050100_po_matematika_tfkp_8sem_ofox

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет
имени Н.Г. Чернышевского»
Балашовский институт (филиал)
УТВЕРЖДАЮ:
Директор БИ СГУ
доцент А.В. Шатилова
_________________
«____» ___________ 20____ г.
Рабочая программа дисциплины
Теория функций комплексного переменного
Направление подготовки
050100 Педагогическое образование
Профиль подготовки
Математика
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная
Балашов 2014
СОДЕРЖАНИЕ
1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ .......................................................... 3
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ
ПРОГРАММЫ ....................................................................................................... 3
3. КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В
ПРОЦЕССЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ................................................... 3
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОБУЧЕНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ .............................. 3
4. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ................................... 6
4.1. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ ................................................................................. 6
4.2. СТРУКТУРА ДИСЦИПЛИНЫ.......................................................................... 7
4.3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ...................................................................... 7
5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ ПРИ
ОСВОЕНИИ ДИСЦИПЛИНЫ ........................................................................... 8
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ ОСУЩЕСТВЛЕНИИ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА ПО ДИСЦИПЛИНЕ ............................................ 9
6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ. ОЦЕНОЧНЫЕ
СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ,
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ.................................................................................................... 9
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ............................. 9
ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА
ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ......................................... 11
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ................................................................. 15
ЛИТЕРАТУРА ПО КУРСУ ................................................................................... 16
Основная литература .............................................................................. 16
Дополнительная литература .................................................................. 16
ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ ........................................................................................ 17
ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ........................................................................ 18
8. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ.................................................................................................. 18
2
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Теория функций комплексного переменного» являются: формирование систематизированных знаний в области
теории функций комплексного переменного, расширение на комплексную
область основных понятий, используемых в действительном анализе, таких
как функция, предел, непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость.
2. Место дисциплины
в структуре образовательной программы
Дисциплина относится к части дисциплин по выбору профессионального цикла (Б3.ДВ6), изучается в 8 семестре.
Для освоения указанной дисциплины студент должен овладеть компетенциями, знаниями и умениями, сформированными в результате освоения
основных математических дисциплин, входящих в вариативную часть профессионального цикла, таких как «Математический анализ», «Алгебра»,
«Геометрия», «Дифференциальные уравнения», а также дисциплины «Элементы функционального анализа» вариативной части профессионального
цикла. В ходе изучения дисциплины происходит обобщение знаний, полученных при освоении указанных курсов, показывается взаимосвязь и взаимовлияние различных математических дисциплин, реализуется профессиональная направленность образовательного процесса.
Изучение дисциплины «Теория функций комплексного переменного»
является необходимой основой для изучения учебных дисциплин «Уравнения математической физики», «Элементы теории динамических систем», а
также курсов по выбору студентов, содержание которых связано с готовностью студента углубить свои знания в области комплексного анализа.
3. Компетенции обучающегося,
формируемые в процессе освоения дисциплины
Процесс изучения дисциплины «Теория функций комплексного переменного» направлен на формирование следующих компетенций:
а) общекультурных (ОК):
- владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1);
- способен логически верно строить устную и письменную речь (ОК-6);
- способен работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК9);
3
-
-
б) общепрофессиональных (ОПК)
осознает социальную значимость своей будущей профессии, обладает мотивацией к выполнению профессиональной деятельности (ОПК-1);
владеет основами речевой профессиональной культуры (ОПК-3);
способен нести ответственность за результаты своей профессиональной
деятельности (ОПК-4);
в) специальных (СК):
владеет основными фактами, идеями и методами математики,
аксиоматическим методом (СК-1);
владеет математическим языком (СК-2).
способен доказывать теоремы (СК-3);
способен создавать математические модели для решения задач из
различных областей (СК-4);
способен создавать и исследовать математические объекты
аналитическими методами и с использованием компьютера (СК-5);
знает место ТФКП в системе математических знаний (СК-6);
владеет фактами и методами (СК-7);
способен применять знания и методы других дисциплин в математическом
анализе (СК-8);
умеет использовать знания ТФКП в других научных областях (СК-9);
знает основные этапы развития математики (СК-10);
владеет содержанием и методами элементарной математики, знает связь
разделов элементарной математики с высшей математикой и методикой
обучения математике (СК-11).
Планируемые результаты обучения по дисциплине
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
знать:
 в области функций комплексного переменного: определение комплексного числа; геометрическое представление комплексных чисел;
определение модуля и аргумента комплексного числа; алгебраическую,
тригонометрическую и показательную формы записи комплексных чисел;
действия с комплексными числами; метрические свойства комплексной
плоскости; стереографическую проекцию; понятие бесконечно удаленной
точки; определение и геометрическую интерпретацию функции комплексного переменного;
 в области предела и непрерывности функции комплексного переменного: определение предела, непрерывности функции комплексного переменного;
 в области дифференцирования функции комплексного переменного:
определение дифференцируемой функции; определение и свойства производной функции комплексного переменного, правила дифференцирования; условия Коши-Римана; определение и свойства гармонической
4







функции; геометрический смысл модуля и аргумента производной; определение и свойства конформного отображения областей; элементарные
функции комплексного переменного и их свойства: линейную функцию,
дробно-линейную, степенную, показательную, логарифмическую функцию, тригонометрические и обратные тригонометрические функции, гиперболические функции;
в области понятия аналитической функции: определение и свойства
аналитической функции; доказательство аналитичности основных элементарных функций;
в области интегрирования функции комплексного переменного:
определение интеграла функции комплексного переменного по отрезку;
способ интегрирования функций комплексного переменного вдоль кривой; свойства комплексных интегралов; определение и свойства первообразной, формулу Ньютона-Лейбница;
в области теоремы Коши: интегральную теорему Коши для односвязных и многосвязных областей; интегральную формулу Коши; аналитичность непрерывно дифференцируемой функции; неравенства Коши, теорему Лиувилля и доказательство с ее помощью основной теоремы алгебры многочленов;
в области рядов Тейлора и Лорана: понятие степенного ряда в комплексной области; определение и свойства аналитической функции;
определение ряда Тейлора и Лорана; определение и свойства аналитического продолжения; формулы Эйлера; определение нулей аналитической
функции; теорему Лорана; классификацию изолированных особых точек:
устранимые особые точки, полюсы, существенно особые точки;
в области вычетов и их приложений: определение, свойства и применение вычетов к вычислению интегралов;
уметь:
в области функций комплексного переменного: производить арифметические действия с комплексными числами; изображать комплексные
числа на плоскости; находить модуль и аргумент комплексного числа; записывать комплексные числа в алгебраической, тригонометрической и
показательной форме; строить линии и области на комплексной плоскости; находить действительную и мнимую части функции комплексного
переменного; получать образ линии и области при комплексном отображении в простейших случаях; вычислять значения линейной, степенной,
рациональной, показательной функции, тригонометрических функций,
гиперболических функций, логарифмы комплексных чисел, значения обратных тригонометрических функций;
в области предела и непрерывности функции комплексного переменного: находить предел функции комплексного переменного в простейших
случаях; доказывать по определению непрерывность функции комплексного переменного в простейших случаях;
5
 в области дифференцирования функции комплексного переменного:
дифференцировать функции комплексного переменного; применять условия Коши-Римана, вычислять модуль и аргумент производной; восстанавливать дифференцируемую функцию по ее действительной или мнимой части; определять, является ли функция гармонической;
 в области понятия аналитической функции: устанавливать аналитичность функции в точке и в области;
 в области интегрирования функции комплексного переменного: интегрировать функции комплексного переменного вдоль кривой; применять формулу Ньютона-Лейбница; вычислять интегралы с помощью интегральной формулы Коши;
 в области теоремы Коши: применять интегральную теорему Коши для
вычисления интегралов;
 в области рядов Тейлора и Лорана: получать степенные ряды в комплексной области; находить радиус и область сходимости степенного ряда; классифицировать изолированные особые точки: устранимые особые
точки, полюсы, существенно особые точки;
 в области вычетов и их приложений: вычислять и применять вычеты
при вычислении интегралов;
владеть:
 основными положениями классических разделов теории функций комплексного переменного,
 базовыми идеями и методами теории функций комплексного переменного;
 основными понятиями школьного курса математики, связанные с теорией
функций комплексного переменного (профильный уровень).
приобрести опыт:
 ознакомительного и изучающего чтения специальной литературы;
 решения задач в области функций комплексного переменного.
4. Структура и содержание дисциплины
4.1. Объем дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетные единицы, 144
часа, из них: 20 часов лекций, 32 часа практических занятий, 56 часов самостоятельной работы. Дисциплина изучается в 8 семестре, ее освоение заканчивается экзаменом.
6
4.2. Структура дисциплины
1
2
3
4
5
6
3
Плоскость комплексных чисел
Дифференцирование
функций комплексного переменного
Элементарные функции и задаваемые ими
конформные отображения
Интегрирование
функций комплексного переменного
Ряд Тейлора. Изолированные особые точки. Ряд Лорана
Вычеты
Всего
Самостоятельная
работа
2
Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)
Практическая
работа
1
Се- Немест деля
р
Лекции
Раздел дисциплины
Всего часов
№
п/п
6
7
8
4
5
8
1-2
12
2
4
6
8
2-4
20
4
6
10
8
5-7
20
4
6
10
8
7-9
22
4
6
12
8
1012
22
4
6
12
8
12-13
16
2
4
6
32
56
108 20
Промежуточная аттестация
Формы текущего
контроля успеваемости (по неделям
семестра)
Формы промежуточной аттестации
(по семестрам)
9
Контрольная работа
№1
Контрольная работа
№ 2, тест
36
Экзамен в 8 семестре
4.3. Содержание дисциплины
Раздел 1. Плоскость комплексных чисел
Действия с комплексными числами. Геометрическое изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Различные формы записи комплексных чисел. Комплексная плоскость как метрическое пространство. Стереографическая проекция. Бесконечно удаленная точка. Функции
комплексного переменного. Предел, непрерывность, геометрическая интерпретация функции комплексного переменного. Задание линий и областей на
комплексной плоскости. Линейная функция и задаваемое ею отображение.
7
Раздел 2. Дифференцирование функций комплексного переменного
Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия КошиРимана-Эйлера-Даламбера. Восстановление дифференцируемой функции по
ее действительной или мнимой части. Гармонические функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформные отображения.
Раздел 3. Элементарные функции и задаваемые ими конформные отображения
Рациональные функции и их свойства. Функция 1 . Дробно-линейная функz
ция. Степенная функция. Степенные ряды в комплексной области. Аналитические функции. Ряд Тейлора. Аналитическое продолжение. Показательная и
тригонометрические функции. Гиперболические функции. Логарифмы комплексных чисел. Обратные тригонометрические функции.
Раздел 4. Интегрирование функций комплексного переменного
Интегрирование функций комплексного переменного вдоль кривой. Интегральная теорема Коши для односвязных и многосвязных областей. Первообразная. Формула Ньютона-Лейбница. Интегральная формула Коши. Неравенства Коши. Теорема Лиувилля. Основная теорема алгебры многочленов.
Раздел 5. Ряд Тейлора. Изолированные особые точки. Ряд Лорана
Нули аналитической функции. Ряд Лорана. Теорема Лорана. Классификация
изолированных особых точек: устранимые особые точки, полюсы, существенно особые точки.
Раздел 6. Вычеты
Вычеты. Применение вычетов.
5. Образовательные технологии,
применяемые при освоении дисциплины
Специфика дисциплины и объем учебного материала предполагают как
традиционную лекционную форму изложения материала, так и использование различных активных и интерактивных форм обучения. В процессе чтения лекций рекомендуется использовать мультимедийное оборудование для
иллюстрации понятий и фактов из теории функций комплексного переменного. Информационные и интерактивные технологии уместны при обсуждении
проблемных и неоднозначных вопросов, требующих выработки решения в
ситуации неопределенности и аргументированного изложения своих взглядов, профессиональной позиции. В целом содержание курса отличает практическая направленность и максимальная приближенность к актуальным запросам практической деятельности.
Традиционные образовательные технологии:
– лекции:
– практические занятия;
– тестирование с использованием информационных технологий;
Активные и интерактивные формы занятий:
8
– проблемная лекция;
– занятия в форме дискуссий.
Для обеспечения доступности обучения инвалидам и лицам с ограниченными возможностями здоровья учебные материалы могут быть адаптированы с учетом особых потребностей: в печатных материалах укрупнен шрифт,
произведена замена текста аудиозаписью, использованы звуковые средства
воспроизведения информации.
Информационные технологии, используемые
при осуществлении образовательного процесса по дисциплине
 Использование информационных ресурсов, доступных в информационнотелекоммуникационной сети Интернет (см. перечень ресурсов в п. 7 настоящей программы).
 Электронная среда создания, редактирования и проведения тестов CiberTest.
6. Учебно-методическое обеспечение
самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
Самостоятельная работа студентов по дисциплине
На практическом занятии рассматриваются типовые примеры по указанной теме, обсуждается ход решения, анализируются возможные варианты. К
самостоятельной работе студентов (СРС) относится: детальная проработка
лекций, учебной литературы, самостоятельное доказательство указанных
преподавателем теорем, подготовка к контрольным работам, выполнение
контрольных работ. Методические указания для самостоятельного решения и
разобранные примеры можно найти также в указанных параграфах и рекомендованной литературе.
Для контроля текущей успеваемости и промежуточной аттестации используется рейтинговая и информационно-измерительная система оценки
знаний.
Система текущего контроля включает:
 контроль посещения и работы на практических занятиях;
 контроль выполнения студентами заданий для самостоятельной работы;
 контроль знаний, умений, навыков усвоенных в данном курсе в форме
письменной контрольной работы.
Работа на практических занятиях оценивается преподавателем (по
пятибалльной шкале) по итогам подготовки и выполнения студентами
практических заданий, активности работы в группе и самостоятельной
работе. Пропуск практических занятий предполагает отработку по
пропущенным темам. Неотработанный (до начала экзаменационной сессии)
пропуск более 50% практических занятий по курсу является основанием для
9
недопуска к экзамену по курсу.
Контрольные работы проводятся после изучения основных тем и
предназначены для оценки знаний, умений и навыков, приобретенных в
процессе теоретических и практических занятий курса.
Оценка за итоговую контрольную работу по курсу выставляется в
соответствии со следующими критериями:
 Оценка «отлично» (5 баллов) - 81-100% правильных ответов
 Оценка «хорошо» (4 балла) - 66-80% правильных ответов
 Оценка «удовлетворительно» (3 балла) - 51 -65% правильных ответов
 Оценка «неудовлетворительно» - 50% и менее правильных ответов.
Итоговая аттестация (экзамен) проводится в тестовой форме, включая
интерактивное выполнение теста с выбором ответов в диалоге с
компьютером в учебных компьютерных классах. Тест состоит из двух частей
– теоретической и практической. Число вариантов ответов на каждое
задание - не менее 4-х. Рекомендуемое число заданий в тестовом варианте в
части А – 10, в части В - 10. Продолжительность тестирования - 90 минут.
Рекомендуемое число различных вариантов - не менее 3-х.
Основанием для недопуска к экзамену является:

неотработанный пропуск более 50% практических занятий по курсу;

невыполнение на момент начала экзаменационной сессии
заданий длясамостоятельной работы (работа должна быть представлена в
срок как в печатном, так и в электронном виде в соответствии с требованиями
к оформлению данного вида работы).
Текущий контроль успеваемости включает в себя оценку активности на
занятиях, самостоятельную работу, контрольные работы, промежуточные тесты, коллоквиумы и т.д.
Обязательно учитывается посещаемость студентами различных видов
учебных занятий, что значительно улучшает её.
Удобно устанавливать величину баллов за посещение одного занятия
по дисциплине как результат деления установленной за посещение суммы
баллов на количество планируемых учебных занятий.
Для вынесения итоговой оценки по дисциплине используется 100
балльная шкала.
Набранная сумма баллов используется для определения итоговой оценки.
Шкала итоговых оценок в зависимости от набранных баллов
Набранные
баллы
Оценка по 5-ти
балльной шкале
Зачет/незачет
Оценка по
шкале ECTS
<50
51-60
2
незачет
неудовлепосредтворительственно
но
61-67
3
68-84
85-93
4
94-100
5
зачет
удовлетворительно
хорошо
очень хорошо
отлично
10
Оценочные средства
для текущего контроля успеваемости
и промежуточной аттестации по дисциплине
Контрольная работа №1
Элементарные функции комплексного переменного
1. Является ли аналитической хотя бы в одной точке функция w  z  ymz
2. Решить уравнение ln( z  i)  0
(1  i ) n

3. Исследовать на сходимость ряд

n 1
4. Найти логарифм числа i
5. Вычислить
4
n
2
2 cos in
2i
1
Контрольная работа № 2
«Интегрирование и ряды функции комплексного переменного»
1. Вычислить интеграл:
 z
3

 3 z 4 dz от z1  1 до z 2  i по y  1  x 2 .
C
2. Вычислить интеграл:

2 cos z dz
.
z 

3z  1
z 1 1
3. Вычислить интеграл:
z 1 8
z2  4
dz
4. Разложить в ряд Тейлора по степени z  z 0 : cos 2
iz
, z0  0
3
5. Разложить в ряд Лорана в окрестности особых точек:
6. Выяснить характер изолированных особых точек:
z 1
.
z  2z  3
2
1  e 2 z
.
z
Тестовые задания для оценки остаточных знаний
Контрольно-измерительные материалы проверяют остаточные знания
студента. Тестовые задания направлены на применение усвоенных ранее
знаний в типовых ситуациях. При установлении нормы трудности заданий
учитывалась форма ТЗ (закрытая, сопоставление), принадлежность определенной дидактической единице ГОС, длина последовательности умозаключений для получения окончательного ответа. Тестирование может являться
как составной частью экзамена, так и заменить экзамен в целом. Компьютерное тестирование представляет собой интерактивное выполнение теста с выбором ответа или вводом ответа в диалоге с компьютером в учебных компь11
11
12
13
14
15
16
17
Алгебраическая форма комплексного числа
Область в комплексной плоскости
Тригонометрическая форма комплексного числа
Возведение в натуральную степень
Дробно-линейная функция и задаваемое ею отображение
Модуль и аргумент производной
Линейная функция и задаваемое ею отображение
Логарифмы в комплексной области
Корни из комплексных чисел
Аналитические функции
Восстановление аналитической функции по действительной
или мнимой части
Интеграл по отрезку
Интеграл по границе области. Интегральная теорема Коши
Интегральная формула Коши
Радиус сходимости ряда
Вычеты
Применение вычетов для вычисления контурных интегралов
Кол-во
баллов
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Наименование темы задания
№ правильного
ответа
№
задания
ютерных классах. Число вариантов ответов на каждое задание — не менее 4х. Рекомендуемое число заданий в тестовом варианте (индивидуально формируемом случайным образом комплекте вопросов) — не менее 10 и не более 25 заданий. Продолжительность сеанса тестирования — не более 90 минут. Рекомендуемое число различных вариантов каждого вопроса — не менее 3-х.
Структура контрольно-измерительных материалов
5
1
3
2
4
5
3
4
1
2
5
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
3
3
5
4
1
2
4
3
3
4
3
4
4
Демонстрационный вариант теста
2i
1. Число z  2  i 
в алгебраической форме имеет вид
1 i
1) 1  i
2) 1  i
3) i
4) 1
5) 3
2. Множество точек, удовлетворяющих условиям
z  i  1, z  3  i  3, Im z  1 , изображено
12
1
1
1 2
2
О
О
3
О
Р
Р
ис. 1
Р
ис. 2
ис. 3
1 2
О
О
2
Рис.
42) на рис. 2
1) на рис. 1
4) на рис. 4
Р
3) на рис. 3
ис. 5
5) на рис. 5
3. Комплексное число  1  i 3 в тригонометрической форме имеет вид






1) 2 cos  i sin 
2) 2  cos  i sin 
3
3
3
3


2
2 
2
2 


 i sin
 i cos


3) 2 cos
4) 2 sin
3
3 
3
3 





5) 2 cos  i sin 
6
6

4. Число 1  i  равно
50
100
1) 1  i
2)  2
3) 2
100
4) 1  i
50
5) 2
2
2
5. Образом окружности, заданной уравнением x  y  4 x  6 y  3  0 , при
1
отображении w  будет
z
2
2
1) u  v  2u  2v  0
2) 4u  6v  1  0
3) 4u  6v  3  0
13
2
2
4) 3u  3v  4u  6v  1  0
5) 4u  6v  0
6. Угол поворота  и коэффициент растяжения (сжатия) r в точке a  2  i
при отображении w  2  3iz равны
1)  
4)  

2

2
, r  13
2)   
,r7
5)  

2

2
3)   
, r  13

2
,r 5
,r 3
7. Площадь образа множества точек, удовлетворяющих условию z  2  i  3
, при отображении w  (3  4i ) z  i равна
1) 13
2) 13
3) 225
4) 9
5) 100
8. Главное значение Ln (1  i ) равно

2

4) ln 2  i
4

2

5) i
4
1) ln 2  i
2) i
9. Главное значение
3
3

2
1
4)  i
2
1
3
i
2
2
1)
i
2
3
2
2)
3) ln 2  i

4
i равно
3) 1  i
5) 1  i
10. Из функций
1) w  ze 2 z , 2) w  z  i, 3) w  z 4 z , 4) w  z 2  iz  1, 5) w  z Re z аналитическими хотя бы в одной точке являются
1) только 2 и 3 2) 1 и 4
3) только 5
4) 2 и 5
5) 2, 3 и 4
11. Дана действительная часть аналитической в окрестности точки z0 функx
ции f (z ) : u ( x, y)  2e cos y , f (0)  2 . Функция f (z ) равна
z
1) 2e cos z
2) 2 z cos z
12. Интеграл
3) cos z  1
z
4) e  1
z
5) 2e
 z dz , где l — отрезок, соединяющий точки 0 и 1 2i , равен
l
1) 1 2i
2) i 5
3)
5
i 5
2
4)
5
5)
5 i 5
14
1
dz

по границе G области G   z : z  i   равен
3
 25

G
1
25

i
1) 25
2)
3)
4) 25  i
5) 0
25
ez
1

dz , где l   z : z  2   , равен
14. Интеграл  2
z  2z
e

l

2
1) i
2) ie
3) i
4) ie
5) e
e

( z  3i) n
15. Радиус сходимости ряда 
равен
6 n1
n 0
13. Интеграл
1) 6
z
2
4) 6  10
3) 10
2) 3
5) 6 10
ez
16. Вычет функции f ( z ) 
в ее особой точке равен
z3
3
1) 3
2) e
3) –3
4) e
5) 3i
z
e
dz , где l  z : z  4  2, равен
17. Интеграл 
z

3
l
1) 2ie
2) 2
3
3) ie
3
4) 2ie
3
5) e
Контрольные вопросы к экзамену
1. Комплексные числа. Модуль и аргумент, формы записи комплексного
числа.
2. Комплексная плоскость как метрическое пространство.
3. Стереографическая проекция. Бесконечно удаленная точка.
4. Функции комплексного переменного. Предел.
5. Непрерывность функции комплексного переменного.
6. Геометрическая интерпретация функции комплексного переменного. Задание линий и областей на комплексной плоскости.
7. Линейная функция и задаваемое ею отображение.
8. Дифференцирование функций комплексного переменного. Производная.
9. Условия Коши-Римана-Эйлера-Даламбера.
10. Восстановление дифференцируемой функции по ее действительной или
мнимой части. Гармонические функции.
11. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
12. Конформные отображения.
13. Рациональные функции комплексного переменного и их свойства.
14. Функция w  z . Дробно-линейная функция.
15. Степенная функция. Риманова поверхность.
1
15
16. Степенные ряды в комплексной области. Аналитические функции.
17. Ряд Тейлора. Единственность аналитической функции.
18. Аналитическое продолжение.
19. Показательная и тригонометрические функции.
20. Отображение w  e z .
21. Гиперболические функции.
22. Логарифмы комплексных чисел. Степень.
23. Обратные тригонометрические функции.
24. Интегрирование функций комплексного переменного вдоль кривой.
25. Интегральная теорема Коши для односвязной области.
26. Интегральная теорема Коши для многосвязной области.
27. Первообразная. Формула Ньютона-Лейбница.
28. Интегральная формула Коши.
29. Аналитичность непрерывно дифференцируемой функции. Формула Коши
для производных аналитической функции.
30. Теорема Леувилля. Основная теорема алгебры многочленов.
31. Нули аналитической функции.
32. Ряд Лорана. Теорема Лорана.
33. Классификация изолированных особых точек: устранимые особые точки,
полюсы, существенно особые точки. Вычеты.
34. Применение вычетов.
7. Учебно-методическое и информационное
обеспечение дисциплины
Литература по курсу
Основная литература
1. Половинкин, Е.С. Теория функций комплексного переменного [Электронный ресурс]: Учебник / Е.С.Половинкин. – Электрон. дан. – М.: ИНФРАМ,
2015.
–
254
с.
–
Режим
доступа:
http://www.znanium.com/bookread.php?book=487040. - Загл. с экрана.
Дополнительная литература
1. Привалов, И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного
[Электронный ресурс]: пособ. для высш. школы / И.И. Привалов. – Электрон. дан. – М. : Лань, 2009. – 432 c. – Режим доступа:
http://e.lanbook.com/view/book/322/. Загл. с экрана.
2. Волковыский, Л.И. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. Изд. 4. [Электронный ресурс] / Волковыский Л.И., Лунц Г.Л.,
Араманович И.Г. – Электрон. дан. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 312 с. –
Режим
доступа:
http://library.sgu.ru/cgi16
3.
4.
5.
6.
bin/irbis64r_91/cgiirbis_64.exe?C21COM=F&I21DBN=LINK&P21DBN=http:
//212.193.33.40/ibooks/978592210264.pdc – Загл. с экрана.
Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. [Текст].:
учеб. пособие. / М.Л. Краснов, А.И.Киселев, Г.И. Макаренко.2-е изд. перераб. и доп.– М.: Наука, 1981.– 302 с.
Маркушевич, А.И. Краткий курс теории аналитических функций. [Текст].
: учеб. пособие /А.И. Маркушевич – М.: Наука, 1978.- 388 с.
Маркушевич, А.И. Введение в теорию аналитических функций. [Текст].:
учеб. пособие для студ. физ.-мат. фак. пед. инст. / А.И. Маркушевич, Л.А.
Маркушевич. – М.: Просвещение, 1977.- 320 с.
Сидоров, Ю.В. Лекции по теории функций комплексного переменного.
[Текст].: учеб. пособие / Ю.В. Сидоров, М.В.Федорюк, М.И. Шабунин. –
М.: Наука, 1976.- 408 с.
Интернет-ресурсы
1. eLIBRARY.RU [Электронный ресурс]: научная электронная библиотека.
– URL: http://www.elibrary.ru
2. ibooks.ru [Электронный ресурс]: электронно-библиотечная система. –
URL: http://ibooks.ru
3. Znanium.com [Электронный ресурс]: электронно-библиотечная система.
– URL: http://znanium.com
4. Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов [Электронный
ресурс]. – URL: http://scool-collection.edu.ru
5. Единое окно доступа к образовательным ресурсам сайта Министерства
образования и науки РФ [Электронный ресурс]. – URL:
http://window.edu.ru
6. Издательство «Лань» [Электронный ресурс]: электронно-библиотечная
система. – URL: http://e.lanbook.com/
7. Издательство
«Юрайт»
[Электронный
ресурс]:
электроннобиблиотечная система. – URL: http://biblio-online.ru
8. Издательство
МЦНМО
[Электронный
ресурс].
–
URL:
www.mccme.ru/free-books
.
Свободно
распространяемые
книги
издательства Московского центра непрерывного математического
образования.
9. Математическая библиотека [Электронный ресурс]. – URL:
www.math.ru/lib .Большая библиотека, содержащая как книги, так и серии
брошюр, сборников. В библиотеке представлены не только книги по
математике, но и по физике и истории науки.
10. Образовательный математический сайт [Электронный ресурс]. –
URL: http://www.exponenta.ru Содержит материалы по работе с
математическими пакетами Mathcad, MATLAB, Mathematical Maple и др.,
методические разработки, примеры решения задач, выполненные с
17
использованием математических пакетов. Форум и консультации для
студентов и школьников.
11. Руконт [Электронный ресурс]: межотраслевая электронная библиотека.
– URL: http://rucont.ru
12.Электронная библиотека БИ СГУ [Электронный ресурс]. – URL:
http://www.bfsgu.ru/elbibl
13. Электронная библиотека СГУ
[Электронный ресурс]. – URL:
http://library.sgu.ru/
Программное обеспечение
1. Программное обеспечение компьютеров: MS Office или Ореn Office;
2. Электронная среда создания, редактирования и проведения тестов
CiberTest.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
 Библиотека с информационными ресурсами на бумажных и электронных носителях.
 Стандартно оборудованная лекционная аудитория № 35 для проведения интерактивных лекций: видеопроектор, интерактивная доска,
компьютер, обычная доска, пластиковая доска.
 Компьютерные классы с доступом к сети Интернет (аудитории №№
22, 23, 24, 25, 28).
 Офисная оргтехника.
Рабочая программа дисциплины «Теория функций комплексного
переменного» составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО по
направлению подготовки 050100 «Педагогическое образование» и профилю
подготовки «Математика» (квалификация (степень) «бакалавр») и
требованиями приказа Министерства образования и науки РФ № 1367 от
19.12.2013 г. о порядке организации и осуществления образовательной
деятельности по образовательным программам высшего образования —
программам бакалавриата, программам специалитета, программам
магистратуры.
Программа разработана в 2011 г. (одобрена на заседании кафедры
математики, протокол № 4 от «25» марта 2011 года).
Программа актуализирована в 2014 г. (одобрена на заседании кафедры
математики, протокол № 3 от «17» октября 2014 года).
Автор:
к.ф.-м.н. доцент
Зав.кафедрой математики
к.ф.-м. н. доцент
Рыжкова О.Я.
Ляшко М.А.
18
Декан факультета МЭИ
к.п.н. доцент
(факультет, где разрабатывалась программа)
Кертанова В.В.
Декан факультета МЭИ
к.п.н. доцент
(факультет, где реализуется программа)
Кертанова В.В.
19