- Кубанский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации
КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра математических и компьютерных методов
В.Г. ЛЕЖНЕВ, А.Н. МАРКОВСКИЙ
ЗАДАНИЯ НА MATHCAD ПО КУРСУ
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Учебное пособие
Электронный ресурс
http://www.lvg.kubsu.ru
Краснодар - 2014
Задание №1
Номер варианта k задания определяется номером студента по списку
группы. Каждому варианту соответствует криволинейный треугольник Qk с
границей S  S k (см. методичку [1], с. 5).
Для вычисления криволинейного интеграла
Ifx,yds
S
требуется свести его к определенному интегралу по (t 0 , T ) , используя равенства:






S
:x

x
t
,y

y
t
,t

t
,
T
,
0
2
2










ds

x
t

y
t
dt
.
Вычисление криволинейного интеграла второго рода
Jf(x
,y
)dx
S
вдоль ориентированной кривой сводится к вычислению следующего
определенного интеграла по (t 0 , T )
T

J

x
(
t
),
y
(
t
))
x
(
t
)
dt
f(
t
0
(направление обхода контура S определяет знаки приращений d x , d y в разных
(t)d
(t)d
t, y
t, а также связанную с
частях контура и, следовательно, знаки x
этим расстановку пределов интегрирования).
Задача 1.1(k). Вычислить аналитически и на ЭВМ двойной и
криволинейные интегралы первого и второго рода
J0 
dxdy
,
J1 2ds,
Q
S
J2 ydx,
S
J3 
 x dy
S
по указанным контурам S  S k c положительным направлением обхода, записав
для
каждой
части
контура
Sk
параметрическое
представление
и
соответствующие определенные интегралы, учитывая направление обхода.
Если точка ( x, y ) движется по контуру S , то вектор dx, dy является
t ,y
t  также касательный
касательным ( x, y – вектор хорды), т.е. x
вектор,
направленный
по
направлению
обхода,
d t  0 (положительное
t ,x
t
направление обхода – область остается слева). При этом вектор y
t ,y
t , т.е. является
повернут на 90˚ по часовой стрелке по сравнению с x
вектором внешней нормали при положительном обходе контура; вектор








y
t
,
x
t


n
x
,y

2
2










x
t

y
t
является внешней единичной нормалью к S .
Производная f x, y  по нормали n x, y  определяется равенством



f
x
,y






n
x
,y


f
x
,y
.

n
Задача 1.2(k). Вычислить значения криволинейного интеграла

  

2
2
1
 m
m
J
(
x
,
y
)

ln
x

x

y

y
ds
3
m
m

,
4

n
S
m
m
где S  S k – указанный для каждого варианта контур, точки x , y , m1, 2, 3
–
соответственно
внешняя, граничная и внутренняя точки

самостоятельно), nnx, y– внешняя единичная нормаль к S .
(выбрать
Отчет. Требуется (после краткой формулировки задания, ФИО в правом
углу) записать параметрическое представление дуг заданного профиля;
представить их графики; определить векторы внешних нормалей; записать
подынтегральные функции интегралов, вычислить интегралы.


2

2
m
m
Дополнительные вопросы. 1) Доказать, что функция ln
x

x

y

y


m m
,y
)x
,y , а функция
является гармонической при (x







(
r
,
t
)

ln
x

r

y

t
ds

2
2
S

2
гармоническая в Q и в области Q R \Q.
2) Доказать асимптотическое равенство






2
2
(
r
,
t
)

ln
r

t ds

o
(
1
),
r

t


22
S
(рассмотреть разность






(
r
,
t
)

ln
r
t
ds

).
2
2
S
Литература
1.
Дроботенко М.И. и др. Методы вычислений (практикум).
Краснодар, 2009.
Задание №3. Аппроксимация, полные системы, задача Робена.
Задание №3. Краевые задачи уравнения теплопроводности.
Решение u( x, t ) 1-ой краевой задачи (1), (21), (3):
u
u
(
x
,t
)
f(
x
)
,
t
x
x
u|x0 0(t),
x (01
, ),
t (0, ) ;
(1)
u|x1 1(t);
(21)
u|t0H(x)
(3)
и решение 2-ой краевой задачи (1), (22), (3):
u
 n x 0
  0 ( x) ,
u
 n x 1
 1 ( x ) ,
(22)
легко получить, если граничные функции  0 , 1 равны нулю, методом Фурье
(разложением функций f(x), Hx и решения u( x, t ) по собственным функциям
ωm соответственно 1-ой и 2-ой спектральной задачи оператора Лапласа). Пусть
функция y  H (x) , определяется для варианта k криволинейными сторонами
треугольника
Qk
(см. [1], с. 14). Приближенное решение обозначим
N
u N ( x, t )   сm (t ) m ( x) .
1
Задача 2.1(k). Построить аналитическое решение методом Фурье при
0 1 0 и f (x)  0 и представить формулы коэффициентов Фурье –
задачи (1), (21), (3) для нечетных вариантов k,
задачи (1), (22), (3) для четных вариантов;
вычислить 20 первых коэффициентов Фурье H n начальной функции y  H (x) ,
построить графики функций u N (0.3, t ), u N (0.5, t ), t  0 ( N  5, 10, 20, сравнить
их).
Задача 2.2(k). Решить эти задачи для неоднородного уравнения
x
)
0
.5
q
sin
q

x
теплопроводности при f(
, где q=2 для нечетных номеров и
q=4 для четных номеров k ; построить графики функций
u N (0.3, t ), u N (0.5, t ),
t  0.
Задача 2.3(k). Обратная теплопроводность. Найти начальное
распределение v( x, t ) t  0  G ( x). температуры в стержне, если в момент времени
T>0 задано финальное распределение H(x) – указанная выше функция, v(x, t)
– решение задачи:
vt ( x, t )  v( x, t ) xQ , v( x, t )  Q  0,
v( x, t ) t T  H ( x),
(4)
Рассмотрим метод простейшей регуляризации,  – малый положительный
параметр:
vt ( x, t )  v( x, t ) xQ ,
v( x, t )  Q  0,
 v( x, 0)  v( x, T )  g ( x)
с использованием разложения Фурье в случае ограниченных областей.

В данном случае v ( x, t )   ck (t ) sin k t ,
1

g ( x)   ak sin k t , и для
1
искомых коэффициентов получаем краевую задачу для дифференциального
уравнения 1-го порядка, решением которой будут cK (t ) 
exp(K t )
,
  exp(K T )
 K  собственные числа оператора Лапласа на (0,1).
Т р е б у е т с я: для данного Т (Т = 0.1) и выбранного  решить
обратную задачу (4), определить приближенно начальную функцию v(x, 0) ,
для нее получить решение прямой задачи, вычислить погрешность
v ( x, T )  H ( x )
( 0,1)
при разных 
Задание № 4. Уравнения Лапласа, Пуассона и бигармоническое.
Рассматриваются краевые задачи:
 u ( x, y) Q  0,
u S  g ( x, y) ,
(1)
v
 h( x, y ) , ( x, y)  D .
n S
 v( x, y) Q  f ( x, y ),
(2)
w
 0 , ( x, y )  Q .
n S
2 w( x, y)  0, w S  g ( x, y),
Q
(3)
Если в (2) граничные условия нулевые (однородные), то удобно
использовать
функциям);
v N ( x, y) 
метод
Фурье
аппроксимацию
(метод
разложения
решения
v( x, y)
по
собственным
обозначим
v N ( x, y ) ,
N
 vn k n k ( x, y).
n, k0
D= (0, a)  (0, b), то собственными
В частности, если h(x, y)=0,
функциями оператора Лапласа, образующими полную систему в
L2 ( D ) , будут функции.
 n k ( x, y )  Cn k cos
n x
k y
cos
,
a
b
n, k  0, 1, 2, ... ,
Задача 3.1(k). Вычислить нормирующие коэффициенты
C n k . Для
D=(0,a)  (0,b) при
h(x,y)=0
задачи (2) в прямоугольной области
вычислить
коэффициенты
ортонормированной
решение
системе
(в
разложения
vn k
 n k ( x, y ) и
виде
f ( x, y)  H ( x) cos(K  y), a  1, b  3, K  k mod 3  1
3
k и f ( x, y)  cos(K  x) H ( y),
2
a  2,
решения
получить
ряда),
v( x, y)
по
аналитическое
где
для нечетных вариантов
b  1, K  k mod2  1
для четных
вариантов k; функция H(x) для варианта k определяется сторонами
S2, S3 криволинейного треугольника Q k ([1], с. 14).
Вычислить
погрешность
 ( N )  (  (v N ( x, y )  f ( x, y ) ) 2 dx dy)
1
2
,
D
представить график v N ( x, y ) , для
n, k  0,1, ...,9 получить таблицу
коэффициентов,.
Задача
3.2(k).
Решить
численно
задачу
(1),
где
Q  Qk ,
 Qk  S  S1  S 2  S 3 , g ( x, y )  p при ( x, y)  Sp , используя систему
функций  m , m 1,...,N (см.[1], задача 5.1); вычислить погрешность
uN
d s.
 (N ) . Вычислить интеграл 

n
S
Задача 3.3(k). Решить численно задачу (3) с данными задачи 3.2,
используя систему функций  m , см. [1], с. 28.
Отчет. Представить вместе с формулировками задач: представление
решения v( x, y) и формулы коэффициентов v n k , таблицу вычисленных
коэффициентов, графики  v N ( x, y ) и f ( x, y) , погрешности  (N ) и  (N )
для разных N (выбрать N так, что погрешности меньше 10 - 5 ), графики
линий уровня функций u ( x, y ) , w( x, y) (физическая интерпретация:
если u ( x, y ) , w( x, y) – функции тока, то вершины треугольника – это
источники и стоки).
З а д а н и е № 5.
Решить краевые задачи (1), (21), (3), (1), (22), (3),
u

u
(
x
,t)
f(
x
)
,
tt
x
x
u|x0 0(t),
x  (0, ) ,
u |x  1 (t ) ;
t (0, ) ;
(1)
(21)
u
| 0,
n x0
u
|  0.
 n x
(22 )
u
 u1 ( x)
 n t0
u |t 0  u 0 ( x) ,
(3)
методом Фурье,

u ( x, t )   an (t ) 2 cosnx  bn (t ) 2 sin nx .

1

Задача 4.1(k). Для номеров k  1, 2, ..., 12 решить задачу
(1), (21),
(t)

(t)
0
,разложением функций по синусам кратных дуг ( an (t )  0 ).
(3), 
1
0
Для номеров k  1, 2, ...,6 взять
u 0 ( x)  H ( x), x  (0,1), u 0 ( x)  0, x  (1,  ); u1 ( x)  0
Для номеров k  7, ...,12 –
u 0 ( x)  0,
u1 ( x)  H ( x), x  (0,1), u1 ( x)  0, x  1,  ).
, ) , определяется криволинейными сторонами
Функция H  x  , x (01
треугольника Qk (см. [1], с. 14).
Записать в аналитическом виде решение задачи (1), (21), (3) методом Фурье
при f (x)  0; выписать формулы для коэффициентов
bn (t ) : bn(t )   n 2bn (t ), bn (0)  u n0 , bn (0)  u1n .
N
Выбрать N для приближенного решения u N ( x, t )   bn (t ) 2 sin nx , построить
1
графики функций u ( x j , t ),
u x ( x, t ) 
2
( 0,  )
,

t  0 , для некоторых xj, графики функций
ut ( x, t ) 
2
( 0,  )
и график их суммы.
Сделать «анимацию» графиков u( x, ph),
x  (0, ) , p=1, 2, …, при
некотором малом h.
Для номеров k  13, ..., 24 решить задачу
(1), (22), (3), разложением
функций по косинусам кратных дуг ( bn (t )  0 ). Для номеров k  13, ...,18


взять u 0 ( x)  H ( x), x  (0,1), u 0 ( x)  0, x  1,  ); u1 ( x)  0. Для номеров
k  18, ..., 24 – u 0 ( x)  0,
u1 ( x)  H ( x), x  (0,1), u1 ( x)  0, x  1,  ).
, ) , определяется криволинейными сторонами
Функция y Hx, x (01
треугольника Qk (см. [1], с. 14).
Записать в аналитическом виде решение задачи (1), (22), (3) методом Фурье
при f (x)  0; выписать формулы для коэффициентов
an (t ) : an (t )   n 2 an (t ), an (0)  u n0 , an (0)  u1n .
N
Выбрать N для приближенного решения u N ( x, t )   an (t ) 2 cos nx ,

0
построить графики функций u ( x j , t ),
t  0 , для некоторых xj,
графики функций
u x ( x, t ) 
2
( 0,  )
,
ut ( x, t ) 
2
( 0,  )
и график их суммы.
Сделать «анимацию» графиков u( x, ph),
некоторых малых h.
x  (0, ) , p=1, 2, …, при