2. Основы аналитической геометрии

40
2. Основы аналитической геометрии
2.1 Основные понятия аналитической геометрии. Уравнения окружности и
сферы
Аналитическая геометрия – это геометрия, изучаемая средствами
алгебры с использованием систем координат. В аналитической геометрии
устанавливаются соответствия:
 между множеством линий на плоскости и множеством уравнений с
двумя переменными (уравнений вида   x , y   0 );
 между множеством поверхностей в пространстве и множеством уравнений с тремя переменными (уравнений вида   x, y, z  0 ).
Уравнением линии на плоскости (уравнением поверхности в пространстве) называют уравнение, которому удовлетворяют координаты
тех и только тех точек, которые принадлежат линии (поверхности).
Каждому уравнению с двумя (тремя) переменными соответствует
линия на плоскости (поверхность в пространстве), являющаяся геометрическим местом тех и только тех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению.
Пусть дана окружность на плоскости y
с центром в точке Ca , b и радиусом R.
Для тех и только тех точек M, которые принадлежат окружности CM  R ,
C( a,b)
M ( x,y)
или, в силу R  0 :
CM
2
 R2 ,
CM   x  a , y  b ;
CM 
Откуда:
 x  a
2
O
  y  b .
2
x
Рис. 3.1
 x  a  2   y  b 2  R 2
Последнее уравнение является общим уравнением окружности.
Аналогично для сферы в пространстве может быть получено уравнение:
 x  a  2   y  b  2   z  c 2  R 2
где a,b,c – координаты центра сферы.
41
2.2 Общие уравнения плоскости в пространстве и прямой на плоскости
a  ( A, B , C )
Найдем уравнение плосz
кости, проходящей через фиксированную
точку
M(x,y,z)
M 0  x 0 , y 0 , z 0  и ортогональной
вектору нормали n   A, B, C .
Пусть M  x , y , z  – произвольная точка. Для тех и только
тех точек M, которые принадлеO
жат плоскости, вектор n ортогонален вектору M 0 M :
x
M0 M  n  0 .
Рис. 3.2
Вектор M 0 M :
M 0 M  OM  OM 0   x  x 0 , y  y 0 , z  z0  ,
Mo(xo,yo,zo)
y
A x  x 0   B y  y 0   C z  z 0   0 , или
Ax  By  Cz  D  0 , где D   Ax 0  By 0  Cz 0 
полученное уравнение называется общим уравнением плоскости.
Учитывая, что
OM  n  Ax  By  Cz ,
уравнение плоскости можно записать в виде:
OM  n  D  0 , где D  OM0  n .
Аналогично может быть получено общее уравнение прямой на
плоскости:
A x  x0   B y  y0   0 ,
Ax  By  D  0 .
Проведем исследование общего уравнения плоскости.
1. Пусть D  0 . Уравнение принимает вид:
Ax  By  Cz  0 .
Плоскость проходит через начало координат.
2. Пусть только одна из координат вектора нормали равна нулю;
пусть, например, A  0 . Уравнение принимает вид:
By  Cz  D  0 .
Плоскость параллельна оси абсцисс и пересекается с координатной
плоскостью yOz по прямой By  Cz  D  0 .
3. Пусть только одна из координат вектора нормали отлична от нуля; пусть, например, C  0 . Уравнение принимает вид:
Cz  D  0 .
42
Плоскость параллельна плоскости
xOy и находится от нее на расстоянии
D
z0   .
C
4. Пусть все координаты вектора
нормали отличны от нуля. Тогда плоскость не параллельна ни одной из координатных осей и отсекает на них отрезки

D
D
D
,  и  (рис. 3.3).
A
B
C
z

D
C
O


D
B
y
D
A
x
2.3 Параметрическое и каноническое уравнения прямой
Рис. 3.3
Найдем уравнение прямой, параллельной направляющему вектору
d   l, m, n и проходящей через фиксированную точку M 0  x 0 , y 0 , z 0  .
Пусть M  x , y , z  – произвольная точка. Для тех и только тех точек
M, которые принадлежат прямой, вектор d коллинеарен вектору M 0 M :
M 0 M  td ,
 x  x 0  tl

 y  y 0  tm ,
z  z  tn
0

где t – число, называемое параметром. Последнее уравнение называется
параметрическим уравнением прямой.
Если все координаты направляющего вектора – ненулевые, то параметр можно исключить:
x  x0 y  y0 z  z0


.
l
m
n
Последнее уравнение называется каноническим уравнением прямой.
2.4 Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть прямая на плоскости не ортогональна оси абсцисс. Тогда в
общем уравнении прямой
Ax  By  D  0
коэффициент при второй координате отличен от нуля: B  0 . Разделим
уравнение на B:
A
D
x  y   0.
B
B
A
D
Положим k   , b   . Уравнение примет вид:
B
B
y  kx  b .
43
Последнее уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Угловой коэффициент k равен тангенсу угла между прямой и положительным направлением оси абсцисс. При x  0 правая часть
равна b; следовательно, b есть ордината точки пересечения прямой с
осью Oy.
2.5 Параметрическое уравнение плоскости
Найдем уравнение плоскости, проходящей через фиксированную
точку M 0  x 0 , y 0 , z 0  и параллельной векторам d1  l1 , m1 , n1  и
d 2  l2 , m2 , n2  .
Пусть M  x , y , z  – произвольная точка. Для тех и только тех точек
M, которые принадлежат плоскости, вектор M 0 M есть линейная комбинация векторов d1 и d2 (см. п. 2.2):
M0 M  pd1  qd2 ,
 x  x0  pl1  ql2

 y  y0  pm1  qm2 .
z  z  pn  qn
0
1
2

Последнее уравнение называется параметрическим уравнением
плоскости.
Замечание 3.5.1. Нетрудно видеть, что параметрическое уравнение плоскости, в
отличие от параметрического уравнения прямой, содержит два параметра p и q.
Замечание 3.5.2. Параметрическое уравнение плоскости, в отличие от параметрического уравнения прямой, не является удобным для практического использования.
Поэтому, если известны два параллельных плоскости вектора d1 и d2, то следует найти
их векторное произведение и полученный вектор использовать в качестве вектора
нормали при построении общего уравнения (см. также п. 3.2).
2.6 Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
В общем уравнении плоскости
Ax  By  Cz  D  0
числа A, B и C являются координатами вектора нормали. Часто оказывается удобным наложить на вектор нормали два дополнительных ограничения:
1. Вектор нормали должен иметь единичную длину.
2. Вектор нормали должен быть направлен в полупространство, не
содержащее начала координат.
При выполнении указанных ограничений говорят, что уравнение
плоскости приведено к нормальному виду.
Для приведения уравнения к нормальному виду следует умножить
1
обе части на нормирующий множитель    , знак которого противоn
положен знаку свободного члена:
44
n 0  r  p  0 , где n 0  a , p   D  0 .
Пусть даны точка M1 x1, y1, z1  и плоскость n 0  r  p  0 . Пусть d –
расстояние от точки M1 до плоскости:
d  M 0 M1 ,
где M 0 – проекция точки M1 на плоскость. Отклонением  точки M1 от
плоскости назовем расстояние d, взятое со знаком «+», если точка M1
расположена в том полупространстве, в которое направлен вектор нормали, и со знаком «–» – в противоположном случае. Тогда
M 0 M1  r1  r0  n 0 , r0  r1  n 0 .
Так как точка M 0 принадлежит плоскости, то n 0  r0  p . Умножая
обе части равенства r0  r1  n 0 скалярно на вектор n0, получим
n 0  r0  n 0   r1  n 0  ,
p  n 0  r1  n 0  n 0 ,
  n 0  r1  p .
Искомое расстояние
d    n 0  r1  p ,
или, в развернутой форме
d
Ax1  By1  Cz1  D
2
2
2
.
A B C
Аналогично определяется расстояние от точки до прямой на плоскости:
Ax1  By1  D
.
d
A2  B 2
Таким образом, расстояние от точки до плоскости (до прямой на
плоскости) равно абсолютной величине результата подстановки координат точки в нормальное уравнение плоскости (прямой).
2.7 Углы между прямыми и плоскостями
Так как вектор нормали прямой или плоскости может иметь любое
из двух противоположных направлений, то углы определяются с точностью до слагаемого, кратного  .
Пусть на плоскости даны две прямые:
A1 x  B1 y  D1  0
.
A2 x  B2 y  D2  0
Угол между ними есть угол между их векторами нормали:
A1 A2  B1 B2
cos  
.
A12  B12 A22  B22
Условие перпендикулярности прямых:
45
A1 A2  B1B2  0 .
Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их векторы
нормали коллинеарны: a2  ta1 , или:
A1 B1
.

A2 B2
Если при этом D2  tD1 :
A1 B1 D1
,


A2 B2 D2
то прямые совпадают.
Пусть две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом:
y  k1 x  b1
.
y  k2 x  b2
Тогда угол между прямыми удобно определить из соотношения:
k k
tg  2 1 .
1  k1k2
Пусть даны две плоскости:
A1 x  B1 y  C1 z  D1  0
.
A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
Угол между двумя плоскостями есть угол между их векторами
нормали:
A1 A2  B1 B2  C1C2
cos  
.
A12  B12  C12 A22  B22  C22
Условие перпендикулярности плоскостей:
A1 A2  B1 B2  C1C2  0 .
Две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их векторы
нормали коллинеарны: a2  ta1 , или:
A1 B1 C1
.


A2 B2 C2
Если при этом D2  tD1 :
A1 B1 C1 D1
,



A2 B2 C2 D2
то плоскости совпадают.
2.8 Кривые второго порядка. Эллипс
Кривой второго порядка называется кривая, заданная уравнением
второй степени:
Ax 2  2 Bxy  Cy 2  2 Dx  2 Ey  F  0 .
Коэффициенты A, B и C не равны нулю одновременно. Коэффициенты при произведении переменных и при первых степенях обозначены
46
2B, 2D и 2E, так как в большинстве соотношений встречаются половины
этих коэффициентов.
Если точек с координатами, удовлетворяющими уравнению, не существует, то говорят, что уравнение определяет мнимую кривую. Пример
такого уравнения – x 2  y 2  1.
y
Отметим на оси Ox точки
M x,y
F1 c,0 и F2 c,0 . Эллипсом
называется множество точек,
сумма расстояний которых до
О
F1
F2
x
двух фиксированных точек –
фокусов эллипса F1 и F2 – есть
величина постоянная и равная
2a.
Рис. 3.4
Имеем:
MF1 
 x  c
2
 y 2 , MF2 
 x  c
2
 y2 .
По определению MF1  MF2  2a :
 x  c
2
 y2 
 x  c
2
 x  c
 y 2  2a ; 2a 
2
 y2 
 x  c
2
 y2 .
Возведем обе части в квадрат:
4a 2  4a
 x  c
2
 y 2   x  c  y 2   x  c  y 2 ;
a 2  cx  a
2
 x  c
2
2
 y2 .
Повторно возводя в квадрат:
a 4  c 2 x 2  a 2 x 2  a 2c 2  a 2 y 2 .
Обозначим:
b 2  a 2  c 2 ( 0  b  a ).
Тогда:
a 4   a 2  b2  x 2  a 2 x 2  a 2  a 2  b2   a 2 y 2 ;
 b2 x 2  a 2b2  a 2 y 2 .
Разделив последнее равенство на  a 2 b 2 , получим:
x2 y2

 1.
a 2 b2
Последнее уравнение называется каноническим уравнением эллипса.
Замена в уравнении эллипса x и y на -x и -y соответственно не приводит к изменению уравнения эллипса. Эллипс симметричен относительно координатных осей.
Уравнение эллипса можно записать в параметрической форме:
 x  a cos t
, 0  t  2 .

 y  b sin t
47
Действительно, подставляя координаты точки
уравнение эллипса, получим:
a 2 cos 2 t b2 sin 2 t

 cos 2 t  sin 2 t  1 .
2
2
a
b
Следовательно, точка принадлежит эллипсу.
a cos t , b sin t 
в
2.9 Гипербола
Отметим на оси Ox точки F1 c,0 и F2 c,0 .
Гиперболой называется
множество точек, разность
расстояний которых до двух
фиксированных точек – фокусов гиперболы F1 и F2 –
есть величина постоянная и
равная 2a.
Имеем:
MF1 
MF2 
 x  c
 x  c
2
 y2 ;
2
 y2 .
y
M x , y 
b
F1  c,0
По определению:
MF1  MF2  2a ,
a
O
F2 c,0
Рис. 3.5
 x  c
2
 y2 
 x  c
2
 y 2  2a .
Перенося радикал в правую часть и возводя уравнение в квадрат,
получим:
2cx  2cx  4a 2 
 x  c
2
 y 2 ,  a 2  cx  a
 x  c
2
 y2 .
Обозначим b2  c 2  a 2 и повторно возведем обе части в квадрат:
b2 x 2  a 2 b2  a 2 y 2 .
Разделив обе части на a 2b2  0 , получим
x2 y2

 1.
a 2 b2
Последнее уравнение называется каноническим уравнением гиперболы. Точка M в рассмотренном случае принадлежала правой ветви. Из
симметрии гиперболы относительно Oy следует существование левой
ветви, уравнение которой может быть получено из рассмотрения равенства:
MF2  MF1  2a .
x
48
Прямая называется асимптотой кривой, если расстояния точек
кривой до прямой сколь угодно малы при достаточном удалении точек
кривой от начала координат.
b
Докажем, что прямые Y   x являются асимптотами гиперболы..
a
Достаточно показать, что разность ординат прямой и гиперболы в первой
четверти стремиться к нулю при неограниченном увеличении абсциссы:
Y  y  0 при x   .


b
b x2  x2  a2
ab
2
2
.
Y  y  x x a 

a
a x  x2  a2 x  x2  a2
Числитель последнего выражения есть величина постоянная, и знаменатель при x   неограниченно возрастает. Поэтому:
ab
 0 при x   , что и требовалось доказать.
2
2
x x a
Можно записать уравнение гиперболы в параметрической форме.
Для правой ветви:

et  e t
x

a
 acht

2
.

t
t
e

e
y  b
 bsht

2
e t  e t
e t  e t
Функции cht 
и sht 
носят название гиперболи2
2
ческого косинуса и гиперболического синуса.
2.10 Парабола
p 
Отметим на оси Ox точку F  ,0 .
2 
p
Проведем прямую x  
– директрису
2
параболы.
Параболой называется множество точек M  x, y  , равноудаленных от директриp 
сы и фиксированной точки F  ,0 – фоку2 
са параболы.
Имеем:

MF   x 

2
p
2
 y ;
2
y
B
M(x,y)
F
d
Рис. 3.6
x
49
2
2
2
p
p
p 


MB   x   ;  x    y 2   x   ;  px  y 2  px ;


2
2
2 
y 2  2 px .
Последнее уравнение называется каноническим уравнением параболы. Парабола асимптот не имеет.
2.11 Поверхности второго порядка. Эллипсоид, конус
Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид:
Ax2+By2+Cz2+2Dyz+2Exz+2Fxy+2Gx+2Hy+2Kz+L=0.
Это уравнение может определять эллипсоид, однополостной или
двуполостной гиперболоиды, эллиптический или гиперболический параболоиды, цилиндрическую или коническую поверхность; совокупность
двух плоскостей, прямую, точку, или же не определять ни одной точки.
Эллипсоидом называется множество точек, координаты которых
удовлетворяют уравнению
x2 y2 z2


 1.
a 2 b2 c2
Из уравнения эллипсоида следуют неравенства x  a , y  b ,
z  c . Эллипсоид целиком содержится внутри прямоугольного параллелепипеда размеров 2a, 2b и 2c.
Замена в уравнении эллипсоида x, y и z на –x, –y и –z не меняет
уравнения. Эллипсоид симметричен относительно любой координатной
плоскости, любой координатной оси и начала координат.
Для исследования формы эллипсоида воспользуемся методом сечений. Сечение эллипсоида плоскостью z=h есть эллипс:
z  h
 h2 

h2 
 2
2
с полуосями a   a 1  2  и b   b  1  2  .
x
y


1


c 
c 
 2
b 2
 a
При h  c : a   b   0 ; сечения эллипсоида плоскостями z  c
есть точки 0,0,c . При h  c плоскость z  h не пересекается с эллипсоидом.
Аналогично устанавливается характер сечений плоскостями x  l и
y  m.
z
Если все полуоси a, b, c различны,
то эллипсоид называется трехосным;
если две полуоси одинаковы, то он
O
называется эллипсоидом вращения.
y
Например, при b  c , уравнение эллипсоида определяет поверхность, полуx
Рис. 3.7
50
x2 y2
ченную вращением эллипса 2  2  1 вокруг оси Ox .
a
b
Если все полуоси одинаковы, то уравнение эллипсоида определяет
сферу x 2  y 2  z 2  a 2 с центром в начале координат и радиусом a .
Конусом второго порядка (эллиптическим конусом) называется
множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению:
x2 y2 z2


 0.
a 2 b2 c2
z
Если координаты точки M 0 l , m, n удовлетворяют
уравнению конуса, то этому уравнению также удовлетворяют координаты точки M lt , mt , nt  . Поэтому конус
y
x
является множеством прямолинейных образующих,
проходящих через начало координат и точки направляющего эллипса
x 2 y2 h2
Рис. 3.8
 2  2 , h  0.
2
a
b
c
Конус симметричен относительно любой координатной плоскости,
любой координатной оси и начала координат.
2.12 Однополостной и двуполостной гиперболоиды
Однополостным гиперболоидом называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
x2 y2 z2


 1.
a 2 b2 c2
Однополостной гиперболоид симметричен относительно любой
координатной плоскости, любой координатной оси и начала координат.
При a  b уравнение определяет однополостной гиперболоид вращения.
Сечение однополостного гиперболоида плоскостью z  h есть эллипс
51
z  h
z
 2
x
y2
h2 .
 2  2 1 2
b
c
a
Сечение плоскостью z=0
z  0
 2
,
x
y2


1
 2
b2
a
y
называется горловым эллипсом.
x
Сечения плоскостями x  0 и y  0 есть
x2 z2
y2 z2
гиперболы 2  2  1 и 2  2  1 .
a
c
b
c
Рис. 3.9
Конус
x2 y2 z2


 0,
a 2 b2 c2
целиком содержащийся внутри однополостного гиперболоида, называется его асимптотическим конусом.
Двуполостным гиперболоидом называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению:
x2 y2 z2


 1 .
a 2 b2 c2
При a  b это уравнение определяет двуполостной гиперболоид
вращения. Пересечение с плоскостью z  h при h  c есть эллипс:
z  h
 2
x
y2
 2  2 1
b
a 
h2
h2

1
b

b
 1 . При
,

c2
c2
неограниченном увеличении h двуполостной
гиперболоид неограниченно приближается к поверхности асимптотического конуса
x2 y2 z2


 0,
a 2 b2 c2
находясь внутри него.
Плоскости x  l и y  m пересекают двуполостной гиперболоид по гиперболам
с полуосями a   a
z
y
x
Рис. 3.10
52
x  l
y  m

 2
z
m2 ,
y2
l2 и z2 x2
 2  2 1 2
 2  2 1 2
a
b
c
b
a
c
соответственно.
2.13 Нецентральные поверхности
Эллиптическим параболоидом называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
z
2
2
y
x
 2  2z .
2
a
b
y
x
Из последнего уравнения следует z  0 . Эллиптический параболоид лежит по одну сторону от плоскости
Рис. 3.11
Oxy . Сечения плоскостями z  h ( h  0 ) есть эллипсы
z  h
 2
x
y2
 2  2 1
b
a 
с полуосями a   2ha , b   2hb . Сечения плоскостями x  0 и y  0
x  0
y  0
есть параболы:  2
и
соответственно.
 2
2
2
 y  2b z  x  2a z
Гиперболическим
параболоидом
называется множество точек, координаты
которых удовлетворяют уравнению
x2 y2

 2z .
a 2 b2
Сечения плоскостями x  l и y  m
есть параболы:
Рис. 3.12
x  l

 2
b2 2 и
2
 y  2b z  2 l
a

y  m

 2
a2 2 ,
2
 x  2a z  2 m
b

соответственно.
Сечение плоскостью z  h есть гипербола:
53
z  h
 2
.
x
y2


2
h
 2
b2
a
Цилиндром называется поверхность, в уравнении
которой отсутствует одна из координат, например, координата z. В последнем случае цилиндр состоит из параллельных оси Oz образующих, проходящих через
кривую второго порядка – направляющую.
Уравнение эллиптического цилиндра (рис. 3.13):
x2 y2

 1.
a 2 b2
Уравнение параболического цилиндра (рис. 3.14):
y 2  2 px .
z
Уравнение гиперболического цилиндра:
y
x2 y2

 1.
x
a 2 b2
Рис. 3.15
z
y
x
Рис. 3.13
z
y
x
Рис. 3.14