Ê Â À Í T 2001/№4 50 ÷òîáû ïîïàðíûå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè ñîñòàâëÿëè 1, 2, 3, 4, 5 è 6 ìåòðîâ? À.Ìèòÿãèí 2.  íåêîòîðîé ñòðàíå ñóììàðíàÿ çàðïëàòà 10 ïðîöåíòîâ ñàìûõ âûñîêîîïëà÷èâàåìûõ ðàáîòíèêîâ ñîñòàâëÿåò 90 ïðîöåíòîâ çàðïëàòû âñåõ ðàáîòíèêîâ. Ìîæåò ëè áûòü, ÷òî â êàæäîì èç ðåãèîíîâ, íà êîòîðûå äåëèòñÿ ñòðàíà, çàðïëàòà ëþáûõ 10% ðàáîòíèêîâ ñîñòàâëÿåò íå áîëåå 11% âñåé çàðïëàòû, âûïëà÷èâàåìîé â ýòîì ðåãèîíå? Ì.Âÿëûé 3. Âíóòðè óãëà ñ âåðøèíîé Ì îòìå÷åíà òî÷êà À. Èç ýòîé òî÷êè âûïóñòèëè øàð, êîòîðûé îòðàçèëñÿ îò îäíîé ñòîðîíû óãëà â òî÷êå Â, çàòåì îò äðóãîé ñòîðîíû â òî÷êå Ñ è âåðíóëñÿ â À («óãîë ïàäåíèÿ» ðàâåí «óãëó îòðàæåíèÿ»). Äîêàæèòå, ÷òî öåíòð Î îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ∆BCM , ëåæèò íà ïðÿìîé ÀÌ. À.Çàñëàâñêèé 4. Êàìíè ëåæàò â òðåõ êó÷àõ: â îäíîé 51, â äðóãîé 49, à â òðåòüåé 5 êàìíåé. Ðàçðåøàåòñÿ îáúåäèíÿòü ëþáûå êó÷è â îäíó, à òàêæå ðàçäåëÿòü êó÷ó èç ÷åòíîãî ÷èñëà êàìíåé íà äâå ðàâíûå. Ìîæíî ëè ïîëó÷èòü 105 êó÷ ïî îäíîìó êàìíþ â êàæäîé? Â.Êëåïöûí 5. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî N â 999...99 (k äåâÿòîê) ðàç áîëüøå ñóììû ñâîèõ öèôð. Óêàæèòå âñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ k è äëÿ êàæäîãî èç íèõ ïðèâåäèòå ïðèìåð òàêîãî ÷èñëà. Ã.Ãàëüïåðèí 6. Ó÷àñòíèêè øàõìàòíîãî òóðíèðà ñûãðàëè äðóã ñ äðóãîì ïî îäíîé ïàðòèè. Äëÿ êàæäîãî ó÷àñòíèêà À áûëî ïîäñ÷èòàíî ÷èñëî íàáðàííûõ èì î÷êîâ (çà ïîáåäó äàåòñÿ 1 î÷êî, çà íè÷üþ 1/2 î÷êà, çà ïîðàæåíèå 0 î÷êîâ) è êîýôôèöèåíò ñèëû ïî ôîðìóëå: ñóììà î÷êîâ òåõ ó÷àñòíèêîâ, ó êîãî À âûèãðàë, ìèíóñ ñóììà î÷êîâ òåõ, êîìó îí ïðîèãðàë. Ìîãóò ëè êîýôôèöèåíòû ñèëû âñåõ ó÷àñòíèêîâ áûòü à) áîëüøå 0; á) ìåíüøå 0? À.Òîëïûãî 10 класс 1. Ñóùåñòâóþò ëè òðè êâàäðàòíûõ òðåõ÷ëåíà, êàæäûé èç êîòîðûõ èìååò êîðåíü, à ñóììà ëþáûõ äâóõ íå èìååò êîðíåé? À.Áåëîâ 2. Ñì. çàäà÷ó Ì1781 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 3. Ïðèâåäèòå ïðèìåð ìíîãî÷ëåíà P x ñòåïåíè 2001, äëÿ êîòîðîãî âû- >C >C > C ïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâî P x + P 1 − x = = 1. Â.Ñåíäåðîâ 4.  îñòðîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ ïðîâåäåíû âûñîòû AH A , BHB è CHC . Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò òðåóãîëüíèêîâ AHB HC , BH A HC , CH A HB ðàâåí òðåóãîëüíèêó H A HB HC . À.Àêîïÿí 5. Íà äâóõ êëåòêàõ øàõìàòíîé äîñêè ñòîÿò ÷åðíàÿ è áåëàÿ ôèøêè. Çà îäèí õîä ëþáóþ èç íèõ ìîæíî ïåðåäâèíóòü íà ñîñåäíþþ êëåòêó ïî âåðòèêàëè èëè ãîðèçîíòàëè (äâå ôèøêè íå ìîãóò ñòîÿòü íà îäíîé êëåòêå). Ìîãóò ëè â ðåçóëüòàòå òàêèõ õîäîâ âñòðåòèòüñÿ âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû ðàñïîëîæåíèÿ äâóõ ôèøåê, ïðè÷åì ðîâíî ïî îäíîìó ðàçó? À.Øàïîâàëîâ 6.  èãðå «Äåñàíò» äâå àðìèè çàõâàòûâàþò ñòðàíó. Îíè õîäÿò ïî î÷åðåäè, êàæäûì õîäîì çàíèìàÿ îäèí èç ñâîáîäíûõ ãîðîäîâ. Ïåðâûé ãîðîä çàõâàòûâàåòñÿ ñ âîçäóõà, à êàæäûì ñëåäóþùèì õîäîì ìîæíî çàõâàòèòü ëþáîé ãîðîä, ñîåäèíåííûé äîðîãîé ñ êàêèìòî ãîðîäîì, óæå çàíÿòûì ýòîé àðìèåé. Åñëè òàêèõ íåò, àðìèÿ ïðåêðàùàåò áîåâûå äåéñòâèÿ (ïðè ýòîì, âîçìîæíî, äðóãàÿ ïðîäîëæàåò). Íàéäåòñÿ ëè òàêàÿ ñõåìà ãîðîäîâ è äîðîã, ÷òî àðìèÿ, õîäÿùàÿ âòîðîé, ñìîæåò çàõâàòèòü áîëåå ïîëîâèíû âñåõ ãîðîäîâ, êàê áû íè äåéñòâîâàëà ïåðâàÿ? (×èñëî ãîðîäîâ êîíå÷íî, êàæäàÿ äîðîãà ñîåäèíÿåò ðîâíî äâà ãîðîäà.) Ï.Ãðîçìàí, À.Øàïîâàëîâ, Ä.Øàïîâàëîâ 11 класс 1. Ñóùåñòâóþò ëè òðè êâàäðàòíûõ òðåõ÷ëåíà òàêèõ, ÷òî êàæäûé èìååò äâà ðàçëè÷íûõ äåéñòâèòåëüíûõ êîðíÿ, à ñóììà ëþáûõ äâóõ òðåõ÷ëåíîâ íå èìååò äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé? À.Áåëîâ 2. Äàíà ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ a1, a2 ,K, an , K Èçâåñòíî, ÷òî a1 , a10 , a30 íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Âåðíî ëè, ÷òî a20 òàêæå íàòóðàëüíîå ÷èñëî? Ôîëüêëîð 3.  íåðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ òî÷êà I öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè, I ′ öåíòð îêðóæíîñòè, êàñàþùåéñÿ ñòîðîíû À è ïðîäîëæåíèé ñòîðîí Ñ è ÑÀ; L è L′ òî÷êè, â êîòîðûõ ñòîðîíà À êàñàåòñÿ ýòèõ îêðóæíîñòåé. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìûå IL′ , I ′L è âûñîòà ÑÍ òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. À.Çàñëàâñêèé 4. Äîêàæèòå, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ìíîãî÷ëåíà Q x ñòåïåíè íå íèæå äâóõ ñ öåëûìè íåîòðèöàòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, çíà÷åíèå êîòîðîãî ïðè ëþáîì ïðîñòîì çíà÷åíèè õ ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ÷èñëîì. À.Áåëîâ >C 5. Äîêàæèòå, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóåò 2001 âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê, íèêàêèå òðè èç êîòîðûõ íå èìåþò îáùèõ òî÷åê, à ëþáûå äâà êàñàþòñÿ äðóã äðóãà (ò.å. èìåþò õîòÿ áû îäíó îáùóþ ãðàíè÷íóþ òî÷êó, íî íå èìåþò îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê). À.Áåëîâ 6. Ïî êðóãó ðàññòàâëåíî íåñêîëüêî êîðîáî÷åê, â êîòîðûõ ëåæàò øàðèêè (êîðîáî÷êà ìîæåò áûòü è ïóñòîé). Çà îäèí õîä ðàçðåøàåòñÿ âçÿòü âñå øàðèêè èç êàêîé-òî êîðîáî÷êè è ðàçëîæèòü èõ, íà÷èíàÿ ñî ñëåäóþùåé êîðîáî÷êè, äâèãàÿñü ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå è êëàäÿ â êàæäóþ êîðîáî÷êó ïî îäíîìó øàðèêó. à) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè øàðèêè âñåãäà áåðóò èç òîé êîðîáî÷êè, â êîòîðóþ ïîïàë ïîñëåäíèé øàðèê íà ïðåäûäóùåì õîäå, òî â êàêîé-òî ìîìåíò ïîâòîðèòñÿ íà÷àëüíîå ðàçìåùåíèå øàðèêîâ. á) Äîêàæèòå, ÷òî çà íåñêîëüêî õîäîâ èç ëþáîãî íà÷àëüíîãî ðàçìåùåíèÿ øàðèêîâ ìîæíî ïîëó÷èòü ëþáîå äðóãîå. Â.Ãóðîâèö Избранные задачи отбора на Российскуюолимпиаду 1. Íàïîìíèì ïðàâèëà èãðû «Æèçíü». Íà êëåò÷àòîì ëèñòå ñòîèò íåñêîëüêî ôèøåê. Èõ ðàñïîëîæåíèå âî âñåõ êëåòêàõ îäíîâðåìåííî ìåíÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Åñëè â êëåòêàõ, ñîñåäíèõ ñ äàííîé (ïî ñòîðîíå èëè óãëó), ñòîèò ðîâíî 3 ôèøêè, òî â äàííóþ êëåòêó ñòàâèòñÿ ôèøêà (åñëè åå íå áûëî). Åñëè â ñîñåäíèõ êëåòêàõ áîëåå 3 èëè ìåíåå 2 ôèøåê, òî ôèøêà ñíèìàåòñÿ (åñëè îíà áûëà). Åñëè â ñîñåäíèõ êëåòêàõ ðîâíî 2 ôèøêè, òî ñîñòîÿíèå êëåòêè íå ìåíÿåòñÿ. Äîêàæèòå, ÷òî â èãðå «Æèçíü» íà êâàäðàòå 2001 × 2001 ñóùåñòâóåò êîíôèãóðàöèÿ, íå èìåþùàÿ ïðîîáðàçà. (9) 2 À.Áåëîâ 2. Åäèíè÷íûé êâàäðàò ðàçáèò íà òðè ìíîãîóãîëüíèêà. Äîêàæèòå, ÷òî äèàìåòð õîòÿ áû îäíîãî èç íèõ íå ìåíüøå 65 8 . (9) Ôîëüêëîð 2  ñêîáêàõ ïîñëå óñëîâèÿ çàäà÷è óêàçàí êëàññ, â êîòîðîì îíà ïðåäëàãàëàñü.