Предел и непрерывность функции одной переменной 3.1.1. Определение. Число А называется предельным значением (пределом) функции f (x) при x стремящимся к x0, если для любого числа 0 найдётся число 0 ( (, x 0 ) ), и будет выполняться условие: если 0 x x 0 , то f ( x) A . (Символика: A lim f (x) ). x x0 Если точки графика Г функции y f ( x ) неограниченно приближаются к единственной горизонтальной прямой y A , когда x неограниченно близко приближается к точке x 0 (т.е. x x 0 ), (см. Рис. 3.1), то это обстоятельство является геометрическим эквивалентом того, что функция f ( x ) при x x 0 имеет предельное значение (предел) A (символика: lim f ( x) A ). x x0 График функции y f ( x ) , lim f ( x) A x x0 Рис. 3.1 Следует отметить, что в определении предельного значения (предела) функции f (x) при x стремящемся к x0 ничего не говорится о поведении функции f (x) в точке x0. В самой точке x0 1 функция f (x) может быть не определена, может быть 0 0 lim f ( x) f ( x ) , а может быть lim f ( x) f ( x ) . x x0 x x0 Если A 0 , то функция f (x) называется бесконечно малой при x x 0 . Промежуток U 10 (, x 0 ) x, 0 x x 0 называют - окрестностью точки x0 с выколотым центром. Используя это название, можно сказать так: A lim f (x) , если для любого x x0 числа 0 найдётся число 0 , и будет выполняться условие: если x U 10 (, x 0 ) , то f ( x) U 1 (, A) . 3.1.2. Определение. A lim f (x) , x x 0 сходящейся к x последовательности f ( x n сходится к А. 0 xn если для любой последовательность 3.1.3. Докажем эквивалентность определений разделов 3.1.1 и 3.1.2 Пусть сначала A lim f (x) в смысле первого определения и x x0 0 пусть x n x 0 ( x n x ), тогда все x n , кроме их конечного числа удовлетворяют неравенству 0 xn x 0 , где выбрано по в смысле первого определения, т.е. f ( x n ) A , т.е. из первого определения следует второе. Пусть теперь A lim f (x) в x x0 смысле второго определения и допустим, что в смысле второго определения A lim f ( x) , т.е. для некоторого 0 при сколь x x 0 1 ) нашлась n последовательность x n x 0 , но при этом f ( x n ) A 0 . Пришли к противоречию, следовательно, из второго определения следует первое. угодно малых 0 (например, 2 при 3.1.4. Эквивалентность этих определений особенно удобна, ибо все доказанные ранее теоремы о свойствах пределов для последовательностей переносятся почти автоматически на новый случай. Следует лишь уточнить понятие ограниченности. Соответствующая теорема имеет следующую формулировку: Если A lim f ( x) , то f (x) ограничена на некоторой x x 0 окрестности точки x0 с выколотым центром. 3.2.1.Теорема. Пусть lim f ( x) A , lim g ( x) B , x x0 тогда, lim f ( x g ( x) A B , 0 x x0 x x lim0 f ( x g ( x) A B , x x f ( x) A B 0 . lim0 g ( x ) B x x 3.2.2. Пусть x n x n x 0 - произвольная, сходящаяся к x0 последовательность значений аргументов функций f (x) и g (x) . Соответствующие последовательности f ( x n ) и g ( x n ) значений этих функций имеют пределы A и B. Но тогда, в силу теоремы f ( xn ) g ( xn ) , раздела 2.13.2, последовательности f (x ) f ( xn ) g ( xn ) и n имеют пределы, соответственно равные g ( xn ) A B 0. Согласно определению предела функции A +B, A B и B в точке (см. раздел 2.5.2) это означает, что lim f ( x) g ( x) A B , lim f ( x) g ( x) A B , x x0 x x0 f ( x) A B 0 . lim0 g ( x ) B x x 3.2.3. Теорема. Если lim f ( x) A , lim h( x) A , и в x x0 0 x x0 некоторой окрестности U 10 (, x ) x x 0 имеет место f ( x) g ( x) h( x) , 3 то lim g ( x) A . x x 0 3.2.4. По определению предела функции f (x) в точке x0 для любой последовательности x n такой, что lim xn x 0 x n x 0 n последовательность значений функции f ( x n ) имеет предел равный А. Это означает, что для любого 0 существует номер N 1 такой, что для любого номера n N1 выполняется Аналогично, для f ( xn ) A A f ( xn ) A . последовательности h( x n ) существует номер N 2 такой, что для n N2 любого номера выполняется h( xn ) A A h( xn ) A . Выбирая N max N1 , N 2 , nN получаем, что для всех выполняется A f ( xn ) g ( xn ) h( xn ) A . Из этой цепочки неравенств имеем A g ( xn ) A g ( xn ) A для любого n N , что означает, что lim g ( x) A . x x0 3.2.5. Определение. Число А называется предельным значением (пределом) функции f (x) при x стремящимся к x0 справа (символика: A lim f ( x) ) , если для любого числа x x0 0 0 найдётся число 0 ( (, x 0 ) ) и будет выполняться условие: если 0 x x 0 , то f ( x) A . Множество U 10 (, x 0 ) x 0 x x 0 называют правой окрестностью точки x0. Аналогично определяется понятие предельного значения (предела) слева ( A lim f ( x) ). x x 0 0 3.2.6. Теорема. Функция f (x) при x x 0 имеет предельное значение (предел) равный А тогда и только тогда, когда lim f ( x) lim0 f ( x) A , x x 0 0 x x 0 4 3.3.1. Определение. Число А называется предельным значением (пределом) функции f (x) при x стремящимся к бесконечности, если для любого числа 0 найдётся число D 0 ( D D() ) и будет выполняться условие: если x D , то f ( x) A . (Символика: A lim f ( x) .) x Множество бесконечности. x / x D называется D-окрестностью 3.3.2. Определение. Число А называется предельным значением (пределом) функции f (x) при x стремящимся к плюс бесконечности, если для любого числа 0 найдётся число D ( D D() ) и будет выполняться условие: если x D , то f ( x) A . (Символика: A lim f ( x) ). x Если точки графика Г функции y f (x) с неограниченным x x неограниченно приближаются к ростом единственной горизонтальной прямой y A (см. Рис. 3.2), то это обстоятельство является геометрическим эквивалентом того, что функция f (x) при x имеет предельное значение (предел), равное числу A (символика: lim f ( x) A ). x График функции y f (x) , lim f ( x) A x Рис.3.2 5 Множество x / x 0 называется D-окрестностью плюс бесконечности. Аналогично определяется понятие предела при x . Упражнения. Сформулируйте все теоремы о пределах применительно к случаям: 1) x x 0 0 , 2) x x 0 0 , 3) x , 4) x , 5) x . 3.4.1. Определение. Функция f (x) называется бесконечно большой функцией (или просто бесконечно большой) при x x 0 , если для любого числа E 0 существует число 0 такое, что для всех x A , удовлетворяющих неравенству 0 x x 0 , выполняется неравенство f ( x) E . (Символика: lim f ( x) .) x x0 Если выполняется f ( x) E , то пишут lim f ( x) . x x0 Если выполняется f ( x) E , то пишут lim f ( x) . x x0 3.4.2. Теорема. Пусть lim f ( x) 0 и f ( x) 0 при x x 0 . x x0 Тогда 0 1 - бесконечно большая функция при x x . f ( x) 3.4.3. Пусть произвольное число E 0 . Так как f (x) 1 бесконечно малая функция при x x 0 , то для числа E существует число 0 такое, что для всех x таких, что 1 0 x x 0 выполняется неравенство f ( x) , но тогда для E 1 1 E . Т.е. тех же x выполнятся неравенство f ( x) f ( x) бесконечно большая функция при x x 0 . 6 3.4.4.Теорема. Пусть f (x) - бесконечно большая функция при x x 0 и f ( x) 0 при x x 0 . 1 Тогда - бесконечно малая функция при x x 0 . f ( x) (Эта теорема доказывается аналогично теореме раздела 3.8.2). 3.4.5. Функция F (x) называется неограниченной при x x 0 , если для любого числа E 0 и любой δ-окрестности точки x 0 можно указать точку x из этой окрестности такую, что F ( x) E . 3.5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f (x) непрерывной в точке x 0 , если lim0 f ( x) f ( x 0 ) . называется x x Последнее условие можно записать и так: lim0 f ( x) f ( lim0 x) . x x x x Эта запись означает, что для непрерывных функций можно менять местами знак предела и знак функции 0 f ( x ) lim f ( x ) f ( x ) . Или снова, как в Или так: lim 0 0 x x 0 начале. x x 0 lim0 f ( x) f ( x 0 ) x x lim 0 x x 0 f ( x) f ( x ) 0 . 0 Обозначим Тогда x 0 x x 0 . x x 0 x 0 f (x) = f ( x 0 x 0 ) и последняя форма записи примет вид lim f ( x 0 x 0 ) f ( x 0 0 . 0 x 0 и Выражение под знаком предела представляет собой приращение функции f (x) точке x 0 , вызванное приращением x 0 аргумента x в точке x 0 , обозначаемое обычно как y 0 . В итоге получаем следующую форму записи условия непрерывности функции в точке 0 lim y 0, 0 x 0 7 которую называют «рабочим определением» непрерывности функции в точке. Функция f (x) называется непрерывной в точке x 0 слева, f ( x) f ( x 0 ) . если lim 0 x x 0 Функция f (x) называется непрерывной в точке x 0 справа, 0 f ( x ) f ( x ). если lim 0 x x 0 3.5.2. Пример. g ( x) x . Эта функция непрерывна для любого x . С помощью теорем о свойствах пределов, мы сразу получаем: любая рациональная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена, т.е. функция вида n n 1 a x a x a n1 x a n . R( x) 0 m 1 m1 b0 x b1 x bm1 x bm УПРАЖНЕНИЯ. 1. Сформулируйте, что означает, что в некоторой точке функция f (x) не является непрерывной (на языке ; с помощью понятия сходящейся последовательности). 2. Приведите пример функции, не являющейся непрерывной (можно говорить: является разрывной) для любого значения аргумента. 3.6.1. В школьном учебнике доказывается (на высоком sin x 1 (первый замечательный уровне строгости), что lim x 0 x предел). Из наглядных геометрических соображений сразу получается, что sin x x tg x . Заметим, что из левого неравенства следует также, что lim sin x 0 , т.е. что функция x0 sin x непрерывна в нуле. Отсюда уж совсем нетрудно доказать непрерывность всех тригонометрических функций во всех точках, где они определены. В самом деле, x x0 x x0 0 sin x sin x 2 cos sin 0 x x0 при как 2 2 8 произведение бесконечно малой функции x x0 sin 2 на x x0 ограниченную функцию 2 cos . 2 3.6.2. (2-й замечательный предел). Как нам уже известно n 1 1 e , n где n пробегает натуральные числа. Можно показать, что x x 1 1 lim 1 e . Более того lim 1 e . x x x x УПРАЖНЕНИЯ. 1. Докажите непрерывность функций cos x , tg x . 2. 1 Докажите, что 1 n n e при n . 3.7.1. ТЕОРЕМА (о непрерывности сложной функции). Если функция g (x) непрерывна в точке x 0 и g ( x 0 ) y 0 , а функция f ( y ) непрерывна в точке y 0 , то сложная функция F ( x) f ( g ( x)) непрерывна в точке x 0 . 3.7.2. Справедливость этого утверждения немедленно следует из определения непрерывности, записанного в виде: lim0 f ( g ( x)) f ( lim0 g ( x)) f ( g (lim x) f ( g ( x 0 )) . 0 x x x x x x 3.8.1. ТЕОРЕМА. Функция a x непрерывна в каждой точке x 0 ( a 0 ). 3.8.2. Если считать обоснованным, что функция y a x определена для любого x и является строго монотонной (строго убывающей при a 1, строго возрастающей при a 1 ), то доказательство не составляет труда. 9 При x 0 0 имеем: a x 1 a x 1 1 a x 1 log a 1 x log a 1 , если a 1 , a x 1 a x 1 1 a x 1 log a 1 x log a 1 , если a 1, т.е. при x minlog a 1 , log a 1 имеем a x a 0 , что означает, что функция a x непрерывна при x 0 0 . При x 0 0 всё сводится к предыдущему: 0 0 0 a x a x a x a xx 1 0 при x x 0 0 . При a 1 функция y a x следовательно, непрерывна. постоянна при всех x, 3.9.1. ТЕОРЕМА (о сосуществовании и непрерывности обратной функции). Пусть непрерывная функция f (x) строго убывает (строго возрастает) в некоторой δ - окрестности точки x 0 , f ( x 0 ) y 0 . Тогда в некоторой ε - окрестности точки y 0 существует обратная функция x f 1 ( y ) , которая строго убывает (строго возрастает) и непрерывна в ε - окрестности точки y 0 . 3.9.2. Докажем здесь только непрерывность обратной функции x f 1 ( y ) в точке y 0 . Возьмём 0 , точка y расположена между точками y1 f ( x 0 ) и y 2 f ( x 0 ) , следовательно, если y y 0 , то f 1 ( y ) x 0 , где min f 1 ( y1 ), f 1 ( y 2 ) . 3.10.1. Итак, любые позволительные арифметические действия над непрерывными функциями вновь приводят к непрерывным функциям. Образование из них сложных и обратных функций не портит непрерывности. Поэтому, с некоторой долей ответственности, мы можем утверждать, что все 10 элементарные функции аргумента непрерывны. при всех допустимых значениях УПРАЖНЕНИЕ. ln1 x 1 при x 0 (другая форма второго Докажите, что x замечательного предела). 3.11.1. Вычисление пределов сильно упрощается, если использовать понятие эквивалентных бесконечно малых. Понятие эквивалентности удобно обобщить на случай произвольных функций. Определение. Функции f (x) и g (x) называются f ( x) 1 (вместо x 0 можно эквивалентными при x x 0 , если lim x x 0 g ( x) писать x 0 0 , x 0 0 , , , ). Используемое обозначение f ~ g. Эквивалентность обладает следующими свойствами 1) f ~ f, 2) f ~ g при x x 0 g ~ f при x x 0 , 3) f ~ g при x x 0 , g~ h при x x 0 f ~ h при x x 0 . Необходимо помнить следующий список эквивалентных бесконечно малых: при 0 ; (1) sin ~ при 0 ; (2) tg ~ 2 1 cos ~ при 0 ; (3) 2 при 0 ; (4) arcsin ~ при 0 ; (5) arctg ~ ln1 ~ при 0 ; (6) e 1 ~ 1 p 1 ~ p ln z ~ z z p 1 ~ p z 1 при 0 ; при 0 ; при z 1 ; при z 1 . 11 (7) (8) (9) (10) Здесь и z могут быть не независимыми переменными, а функциями (x) и z(x) стремящимися соответственно к нулю и единице при некотором поведении x. Так, например, ln cos x ~ cos x 1 при x 0 , 2 e x 1 1~ x 2 1 при x 1. Эквивалентность (1) является иной формой записи первого замечательного предела. Эквивалентности (2), (3), (6) и (7) можно доказать непосредственно. Эквивалентность (4) получается из (1) с учётом свойства 2) эквивалентностей: arcsin ~ sin arcsin . Аналогично (5) и (7) получаются из (2) и (6). В самом деле arctg ~ tg arctg , e 1 ~ ln 1 e 1 . Эквивалентность (8) доказывается последовательным применением (7) и (6): 1 p 1 ~ e p ln 1 1 p ln1 p , а (9) и (10) получаются из (6) и (8) заменой z 1 . 3.11.2. Теорема. При вычислении пределов в произведении и отношении можно менять функции на эквивалентные. А именно, если (x) ~ (x) , то lim ( x) f ( x) lim ( x) f ( x) , либо оба x x0 x x0 f ( x) f ( x) lim , 0 ( x) 0 ( x ) x x x x либо оба эти предела не существуют одновременно. предела не существуют одновременно, и lim Докажем первое равенство. Пусть один из пределов, скажем, lim ( x) f ( x) существует. Тогда x x0 ( x) ( x) ( x) f ( x) lim lim ( x) f ( x) x x 0 ( x ) x x 0 ( x ) x x 0 lim ( x) f ( x) lim x x0 lim ( x) f ( x) . x x0 12 3.11.3. Пусть x x 0 ( x 0 - число или символ , или ). Будем рассматривать поведение различных б.м. функций (так будем сокращать термин бесконечно малая). ОПРЕДЕЛЕНИЯ. (x) и (x) называются эквивалентными ( x ) б.м. функциями при x x 0 , если 1 (при x x 0 ). ( x) (x) будем называть б.м. более высокого порядка чем б.м. ( x) функция (x) , если 0 (при x x 0 ). ( x) 3.11.4. Если (x) и (x) эквивалентные б.м. функции, то ( x) ( x) есть б.м. функция более высокого порядка чем (x) и чем (x) . Если (x) есть б.м. функция более высокого порядка чем б.м. функция (x) , то ( x) ( x) ( x) , где (x) - б.м. функция. Следовательно если (x) и (x) эквивалентны, то ( x) ( x) = ( x) ( x) = ( x) ( x) , где (x) и (x) - б.м. функции. 3.11.5. ПРИМЕР. x sin x ( x) x sin x ( x) sin x , где (x) и (x) - б.м. функции при x 0 . 3.11.6. Приведём список широко используемых эквивалентных б.м. функций (при x 0 ): sin x x ( x) x , ln 1 x x ( x) x , e x 1 x ( x) x , x2 p 1 x 1 px ( x) x , 1 cos x ( x) x 2 , 2 tg x x ( x) x , arcsin x x ( x) x , arctg x x ( x) x . 3.12.1. ТЕОРЕМА (об устойчивости знака непрерывной функции). 13 Если функция f (x) непрерывна в точке x 0 и f ( x 0 ) 0 0 , то найдётся δ - окрестность U 1 (, x 0 ) , в которой для всех x f ( x) 0 0 . 3.12.2. Допустим противное, т.е., что в сколь угодно малой δ 1 окрестности (например, при , n - любое натуральное число) n есть точка x такая, что f ( x ) 0 . Но тогда найдётся последовательность x n x 0 , при этом f ( xn ) 0 , т.е. f ( x 0 ) 0 , что противоречит условию f ( x 0 ) 0 . 3.13.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f (x) называется непрерывной на отрезке a, b , если она непрерывна во всех точках интервала a, b и lim f ( x) f (a) , lim f ( x) f (b) . xa 0 xb 0 3.13.2. ТЕОРЕМА. Если функция f (x) непрерывна в каждой точке отрезка a, b , 1) тогда на отрезке a, b существуют числа x1 и x 2 такие, что f ( x1 ) f ( x) и f ( x2 ) f ( x) для всех x из отрезка a, b (теорема Вейерштрасса), 2) тогда для любого числа C f (a), f (b) существует xc a, b такое, что f ( xc ) C (теорема Больцано - Коши). Теоремы Вейерштрасса и Больцано - Коши относятся к числу основных теорем математического анализа. Доказательства их здесь не приводятся, ибо не являются обязательными. 3.14.1. Определение. Точка x 0 называется точкой разрыва функции f (x) , если функция f (x) в точке x 0 не является непрерывной. 3.14.2. Определение. Точка x 0 называется точкой разрыва первого рода функции f (x) , если в этой точке функция f (x) 14 имеет конечные односторонние пределы, но в этой точке функция f (x) не является непрерывной. а) Односторонние пределы равны между собой, т.е. существует предел функции f (x) в точке x 0 . Этот предел либо не равен значению функции в точке x 0 либо функция f (x) не определена точке x 0 . В обоих случаях, если принять полученное предельное значение за значение функции в точке x 0 , то она станет непрерывной в этой точке. Таким образом, разрыв в точке x 0 устранён, а точка x 0 называется точкой устранимого разрыва. б) Односторонние пределы не равны друг другу: 0 lim f ( x) lim f ( x ) . Точка называется в этом случае x 0 x x 0 0 x x 0 точкой неустранимого разрыва. Если обозначить lim 0 f ( x) b , то величина и lim 0 x x 0 b b x x 0 f ( x ) b называется скачком функции f (x) в точке x 0 . 3.14.3. Если не существует или равен бесконечности хотя бы один из пределов lim f ( x) , lim f ( x) , то говорят, что график x x 0 0 x x0 0 функции f (x) (функция f (x) ) в точке x 0 имеет разрыв второго рода. Сама точка x 0 называется точкой разрыва второго рода функции f (x) . Упражнения. Найти точки разрыва функций и определить их характер: 1. sin x y . x y sgn x . 2. 5. y sgn( x 2) . 6. y x . x 15 3. y 1 2x . 4. y 1 1 1 5x .