решения заданий

1. Понятие “устойчивость” тесно связано с понятием “положение равновесия системы”.
Линейную систему можно представить в виде системы дифференциальных уравнений в
матрично-векторной форме (так называемое пространство переменных состояния):
dX t 
 A  X t   B  U t  ,
dt
где X – вектор состояния, U – вектор входных воздействий, A и B – матрица системы и
матрица передачи входных воздействий на систему соответственно.
Говоря об устойчивости, следует рассматривать автономную систему, т.е. при U=0. В этом
случае движение линейной системы будет определяться уравнением
dX t 
 A  X t  .
(1)
dt
Положение равновесия определяем из условия нахождения системы в состоянии покоя,
dX t 
 0 . С учетом этого условия, из выражения (1) следует, что положение равновесия
т.е.
dt
автономной линейной системы всегда находится в нуле n-мерного пространства переменных
состояния (X = 0).
Если траектория движения линейной автономной системы в n-мерном пространстве
переменных состояния, начавшись в некоторой окрестности положения равновесия с течением
времени стремится к нему, то такое положение равновесия называется асимптотически
устойчивым, а соответствующая линейная система – асимптотически устойчивой.
Если траектория движения линейной автономной системы в n-мерном пространстве
переменных состояния, начавшись в некоторой окрестности положения равновесия с течением
времени не стремится к нему, но и не удаляется неограниченно, то такое положение равновесия
называется устойчивым, а соответствующая линейная система – устойчивой.
Если траектория движения линейной автономной системы в n-мерном пространстве
переменных состояния, начавшись в некоторой окрестности положения равновесия с течением
времени неограниченно удаляется от него, то такое положение равновесия называется
неустойчивым, а соответствующая линейная система – неустойчивой.
Из основных методов исследования устойчивости линейной системы можно назвать
прямой метод, основанный на анализе расположения полюсов (корней характеристического
уравнения) системы, алгебраические критерии Гурвица, Рауса, частотные критерии Михайлова,
Найквиста. Также устойчивость позволяет исследовать метод корневого годографа.
2. Применяя законы Кирхгофа к заданной RC-цепочке, можно записать следующие
выражения:
uвх  uC1  u R 2 ,
i R 2  iC1  i R1 .
Так же известно,
что
ток
и напряжение на емкостном элементе связаны
du
дифференциальным уравнением ic  C c , что можно представить в графическом виде как
dt
показано на рисунке:
где q C – заряд, накопленный емкостью.
На основе всего вышесказанного можно построить структурную математическую модель
(см. рисунок ниже).
1
Передаточную функцию системы можно получить, используя правила преобразования
структурных схем:
U s 
T s 1
R2
RR
, где K 
, T1  R1C , T2  1 2 C .
W s   вых
K 1
U вх s 
T2 s  1
R1  R2
R1  R2
Для отыскания аналитического выражения переходной характеристики (реакции на
единичный ступенчатый входной сигнал) передаточную функцию удобно представить в виде
T
1 1
T
T2
W s   K 1  K
.
T2
T2 s  1
1
Известно, что для системы, представленной типовым динамическим звеном
,
Ts  1
называемым апериодическим, аналитическое выражение переходной характеристики есть

t
ht   1  e T .
Тогда искомое выражение для переходной характеристики заданного четырехполюсника
t
t



 T1 
T1
R2
R1
T2 
T2
ht   K  K 1   1  e


e .
 R1  R2 R1  R2
T2
 T2 

На рисунке ниже представлен график полученного процесса.
Amplitude
Step Response
Time (seconds)
3. Заданной ЛАЧХ соответствует следующая передаточная функция:
T s  1T3 s  1
W s   K 1 2
, где K   22 , T1  1 , T2  1 , T3  1 , т.е. T1  T2  T3 .
1
3
4
s T2 s  1
Теперь, зная, какие типовые динамические звенья входят в состав передаточной функции,
несложно построить фазовую характеристику путем графического сложения фазовых характеристик
каждого из них. Суммарное приращение фазы составляет от 0 до 270 градусов:
2
270
0
Годограф передаточной функции W  j  строится по амплитудной и фазовой частотным
характеристикам. При построении годографа необходимо учесть также скачок фазы на -180 градусов на
нулевой частоте, возникающий вследствие наличия двух интеграторов:
Для ответа на вопрос о возможности обеспечения устойчивости системы в замкнутом состоянии
целесообразно применить критерий Михайлова-Найквиста, согласно которому для устойчивости
замкнутой системы требуется, чтобы годограф передаточной функции разомкнутой системы охватывал
точку  1,0 на комплексной плоскости
mр
2
раз в положительном направлении, где mр – количество
полюсов передаточной функции разомкнутой системы, лежащих в правой части комплексной
плоскости.
В соответствии с построенным годографом передаточной функции W  j  можно сделать вывод,
что возможно обеспечить устойчивость замкнутой системы при выборе коэффициента усиления больше
некоторого предельного K  K пр .
4. Для решения данной задачи можно использовать различные подходы, например критерий
Гурвица или метод корневого годографа, однако удобнее применить критерий устойчивости
Михайлова-Найквиста, который требует построения годографа передаточной функции разомкнутой
системы.
В рассматриваемом случае он имеет следующий вид:
3
Im
-1
плоскость
1
K
Re
Поскольку разомкнутая система является устойчивой, то и замкнутая система будет устойчивой,
если годограф передаточной функции разомкнутой системы не охватывает точку -1 при изменении
частоты от 0 до ∞.
По виду годографа можно сделать вывод, что для этой системы существует предельное значение
коэффициента усиления Kпр, с превышением которого система становится неустойчивой из-за охвата
годографом точки -1.
Таким образом, область устойчивости можно найти из решения уравнений, составленных для
модуля и фазы передаточной функции для граничного случая (когда годограф непосредственно
проходит через точку -1):
H   
K пр
 1,
2
1
   4arctgT   .
T 
2
2

Из второго уравнения находим значение частоты   1 , подставляя которое в первое уравнение,
T
получаем предельное значение коэффициента усиления Kпр = 4.
Следовательно, область устойчивости K < 4, независимо от значения постоянной времени T (см.
рисунок).
K
4
Область
устойчивости
0
T
Найдем значение коэффициента усиления K из области устойчивости, обеспечивающее запас
устойчивости в 10 дБ. Для этого необходимо построить логарифмические амплитудную и фазовую
частотные характеристики (ЛАФЧХ):
L, дБ
θ, град
20
20lgK
0
0
-20
-90
-180
-270
-40
-60
-80
-360
4
Из рисунка видно, что условием обеспечения необходимого запаса 10 дБ является
1

 L     10 , т.е. значение амплитудной характеристики L  в логарифмическом масштабе
T

должно составить -10 дБ на частоте, обеспечивающей сдвиг по фазе -180 градусов.
Используя найденное ранее выражение для амплитудной частотной характеристики H   ,
получим
1
K

 20 lg H      20 lg  10.
T
4

Отсюда следует, что значение коэффициента усиления, обеспечивающее запас в 10 дБ,
K
4
 1.26 .
10
5. В соответствии с частотным критерием устойчивости Найквиста, замкнутая система будет
устойчивой, если годограф передаточной функции разомкнутой системы не будет охватывать точку
(-1,0) на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до  .
Также известно, что аналитические выражения для амплитудной и фазовой частотных
характеристик звена запаздывания имеют вид:
H зап    1,
 зап    .
Видно, что звено запаздывания не изменяет суммарную амплитудную частотную характеристику,
однако влияет на суммарную фазовую частотную характеристику, закручивая ее в отрицательном
направлении тем сильнее, чем больше время запаздывания  .
Тогда для того, чтобы годограф передаточной функции не охватывал точку (-1,0) на комплексной
плоскости, он должен находиться внутри единичной окружности, т.е. должно выполняться условие для
максимального значения амплитудной частотной характеристики H max  1 . Это и обеспечит
устойчивость замкнутой системы независимо от времени запаздывания.
Для заданной передаточной функции H   
T1
T  2 1
2
2
.
Несложно показать, что максимальное значение амплитудной характеристики достигается на
частоте  max 
T
1
, тогда H max  1  1.
2T2
T2
Отсюда следует условие T1  2T2 , при котором замкнутая система будет устойчивой независимо
от величины запаздывания.
6. Для решения задачи используем метод гармонического баланса. Для этого построим годографы
линейной W  j  и нелинейной 
1
частей системы, где J  A – комплексный коэффициент
J  A
гармонической линеаризации:
Im
Re
5
В соответствии с рисунком можно отметить два предельных значения коэффициента усиления
K1 < K 2 . При K  K1 пересечения годографов отсутствуют, что будет означать неустойчивость
K1  K  K 2 будет возникать одно решение (неустойчивое),
соответствующее точке, где частота   0 . И, наконец, при K  K пр2 существуют два решения, причем
нелинейной
системы.
При
вторая точка соответствует устойчивым автоколебаниям.
На следующем рисунке показаны области устойчивости нелинейной системы.
A
НБО
НБО
УСО
Н
НМО
УМО
K
Области, отмеченные на рисунке: Н – область неустойчивости системы, НМО – область
неустойчивости при малых отклонениях, УСО – область устойчивости при средних отклонениях, НБО –
область неустойчивости при больших отклонениях.
Анализируя области устойчивости можно сделать вывод, что асимптотически устойчивое решение
в системе возможно при значениях коэффициента усиления линейной части K1  K  K 2 при малых
отклонениях (УМО). Таким образом, решение задачи сводится к нахождению предельных значений
коэффициента усиления K1 и K 2 .
Для нахождения предельных значений коэффициента усиления следует воспользоваться
аналитическими выражениями амплитудной и фазовой частотных характеристик линейной части
системы:
H   
T
K
  1 T12 2  1
      arctgT1  2arctgT2 .
2
2
,
2
Для отыскания первого предельного значения коэффициента усиления необходимо записать
условие, при котором точка годографа линейной части, соответствующая частоте   0 , будет
находиться в точке -1/2 (в начальной точке годографа нелинейной части):
H   0   K 
1
.
2
Частота, соответствующая второй точке пересечения годографов, находится из выражения для
фазовой частотной характеристики, если учесть, что значение фазы для этой точки составляет   :
   arctgT1  2arctgT2   .
Решая полученное уравнение, находим значение этой частоты:
 
T1  2T2
.
T1T22
Тогда условие для отыскания второго предельного значения коэффициента усиления будет
выглядеть так:
H     
T 
2
2
K
2


 1 T122  1

1
.
2
6
Отсюда следует, что K 2 
T1  T2 2
T1T2
 3 .2 .
Таким образом, асимптотически устойчивое решение в системе возможно при значениях
коэффициента усиления 0.5  K  3.2 .
7. Обозначим переменные x1 и x2 на выходах интеграторов, причем x1  y .
При значении переменной  d  x2  d
систему можно рассматривать как линейную с
коэффициентом усиления во внутренней обратной связи, равным
определяться уравнением x2
c
, тогда фазовые траектории будут
d
dx2
c
  x1  x2 . Фазовые траектории, полученные в результате решения
dx1
d
этого уравнения, заканчиваются в нуле, что означает асимптотическую устойчивость. Вид этих
c
 2 будут
d
c
2 –
получены траектории, соответствующие так называемому “устойчивому узлу”, а при
d
траекторий будет определяться соотношением параметров c и d. Можно показать, что при
“устойчивому фокусу”.
При значении переменной
x2
x2  d
фазовые траектории будут определяться уравнением
dx2
  x1  c . Решением этого уравнения будут окружности с центром в точке x1  c .
dx1
При значении переменной
x2  d фазовые траектории будут определяться уравнением
dx2
  x1  c . Решением этого уравнения также будут окружности, но с центром в точке x1  c .
dx1
c
 2 показан на рисунке.
Результат для случая
d
x2
узел
часть окружности
8. Задачу можно решить используя различные подходы. Рассмотрим решение с использованием
математического аппарата z-преобразования с переходом в псевдочастотную область.
Передаточную функцию непрерывной части можно представить в виде
Wн s  
T0 s  1
1
 T0  .
s
s
Далее, используя свойство линейности z-преобразования, и, как следствие, билинейного
преобразования, получаем описание непрерывной части системы в псевдочастотной области:
T _
 T _ 
1

s
T




 s 1
0
2  
2
_

Wн  s   T0 

.
_
_
 
s
s
7
Алгоритм, реализованный на ЦВУ, можно описать в виде передаточной функции в z-форме
WЦВУ z   Kz 1 , или, применяя билинейное преобразование, в псевдочастотной области
T _
s
 
2 .
WЦВУ  s   K
T _
 
1 s
2
_
1
Перемножая две передаточные функции, полученные для ЦВУ и для непрерывной части системы,
получаем выражение разомкнутой части системы в псевдочастотной области:
T
T_ 
1  s  T0   s  1
_
2
 
2 
Wр  s   K
.
_
_
T
 
1 s
s
2
_
Подставляя заданные в условии задачи значения, получаем, что
_
_



1

0
.
25
s
0
.
75
s
 1


_
 

.
Wр  s   K 
_
_


 
s1  0.25 s 


Имея описание разомкнутой части системы в псевдочастотной области, для решения задачи
можно применить любой инструментарий, используемый для исследования непрерывных линейных
систем. В данном случае, рациональнее использовать метод корневого годографа. Траектории корней
будут иметь следующий вид:
Im
Re
Замкнутая система будет устойчивой, когда ее корни будут расположены в левой полуплоскости,
то есть, как видно из корневого годографа, при условии K  K пр , где K пр – некоторое предельное
значение коэффициента усиления. При превышении предельного значения коэффициента усиления
полюс, выходящий из точки -4, переходит в правую полуплоскость, что будет означать неустойчивость
системы.
_
 
Проанализируем характеристическое уравнение замкнутой системы 1  W р  s   0 , т.е уравнения
_
_
_
_





s1  0.25 s   K 1  0.25 s  0.75 s  1  0 .





Из полученного уравнения легко находится условие, при котором один из полюсов уходит на
бесконечность, что как раз и соответствует предельному значению коэффициента усиления. Это
значение оказывается равным K пр 
4
.
3
Таким образом, замкнутая дискретно-непрерывная система устойчива при условии 0  K 
8
4
.
3
О характере неустойчивого процесса, получаемого при K 
анализа корневого годографа. Видно, что при K 
4
вывод можно сделать также из
3
4
неустойчивость обуславливается единственным
3
_
полюсом на действительной оси правой части комплексной плоскости s . Однако, поскольку этот полюс
располагается за пределами точки
2
, то на плоскости s ему соответствуют два комплексноT
сопряженных полюса, что свидетельствует о неустойчивом колебательном процессе.
9