Цели. Ознакомление с применением функций и их графиков в естествознании,

Открытый урок по математике
«Функции в природе и технике»
Тема. Функции в природе и технике
Цели. Ознакомление с применением функций и их графиков в естествознании,
технике. Развитие познавательных интересов. Формирование умений работать в
микрогруппе.
Тип урока. Урок-соревнование.
Оснащение урока. Записи формул на доске; карточки для демонстрации ответа;
вопросы, билеты; эталоны для жюри.
Ход урока.
1.Оргмомент.
Учитель сообщает о месте урока, о целях урока, знакомит с планом урока.
Происходит представление команд и капитанов, членов жюри.
2. Вводная беседа. В процессе рассказа задаются вопросы, за правильные ответы
игрокам начисляются баллы.
Понятие функции – одно из основных общенаучных понятий; оно выражает
взаимосвязь между различными объектами. Понятие функции сложилось не
сразу. Своими корнями оно уходит в ту далекую эпоху, когда люди впервые
поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны (чем сильнее натянута тетива
лука, тем дальше полетят стрелы).
Как вы знаете, наиболее известны 3 способа задания функциональной
зависимости. Какие? (табличный, графический, аналитический).
Как вы думаете, какая из этих трех форм появилась раньше всех? (табличная).
В Древнем Вавилоне были составлены таблицы квадратов, кубов, таблицы
обратных значений чисел. Говоря современным языком, это было табличное
1
õ
задание функций  ó x 2 ; y  x3 , ó  . Знаете ли вы их названия? (степенные,
обратно пропорциональная). Табличный способ задания функции практически
удобен в экспериментальной деятельности.
Математики Древней Греции использовали наглядные описания функций с
помощью кривых и других геометрических образов. Одно из сочинений
Архимеда называется
«О квадратуре параболы».
Аналитический способ задания функции появился в 16 веке вместе с первыми
символическими записями алгебраических выражений.
Понятие переменной величины ввел французский ученый Рене Декарт.
«Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина.
Благодаря этому в математику вошли движение и…диалектика» (Ф.Энгельс)
Сам же термин «функция» в 17 веке ввел Готтфрид Лейбниц.
Термин происходит от латинского “fynctio” (осуществление, исполнение).
«Функция – это существование, мыслимое нами в действии»
Иоганн Вольфганг Гете, немецкий мыслитель, поэт.
В быту мы часто используем этот термин:
-все системы космического корабля функционируют в нормальном режиме;
-мой плеер имеет вот такие функции;
-физиология – наука о функциях живых существ;
Определение функции, которое мы используем, стало общепризнанным в 18 веке
благодаря труду многих математиков, в их числе – Н.И. Лобачевский.
Изучая функции, мы изучаем конкретные явления, которые они описывают. Одна
и та же функция может описывать явления совершенно различной природы и тем
самым объединять в себе закономерности, которым эти явления подчиняются.
Примеры.
1) E 
S
mv 2
- формула кинетической энергии, m-постоянная величина;
2
gt 2
-закон падения под действием силы тяжести ( g-постоянная).
2
Оба закона выражены одной функцией. Какой? (квадратичной).
2) m  m0  2

h
H

t
T
-процесс радиоактивного распада ( m0 , - константы);
P  p0  e -барометрическая формула, показывающая, что давление воздуха
убывает с высотой при постоянной температуре ( p0; H - константы). Какая
функция характеризует эти процессы? (показательная).
Графический способ задания функции нагляден, удобен на практике.
Умение «читать» графики необходимо специалистам многих профессий.
Созданы автоматические записывающие устройства: кардиограф (работа сердца),
сейсмограф (колебания земной коры), скоростемер ( не только скорость, но и
давление в тормозной магистрали, сигналы путевых светофоров на железной
дороге), дефектоскоп (на мониторе рисуется линия; если деталь имеет трещины,
то на линии появляются пики ).
Замечательное свойство параболы (фокусирование света), которое знал Архимед,
используют конструкторы телескопов, параболических антенн (отражающая
поверхность фары имеет параболическую форму). А вот инженер Гарин из
фантастического романа А.Толстого создал смертоносное оружие, называемое
«гиперболоид». Алексей Николаевич Толстой имел высшее техническое
образование и допустил свою «ошибку» намеренно, для лучшего звучания.
«Гипербола» - что это значит в переводе на русский? (преувеличение).
Записи на доске.
«Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина.
Благодаря этому в математику вошли движение и…диалектика» (Ф.Энгельс)
1
2
3
Др. Вавилон ó  , ó x ; y  x
õ
Др. Греция Архимед «О квадратуре параболы».
Рене Декарт(1596-1650)
Готтфрид Лейбниц (1646-1716)
fynctio осуществление, исполненеие
«Функция – это существование, мыслимое нами в действии»
Иоганн Вольфганг Гете
«Гиперболоид инженера Гарина» Алексей Николаевич Толстой
mv 2
E
2
gt 2
S
2
m  m0  2

t
T
P  p0  e

h
H
1, 25, 625, 15625…
3.Конкурс капитанов.
Поразительна быстрота, с которой размножаются живые существа, если попадают
в благоприятные условия. Когда-то в Австралии не было кроликов. Достаточно
было выпустить на волю пару кроликов, чтобы через некоторое время их
потомство стало национальным бедствием. Последовательность чисел 1, 25, 625,
15625… показывает увеличение числа кроликов. Назовите функцию, которая
описывает это явление. ( y  25x )
4. Викторина.
1.Одно из основных общенаучных понятий; оно выражает взаимосвязь между
различными объектами (функция).
2.Способ задания функции, практически удобный в экспериментальной
деятельности. Известен со времен Древнего Вавилона (табличный)
3. Математики этой страны использовали наглядные способы описания функции с
помощью различных кривых и других геометрических образов (Древняя Греция)
4.Ученый Древней Греции, автор сочинения «О квадратуре параболы» (Архимед)
5.Способ задания функции, который появился в 16 веке вместе с первыми
символическими записями алгебраических выражений (аналитический)
6.Великий французский философ, физик, математик. Ему принадлежит введение
координатного языка, переменных величин, развитие математической символики
(Рене Декарт)
7.Термин «функция» появился благодаря немецкому математику 17века
(Готтфрид Лейбниц).
8.График квадратичной функции (парабола)
9.Замечательное свойство параболы, которое знал Архимед: любая прямая,
параллельная оси симметрии параболы, после отражения от оси параболы
проходит через ее фокус. Назовите устройства, в которых используется это
свойство (телескопы, параболические антенны, автомобильные фары)
10.Назовите автоматические пишущие устройства (кардиограф, сейсмограф,
скоростемер, дефектоскоп)
11.Какая функция характеризует процесс радиоактивного распада (показательная)
12.Характеристика функции, график которой симметричен относительно начала
координат
(нечетная)
13.Вертикальная прямая, к которой неограниченно приближается ветвь
тангенсоиды
(асимптота)
14. Косинус, «запоздавший» на

(синус)
2
15.Какую из функций называют «экспонента»?( e õ )
16.Великий математик Леонард Эйлер в одной из своих работ писал о функции,
график которой можно изобразить «свободным влечением руки». Дайте
характеристику этой функции
(непрерывная)
17. Какая функция является обратной к показательной функции
(логарифмическая)
18.Величина, при прибавлении которой к аргументу некоторой функции
значение функции не меняется (период)
19. Период функции тангенс(180°)
20. Что такое «периодика»?
журналы)
(периодическая печать: газеты,
21. Честь этого величайшего открытия принадлежит английскому ученому
Эдмунду Галлею.
Им было сделано предположение, что появление некоторого объекта
происходит с периодичностью 76лет. Тщательные расчеты
подтвердились, когда объект появился перед изумленными наблюдателями в
марте 1759 г. Это был настоящий триумф закона всемирного тяготения,
открытого Ньютоном. Назовите объект. У него есть голова и хвост.
(комета Галлея, которая стала первой, открытой «на кончике пера»)
5.Быстрые вопросы.
Вопросы для первой команды.
1.Переменная величина, зависящая от других переменных величин (функция)
2.Независимая переменная (аргумент)
3.Все значения аргумента (область определения функции)
4.Способ задания функции с помощью формулы (аналитический)
5.Если меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции,
то эта
функция … (возрастает)
6.Если в окрестности точки x0 график имеет вид впадины, то точку x0
называют…
(точкой минимума).
7. Если при замене значения аргумента на противоположное функция не
изменяется, то такую функцию называют.. (четной).
8.Какая линия является графиком линейной функции? (прямая)
9.Свойство графика четной функции (симметричен относительно оси Оу)
10.Линия, являющаяся графиком функции y=sinx (синусоида)
11.Функция, имеющая вид y  a x ,ãäåa  0,a  1 (показательная)
12.Число π для функции тангенс (период).
13.Точки максимума и минимума называют ….(точками экстремума).
14.Как называется функция, для которой выполняется формула: f(-x)=-f(x)
(нечетная)
15.Название функции, для которой выполняется совокупность неравенств
x1  x2 ; f ( x1 )  f ( x2 ) (убывающая)
16. Функция y  e x (экспонента)
Вопросы для второй команды.
1.Зависимость между х и у, при которой каждому значению х соответствует
единственное значение у (функция)
2.Все значения функции (область значений функции)
3. Наглядный способ задания функции (с помощью графика).
4.Если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции,
то эта функция … (убывает)
5.Если в окрестности точки x0 график имеет вид холма, то точку x0 называют…
(точкой максимума).
6. Если при замене аргумента на противоположное значение функция также
изменяется на противоположное, то такую функцию называют… (нечетной).
7.Какая линия является графиком квадратичной функции? (парабола)
8.Свойство графика нечетной функции (симметричен относительно начала
координат )
9.Линия, являющаяся графиком функции y=tgx (тангенсоида)
10.Функция, обратная к логарифмической (показательная)
11.Точки пересечения графика с осью Ох (нули функции).
12.Промежутки, на которых функция либо только положительна, либо только
отрицательна
(промежутки знакопостоянства).
13. Как называется функция, для которой выполняется формула: f(-x)=f(x)
(четная)
14.Название функции, для которой выполняется совокупность неравенств
x1  x2 ; f ( x1 )  f ( x2 ) (возрастающая)
15.Функция вида y  ax 2  bx  c (квадратичная)
16. Уравнение биссектрисы первого и третьего координатных углов (у=х)
6.Разминка. Игроки отвечают на вопросы, поднимая карточки с ответом.
1. Множество всех действительных чисел
R
2. Какие значения принимает функция синус?
3. Обозначение области определения функции.
[-1; 1]
D(f)
R
4 Множество всех действительных положительных чисел
5. Период функции косинус.
2π
6. sin540°
0
7. Область определения показательной функции
R
R
8. Область определения логарифмической функции.
9. Область значений функции.
E(f)
10. В каких четвертях располагается график показательной функции? (1,2)
11. Четная тригонометрическая функция (cosx)
12. Область значений функции косинус
[-1; 1]
13. Область значений функции тангенс
R
R
14. Значения показательной функции
15. В каких четвертях располагается график логарифмической функции(1,4)
16. sin390°
½
17.Нечетная тригонометрическая функция ( sinx, tgx, ctgx)
18. Какое число больше: 2,7 или число e? ( число e)
7.Ответы по билетам.
Билет №1
Какая из данных функций возрастает на
всей области определения?
1)y=0,3x; 2) y  0,3x ; 3)y=sinx
Билет №3
Парашютист прыгает с самолета.
Какова траектория полета?
Билет №2
Какая из данных функций убывает на
всей области определения:
1)у=cosx; 2)y=lgx; 3)y= -x
Билет №4
Закон падения материальной точки под
действием силы тяжести описывается
формулой
S
gt 2
,
2
где
1)прямая 2)дуга параболы 3)синусоида g –гравитационная постоянная.
Укажите аргумент функции, заданной
этой формулой. (t)
Билет №5
Билет №6
Какая из данных функций является
Какая из данных функций является
четной:
нечетной:
x
x
1)y=sinx; 2)y= 2 ; 3)y=x²
1)y=sinx; 2)y= 2 ; 3)y=x²
Билет №7
Какая из данных функций убывает на
всей области определения:
1)у=cosx; 2)y=lgx; 3)y= 5-x
Билет №8
Какая из данных функций возрастает на
всей области определения?
1)y=0,7x; 2) y  0,7x ; 3)y=sinx
Билет №9
Закон падения материальной точки под
действием силы тяжести описывается
Билет №10
Какая из данных функций является
четной:
формулой
S
gt 2
,
2
x
1)y=2sinx; 2)y= 2 ; 3)y=x²+2
где
g –гравитационная постоянная. Какая
функция задается этой формулой?
(квадратичная)
Билет №11
График какой из данных функций
проходит через начало координат:
1)у=х²+5; 2)у= 5x 1 ; 3)у=cosx
Билет №13
График функции – парабола. Выберите
нужную формулу:
x
1)у= 2 ; 2)у=2х; 3)у=1-х²
Билет №15
Билет №12
Вертикальная прямая, к которой
неограниченно приближается ветвь
тангенсоиды:
1)биссектриса 1-й , 3-й четвертей;
2)асимптота; 3)ось Оу
Билет №14
График функции – гипербола. Выберите
формулу:
1)у=
3
; 2)у= 3x ; 3) у= log3 x
x
Билет №16
Какая из данных функций является
нечетной:
x
1)y=tgx; 2)y= 2 ; 3)y=lgx
График какой из данных функций
проходит через начало координат:
Билет №17
Какая из данных функций не имеет
экстремумов:
Билет №18
Какая из данных функций ограничена и
сверху, и снизу:
1)y=x²+x; 2)y=cosx; 3)y= 2
1
x
1)у=х²+5 ; 2)у= ; 3)у=cosx-1
x
1) y=cosx; 2) y=2x; 3) y= 2 x
Билет №19
График функции – прямая. Выберите
формулу:
x
3
1) y  ; 2) y  ; 3) у= 3x
3
x
Билет №20
Какая из данных функций имеет
бесчисленное множество экстремумов:
Билет №21
Какая из данных функций определена
на всей числовой прямой:
1)y=tgx; 2)y=lgx; 3)y=x³
Билет №22
Укажите функцию, обратную к
функции y= log3 x
1)у=lgx; 2)y=tgx; 3)y=cosx
x
1)y=- log3 x ; 2) y= 3 ; 3) y= log 1 x
3
Билет №23
Какая из данных функций является
неограниченной:
1)y=tgx; 2)y=2x;3)y=-2x
(все три)
Билет №24
Какие физические величины
изменяются по закону синуса?
1)кинетическая энергия
2)сила тока, заряд, напряжение
3)скорость, ускорение
7.Конкурс художников.
Изобразите график, соответствующий пословице:-Чем дальше в лес, тем больше
дров;-Тише едешь – дальше будешь;-Дальше едешь – тише будешь
8. Вопросы «на засыпку» - пока жюри подводит итоги, командам выдается
письменное задание
1. Парашютист прыгает с самолета. Какова траектория полета?
1) прямая
2)дуга параболы
3)синусоида
4) косинусоида
2. Назовите угловой коэффициент прямой, заданной уравнением: y  1 
x
2
1
2) 2
3) -1
4) 1
2
3. График какой из данных функций проходит через начало координат:
1) 


4) y  2sin  x    1
6

4. Какая из данных функций является неограниченной:
1) y=tgx
2) y  x 2
3) y  ln x
4) y  2x
1) у=х²+5
2) у=
1
x
3)у=cosx-1
5. Укажите функцию, обратную к функции y= log3 x
1)y=- log3 x
2) y= 3x
3) y= log 1 x
3
6. Область значений этой функции - вся числовая прямая. Укажите ее формулу:
1) y  x  2 x  5 2) y  2sin x
2
3) y  lg x
1
4) y   
2
x
7. Область определения этой функции – множество всех действительных
положительных чисел. Укажите ее формулу:
1) y 
1
x2
2) y  lg  x 2  1
3) y 
1
x
4) y  x
8.В 529 году н.э. византийский император Юстиниан под страхом смертной казни
ввел запрет на
1) чтение книг; 2) занятия спортом; 3) математические исследования,
так как видел в них наследие язычества, противостоящего христианской религии.
Успехов!
9. Подведение итогов.
Краткая биографическая справка участника Конкурса
Фамилия, имя, отчество – Томащук Людмила Викторовна
Дата рождения – 9 января 1952 года
Место жительства – 215110 , Смоленская область, город Вязьма, улица
Строителей, дом 6, квартира 4
Место работы – СОГБОУ СПО «Вяземский железнодорожный техникум»
Телефон – 8(48131) 3-53-82
Электронный адрес – vgttex2009@ja.ru