра.
8. Площадь грани АВС.
9. Угол АВС.
10. Двугранный угол при ребре СВ.
11. Длину высоты, опущенной из вершины D.
12. Уравнение плоскости, проходящей через точку D и перпендикулярной ребру
АВ.
13. Уравнение высоты тетраэдра, проходящей через точку D.
14. Основание высоты тетраэдра, опущенной из вершины D.
15. Координаты точки Р симметричной точке D относительно грани АВС.
Сделать чертеж.
Варианты
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
точки
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
x
3
9
8
7
4
8
7
7
8
9
8
5
5
7
9
8
6
5
9
9
4
9
5
3
9
9
9
3
6
7
y
-10
9
-10
3
-7
3
-5
5
-8
5
-10
-6
-7
9
8
-9
8
8
9
-6
7
-9
8
-6
9
-9
9
-8
7
-7
z
4
4
7
7
8
4
3
8
8
5
6
2
5
7
6
5
3
9
8
6
9
3
1
7
8
6
6
7
8
4
точки
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
x
5
2
6
8
5
8
5
9
7
3
3
8
9
8
4
6
5
7
4
9
1
8
2
8
7
4
5
9
5
6
y
6
6
3
5
8
1
7
6
8
8
9
8
8
9
9
9
8
9
8
8
9
6
3
8
3
6
6
8
9
8
z
-1
3
-8
3
-1
5
-4
5
-10
6
-10
-9
-7
5
4
-7
6
9
9
-5
1
-5
9
-8
8
-6
5
-8
6
-9
25
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
7
5
7
5
3
0
6
9
6
3
7
3
3
8
8
6
9
8
9
8
8
8
8
9
1
3
6
9
8
2
8
7
8
2
7
8
6
9
8
6
4
8
6
7
4
8
9
5
9
5
8
7
-7
-2
4
6
-5
2
6
4
2
-9
9
-6
6
-7
3
-10
6
-9
-7
-5
8
9
-5
9
5
7
9
7
-6
7
-7
9
-4
6
-9
4
-5
-4
-6
3
8
-8
7
7
9
5
-3
9
-7
5
-7
3
0
0
8
4
3
2
3
9
9
7
9
9
6
4
9
7
4
6
5
8
3
7
9
7
5
6
3
6
2
9
7
9
1
8
3
6
9
9
5
8
4
6
1
8
9
9
8
7
3
8
4
7
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
6
8
9
8
9
3
2
4
4
5
7
6
8
6
7
7
8
1
7
2
7
8
4
7
8
3
9
6
4
4
8
0
8
4
3
9
6
7
9
9
8
9
8
7
7
7
6
6
8
6
7
7
2
9
6
5
6
6
9
5
7
4
7
7
6
6
1
9
5
6
6
5
3
3
9
8
5
9
3
4
7
6
5
6
7
8
8
5
5
5
6
9
5
5
4
7
1
5
3
2
6
4
6
6
-4
-3
6
3
-8
6
4
5
8
-5
9
-8
9
-5
9
-10
2
-4
-4
-4
9
7
-5
8
3
6
5
7
-6
9
-8
3
-4
2
-9
7
-10
-10
-5
7
7
-8
8
7
8
7
-10
2
-4
9
-3
9
26
42
43
44
45
46
47
48
49
50
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
9
6
5
6
4
9
9
5
7
9
8
3
7
4
4
8
9
6
-10
3
-8
-5
-2
4
4
-9
1
6
9
9
5
-10
5
-6
9
-2
6
5
9
5
7
7
8
7
4
9
4
9
9
3
9
8
2
4
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
8
9
8
5
9
5
4
6
7
7
7
8
4
2
7
4
9
7
7
3
7
5
8
2
4
5
4
8
6
4
6
8
9
4
3
1
-7
8
-6
-4
-7
7
7
-7
8
4
5
5
7
-7
6
-7
6
-9
ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ 2.
Выполним чертеж.
27
z
D
B
k
i
j
y
O
x
A
C
Пусть А(1, 3, -5); В(2,-2, 4); С(5, 6, -8); D(-4, 2, 7).
1. Уравнение плоскости, проходящей через точки A( x1 , y1 , z1 ) , B ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,
C ( x 3 , y 3 , z 3 ) имеет вид:
x  x1 x 2  x1
y  y1
z  z1
y 2  y1
z 2  z1
x 3  x1
y 3  y1  0.
z 3  z1
Составим уравнение плоскости АВС:
x 1 2 1
5 1
y  3  2  3 6  3  0.
z 5 45 85
Вычисляя определитель, получим
28
 12 x  39 y  23z  10  0.
Аналогично получим уравнения других граней тетраэдра
ACD: 3x  3 y  z  11  0;
ABD: 51x  57 y  26 z  92  0;
BCD: 24 x  21y  20 z  86  0.
2. Поскольку искомая плоскость и плоскость BCD параллельны, то их нормальные
векторы можно считать совпадающими. Уравнение плоскости, проходящей через точку

Р ( x 0 , y 0 , z 0 ) и перпендикулярной вектору n ( А, В, С ) , имеет вид:
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z 0 )  0.
В нашем случае имеем:
24( x  1)  21( y  3)  20( z  5)  0
или
24 x  21y  20 z  13  0.
3. Уравнение плоскости, проходящей через точку А( x 0 , y 0 , z 0 ) и параллельной


векторам a ( a1 , а 2 , а 3 ) и b (b1 , b2 .b3 ) , имеет вид:
x  x0
y  y0
z  z0
a1
a2
a3
b1
b2  0.
b3
Искомая плоскость проходит через точку. А(1, 3, -5) и параллельна векторам
AB(1,5,9) и CD(9,4,15). Запишем уравнение этой плоскости
x 1 1  9
y  3  5  4  0.
z  5 9 15
или
39 x  96 y  49 z  82  0.
4. Плоскость  : Ax  By  Cz  D  0 разбивает пространство на два полупространства с границей α, которые задаются неравенствами:
Ax  By  Cz  D  0 или Ax  By  Cz  D  0.
Для того чтобы определить, каким из неравенств задается данное полупространство, достаточно в левую часть уравнения плоскости α подставить координаты любой
точки, принадлежащей этому полупространству, и определить знак полученного числового выражения.
29
В рассматриваемом случае, тетраэдр АВСD лежит по отношению к плоскости АВС
в том полупространстве, которому принадлежит точка D. Найдем неравенство, задающее
это полупространство. Для этого в левую часть уравнения плоскости АВС подставим координаты точки D:
 12  (4)  39  2  23 * 7  10  297  0.
Таким образом, искомое полупространство задается неравенством:
 12 x  39 y  23z  10  0.
Аналогично получим неравенства, задающие три других полупространства:
3x  3 y  z  11  0,51x  57 y  26 z  92  0,
24 x  21y  20 z  86  0.
5. Составим уравнения ребра СВ. Для этого используем уравнения прямой, проходящей через две точки A( x1 , y1 , z1 ) и B ( x 2 , y 2 , z 2 ) :
x  x1
y  y1
z  z1


.
x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1
В нашем случае они примут вид:
y6
x5
z 8


25 26 48
или
x5 y 6 z 8


.
3
8
12
6. Уравнения прямой, проходящей через точку A( x 0 , y 0 , z 0 ) и имеющей направ-

ляющий вектор a (a1 , а 2 , а 3 ) , записываются следующим образом:
x  x0 y  y 0 z  z 0


.
а1
а2
а3
Искомая прямая проходит через точку А, координаты которой даны, и ее направляющим вектором может служить вектор CB(3,8,12). Тогда ее уравнениями являются
x 1 y  3 z  5


.
3
8
12
7. Объем тетраэдра ABCD
xB  x A
1
V  yB  y A
6
zB  z A
xC  x A
yC  y A
zC  z A
xD  x A
yD  y A .
zD  z A
В нашем случае
30
2 1
5 1  4 1
1
99
V  23 63
23  .
6
2
45 85 75
8. Площадь треугольника АВС равна половине модуля векторного произведения
векторов АВ и АС . Если A( x1 , y1 , z1 ) , B ( x 2 , y 2 , z 2 ) , C ( x 3 , y 3 , z 3 ) , то формула для
нахождения площади треугольника имеет вид:
y  y1
1
S ( 2
y 3  y1
2
z 2  z1
z 3  z1
2
x  x1
 2
x 3  x1
z 2  z1
z 3  z1
2
2
x  x1
 2
x 3  x1
y 2  y1
).
y 3  y1
Так как АВ (1, -5, 9), АС (4, 3, -3) , то
2
2
2
2 1 4  5
2 1  2  3
1 23 45
S (


)
63 85
5 1  8  5
5 1 6  3
2

1
2194  23,42.
2


9. Косинус угла между векторами a ( a1 , a 2 , а 3 ) и b (b1 , b2 , b3 ) находится по
формуле:
cos  
a1b1  a 2 b2  a3b3
a12
 a 22  a32  b12  b22  b32
.
Найдем косинус угла АВС. Так как ВА (-1, 5, -9), ВС (3, 8, -12) , то
cos АВС 
(1)  3  5  8  (9)  (12)
(1) 2  5 2  (9) 2  32  8 2  (12) 2

145
23219
.
10. Двугранный угол при ребре CВ – это угол между плоскостями АВС и ВСD, который равен углу между нормальными векторами этих плоскостей. Нормальный вектор
плоскости АВС имеет координаты (-12, 39, 23), а плоскости ВСD – (24, 21,20). По формуле для нахождения косинуса угла (см. предыдущий пункт) получим:
cos  
(12)  24  39  21  23  20
(12) 2  39 2  232  (24 2  212  20 2

991
3108898
.
11. Объем тетраэдра равен
1
V  S ABC  hD .
3
Так как объем тетраэдра и площадь грани АВС известны, то длина высоты, опущенной на
эту грань равна
31
hD 
3 V
3  49,5

 6,3407.
S ABC
23,42
12. Уравнение плоскости, проходящей через точку D( x 0 , y 0 , z 0 ) и перпендику-

лярно вектору n ( A, B, C ) , имеет вид:
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z 0 )  0.
Координаты точки D известны, координаты вектора АВ равны (1,-5, 9). Тогда
уравнение искомой плоскости
1  ( x  4)  5  ( y  2)  9  ( z  7)  0
или
x  5 y  9 z  49  0.
13. Высота DH тетраэдра, опущенная из точки D, перпендикулярна плоскости АВС,
т.е. направляющий вектор прямой DH является нормальным вектором плоскости АВС. Он
имеет координаты (-12, 39, 23). Воспользовавшись уравнениями прямой из пункта 6, запишем уравнения прямой DH
x4 y2 z7


.
 12
39
23
14. Для нахождения основания высоты достаточно решить систему уравнений, состоящую из уравнений прямой DH и плоскости АВС.
Предварительно запишем уравнения прямой DH в параметрической форме
 x  4  12t

 y  2  39t .
 z  7  23t

Составим систему уравнений
 x  4  12t
 y  2  39t

.

z

7

23
t

 12 x  39 y  23z  10  0
Решив эту систему, получим
t
 297
 2606
 7195
8527
,x
,y
,z 
.
2194
1097
2194
2194
Таким образом, точка Н имеет координаты (
 2606  7195 8527
,
,
).
1097
2194 2194
32
15. Если точка Р симметрична точке D относительно плоскости АВС, то точка Н
является серединой отрезка DР. Тогда координаты точки Р можно найти с помощью формул для нахождения координат точки, делящей отрезок пополам
xP  2xH  xD , y P  2 y H  y D , z P  2 z H  z D .
Вычисляя по этим формулам, получим, что точка Р имеет координаты Р(
 824  9389 848
,
,
).
1097 1097 1097
ЗАДАЧА 3. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, заданной
в декартовой системе координат xOy
 : Ax 2  2 Bx * y  Cy 2  2 Dx  2 Ey  F  0 .
(1)
Определить вид линии. Записать формулы преобразования координат. Построить чертеж.
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
A
5
9
23
4
5
34
9
2
1
29
40
9
9
9
9
25
16
9
5
5
1
-1
4
9
8
1
6
4
2
1
9
0
4
B
4
-3
36
-2
-3
12
-12
6
1
72
18
-12
-12
-6
-3
18
-12
-6
2
6
-2
-6
-6
-2
3
-2
-4
-2
2
-6
12
4
-6
C
5
1
2
1
5
41
16
-7
1
71
25
16
16
4
1
40
9
4
2
0
4
4
9
6
0
1
0
1
5
-4
16
-6
9
D
3
2
-8
2
1
-7
4
4
4
-20
-4
-10
15
1
-3
-17
-44
5
-16
-11
2
0,5
-1
8
-13
-5
2
-3
-3
6
-115
-2,5
-10
E
-2
-5
2
6
-5
2
2
-7
-9
15
-7
55
-20
-2
-9
-58
33
-8
-28
-6
1,5
1
1,5
-4
-6
-3
-3
1,5
-4
4
55
2,5
15
F
5
4
2
-5
3
2
-3
2
2
-50
1
-50
-25
4
-90
89
121
12
80
-19
-7
-2
-2
-2
11
25
4
-4
-1
5
-475
-2
16
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
5
0
4
4
4
1
71
25
16
16
4
1
40
9
4
2
0
3
6
-2
-4
2
1
72
18
-12
-12
-6
-3
18
-12
-6
2
6
5
5
1
10
1
1
29
40
9
9
9
9
25
16
9
5
5
-3
-6
-1,5
-4
8
-9
15
-7
55
-20
-2
-9
-58
33
-8
-28
-6
-5
-11
2
-22
4
4
-20
-4
-10
15
1
-3
-17
-44
5
-16
-11
-3
-19
-7
-5
15
2
-50
1
-50
-25
4
-90
89
121
12
80
-19
ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ 3.
Пусть
 : x 2  8 xy  7 y 2  6 x  6 y  9  0 .
(2)
Имеем
Вариант
0
A
1
B
-4
C
7
D
3
E
-3
F
9
Повернем систему координат xOy вокруг точки О на угол α. Получим новую систему координат x′Oy′. Формулы преобразования координат имеют вид:
x  x  cos   y  sin  ,
.
y  x  sin   y  cos  .
(3)
Подставив формулы (3) в уравнение (1), получим уравнение линии γ в системе координат x′Oy′:
 : Ax 2  2 B x * y  C y 2  2 D x  2 E y  F   0 ,
(4)
где
A  A cos 2   2 B cos  sin   C sin 2  ,
B    A sin  cos   B cos 2   B sin 2   C sin  cos  ,
C   A cos 2   2 B sin  cos   C cos 2  ,
D   D cos   E sin  ,
E    D sin   E cos  ,
F   F.
(5)
Если В  0 , то найдем угол α так, чтобы В   0 , то есть
 A sin  cos   B cos 2   B sin 2   C sin  cos   0
(6)
34
или
Btg 2  (C  A)tg  B  0.
(7)
Для рассматриваемого случая получим
(4)tg 2  6tg  (4)  0.
(8)
Корни уравнения (8) равны tg 1 
1
, tg 2  2.
2
Не ограничивая общности, рассмотрим положительный корень, а также будем считать, что угол α находится в первой четверти. По данному значению тангенса найдем синус и косинус угла α по формулам:
tg
sin  
1
2

1  tg 2

1
и
1
5
1
4
1
1
2
cos 


.
2
1
5
1  tg 
1
4
(9)
Подставив значения A, B, C, D, E, F, а также синуса и косинуса в формулы (5),
найдем уравнение линии (2) в системе координат x′Oy′.
3
A  1, B   0, C   9, D  
5
, E  
9
5
, F   9.
(10)
Таким образом, получаем
 :  x 2  9 y  2  2
3
5
* x  2
9
5
* y  9  0 .
(11)
В уравнении (11) сгруппируем члены с x′ и y′ и дополним выражения в скобках до
полного квадрата
 ( x 2  2
3
9
1
1 9 9
x  )  9  ( y  2  2
y  )    9  0
5
5 5 5
5
5
или
 ( x 
3
5
) 2  9  ( y 
1
5
)2  9  0 .
(12)
Перейдем от системы координат x′Oy′ к системе координат XO′Y, осуществив параллельный перенос начала координат по формулам
35
x  X 
3
, y  Y 
5
1
5
.
(13)
Тогда в системе координат XO′Y линия (2) будет иметь уравнение
 X 2  9 Y 2  9  0
(14)
или
X2 Y2

 1.
9
1
(15)
Итак, мы получили каноническое уравнение гиперболы. Чтобы записать формулы
преобразования координат достаточно в формулы (3) подставить формулы (13) и значения
синуса и косинуса угла α из формул (9). В результате получим:
x
y
2
5
1
X 
1
5
2
 Y  1,
(16)
X 
 Y  1.
5
5
Из формул (16) определим координаты новых базисных векторов и нового начала
координат в «старой» системе координат xOy:
 2 1

1 2
O (1,1) , i ( , ) и j (
, ).
5 5
5 5
(17)
Выполним чертеж.
36
10
5
f1( x)
f2( x)
f3( x)
f4( x)
10
0
5
5
10
f5( x)
f6( x)
5
10
x
Примерный вариант итоговых тестовых заданий:
СОДЕРЖАНИЕ И СТРУКТУРА ТЕСТОВЫХ МАТЕРИАЛОВ
Тематическая структура
Линии второго порядка
Асимптоты гиперболы
Действительная полуось гиперболы
Каноническое уравнение линии второго порядка
Мнимая полуось гиперболы
Фокальное расстояние эллипса
Фокальный параметр параболы
Центр линии второго порядка
Эксцентриситет
37
Плоскость и прямая в пространстве
Взаимное расположение двух плоскостей
Взаимное расположение двух прямых
Взаимное расположение прямой и плоскости
Канонические уравнения прямой
Принадлежность точки плоскости
Расстояние от точки до плоскости
Угол между прямыми
Поверхности второго порядка
Канонические уравнения поверхностей второго порядка
Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка
Свойства поверхностей второго порядка
Сечения поверхностей второго порядка
Прямая на плоскости
Пересечение прямой с осями координат
Прямая в полярной системе координат
Расположение прямой относительно системы координат
Расстояние от точки до прямой
Угловой коэффициент прямой
Угол между прямыми
Условие перпендикулярности прямых
Система координат в пространстве
Сечения шара и сферы
Координаты точки в пространстве
Точка, равноудаленная от двух данных
Уравнение поверхности
Система координат на плоскости
Деление отрезка в данном отношении
Площадь ромба
Уравнение линии
Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
Вычисление векторного произведения
Вычисление скалярного произведения
Объем параллелепипеда
Свойства векторного произведения
Условие перпендикулярности векторов
Элементы векторной алгебры на плоскости и в пространстве
Длина вектора
Единичный вектор
Коллинеарные векторы
Координаты линейной комбинации векторов
Содержание тестовых материалов
Линии второго порядка
1. Асимптоты гиперболы
Расположить гиперболы в порядке возрастания угла, образованного ее асимптотами и содержащего ось Ох
x2 y2
a. 

1
25 16
x2 y2
b.

 1
4
9
38
x2 y2

 1
4 16
2. Действительная полуось гиперболы
x2 y2
Действительная полуось гиперболы

 1 равна …
25 16
c.
Правильные варианты ответа: 5;
3. Канонические уравнения линий второго порядка
Соответствие между названиями линий и их каноническими уравнениями
Эллипс
x2 y

1
6 18
Парабола
x 2  16 y
Пара действительных пересекающихся прямых
4. Мнимая ось гиперболы
x2 y2
Мнимая полуось гиперболы 

 1 равна …
25 49
Правильные варианты ответа: 5;
5. Фокусы эллипса
Расположить эллипсы в порядке убывания фокального расстояния
a.
x2 y
 1
6 18
x2 y

1
16 8
x2 y
c.

1
42 8
6. Фокальный параметр параболы
Расположить параболы в порядке возрастания их фокального параметра
b.
a.
y 2  10x
b.
x2  6 y
c. x  12 y
7. Центр линии
К центральным кривым относятся ...
a. y 2  3  0
2
b.
x2  6 y
x2 y2

0
17 10
x2 y2
d. 

1
25 16
8. Эксцентриситет
Расположить в порядке возрастания эксцентриситета
x2 y
a.

1
6 18
c.
39
b. x 2  6 y
x2 y2

 1
25 16
Плоскость и прямая в пространстве
9. Взаимное расположение двух плоскостей
Плоскости 4x + 6y -8z +2 = 0 и 6x - y +9z -8 = 0 ...
a. пересекаются, но не перпендикулярны
b. пересекаются и перпендикулярны
c. совпадают
d. параллельны
10. Взаимное расположение двух прямых
x5 y z 3
 
Прямая
и ось Оу …
1
2
5
a. совпадают
b. скрещиваются
c. пересекаются, но не перпендикулярны
d. параллельны
e. пересекаются и перпендикулярны
11. Параллельность прямых и плоскостей
Соответствие между плоскостью и параллельной ей прямой
6x + 3y + 4z -7 = 0
x4 y
z
 
1
2 3
x + y -z +8 = 0
x4 y
z
 
5
2 3
6x + 3 y +z -8 = 0
12. Канонические уравнения прямой
Соответствие между параметрами, задающими прямую, и ее уравнениями
Точка (0,0,2) и вектор (1,2,3)
x y z2
 
1 2
3
Точка (0,-2,0) и вектор (1,-1,-3)
x y2
z


1
1
3
c. 
x y z 9
 
1 2
3
13. Принадлежность точки плоскости
Плоскости 4x - 7y + 5z -140 = 0 принадлежит точка ...
a. (35,0,0)
b. (20,0,0)
c. (28,0,0)
d. (0,0,0).
14. Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки (-4,3,3) до плоскости 5 x  8 y  11z  3 11  0 равно …
a. 6
b. 0,2
c. 0,1
d. 5,9
e. 4,4
15. Угол между прямыми
Расположить прямые в порядке убывания угла, образованного этими прямыми с вектором
(3,0,-1)
40
x y2
z


1
1
3
x4 y
z
 
5
2 3
x y z2
 
1 2
3
Поверхности второго порядка
16. Канонические уравнения
Соответствие между названиями поверхностей второго порядка и их каноническими
уравнениями
Гиперболический параболоид
z2 y2

 2 x ч
17
Двуполостный гиперболоид

14
2
x
y2 z2


1
17 14 23
Однополостный гиперболоид
17. Прямолинейные образующие
Прямолинейных образующих НЕТ у ...
a. гиперболического цилиндра
b. однополостного гиперболоида
c. гиперболического параболоида
d. двуполостного гиперболоида
18. Центр поверхности
Единственный центр имеют (ет) поверхности (ть) ...
a.
z2 y2

 2 x
17 14
x2 y2 z 2


 1
17 14 23
x2 y2 z 2
c.


1
17 14 23
d. y 2  18 x
19. Вершины поверхности
Ровно две вершины имеет поверхность ...
z2 y2
a.

 2x
17 14
x2 y2 z 2
b.


 1
17 14 23
x2 y 2 z 2
c.  

1
17 14 23
x2 y2 z 2
d.


1
17 14 23
20. Оси поверхности
НЕ менее трех осей симметрии имеют (ет) ...
a. эллипсоид
b.
41
b. однополостный гиперболоид
c. эллиптический параболоид
d. гиперболический параболоид
21. Сечения поверхности
x2 z 2
Сечением поверхности

 2 y плоскостью y  4 является …
6
3
a. мнимый эллипс
b. эллипс
c. гипербола
d. парабола
e. пара пересекающихся прямых
Прямая на плоскости
22. Площадь треугольника
Площадь треугольника, отсекаемого прямой 5x - 6y +60 = 0, равна ...
Правильные варианты ответа: 60;
23. Расположение прямой относительно системы координат
Прямая 3x - 7y = 0 ...
a. проходит через начало координат
b. параллельна оси абсцисс
c. параллельна оси ординат
d. совпадает с осью абсцисс
e. совпадает с осью ординат
24. Расстояние от точки до прямой
Расстояние от точки А(5,-2) до прямой 3x + 4y - 2 = 0 равно ...
a. 1
b. 0,4
c. 4
d. 2,8
e. 4,6
25. Угловой коэффициент прямой
Угловой коэффициент прямой 4x + 2y -6 = 0 равен ...
Правильные варианты ответа: -2;
26. Углы падения и отражения
Луч света, направленный по прямой y = x - 5, отражается от оси Ох. Ордината точки пересечения отраженного луча с осью Оy равна ...
27. Условие перпендикулярности
Прямые 4x + 5y +6 = 0 и аx + 8y = 0 перпендикулярны при а равном...
a. 18
b. 10
c. -10
d. -18
e. 4
Система координат в пространстве
28. Координаты точки в пространстве
Сумма расстояний от точки А(3,-2,-4) до оси Оу и плоскости хОz равна ...
Правильные варианты ответа: 7;
29. Точка, равноудаленная от двух данных
Сумма координат точки С, лежащей на оси Оу и равноудаленной от точек А(-4,-4,2) и В(1,-5,4), равна ...
a. -3
42
b. 3
c. 1
d. -1
e. 5
30. Уравнение поверхности
Фигурой, заданной в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве
уравнением x  y  0 , является …
a. пустое множество
b. плоскость
c. две полуплоскости
d. полуплоскость
Система координат на плоскости
31. Деление отрезка пополам
Сумма координат точки, делящий отрезок с концами А(-8,3) и В(8,-3), равна ...
Правильные варианты ответа: 0;
32. Площадь ромба
Сторона ромба равна 5 37 , две его противоположные вершины имеют координаты. А(4,9) и. С(-2,1). Площадь ромба равна …
Правильные варианты ответа: 300
33. Уравнение линии
Фигурой, заданной в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости уравнением x 2  y 2  2 , является …
гипербола
a. окружность
b. пара мнимых параллельных прямых
c. точка
d. пара действительных параллельных прямых
Векторное скалярное и смешанное произведение
34. Вычисление векторного произведения
Сумма координат векторного произведения векторов (0,-3,4) и (8,2,0) равна ...
Правильные варианты ответа: 48;
35. Вычисление скалярного произведения
Скалярное произведение векторов (-1,-1,2) и (4,5,-9) равно ...
Правильные варианты ответа: -27;
36. Вычисление объема параллелепипеда
Объем параллелепипеда, построенного на векторах (-5,-3,-8), (3,-2,-4) и (0,-1,0), равен ...
Правильные варианты ответа: 44;
Элементы векторной алгебра на плоскости и в пространстве
37. Длина вектора
Квадрат длины вектора с координатами (3,-4,2) равен ...
Правильные варианты ответа: 29;
38. Единичный вектор
Произведение координат единичного вектора, противоположно направленного с вектором
(-2,-3), равно ...
a. 2/13
b. -2/13
c. 1/13
d. -6/13
43
e. 6/13
39. Коллинеарные векторы


Векторы a (3,5,  ) и b (12,20,16) коллинеарны при  равном …
a. 4
b. -3
c. -4
d. 2
40. Линейная комбинация




Сумма координат линейной комбинации  4a  6b векторов a (5,2,-6) и b (4,3,-8) равна …
Правильные варианты ответа: -10;
44