1 1970 =

УЧЕНЫЕ
Том
УДК
ЗАПИСКИ
ЦАГИ
1970
1
М4
533.601.18
РАСЧЕТ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО ПОТОКА ТЕПЛА
МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ
ПЛАСТИНАМИ
В РАЗРЕЖЕННОМ ГАЗЕ
В. И.
Власов
с ПОМОЩЬЮ ЭВМ рассчитан поток тепла при отношениях тем­
ператур пластин {J = ] ,5; 4; ]6; 100 и числах Кнудсена Кп
0,2; 0,5;
2; ]0. Модель молекул - упругие сферы, сечение которых обратно
=
пропорционально относительной
таких
молекул,
циональна
как
и
для
скорости перед столкновением. для
максвелловских,
вязкость
газа
пропор­
температуре. Метод заключа~тся в разыгрывании случай­
ных
блужданий одной
пробной молекулы среди полевых молекул,
минимально
необходимое
количество которых
оказалось равным
приблизительно
запоминалась
100/Кп.
полевая
В
каждой
малой
молекулярная
геометрической
скорость,
которая
ячейке
менялась
по определенному правилу • что обеспечивало представление всей
функции распределения. Приведены профили плотности и темпера­
туры.
Предлагаемый
в
статье
метод
Монте-Карло, описанного в работах
является
[1]
и
развитием
При
[2].
метода
использовании
этого метода прослеживается движеfIие одной молекулы на функ­
ции распределения, запомненной от предыдущей итерации. Суще­
ственным
недостатком,
ограничивающим
большой объем необходимой машинной
распределения
автора
[3]
зависит
предложено
от
его
примевение, является
памяти, так
нескольких
усовершенствование,
дой геометрической ячейке вместо
как
переменных.
функция
В
позволяющее
функции
работе
в
распр.еделения
каж­
запо­
минать скорость одной молекулы. Этот метод был иллюстрирован
расчетом
потока
ратур пластин
ствие
r
т
2
тепла
=
между
пластинами
статье
отношении
темпе-
4 и числе Кну дсена КП = 0,5. Однако вслед-
недостаточно
корректного
скоростей в практическом расчете
ческой ячейке
при
запоминать
рассматривается
как
метод,
способа
минимум
при
отбора
пришлось
7
в
запоминаемых
каждой
геометри­
скоростей.
В данной
котором
эта
некорректность
отбора молекул устраняется и в каждой геометрической ячейке
(слое)
запоминается в точности одна
молекулярная
скорость.
Метод применен для расчета потока тепла в широком диапазоне
отношения температур пластин (от
(от 0,2 до 10).
46
1,5
до
100)
и
чисел
Кнудсена
СУЩНОСТЬ МЕТОДА
Предположим,
что
одноатомный
газ,
заключенный
между
параллельными плоскостями, состоит из молекул, взаимодействую­
щих таким образом, что
а) полное
эффективное
сечение
столкновения
двух
молекул
со скоростями е и Е 1 равно
(1 )
~
r де
"u = const и g = I е -
-+
е1
1- относительная
скорость молекул перед
столкновением;
б) скорости молекул после столкновения могут
быть
опреде­
лены как скорости упругих сфер:
-+
Е' =
0,5 (е
-+
+ е 1 + ge), e~ = 0,5 (Е + Е 1
'+
-
-
ge),
(2)
г де е - случайный вектор, равномерно распределенный на поверх­
ности единичной сферы.
Чтобы пояснить физическое содержание этОй модели межмо­
лекулярного
взаимодействия,
приведем
коэффициент вязкости
такого газа, полученный по методу Чепмена - Энскога:
,
где
k-
постоянная
2kT
[.'0=--,
(3)
"о
Больцмана,
Т-температура
газа.
Так
как
коэффициент вязкости пропорционален температуре, то предло­
женная модель молекул аналогична максвелловской и ее можно
назвать моделью максвелловских сфер.
Обозначим
температуру
горячей
и
Т 1 и Т 2 , числовую плотность газа через
функцию
распределения
между пластинами
- d.
скоростей
Ось
х
холодной
n,
- f(x,
h
=
Е),
-
по,
расстояние
перпендикулярной
нам. Пространство между плоскостями разобъем на
толщиной
через
-+
молекул
примем
пластин
среднюю плотность
N
пласти­
узких слоев
~. Параметры газа внутри слоя будем считать
постоянными. С помощью ЭВМ
рассчитываем
пробной молекулы на фоне полевых молекул.
вений пробной молекулы
....
движение одной
Частота столкно-
е равна
(4)
т. е. Д.IJя принятой модели молекул
не зависит
от
функции
рас­
пределения.
"о nh
Вероятность столкновения молекулы внутри слоя равна ~
допустим, что пробная молекула
должна
столкнуться
в
.
данном
47
-
слое с какой-то полевой молекулой ~I' Тогда скорость Е 1
быть выбрана в соответствии с плотностью вероятностей
должна
(5)
f
Чтобы обойтись без запоминания функции распределения
(~),
заметим следующее. Вероятность того, что молекула, входящая
~
в слой, имеет скорость ~, пропорционзльна величине
ятность
того,
что
молекула,
сталкивающаяся
в
-
Веро-
имеет
Ско-
IЕ х If(E).
слое,
рость Е, пропорциональна величине
(6)
Сравнивая' выражения (5) и (6) видим, что можно поступить
следующим образом: при каждом столкновении пробной молекулы
-
~ запоминать ее скорость в соответствующем
слое,
а
в
качестве
скорости Е! дЛЯ формулы (2) брать скорость, запомненную при пре­
дыдущем столкновении в этом слое. Таким образом,. в каждой
геометрической ячейке вместо функции распределения надо запо­
минать плотность газа и скорость столкнувшейся
молекулы.
Поле плотности заранее неизвестно, поэтому расчет ведем по
итерациям. В качестве начального приближения принимаем сво­
бодномолекулярное состояние газа. Отражение молекул от стенки
диффузное с температурой стенки. Число Кнудсена
з( ~:n У/2
КЛ =
где
3/~' d
'
'
00 ПО
VT 1 Т 2 -
m - масса молекулы, Ро = по k
бодномолекулярном состоянии.
РЕЗУЛЬТАТЫ
давление
газа в
сво­
РАСЧЕТА
Отношению температур пластин fJ = Т 1 /Т 2 при варьировании
параметров придавались значения 1,5; 4; 16 и 100, а числу Кнуд­
сена значения 0,2; 0,5; 2 и 10. В таблице приведены величины
потока тепла q", отнесенного к значению qo при свободномолеку­
лярном
состоянии
газа:
qo=.:-2kn o (
Через
2000
ql
обозначен поток
2kTJ T 2 \1/2 у-1 ( Т1 1tm )
.
тепла,
скоростей полевых молекул,
стей, qз
-
.V/Т )·
2
рассчитанный
q2 -
при
запоминании
при запоминании
точное значение потока тепла
для
500
модельного
скоро­
кинети­
ческого уравнения [4, 5], q4 - поток тепла в приближении Навье­
Стокса со скачком температуры на стенке [4]. Для q\ и q2 указаны
границы ошибки.
48
Принятые
обозначе-
{j
ния
Величины потока тепла
потока
тепла
1,5
4
Кп=lo
О,63±0,01
-
-
0,62
-
-
О,66±О,ОI
0,86±0,01
О,96±0,01
0,67±О,ОI
0,86±О,02
0,96±0,02
0,97
ql
q2
О,48±0,01
О,47±0,01
qз
0,50
0,53
0,70
0,73
0,87
0,66±0,01
0,80±0,01
О,93±0,01
0,99±0,01
0,66±О,ОI
0,79±О,ОI
0,95±О,ОI
0,99±О,02
0,68
0,82
0,94
0,99
1,24±0,03
1,14±0,02
l,14±0,02
1,18
1,05±O,OI
1,05±0,01
1,07
1,02±0,02
1,02
--~~---~
I
I
I
-
-
I
-"------
qt
q2
100
I
Кп=2
0,44±0,01
0,44
q!
q2
q:J
16
I
Кп=0,5
q!
q,
q,
I
I
Кп=0,2
1,20±О,03
1,25
qз
1,02±О,ОI
I
Как видно из таблицы,
суются
с
данными
точного
численные
решения
результаты
модельного
хорошо
уравнения,
согла­
а
для
умеренных значений 6 и КП и с результатами в приближении
Навье - Стокса.
На фиг. 1 и 2 сравниваются профили плотности и температуры
газа для проведенного расчета и для уравнений Навье - Стокса
при
6 = 1,5
f
РО
и Кп =
0,2
и
0,5.
IJ :: I,.]
6= 1,5
~I
/
- - - IItldbt' - Стllне
---
1 I/ti
Фиг.
1
lIodbt'-Сmонс
#,7D~----------------/~J-ld
Фиг.
2
На фиг. 3-8 приведены профили плотности и температуры
для остальных расчетных случаев. Было обнаружено, что для
данной задачи итерации сходятся очень быстро. При 6 = 1,5 все
итерации, начиная с первой, отличались только случайными
баниями. При
4-
6= 4
Ученые запнски ,N, 4
и
16 практически совпали итерации,
коле­
начиная
49
р
0='"
НIJ'
Р.
0,/
!J.j
1
/0
J
Il,J
Il
Il,.f{}
!.r/
l..r;d
Фиг.
Фиг.
3
6
4
=/5°
Ifn:Il,Z
/,
11,5
J
11/
11
1
Фиг.
р
.r/(/
Фиг.
5
/{л=Ц
, = /1/1/
6
т
р,
J
2
11
Фиг.
50
! .r/d
l..r/u
7
Фиг.
8
со второй, а для 6= 100 - с третьей. При 6 = 104 попытки расчета
этим методом потерпели неудачу. Постепенное ухудшение сходи­
мости
с
увеличением
отношения
температур пластин связано с воз­
растанием роли редких молекул, отлетающих от горячей пластины
под малыми углами к ней. Минимальное количество запоминаемых
молекулярных скоростей, необходимое для
залось равным приблизительно 100/Кп.
точности
2-3%,
ока­
ЛИТЕРАТУРА
1. Н а v i 1 а n d J. К., L а v i n М. L. Аррllсаtlоп of the Monte
Car10 method to Ьеа! transfer il1 а rarefied gas. The Phys. of F1ulds, v. 5,
N2 11, 1962.
2. Н а v j 1 а n d J. К. ТЬе solution of two molecu1ar f10w problems
Ьу the Monte Carlo method. MettlOds in computatiol1a1 physics, New York,
1965.
3. В л а с о в В. И. Улучшение метода статистических испыта­
ний (Монте-Карло) для расчета течений разреженных газов. Доклады
ДАН СССР, т. 167, N2 5, 1966.
4. К о r а н М. Н. Динамика разреженного газа. М., .Наука",
1967.
5. W i 11 i s О. R. Heat transfer in а rarefted gas between paralle1
p1ates at large temperature ratios. Rarefied Gas Dynamics. Thlrd Symp., v. 1,
Acad. Press. New York - London, 1963.
Рукопись поступила
4*
lljV/l 1969
г.