Механическая модель лазерного резонатора

Гравитационный бильярд,
механическая модель лазерного
резонатора∗
А. Андреев, А. Панов
6 октября 2015 г.
Лазерный резонатор представляет собой простое оптическое устройство - это два сферических зеркала, расположенных друг против друга. В нашей прошлой статье “Квант” 2013,
№ 2 мы обсудили вопрос об устойчивости такого резонатора.
Если коротко, то речь шла о следующем. В зависимости
от сочетания радиусов зеркал R1 и R2 и расстояния L между
ними, световой луч, проходящий вблизи оси, - параксиальный
луч, демонстрирует два типа поведения. При одних сочетаниях R1 , R2 и L параксиальный луч после нескольких отражений выбрасывается из пространства между зеркалами, и такой
резонатор называется неустойчивым. При других сочетаниях
параксиальный луч при любом количестве отражений продолжает оставаться внутри резонатора, и такой резонатор называется устойчивым.
С помощью теоремы Виета и формулы сферического зеркала мы вывели критерий устойчивости лазерного резонатора,
и с помощью компьютерного эксперимента подтвердили этот
критерий.
∗
Опубликована в журнале Квант 2015, № 3
1
Рис. 1. Лазерный резонатор, заданы радиусы
зеркал и расстояние между ними
2
Сейчас мы добавим к этому простой физический эксперимент, который позволит увидеть наяву эту самую устойчивость/неустойчивость, и заодно сконструируем механическую
модель лазерного резонатора.
Гравитационный бильярд
На этот раз в качестве одного зеркала мы используем резиновую пленку от воздушного шарика, в качестве другого —
гравитацию, а световой луч заменим металлическим шариком.
На банку натянем кусок резиновой пленки. Нажмем на нее
и выпустим из банки немного воздуха, чтобы под действием
атмосферного давления пленка прогнулась внутрь, а затем зафиксируем ее резиновым колечком (рис. 2).
Если на такую пленку с малой высоты точно по центру
отпустить небольшой металлический шарик, то он будет многократно отражаться от пленки, и эти отражения будут продолжаться достаточно долго. Все зависит от самой пленки, от
банки и от размеров шарика. В некоторых случаях продолжительность соударений будет доходить до одной минуты, а то и
больше. Это значит, что потери энергии при каждом соударении крайне малы.
Во всяком случае, мы наблюдаем, что при малой начальной
высоте шарик устойчиво движется вдоль вертикальной оси отражающей поверхности.
Будем постепенно увеличивать высоту, с которой отпускаем
шарик. В некоторый момент, начиная с некоторой критической
высоты hкр , возникает неустойчивость. А именно, если начальная высота больше hкр , то, как бы точно мы не намечались по
центру пленки, все равно, после нескольких соударений шарик
будет выброшен за пределы пленки. Это то же самое явление
неустойчивости, которое мы ранее наблюдали в лазерном резонаторе.
3
Рис. 2. Из-за разности давлений пленка
принимает сферическую форму
4
Чтобы разобраться с механизмом неустойчивости в этом
случае, и чтобы оценить величину критической высоты hкр ,
на этот раз от физической модели перейдем к компьютерной.
Параболический гравитационный бильярд
Заменим сферическую поверхность резиновой пленки на
идеальную отражающую параболическую пленку. Идеальную,
значит такую, что при соударениях с ней шарика не происходит потери энергии и угол падения равен углу отражения. Выбор же параболической формы пленки связан с тем, что для
нее все расчеты намного проще, чем для сферической.
Для начала будем работать с отражающей параболой, заданной уравнением y = x2 . Компьютерный эксперимент показывает (рис. 3), что в этом случае hкр = 0, 25. Но на высоте
0,25 как раз расположен оптический фокус параболы y = x2
— пучок световых лучей, идущий параллельно вертикальной
оси этой параболы после отражения от нее собирается в этом
фокусе.
Компьютерные эксперименты показывают, что точно так
же и для любой параболы y = ax2 критическая высота, разделяющая устойчивые и неустойчивые осевые траектории, будет
hкр = 0, 25a, что совпадает с высотой оптического фокуса такой параболы.
У сферического зеркала фокус расположен на расстоянии
половины радиуса от вершины, именно там собираются параксиальные лучи, параллельные оси зеркала, после отражения.
Так что наши компьютерные эксперименты наводят на мысль,
что, для сферической отражающей пленки радиуса R критическая высота, отделяющая устойчивые траектории от неустойчивых, будет hкр = R/2. Это действительно так, этот результат подтверждается и физическими и компьютерными экспериментами.
5
Рис. 3. Шарик отпускается с высоты h0 , начальное отклонение от
оси составляет 0,0001; слева h0 = 0, 24 — вид траектории после 500
соударений, справа h0 = 0, 26 — вид после 20 соударений
6
Механизм неустойчивости
гравитационного бильярда
Продолжим наши компьютерные эксперименты с параболическим бильярдом. Запустим шарик так, чтобы он пролетел
через фокус параболического бильярда (рис. 4). Тогда видно,
что после каждого отражения он тоже проходит через фокус.
И, если он пролетел через фокус по нисходящей ветви параболы, как на рис. 4 слева, то его траектория будет прижиматься
к оси параболы. Но, как показано на рис. 4 справа, в некоторый момент траектория шарика начинает отталкиваться от
оси и его выбрасывает за пределы пленки.
Правые части рисунков 3 и 4 говорят, по сути, об одном
и том же: если приосевая (дальше мы будем говорить — параксиальная) траектория шарика поднимается выше фокуса,
то после нескольких соударений ее отбрасывает от оси. Наоборот, если параксиальная траектория целиком расположена
ниже фокуса, то она все время остается вблизи оси (рис. 3
слева). И здесь мы наблюдаем то же самое явление устойчивости/неустойчивости, что описано в статье “Лазерный резонатор”. Выясним механизм появления неустойчивости в гравитационном параболическом бильярде.
Вот цепочка фактов, которая в некотором смысле описывает этот механизм.
• Компьютерный эксперимент, показывает: если траектория шарика прошла через фокус, то после следующего
соударения она снова пройдет через фокус. И, если шарик прошел через фокус по нисходящей ветви параболы,
то его траектория некоторое время будет притягиваться к оси бильярда (рис. 4). Итак, вблизи оси бильярда
проходят траектории, которые к этой самой оси притягиваются.
7
Рис. 4. Шарик все время проходит через фокус параболы и на
начальном этапе траектории прижимается к оси, затем шарик
начинает отталкиваться и его выбрасывает за пределы пленки
8
• Подождем, пока такая траектория довольно сильно притянется к оси и в какой-то момент времени, обратим направление движения шарика. Шарик будет двигаться по
той же самой траектории, но в обратном направлении.
Новая траектория тоже будет проходить вблизи оси, но
уже будет отталкиваться от нее. Итак, среди параксиальных траекторий, проходящих через фокус, есть и притягивающиеся и отталкивающиеся.
• Теперь остается учесть, что компьютерные вычисления
происходят с ограниченной точностью. За счет ошибок
округления, роль которых возрастает при приближении
траектории к оси, происходит "пересадка"с притягивающейся траектории на отталкивающуюся, и шарик отбрасывается от оси бильярда.
• Можно еще сказать, что каждая параксиальная траектория, поднимающаяся выше фокуса, является “смесью”
притягивающейся и отталкивающейся. За счет отталкивающейся компоненты такая траектория в некоторый момент времени отбрасывается от оси бильярда, что и происходило в наших компьютерных (рис. 3 и 4) и физических экспериментах.
Стоит вернуться к нашей предыдущей статье, чтобы убедиться, что это фактически тот же самый механизм неустойчивости, который работает и в случае лазерного резонатора.
А теперь перейдем к обещанной нами механической модели.
Механическая модель
лазерного резонатора
Прдеположим, что рам удалось выключить гравитацию и
оказаться в условиях невесомости.
9
Рис. 5. Механическая модель лазерного резонатора
10
Тогда две расположенные друг против друга банки с движущимся между ними шариком могли бы послужить отличной
механической моделью лазерного резонатора (рис. 5).
С помощью этой конструкции мы смогли бы, например,
провести физический эксперимент по проверке критерия устойчивости лазерного резонатора, полученного нами в предыдущей статье.
И под конец небольшое дополнение.
Дополнительное задание
Оно предназначено для тех, кто собирается проводить компьютерные эксперименты по построению траекторий шарика в гравитационном параболическом бильярде. Для построения такой траектории нужно последовательно вычислять координаты n-й точки
соударения (xn , yn ) и координаты вектора скорости (un , vn ) непосредственно после этого соударения. Проверьте, что вдоль траектории шарика сохраняется величина
u2n vn2
+
+ gyn .
2
2
Это просто-напросто закон сохранения энергии (здесь g - ускорение
свободного падения). А также сохраняется еще одна величина
2aun xn − vn .
Такие сохраняющиеся величины называются интегралами бильярда. Таким образом, у параболического бильярда имеются два интеграла.
11