Курс семинаров "Введение в количественную биологию"

Введение в количественную биологию
Васильев Алексей Артёмович при участии Окштейна Игоря Леонидовича
(семинары в рамках лекционно-семинарского курса «Основы биологии»)
часть 1 (осенний семестр)
Введение
Бактерия как пример клетки, способной к сложному поведению
Клетка представляет собой довольно сложное образование, способное как к
индивидуальному воспроизводству, так и к жизнедеятельности в составе многоклеточного
организма.
Пример отдельной клетки, способной к сложному поведению – это подвижная бактерия,
способная находить источник пищи.
Как ориентир с точки зрения потребностей и возможностей количественного описания на
молекулярном уровне можно рассматривать поведение бактерий. Интересно обсудить
алгоритм движения бактерий по статье Громова и возможности анализа (теоретической
реконструкции) этого алгоритма.
Приложение. Статья Б.В. Громова «Поведение бактерий». СОЖ, №6, 1997, с. 28–32.
Движение бактерии (например, кишечной палочки) происходит за счет работы жгутиков.
Жгутик закручен против часовой стрелки. Поэтому при вращении каждого жгутика против
часовой стрелки все жгутики свиваются (образуется единая спираль) и тогда движение
происходит по прямой. При вращении по часовой стрелке жгутики развиваются, и тогда
происходит вращение всей бактерии случайным образом с потерей ориентации.
Известно, что бактерия реализует алгоритм с чередованием случайной переориентации и
движения по прямой. При этом расстояние, проходимое при одном броске, регулируется в
зависимости от концентрации пищи (20–80 мкм, чем больше пищи, тем короче бросок).
В результате она оказывается способна находить источник пищи быстрее, чем при
случайном блуждании.
Реально это так, хотя алгоритм нужно анализировать, чтобы понять его
работоспособность и наличие решений, которые в нем использованы и увеличивают
эффективность поиска пищи.
Естественно, интересны решения, которые могли бы увеличить эффективность, но почему-то
не использованы.
Практическая реализация бактерией любого алгоритма требует получения информации из
внешней среды, ее превращения (для чего используется информация в геноме). Для
реализации описываемого алгоритма необходимы точные измерения концентрации (бактерия
способна различать 1000 градаций концентрации) и память (очевидно эффективно сравнение
результатов измерения концентрации пищевых молекул до броска и после него). Кроме того,
нужны управляющие решения и их реализация в биохимическом исполнении. Для
механического движения и осуществления других функций необходимо энергетическое
снабжение... Есть и другие проблемы в связи с бактериальным движением такого рода.
Иными словами для осуществления процессов нормальной жизнедеятельности клетки
нужна реализация многочисленных потребностей разного рода, с использованием
возможностей молекулярного конструктора (т.е. возможностей, которые есть при
конструировании на молекулярном уровне).
Другая сторона обсуждения наблюдаемых проявлений жизнедеятельности – это
обсуждение причин наблюдаемого выбора из возможного набора решений. В частности, в
связи с конкретным механизмом движения бактерии можно сформулировать многие важные
вопросы, на которые было бы интересно получить ответы.
Чем определена характерная длина броска и диапазон его изменения? Почему
характерная скорость составляет 30 мкм/с? Кишечная палочка тратит на работу жгутика 0,1%
расходуемой ею энергии. Почему именно такова мощность одного жгутика? Можно ли
обосновать число жгутиков (их у кишечной палочки 6-7)? Каково потребление энергии для
движения и как оно соотносится с другими затратами? Известно, что подвижные бактерии
имеют характерный размер около 1 мкм, можно ли его обосновать? Как от размера бактерии
зависит успешность стратегии поиска пищи?
Ничто не мешает взять и еще шире. В самом общем смысле клетка состоит из вполне определенных
структур, размеры и свойства которых определяют ее возможности, это все можно обсуждать с количественной
точки зрения.
Жизнедеятельность можно рассматривать не обязательно как воспроизводство на молекулярном уровне +
разные варианты редукции (актуальный аспект – предбиологическая эволюция? ;жизнедеятельность вирусов)
Систематически применяемый подход можно представить как дерево рассуждений: на
некотором уровне фиксируем организацию как заданную, и пытаемся объяснить
наблюдаемые количественные характеристики, на следующем уровне – пытаемся объяснить
эту организацию как целесообразную, на следующем уровне – пытаемся понять общие
принципы жизнедеятельности в привязке к физической реальности и т.д.
В этой связи полезно ввести некоторые определения. Обсуждение связей между
величинами в рамках заданной организации и определяющих ее характеристик (как
биологических постоянных по аналогии с физическими константами) – это количественная
биология. Задача обоснования заданной организации с наиболее общих позиций (по аналогии
с теоретической физикой при описании физической реальности) – это теоретическая биология.
Этим подходам предшествует понимание того или иного механизма в целом –
функциональная биология. А получение и использование традиционных фактологических
описаний – это описательная биология.
Можно сформулировать еще несколько типов задач в терминах перечисленных наук.
Например, можно попробовать понять, какой должна быть экономическая стратегия
(распределение и последовательность затрат на исполнение различных жизненных функций)
одноклеточного организма (в зависимости от положения в систематике микроорганизмов и
способа питания), учитывая необходимость воспроизводства. Она отличается у организмов
разных размерных классов и можно обосновать наблюдаемые варианты выбора как
целесообразные.
Другая задача – в каком количественном соотношении в процессах жизнедеятельности
необходимо присутствие и участие различных классов молекул и составленных из них
структур. Насколько универсальными они могут и должны быть – третья задача.
Для решения задач такого рода нужны широкие знания не только в разных областях
биологии, но и физики, химии, математики, техники, экономики и т.д.
Конкретно, наблюдаемые процессы необходимо представлять и описывать в терминах
теории управления, молекулярной физики, химической кинетики и т.д. Для описания
движения в вязкой среде также нужны различные подходы – физические, экономические,
биоинженерные.
Нужны также статистические расчеты (выход на статистическую физику и теорию
вероятностей), численные расчеты (вычислительная математика и умение программировать)
и анализ алгоритмов, подход к описанию движения клетки как сложной структуры (где важна
клеточная мускулатура, энергетика, возможности управления движением и т.д.) Не менее
важные аспекты – молекулярные датчики, усиление, распознавание различных сигналов и
ситуаций (оценка рациональной чувствительности – с учетом возможных флуктуаций
концентрации), экономический анализ поведения (количественное выражение возможностей
и целесообразности в связи с ними). Интересны также проблемы кодирования информации и
взаимодействия генов (на примере относительно короткого генома: связь генов и свойств
отдельных структур, набор минимально необходимых генов и т.п.)
Глава 1 /семинары 1-3
СТРУКТУРА БИОЛОГИЧЕСКИХ МОЛЕКУЛ. СВЯЗЬ С ДИФФУЗИЕЙ
Структура биологических молекул
Функциональные возможности клеток (индивидуально либо в составе организма) следуют
из физико-химических ограничений в связи с наблюдаемыми структурами. Основа
жизнедеятельности – функционирование биологических макромолекул (белков, нуклеиновых
кислот, полисахаридов) и агрегатов молекул (липидных мембран, рибосом и других
макромолекулярных комплексов).
Рассмотрим структуры важнейших биологических макромолекул и агрегатов молекул, их
свойства и связанные с ними ограничения в количественном выражении.
Ограничения начинаются с химического состава, определяемого химическими
формулами. Для компактного описания структуры органических молекул используют
графические и структурные формулы, представление в виде последовательности остатков
мономеров (для гетерополимеров белков и нуклеиновых кислот), а также разделение на
одноуглеродные фрагменты (ОУФ – см. [Мушкамбаров
]) и т.д.
Геометрическую форму молекулы в растворе определяет пространственная конфигурация
зарядов на ее поверхности. Для выполнения функций многих молекул необходима
устойчивость пространственной структуры (например, таким свойством должен обладать
реакционный центр фермента). Структура многих молекул термодинамически устойчива.
Практически эта стабильность обеспечена за счет слабых связей. Тогда молекулу можно
разделить на домены, выделяя в том числе и нестабильные фрагменты (например, «хвосты»
фосфолипидов при «жидком» состоянии мембраны).
Белки – полимеры, состоящие из остатков аминокислот. Каждая аминокислота
состоит из стандартной части молекулы (она одинакова у 19 из 20 аминокислот), и радикала
(вариабельной части, она у различных аминокислот разная). Две аминокислоты (только
формально: в клетке это всегда делается с помощью рибосомы) можно соединить друг с
другом реакцией дегидратации: образуется пептидная связь
–COOH + H2N– = –(C=O) – NH –
Приложение (пептидная связь, рис., Макеев, с. 24, там же пространственная ориентация
L/D – изомеры аминокислот)
Два конца получившегося димера отличаются друг от друга по строению и свойствам
и называются N- и C-концы. Далее и к одному, и к другому концу можно присоединить
новые аминокислоты, но в любом случае вся цепочка будет иметь с одной стороны N-конец,
а с другой стороны C-конец. Такая нить из аминокислот называется первичной структурой
белка. Соответственно, простейший способ описания структуры белка – это
последовательность его аминокислотных остатков.
Молекулярная масса аминокислотного остатка в середине молекулы меньше
молекулярной массы аминокислоты на молекулярную массу воды и она также уменьшается
для N– и С– концевых остатков (на 17 и 1 у.е. соответственно).
Принята конвенция, по которой при описании структуры белка последовательность
остатков пишется, начиная с N-конца, причем аминокислотные остатки обозначают (см. там
же) тремя буквами (позволяет легко восстановить полное название), см. пример в задаче
ниже, или одной (для максимальной краткости).
Изучение первичной структуры белков в простейших случаях иллюстрируют две
задачи I.5 и I.2 из списка, составленного А.В. Макеевым
Определяется
первичная
аминокислотная
последовательность
полипептида, состоящего из 21 а.о. Его амино- и карбоксиконцевые остатки
были идентифицированы как лизин и аспарагин соответственно. Частичное
расщепление полипептида тремя разными способами и последующее определение
последовательности
а.о.
в
получившихся
фрагментах
дало
следующие
результаты:
1-е расщепление
2-е расщепление
3-е расщепление
Arg-Lys-Leu-Trp-Lys
Ile-Arg-Ile
Leu-Trp
Phe-Cys-Leu-Gly
Val-Asp-Asn
Lys-Val-Asp-Asn-Ile
Val-Asp-Asn
Phe-Cys-Leu
Lys-Tyr-Leu-Phe-Cys
Lys-Tyr-Leu
Leu-Trp-Lys
Arg-Ile-Pro-Cys-Asn
Ile-Arg-Ile-Pro
Lys-Tyr-Leu
Leu-Gly-Arg-Lys
Cys-Asn
Pro-Cys-Asn
Gly-Arg-Lys
Выпишите последовательность а.о. в полипептиде.
Комментарии:
определения: белок (больше 30 а.о.), полипептид (если короче /но больше 10 а.о., иначе дипептид,
трипептид и т.д.)
по сути, решается экспериментальная проблема: как анализировать сложную молекулу, которая в
пространстве образует структуру с внутренними связями, недоступными для
сложная задача, но она решена
подход: можно разрезать на короткие фрагменты разными способами, а затем сравнить получаемые наборы
Ответ: Lys-Tyr-Leu-Phe-Cys-Leu-Gly-Arg-Lys-Leu-Trp-Lys-Val-Asp-Asn-Ile-Arg-Ile-Pro-Cys-Asn.
Белок, состоящий из 125 аминокислотных остатков, содержит аланин
(13.41 вес.%), валин (24.92 вес.%), глицин (13.32 вес.%), пролин (6.10
вес.%), серин (14.07 вес.%), лейцин (21.49 вес.%) и неизвестную
аминокислоту. Известно также, что N-концевым а.о. является аланин, а Сконцевым - лейцин, и что содержание пролина в белке - 7 молей/моль.
Определите неизвестную кислоту. В каких случаях данных, приведенных в
задаче, недостаточно, чтобы дать однозначный ответ?
Решение:
Мбелка = 7*(Мпролина - Мводы)*100%/6.10% = 700*(115.14-18)/6.1 ≈ 11147 Да.
Находим число остатков для известных аминокислот:
nала = (13.41*Mбелка/100 -1)/(89.09-18) = 21;
nвал = 24.92*Mбелка/(117.16-18) = 28;
nгли = 13.32*Mбелка/(75.07-18) = 26;
nпро = 6.1*Mбелка/(115.14-18) = 7;
nсер = 14.07*Mбелка/(105.09-18) = 18;
nлей = (21.49*Mбелка/100 -17)/(131.18-18) = 21.
На долю неизвестной аминокислоты приходится 100% - 13.41% - 24.92%- 13.32% - 6.10% - 14.07% - 21.49% = 6.69%, что составляет ≈ 745.75
Да, и белок содержит 125 - 21 - 28 - 26 - 7 - 18 - 21 = 4 остатка
неизвестной аминокислоты. Следовательно, ее мол. масса составляет:
745.75/4 + 18 ≈ 204.44 Да.
Ответ: неизвестная аминокислота - триптофан.
В молекуле нерегулярного полимера возникают связи между остатками мономеров (т.е.
элементами первичной структуры) и при этом могут возникать периодические структуры как
повторение комбинации связей (одной или нескольких). Локально могут реализоваться
разные варианты периодичности, в том числе апериодичность, любой наблюдаемый
конкретный вариант называют вторичной структурой биополимера.
Для белков есть несколько характерных вариантов периодической организации
(возникающих из-за взаимного притяжения стандартных частей аминокислот). Их основные
типы (с соответствующими количественными характеристиками) приведены в справочных
данных. Наиболее часто встречающиеся варианты периодической организации – это
спиральные (например, α-спираль или коллагеновая спираль) и так называемые βструктуры (параллельный и антипараллельный β -слои).
При этом расстояния между остатками указаны в проекции на линейную ось, это
позволяет сравнивать различные варианты вторичной структуры в проекции (не анализируя
геометрию молекулы подробно) и говорить о более или менее вытянутой структуре молекул.
Такой способ описания вторичной структуры (с использованием проекций на
линейную ось как количественных характеристик) в простейшем случае, когда вся белковая
молекула – это периодическая структура единственного типа, иллюстрирует задача I.9. о
растягивании волоса.
До какой максимальной длины можно растянуть 10-сантиметровый волос после
его нагревания и обработки восстанавливающим агентом, разрывающим
дисульфидные связи?
Решение (структура волоса и связанное с этим описание – с. 61, 45):
Интерпретация (для начального и конечного состояния) – единственно
возможная по имеющимся справочным данным
Число а.о.: 107нм/0.15 нм ≈ 6.67 108.
L = 6.67 108 0.347 нм ≈ 2.31 108 нм.
Ответ: 23 см.
Развитие: обсудить применимость сделанной оценки
Cлучайные блуждания и диффузия в связи со структурой
Среди вариабельных частей аминокислот данного белка есть гидрофильные и
гидрофобные.
Гидрофобные в воде слипаются друг с другом, вынуждая всю молекулу собираться в
компактный комок (или глобулу, от английского слова globular - шарообразный), состоящий
из нескольких соединенных между собой участков вторичной структуры. Противоположный
вариант – вытянутая молекула (фибрилла).
Это третичная структура белка (обычно она дополнительно укрепляется за счет
образования химических связей между остатками аминокислоты цистеина, при этом
получаются «мостики» из соединенных атомов серы).
Иными словами, третичная структура – это пространственная структура биополимера в целом (как
отдельной молекулы).
Наконец, иногда образуется сложная глобула, состоящая из нескольких слипшихся
между собой глобул и/или фибрилл. Это четвертичная структура белка.
В общем случае можно говорить о третичной и четвертичной структуре нерегулярного
полимера.
Пространственную структуру биополимеров можно анализировать в пределе
отсутствия слабых связей, рассматривая ее как аналог траектории частицы при случайном
блуждании – диффузии. Похожее представление применимо и шире для более сложной
структуры, когда более крупные фрагменты – это элементы вторичной структуры. Тогда
аналогия в связи со случайными блужданиями возникает применительно к более крупным
частям молекулы.
Рассмотрим случайные блуждания (как диффузию), начиная с одномерного случая
(xτ – линейная координата в момент времени t)
0
xt
xt+τ
В момент времени t +τ (учитывая независимость перемещения за данный интервал времени
от перемещения за предшествующий интервал времени): xτ+t = xt + xτ
После возведения в квадрат и усреднения (обозначаемого угловыми скобками): <xτ+t2>= <xt2>
+ 2<xt xτ> + <xτ2> = <xt2> + <xτ2>
Для функции xt≡f(t) получаем функциональное уравнение f(t +τ) = f(t) + f(τ), из которого
следует, что f(t +τ) =const (t +τ). Следовательно, <xτ2> пропорционально t, т.е. f(t) = at, где a –
некоторая константа.
В 3-х мерном случае <r2> = <x2> + <y2> + <z2> = 3<x2>, т.к. в силу симметрии <x2> =
<y2> = <z2>. Следовательно, в выражении для <r2> коэффициент пропорциональности при t
линейно зависит от размерности пространства d: <r2> = a d t.
Диффузия. Коэффициент диффузии
Случайные блуждания отдельных частиц можно рассматривать и с другой точки
зрения, как результирующий эффект при перемещении большого числа частиц. В этом случае
возникает понятие коэффициента диффузии. В соответствии с молекулярно-кинетической
теорией, коэффициент диффузии – это коэффициент пропорциональности между потоком
частиц на единицу площади (j) и градиентом концентрации (dn/dx) в одномерном случае j = D
dn/dx.
Тогда выражение для потока частиц J в единицу времени через заданную границу в
одном направлении дает отношение числа частиц в объеме Sλ (λ = vdt) к времени dt.
Интерпретация: при случайных блужданиях все частицы случайным образом распределяются
по 6 направлениям (в трехмерном случае), пролетая до следующего возможного изменения
скорости расстояние λ (по определению длины свободного пробега) с характерной скоростью
v (mv2/2 = 3/2 kT, для уточнения оценок нужно учесть распределение молекул по скоростям,
такое уточнение дано в учебниках физики).
Поток на единицу площади j = J/S = n S vdt/Sdt = nv, где n – концентрация частиц в
единице объема. Используя аналогичное выражение для обратного потока, получим
результирующий поток j = Δn v, где Δn – изменение концентрации на расстоянии λ. Выделяя
градиент концентрации как dn/dx = Δn/λ, получим выражение, связывающее поток с
градиентом концентрации и определение коэффициента диффузии D = λ v (с точностью до
множителя порядка единицы, более точное выражение D = λ v/3).
При случайных блужданиях молекул квадрат проходимого расстояния
пропорционален времени, т.е. <x2> = at.
Определим коэффициент а, рассматривая время, за которое сделан один шаг (т.е.
пройдена длина свободного пробега λ. Тогда <x2> = λ2. С другой стороны та же величина
<x2> = at = aλ/v. Отсюда (при одномерном блуждании) a = λv = D, т.е. квадрат пройденного
R2 = d D t (с точностью до
расстояния дает величина R2 = Dt. При размерности d:
множителя поря
дка единицы, более точное выражение для R: R2 = 2 d D t, т.е. R = (2 d D t)1/2, Сивухин, т.2,
с.213)
В этой же связи можно представить пройденное при случайных блужданиях
расстояние R в зависимости от числа шагов N: R = l (N)1/2, l – длина одного шага. Это же и
формула для ошибки при случайных измерениях, если вместо R, N и l подставить
соответственно результирующую ошибку, число измерений и ошибку при одном измерении.
более точные выражение при блужданиях в пространствах с различной геометрией (мембраны, сечения и т.д.)
Пример. Шкала расстояний и времени при случайном блуждании частиц на
примере диффузии из радиального сосуда (П) кровеносного капилляра
радиуса 8 мкм
Расстояние от исходной точки, на котором будет находиться молекула
через 10–8,
сахарозы (коэффициент диффузии для нее D = 4,6 10–6 см2 с–1)
–6
–4
–2
0
2
4
10 , 10 , 10 , 10 , 10 , 10 с (это случай двумерных блужданий, поэтому
для 100 с расстояние 4,3 10–3 см и т.д.).
Ограничения на размер макромолекул
В простейшем случае для количественного описания пространственной структуры
макромолекулы полимера можно принять аналогию с траекторией точечной частицы, считая
одинаковыми сегменты (звенья), которые способны относительно независимо располагаться
в пространстве (отличие структуры полимера в том, что сегменты не могут пересекаться, а
траектория может).
Задача: учесть это различие
Тогда длина сегмента молекулы, способного относительно независимо изменять свое
положение в пространстве (так называемая длина статистического сегмента) формально
отвечает длине свободного пробега при случайных блужданиях, а вся длина макромолекулы
(так называемая контурная длина молекулы) отвечает траектории точечной частицы в течение
времени, за которое частица проходит расстояние, равное этой длине.
Соответственно по аналогии с диффузией радиус будет пропорционален длине шага и
корню квадратному из числа сегментов. Это представление называют моделью свободно
сочлененной цепи.
Модель свободно сочлененной цепи естественно использовать при большом числе
одинаковых сегментов.
Реально многие молекулы биополимеров (в частности, белков и ДНК) действительно
образуют неупорядоченный (статистический) клубок при соответствующих условиях
(например, белки при денатурации). В этом случае линейный размер «клубка» оказывается
намного меньше, чем длина молекулы, если ее «вытянуть» в линейную цепочку.
Для радиуса R статистического клубка (из свободно сочлененной цепи) используют
формулу (Макеев, стр. 43):
R = (L l/6)1/2,
где L – контурная длина молекулы, а l – длина статистического сегмента.
Предложенный подход применим к любым полимерам, не только белкам. В таком
представлении возможна, например, оценка размера молекулы ДНК
Задача об оценке размера ДНК человека и кишечной палочки (обоснование
необходимости многоуровневой укладки).
Представьте, что молекула ДНК человека (6 109 п.н.) и кишечной палочки E.
coli (4.2 106 п.н.) представляют собой статистические клубки. Рассчитайте
характерный размер таких клубков и сравните его с объемом компартмента, в
который упакованы эти молекулы (для человека – это ядро радиусом 6 мкм,
для кишечной палочки – это сама клетка, ее радиус около 0.5 мкм). Длина
статистического сегмента (фрагмент длины, вращение которого можно считать
независимым от других фрагментов) двухцепочечной молекулы ДНК составляет
l = 100 нм.
Решение. R = (L l/6)1/2 = 180 мкм для человека и около 6 мкм для кишечной
палочки.
L – контурная длина молекулы ДНК, определяемая как произведение L = N
*0,34 нм, где N – число пар нуклеотидов, 0,34 нм – длина, приходящаяся на
один нуклеотид (см. справочные данные).
Тот же подход можно применить и к движению бактерий, рассматривая его в
простейшем представлении как случайное (это дает важный ориентир).
*Тема для самостоятельного расчета: представление случайных блужданий при потере
ориентации бактерии из-за случайных соударений с молекулами среды
Указание: рассмотреть случайное блуждание угла (т.е. направления движения) при
соударениях с частицами среды (обсудить: распределение частиц по энергиям и эффект
соударения с крупными частицами).
Ограничения на перемещения молекул
Ограничение перемещения молекул в связи с диффузией можно рассматривать и
независимо. Важность ограничений такого рода иллюстрирует задача об обосновании
необходимости сложной архитектуры фотосинтезирующего листа (как результат негативной
оценки скорости одномерной диффузии).
Известно, что характерная наблюдаемая скорость CO2-газообмена листьев
составляет A = 20 мкмоль CO2 м–2с–1 при концентрации CO2 в воздухе 300
мкл/л = 0,03% (концентрация в воде в этом случае составляет c0 = 20 мкМ
при нейтральном pH, т.е. pH около 7). Максимальная производительность
фермента РДФК (рибулезодифосфаткарбоксилазы), обеспечивающего включение
молекулы CO2 в цепь биохимических превращений при фотосинтезе составляет
k = 20 с–1, а его молекулярная масса 550 кДа. При какой толщине листа
может быть достигнута наблюдаемая скорость фотосинтеза, если принять, что
фотосинтез, начиная с поступления CO2 в лист, осуществляется в сплошной
(водной) среде фотосинтезирующих клеток? Сравнить полученное значение с
характерным размером растительной клетки (30–40 мкм) и толщиной листа.
Попытайтесь объяснить полученный результат. Коэффициент диффузии для CO2
в воде D = 1.46 10–6 см2 с–1 (в воздухе – 0.2 см2 с–1).
Решение. Диффузионный поток CO2 в лист J = S D dc/dx ~ S D (c0-c)/l
через
единицу
площади
S должен
обеспечить
наблюдаемую
скорость
фотосинтеза, а РДФК должна обеспечивать переработку поступающего CO2.
Отсюда A S = J = D S (c0-c)/l = k E0 S l, где c – концентрация CO2 в
местах карбоксилирования, l – толщина листа, E0 – концентрация РДФК. Для
оценки примем Δc = c0-c = c0/2 = 10-5 М.
Оценку E0 можно получить, исходя из того, что 80% объема (и массы)
листа составляет вода. Это означает, что на все другие вещества
приходится не более 1/5 объема (и массы), т.е. 200 г/л. Удобно принять
(учитывая конкретное значение молекулярной массы), что концентрация РДФК
как важнейшего, но не единственного вещества в фотосинтезирующей клетке,
составляет 55 г/л. Отсюда E0 = 55 г/л /(550 000 г/моль) = 10–4 М.
Подставляя эти значения в исходные уравнения, получим, что
наблюдаемую скорость фотосинтеза достичь невозможно, если диффузия
происходит в сплошном объеме водной фазы. С одной стороны, из уравнения j
= J/S = D Δc/l = A следует, что толщина сплошной водной фазы (через
которую идет диффузионный поток) не может быть больше, чем l = D Δc/A =
0,75 мкм. Для сравнения растительная клетка во всех измерениях имеет
длину не менее 10 мкм (характерным считают значение 30–40 мкм).
С другой стороны, для достижения наблюдаемой скорости фотосинтеза
толщина листа l не может быть меньше, чем A /k E = 40 мкм.
Преодоление диффузионных ограничений обеспечивают: транспорт в
газовой фазе (где коэффициент диффузии на 5 порядков больше, чем в воде),
увеличение площади поверхности клеток, граничащих с газовой фазой, по
сравнению с площадью листа в 10–30 раз (отсюда сложная внутренняя
архитектура листа); расположение хлоропластов вблизи поверхности раздела
с газовой фазой.
Подумайте, для решения каких задач транспорта в клетке (с точки зрения
преодоления
диффузионных
ограничений)
необходимо
реально
существующее
принудительное перемешивание цитоплазмы – циклоз.
Развитие темы диффузионных ограничений возникает в связи с сопряжением
диффузионных потоков. Например, при фотосинтезе поток СО2 в лист связан с разницей
концентраций СО2 в воздухе и межклеточном пространстве листа линейным соотношением
A = (ca – ci)/r,
(1)
где A –– скорость ассимиляции СО2, ca и ci –– концентрации СО2 соответственно в воздухе
(индекс «а» от «air») и в межклеточном пространстве листа (индекс «i» от «intercellular»), а
величина r (по аналогии с законом Ома) имеет смысл сопротивления транспорту СО2, а
обратная ему величина g = 1/r –– это проводимость в газовой фазе.
Аналогичное соотношение
E = (wi – wa)/r',
(2)
связывает скорость транспирации E (испарения воды, evaporation) с разницей концентраций
паров воды (w) в воздухе и межклеточном пространстве (индексация та же, знак разности
учитывает, что транспирационный поток направлен из листа в воздух, т.е. то, что, wi > wa) с
тем отличием, что сопротивление для воды в 1.6 раза меньше, чем для СО2, т.е. r = 1.6 r'.
Коэффициент 1,6 учитывает все факторы, прежде всего, различие в молекулярной массе. В
силу различия масс различается скорость, с которой молекулы идут по заданному пути. При
одинаковой температуре скорость обратно пропорциональна корню квадратному из
молекулярной массы, т.е. для молекул H2O и CO2 отношение скоростей – это 1,56. Но есть и
другие факторы: различие эффективного сечения молекул, вынос CO2 с транспирационным
током (т.е. транспорт молекул не является чисто диффузионным.) и др.
Обычно считают, что wi –– это насыщающая концентрация паров воды при
соответствующей температуре, тогда Δw = wi – wa –– это дефицит давления паров воды в
воздухе.
Сравнение потоков молекул H2O и СО2 по абсолютной величине дает отношение
E(ci)/A(ci)
E/A =1,6Δw/(ca – ci).
(3)
При обычных условиях газообмена значение ca не превосходит 0,035%, т.е. 350 мкл/л
(разность ca – ci еще меньше, т.к. ci всегда порядка ca, в некоторых случаях даже близка к ca),
а Δw имеет порядок 10 мл/л. Учитывая такое соотношение числителя и знаменателя в правой
части (3), потери воды измеряются в сотнях молекул в расчете на одну ассимилированную
молекулу СО2.
Приложение: схема включения CO2 при C3- и C4-фотосинтезе
C3-фотосинтез: РДФ + CO2 → 2 ФГК, где РДФ и ФГК – это соответственно
рибулезо-1,5-дисфосфат: [CH2OPO(OH)2]–[C=O]–[HCOH] –[HCOH]– [CH2OPO(OH)2] (C5)
3-фосфоглицериновая кислота [COOH]– [HCOH] – [CH2OPO(OH)2]
(C3-соединение)
C4-фотосинтез: высвобождению CO2 в хлоропластах клеток обкладки сосудистого пучка предшествуют
фиксация CO2 в форме C4-соединения (ФЕП + CO2→ оксалоацетат→ аспартат/малат), транспорт из клетки
мезофилла в клетку обкладки и декарбоксилирование [Холл, Рао «Фотосинтез» или подробнее Дж. Эдвардс,
Д.Уокер «Фотосинтез C3- и C4-растений: механизмы и регуляция», <М., Мир, 1986> с. 313], или статьи
где
оксалоацетат =,
малат =,
аспартат,
Такой механизм позволяет значительно (на порядок и более) увеличить концентрацию CO2 в местах
карбоксилирования и за счет этого насытить ключевой фермент фотосинтеза РДФК (см. выше), одновременно
уменьшая неизбежно сопровождающие фотосинтез затраты воды (схема сопротивлений и аналог закона Ома
для поступления CO2 в лист и транспирации)
Аналогичное описание сопряжения потоков воды и СО2, к которым присоединяется
также и поток кислорода при дыхании, можно использовать применительно к
эмбриональному развитию зародыша из яйца. Общее количество потребленного кислорода
при развитии зародыша определено состоянием, которое должно быть достигнуто к моменту
вылупления. Это позволяет вычислить массу потерянной яйцом воды и выделенного СО2
(часть 2). В частности, отсюда ясна важность поддержания определенной влажности во
время инкубации.
Глава 2
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ С БИОМОЛЕКУЛАМИ
(ПОНЯТИЕ О МОЛЕКУЛЯРНОМ КОНСТРУКТОРЕ)
Понятие молекулярного конструктора
Удобным подходом к описанию молекулярных процессов в клетке является представление в
виде, который можно назвать молекулярным конструктором.
Макромолекулы, пространственная структура которых обсуждена выше, – это
основной инструмент для осуществления всего разнообразия клеточных процессов.
Макромолекулы и другие химические компоненты клетки удобно представлять как
большой набор универсальных элементов (деталей конструктора), комбинируемых
различным образом (в том числе путём сборки крупных многомолекулярных агрегатов) для
решения разнообразных задач.
наблюдаемое разнообразие свойств ↔ возможности молекулярного конструктора
Клеточные процессы состоят из некоторого набора элементарных функций
(операций), выполняемых различными молекулярными составляющими («деталями»
молекулярного конструктора). Рассмотрим список наиболее важных деталей и элементарных
функций:
пленка – может ограничивать и разделять,
крупная частица или агрегат – может присоединить к себе молекулы и обеспечить их
специальным образом направленное превращение
крупная частица в пленке – может переносить через границу раздела
крупная частица, если способна изменять форму (сокращаться) – может осуществлять
перенос, транспорт, создавать механическое напряжение
за счет большого числа связей – можно обеспечить достаточно/весьма прочное соединение:
если связи ковалентные, то не переместить, пока не порвутся, если много слабо, то также
прочность, но можно смещать, если выталкивание типа гидрофобного, то просто будут
держаться преимущественно вместе
можно также обеспечить протекание электромеханических и электрохимических процессов
(например, преобразование разности потенциалов или градиента концентраций в работу и
энергию АТФ)
и т.д.
Можно организовать также очень сложные функции и процессы, например, когда
комплекс закреплён на поверхности, перемещается вдоль линейной молекулы или структуры
и, в зависимости от локальных свойств этой структуры, синтезирует некоторый продукт или
выполняет некоторую другую сложную функцию, в частности, выполняет кодированное
перемещение определённых молекул (например, сборку генов иммуноглобулинов).
Список возможности молекулярного конструктора на уровне элементарных функций дает разметку
необходимых задач/оценок + можно предложить его дополнить
Наблюдаемое функционирование клетки естественным образом разделяется на следующие типы процессов
(перечисление от решаемых задач).
Список общеклеточных (интегральных) функций
С участием молекулярного конструктора возможно:
обеспечить механическую прочность (несколько способов: синтез ковалентных связей,
много слабых связей, эффект вытеснения с формированием связей типа гидрофобных);
создать механическую нагрузку (способы: осмотическое давление, молекулярное
натяжение, преимущественное перемещение);
эффективно запасать энергию (оценка: сравнение с другими способами);
ускорять химические превращения (за счет биокатализа, см. приложение);
экономно использовать энергию (малыми порциями). Для понимания наблюдаемого выбора
важна во-первых, оценка потребностей качественно (нужна направленность превращения, а для этого
необходимы энергетические затраты какого-либо рода: если нет затрат, то скорость равна нулю) и
количественно (сколько нужно). Во-вторых, нужна оценка возможностей – прежде всего, как можно
достичь требуемой направленности с минимальным усложнением биохимического механизма (т.е. с
обслуживанием сразу нескольких реакций);
обеспечить пассивный транспорт (без затрат энергии);
обеспечить активный транспорт (с затратами энергии);
кодировать информацию;
сохранять информацию;
считывать информацию;
превращать формальную информацию (некоторый
информацию (молекулярные структуры).
код)
в
функциональную
Возможная оценка: количество информации, которое можно хранить в полимерных структурах клетки
упражнение: пополнить приводимый список <возможностей молекулярного конструктора>
дальнейшее (в этом семинаре после п. 2 и следующем семинаре): как продолжение генерируемой
таблицы (свойство – указание на оценку – сама оценка – комментарии к ней)
Расширение: описание на функциональном (качественном и полуколичественном) уровне того, что
мы наблюдаем в организации клеточных процессов
здесь о языке описания процессов с участием элементов молекулярного конструктора
+ затем (после обсуждения языка) переход к этим процессам
Математическое описание функций в клетке – язык количественной химии
на основе всего двух базовых возможностей возникает широкое разнообразие комбинированных
Для количественного описания эффекта при использовании элементов молекулярного
конструктора в клетке важно, что клеточные процессы довольно однородны. В клетке все
структуры состоят из атомов или молекул, соединенных связями 3-х типов (ковалентная,
водородная, гидрофобная) и происходят процессы их перестройки (химические реакции и
перестройки слабых связей).
Можно количественно оценить вероятность для гидрофобной молекулы находиться соответственно в
гидрофобном и гидрофильном окружении – как энергетический эффект в показателе экспоненты (вероятность
пропорциональна exp(-Ei/RT) в трактовке Максвелла или Гиббса) для случая различия энергетической
конфигурации соответственно при образованных и необразованных связях. Длинный липидный хвост означает,
что не будут образованы водородные связи с характерной энергией 10-20 кДж по числу несколько штук на
каждую углеводородную (ОУФ) группу хвоста.
Задача: какой толщины иголка может лежать на воде?
За счет образования перечисленных типов связей можно построить объекты, которые есть в клетке:
пленки и частицы разного размера и формы (в частности, нити). Эти частицы и пленки разного размера и формы
(комбинируемые разным образом) могут реализовывать перечисленные выше функции и свойства – ускорять
химические превращения, создавать временные конструкции за счет большого числа слабых связей, разделять
реакционные зоны, обеспечивать определенные механические свойства, генерировать и поддерживать разность
потенциалов и т.д.
Таким образом, на уровне конечного эффекта получается большое разнообразие, несмотря на то, что
набор возможностей на первый взгляд кажется однообразным (фактически элементарных возможностей всего
две – химические превращения и образование слабых связей).
Более того, Схема всех клеточных процессов в первом приближении одинакова. К
некоему комплексу присоединяется слабыми связями последовательно одна, несколько либо
много частиц. Получившийся комплекс преобразуется в некое число стадий, затем
отсоединяются те же (например, если имел место транспорт) или какие-то новые частицы.
Основная характеристика любой связи – энергия ее разрыва, а характеристики любого
процесса – скорость в прямом и обратном направлениях и константа равновесия. Поэтому
любые клеточные процессы могут быть описаны на языке количественной химии, причем их
сходство с этой точки зрения (схем превращений, значений энергии активации и т.д. - см.
ниже)
позволяет анализировать достаточно сложные процессы как с точки зрения
достигаемых состояний равновесия, так и в кинетике.
Химическая кинетика - удобный язык количественного описания молекулярных
процессов в клетке
Все разнообразие процессов в клетке можно описать на языке химической кинетики.
Он основан на статистическом характере большого числа столкновений и химических
взаимодействий частиц, которые сводятся к закону действующих масс. При этом
выполняются законы сохранения в виде стехиометрических уравнений.
Всем известный пример стехиометрического уравнения – уравнение дыхания (в
варианте, когда в качестве субстрата используется глюкоза), это уравнение обратно
уравнению фотосинтеза:
С6Н12О6 + 6О2 = 6СО2 + 6Н2О
Скорость превращений определяется энергией разрываемых связей в реагентах и
образующихся связей в продуктах, требуемой ориентацией взаимодействующих молекул,
свойствами среды и т.д.
Приложение: задача о разрыве всех связей в 1 л воды (с. 9–11 из книги Макеева)
«Водородные связи намного слабее ковалентных. Энергия водородных связей в жидкой
воде (т.е. энергия, необходимая для разрушения одной связи) составляет примерно 18.8
кДж/моль, тогда как энергия ковалентных связей Н-О в молекулах воды равна 460
кДж/моль. Молекулы в жидкой воде находятся в непрерывном тепловом движении, поэтому
образующиеся водородные связи постоянно и быстро разрываются и вновь
восстанавливаются. Среднее время жизни водородной связи при комнатной температуре не
превышает 1.5 10–9 с. Каждая молекула воды в принципе может образовывать водородные
связи максимально с четырьмя соседними молекулами, однако при комнатной температуре в
любой данный момент каждая молекула воды образует водородные связи в среднем с 3.4
других молекул.
Задача 3. Рассчитайте, какое количество энергии необходимо для одновременного
разрыва всех водородных связей в 1 л воды, находящемся при 25оС.»
Решение. 18.8 кДж/моль (1000/18) 3,4/2 = 1700 кДж/л или 32 кДж/моль (учтено, что
одна связь соединяет две молекулы, масса 1 л воды 1000 г, молекулярная масса воды 18 г).
Для сравнения: теплота испарения для воды 10 ккал/моль = 42 кДж/моль, т.е. на 10
кДж/моль больше, причем 10 кДж/моль – это теплота испарения для многих неполярных
жидкостей (т.е. жидкостей, в которых не образуются связи типа водородных); теплота
плавления для воды 1,44 ккал/моль = 6 кДж/моль.
Основную роль для биологических процессов играют элементарные превращения
первого порядка (это так даже для реакций с результирующим превращением нескольких или
даже очень многих частиц – см. ниже). Для превращений первого порядка выражение для
скорости имеет вид:
v = k [A],
где v - скорость реакции, [A] – концентрация превращаемого вещества, k - константа
скорости реакции.
В общем случае, когда превращается несколько веществ v = П(реагенты) = k Пcij
где Пcij - произведение концентраций реагентов (ci, i – все реагенты) в степенях, равных
числу молекул этого реагента, которые участвуют в элементарном акте физико-химического
превращения
Константа скорости в этом выражении имеет вид
k = A exp (-EA/RT),
где R – универсальная газовая постоянная, а T – абсолютная температура.
Видно, что выражение для константы скорости включает предэкспоненциальный
множитель A («предэкспонент») и экспоненциальный множитель, который определяют
температура и энергия активации EA.
Предэкспонент (по сути частота взаимодействия частиц, а это взаимодействие –
источник энергии для преодоления активационного барьера) для превращения первого
порядка имеет характерное значение 1013 с–1. Это значение объясняется из элементарных
молекулярно-кинетических соображений, учитывая характерное значение v скорости частиц
порядка 100 м/с, расстояние l порядка 10-10 м и число соседних частиц n (потенциально любая
из них может передать энергию рассматриваемой частице или комплексу частиц) около 10: А
= n v/l. В курсе физической химии это же значение обычно объясняют из
квантовомеханических соображений (как kBT/h, где kB – постоянная Больцмана, h –
постоянная Планка). Формально если EA=0, то константа скорости равна значению
предэкспонента, это и есть теоретический предел скорости химической реакции. Если же EA
заметно больше RT (а это всего около 2,5 кДж/моль), то скорость реакции существенно
меньше предельного значения (2,5ln 10= 5,7 кДж/моль соответствует одному порядку). При
энергии активации 100 кДж/моль характерное время реакции (а формально 1/k – это время, за
которое концентрация реагента уменьшается в е раз) уже измеряется часами, поэтому при
большей энергии активации реакция практически не происходит (её протекание трудно
обнаружить при обычной практике лабораторных измерений).
Энергия активации EA зависит от энергии, требующейся для разрыва связей в
молекуле превращаемого вещества. В простейшем случае, когда требуется разрыв одной
связи, EA равна энергии этой связи. Интересно, что в других случаях, когда формально
необходимо разорвать две или несколько связей, энергия активации оказывается даже
меньше, чем для разрыва одной из этих связей.
Если бы связи необходимо было полностью разрывать, мы практически не могли бы
наблюдать множество реально происходящих превращений
По сути, происходит не разрыв, а перестройка связей. Если разрыв – это разведение
частиц на достаточно большое (формально – на бесконечное) расстояние, то при химических
превращениях обычно вместо этого происходит одновременное образование новых связей.
Это означает относительно небольшое увеличение межатомного расстояния (с более низким
активационным порогом). В результате можно наблюдать самопроизвольные химические
превращения органических веществ (т.е. они имеют энергию активации не более 100
кДж/моль). При этом энергия разрыва одной ковалентной связи C-C около 300 кДж/моль (а,
например, для двойной связи C=C – 600 кДж/моль, тройной связи - 825 кДж/моль, связи C-O 365 кДж/моль, C-H – 410 кДж/моль, C=O - 730 кДж/моль, O-O - 160 кДж/моль).
При каталитическом механизме собственно химическое превращение идет как
реакция 1-го порядка и тогда EA, как правило, понижается (ниже объясняется, как при
каталитическом механизме может возрастать скорость реакции даже без понижения
активационного барьера). Для большинства ферментативных превращений характерные
значения EA 40-60 кДж/моль.
иначе их практически невозможно наблюдать; специальное усиление типа цепной реакции не помогает, т.к.
коэффициент усиления не превосходит 5–6 порядков, как правило, значительно меньше, а это в терминах
энергии активации величина порядка 10 кДж/моль)
Для самостоятельного ознакомления (вариант: на контрольной работе) – кинетика 1-го порядка
для описания биологических процессов (от радиоактивного распада до вечеринки с коктейлями)
(Макеев А.В. «Основы биологии» с. 7–9): «Каждый из химических элементов имеет несколько изотопов.
Они обладают почти одинаковыми химическими свойствами, однако молекулы, содержащие легкие изотопы,
подвижнее, чем молекулы, содержащие тяжелые изотопы, и химические связи, образуемые тяжелыми
изотопами, прочнее, чем такие же связи, образуемые легкими изотопами. Поэтому молекулы, содержащие
легкий изотоп, легче вступают в химические реакции и такие процессы, как диффузия, абсорбция, испарение и
т.д. В результате углерод живых организмов оказывается обогащенным изотопом 12С по отношению к
исходному для всего живого углероду атмосферного СО2, потому что в процессе фотосинтеза растения
предпочтительно поглощают 12СО2, а органический кислород оказывается обогащен изотопом 18О сильнее, чем
вода и кислород атмосферы, но меньше, чем атмосферный углекислый газ. Это явление называется
БИОЛОГИЧЕСКИМ ФРАКЦИОНИРОВАНИЕМ ИЗОТОПОВ.
В состав живых организмов входят и некоторые радиоактивные изотопы, и это используется для
определения геологического возраста ископаемых остатков. Природный углерод содержит примерно 99% 12C и
1% 13C. Кроме того, при воздействии космических лучей на атмосферный азот образуется радиоактивный
углерод 14С. Этот 14С окисляется до 14СО2 и усваивается растениями, а затем попадает и в ткани животных.
Поскольку период полураспада 14С Т = 5 668 лет, то между образованием и распадом 14С устанавливается
стационарное равновесие, так что относительная концентрация 14С в живых организмах равна 10-12 г 14С на 1 г
12
С. После смерти организма обмен между ним и атмосферой прекращается, и доля 14С, содержащегося в его
тканях, начинает уменьшаться вследствие радиоактивного распада. Этот распад происходит как процесс
первого порядка по экспоненциальному закону:
A = Ao exp(–t ln2/T) = Ao 2–t/T,
14
где Ao - доля С в современных живых организмах, A - доля 14С в ископаемых остатках, t - возраст найденных
ископаемых остатков. В предположении, что скорость образования 14С в атмосфере была постоянна в истории
Земли, измерив A, можно рассчитать t.
Проверка этого предположения была проведена сравнением возраста образцов древесины мамонтового
дерева (Sequoia gigantea), определенного по содержанию радиоактивного углерода, с возрастом, подсчитанным
по числу его годичных колец. Такая проверка, так же, как и проверки с использованием других
углеродсодержащих материалов, например, древесины из захоронений периода Первой династии египетских
фараонов, датированных историческими методами, дали удовлетворительные результаты. Однако
радиоуглеродный метод датирования не применим для образцов с возрастом менее 2000 лет, поскольку для них
велика ошибка, связанная с сжиганием угля и нефти, в которых почти нет 14С и которые разбавляют
современный атмосферный 14С, а в последнее время - с увеличением образования 14С в результате ядерных
взрывов.
Другое ограничение радиоуглеродного метода датирования связано с ошибками в измерении очень
малых количеств 14С, оставшегося в образцах, возраст которых превышает 20 000 лет. Поэтому в таких случаях
для определения геологического возраста используют более медленно распадающиеся радиоактивные изотопы,
например, 40К, распадающийся до 40Ar c периодом полураспада Т = 1.37109 лет и представляющий собой
"остатки" того 40К, который присутствовал при образовании Земли.
Задача 1. Свежесрубленная древесина содержит изотоп 14С, распадающийся со
скоростью 15.3 атома в минуту в расчете на 1 г углерода (это соответствует числу
b-частиц, испускаемых изотопом 14С за 1 минуту, измеренному счетчиком Гейгера).
Установлено, что древесина деревьев, засыпанных пеплом при извержении вулкана
Мазама на юге штата Орегон (США), дает 6.90 b-распадов атомов 14С в минуту в
расчете на 1 г углерода. Когда примерно произошло извержение вулкана?
Задача 2. Найденные в Восточной Африке скелеты синантропа были извлечены из
вулканического пепла, содержащего минералы калия. Методом масс-спектроскопии
удалось определить, что 40Ar в пепле составляет 0.078% от общего количества
присутствующего 40К. В данном случае 40Ar образовался в результате b-распада 40К,
содержавшегося в
пепле,
выпавшем при извержении вулкана,
а ранее
образовавшийся 40Ar выделился из лавы в процессе извержения. Какой возраст имеют
обнаруженные скелеты?»
II.2.
Истинный возраст биологического образца составляет 80 тыс. лет. Первую половину
этого времени образец находился при температуре 34оС, а вторую - при 24оС.
Экспериментатор этого не знает и, предполагая, что образец все время находился
при 24оС, определяет его возраст по скорости рацемизации L-изолейцина. Константа
рацемизации k увеличивается вдвое при повышении температуры на 10 градусов.
Рассчитайте
кажущийся
возраст
образца,
который
будет
установлен
экспериментатором.
Решение:
Скорость рацемизации пропорциональна k. Поскольку первые 40 тыс. лет процесс
рацемизации шел вдвое быстрее,
то экспериментатор оценит первый период как
вдвое более долгий, чем на самом деле.
Ответ: 80 тыс. лет + 40 тыс. лет = 120 тыс. лет.
II.16. Вечеринка с коктейлями
На протяжении 3-х часовой вечеринки мужчина выпил через равные промежутки
времени 10 коктейлей, каждый из которых в объеме 150 мл содержал 10 г этанола.
Всасывание этанола в кровь происходит пропорционально его концентрации в
кишечно-желудочном тракте [A] c константой скорости k = 10 ч-1. Выведение этанола
из организма происходит путем ферментативного окисления до ацетальдегида (и в
конце концов до уксусной кислоты в печени) с постоянной скоростью 0.192 г/(л ч).
Какая
концентрация
алкоголя в крови будет достигнута при таком режиме
потребления коктейлей к концу вечеринки, если после всасывания этанола в кровь
он распределяется равномерно во внутренних жидкостях тела, объем которых 40 л
(кровь составляет только 5 л)? Каковы будут его качественные физиологические и
психические реакции, если при содержании этанола в крови 0.5 - 1.0 г/л
наблюдается чувство эйфории, при 1.0 - 1.5 г/л - расстройство координации
движений от слабого до среднего, при 1.5 - 2.0 г/л - полное отсутствие
координации движений и невнятность речи, при 2.0 - 2.5 г/л потеря памяти и при >
2.5 г/л - индуцированный сон или потеря сознания.
Решение:
Промежуток времени между коктейлями: Т = 3 60/9 = 20 мин.
[A] = [A]o(1 - exp(-kT)) = [A]o(1 - exp(-20/6)) ⇒ за 18 мин всасывается 96%
этанола, поэтому можно считать, что перед принятием каждого следующего коктейля,
предыдущий полностью всасывается. Поэтому к моменту окончания вечеринки в кровь
уже поступило ~ 9 10 г = 90 г этанола и еще 10 г находятся в желудке,
а
вывелось из организма только 0.192 3 = 0.576 г/л. Следовательно, концентрация
этанола в крови в этот момент составляет 90/40 - 0.576 ~ 1.67 г/л. Еще через
0.5 ч, когда всосется последний коктейль, концентрация этанола в крови будет
1.67 + 10/40 - 0.192 0.5 = 1.82 г/л.
диффузия – связь константы диффузии и коэффициента диффузии
По тем же причинам (происходит не разрыв, а перестройка связей) для процессов с
перестройкой слабых связей характерные значения EA около 20 кДж/моль.
В том числе это относится к диффузии. Диффузия – это перемещение частиц из одного
окружения в другое (в частности, если в некоторой области много частиц одного типа, то,
случайно перемещаясь, они будут рассеиваться, тогда их концентрация в этой области будет
уменьшаться). Перемещение частиц может приводить и к сближению молекул, при котором
они попадают в одну локальную область (такое сближение, в частности, необходимо для
химических превращений). Если взаимодействуют частицы веществ A и B, скорость их
попадания в одну локальную область (единицу объёма) пропорциональна концентрациям A и
B, т.е. диффузия – это процесс 2-го порядка и его скорость выражает зависимость вида v =
kD[A][B], где kD – константа скорости диффузии. На языке количественной химии такую
величину принято использовать для описания скорости диффузии (наряду с коэффициентом
диффузии, используемым в молекулярно-кинетической теории).
Отметим, что сближение двух частиц
– это основной способ взаимодействия при
взаимодействии любого числа частиц/даже большего числа частиц (при большом числе частиц
взаимодействие реализуется как последовательное), т.к. сближение трех и более частиц имеет
слишком малую вероятность/гораздо менее вероятны.
Если с точки зрения молекулярно-кинетической теории вычислить значение kD , то
получается величина порядка 1010 М–1с–1. Более точно (расчет по формуле Перрена в
молекулярно кинетической теории) kD = 6 109 М–1с–1 для вязкости 1сПуаз = 10–2СГС (как у
воды, по отношению к которой определена единица измерения вязкости в системе СГС, 1
Пуазейль = ) и Т = 300К .
Перемещение частицы можно представить и как набор элементарных актов перехода
частицы из одного локального окружения в другое. Формально изменение окружения в
каждом акте – это разрыв одних и образование других слабых связей, требующий
преодоления активационного барьера (в дальнейшем для EA процессов диффузии будет
использовано обозначение ED). Энергия активации диффузионных процессов в воде и
полярных растворителях (спирт, ацетон и др.) 8–12 кДж/моль. Это в несколько раз меньше,
чем суммарная энергия связей одной молекулы (например, на одну молекулу воды в среднем
приходится 3,4 водородных связей с соседними молекулами с энергией 18,8 кДж/моль – см.
пример выше), поскольку происходит не разрыв, а перестройка связей.
Можно получить оценку kD (как альтернативу молекулярно-кинетическому расчету),
рассматривая каждый этап перемещения молекулы, сопровождаемый разрывом ее связей с
окружением как процесс 1-го порядка с точки зрения количественной химии с характерным
значением предэкспонента 1013 с–1 и указанным значением энергией активации ED.
Такую оценку можно предложить сделать как самостоятельное упражнение.
Указание: удобно рассматривать при этом равновесие собственно диффузионного перехода
(как процесса 2-го порядка) и обратного ему перехода (процесса 1-го порядка).
В равновесии скорости равны, т.е. kD [A][B] = k–D [A…B], где [A…B] – состояние, в котором
частицы оказались в общем окружении (в этом случае между ними могут происходить
химические реакции), а k–D – константа скорости для процесса, обратного диффузии (распада
состояния [A…B])
Для обратного процесса энергия активации не может отличаться от ED (т.е. k–D составляет
1011с–1), и шире: отношение kD/k–D не зависит от температуры, диэлектрической
проницаемости и других факторов (из соображений геометрического характера – в модели шариков),
подумайте, почему?
Тогда отношение kD/k–D составляет 10–1М–1, а значит, характерное значение константы
скорости диффузии (формально процесса 2-го порядка) kD = 1010 М–1с–1.
(М) Альтернатива: С учетом того же значения энергии активации нужно уменьшить на два порядка для
невязких жидкостей и получим характерное значение коэффициента диффузии (коэффициент диффузии
D = λ v/3) 10–6см2/с и его температурную зависимость (для вязких жидкостей и в твердых телах
умножить на соответствующее значение экспоненциального /активационного множителя)
Пользуясь выражением для константы скорости, обоснуйте взаимосвязь времени жизни
водородной связи и ее энергии (см. выше).
Выше процесс диффузии представлен на языке количественной химии. Это позволяет
дать однородное описание в этих терминах всех процессов в клетке
+ м/б еще что-то как перевод из терминов молекулярно-кинетической теории: равновесия газов
(выход из жидкости – как аналогичный разрыв связей, а обратно – как безактивационный переход
частиц слоя в длину свободного пробега со средней кинетической скоростью), осмос, кооперативные
процессы в мембранах – на следующий семестр
При равновесии скорости прямого (v+) и обратного (v–) процессов равны.
Равновесие (как для химических, так и для физических превращений) характеризует
константа равновесия (K) – отношение констант скоростей прямого (k+) и обратного (k–)
процессов
K = k+/k–= П(продукты)/П(реагенты)
Константа равновесия выражается через изменение термодинамического потенциала
Гиббса в результате процесса (ΔG):
K = exp(-ΔG/RT).
Если в результате некоего превращения система перешла из состояния А в состояние
Б, то полный энергетический эффект (включая как потенциальную и кинетическую энергию
отдельных частиц, так и макроскопическую работу и изменение упорядоченности – см.
«Количественная
химия»/«Функциональная
математика»
или
курсы
физхимии,
термодинамики) этого превращения равен значению ΔG = ΔGБ – ΔGА , где ΔGА и ΔGБ –
соответственно значения термодинамического потенциала для начального и конечного
состояний.
Как и все термодинамические потенциалы, потенциал Гиббса определен с точностью
до некоторых нулей отсчета, в качестве которых принимаются так называемые простые
вещества, для которых он принимается равным нулю (например, H2, O2, Fe(тв), Н+ в водном
растворе).
Для
превращений
в
биологических
процессах
удобно
использовать
термодинамический потенциал биологического сгорания ΔGб.сг. (достаточно универсальный
вариант такого представления – см. Мушкамбаров Н.Н. «Метаболизм: структурнохимический и термодинамический анализ», в 3-х т. – М.: Химия, 1988). В этом случае в
качестве нулей выступают обычные «продукты биологического сгорания» при метаболизме –
H2O, CO2, H3PO4,... В рамках этого подхода энергию органической молекулы можно
вычислить, суммируя энергии по одноуглеродным фрагментам (фрагментам, содержащим
один атом углерода – ОУФ), входящим в состав этой молекулы. Применительно к расчету
энергетического эффекта химического превращения эта процедура сводится к выделению
отличающихся фрагментов в продуктах и реагентах, и сравнению только их суммарных
энергий.
Эта энергия – термодинамический потенциал или потенциал Гиббса, который связан с другими
термодинамическим
потенциалами
–
внутренней
энергией,
свободной
энергией,
энтальпией
(теплосодержанием)
расчеты через термодинамический потенциал и обсуждение термодинамики и термохимических
расчетов (в том числе для объяснений всех основных качественных утверждений курса химии)
запасание энергии зависит от числа связей с кислородом/гидрофобность
энергетика в терминах числа связей с кислородом
Термодинамический потенциал биологического сгорания зависит от состава
молекулы. Чем больше способна окислиться молекула (т.е. чем меньше в ней
поляризованных связей С-О и Н-О), тем выше ее термодинамический потенциал в
абсолютном выражении, т.е. больше его абсолютное отрицательное значение (т.к. энергия
высвобождается).
В терминах энергетических затрат естественно обсуждать: простейшая функция молекулярного
конструктора – запасание энергии в химической форме.
Запасание энергии, энергетические валюты клетки
Энергетическая функция молекул
1. Запасание
Энергия в живой клетке при наличии кислорода обычно получается в результате
дыхания – биологического сгорания по формуле, аналогичной (1), с той разницей, что
субстрат – не только глюкоза, а любое питательное вещество.
субстрат + О2 → СО2 + вода + энергия + отходы + ...
В таблице указаны количественные параметры для основных субстратов дыхания
(ФЖ, с. 239, 474) .
питательное вещество
ккал/г
Углевод
4,2
Жир
9,4
4,3
Белок (→ мочевина)
4,25
белок (→ мочевая к-та)
⇒ пересчет 4,8 ккал = 20 кДж = 1 л О2
л О2/г
0,84
2,0
0,96
0,97
ккал/
л О2
5,0
4,7
4,5
4,4
ДК=
СО2/О2
1,00
0,71
0,81
0,74
ГН2О/г
0,56
1,07
0,39
0,50
гН2О/
ккал
0,13
0,11
0,09
0,11
По данным таблицы, интенсивность энергетического обмена можно измерять как
потребление кислорода (с точностью несколько процентов при неизвестном субстрате
дыхания, ошибка при использовании в том же качестве потребления углекислоты гораздо
больше). Кислородный эквивалент энергопотребления, обычно применяемый при пересчете,
4,8 ккал = 20 кДж = 1 л О2.
В соответствии с данными таблицы, выгодно использовать химические субстраты как
источник энергии. Например, можно сравнить массу химического топлива и высоту, на
которую нужно поднять ту же массу для достижения той же потенциальной энергии: 1 кг
липидов – 39 000 кДж, это эквивалент подъема на 4000 км.
Кроме того, велики потенциальные возможности использования этой энергии для
совершения механической работы: при горизонтальном перемещении той же массы и КПД
100% можно преодолеть 40000 км при силе сопротивления в 1/10 силы тяжести. Таким образом,
запасание энергии в химических соединениях дает большие возможности в сравнении с другими способами.
Развитие: обсудить с этой точки зрения затраты на перемещение в книге ШмидтаНиельсена «Физиология животных»
Наблюдаемое энергопотребление
Запасы обсуждали как работу, и полученные характеристики важны. Не менее важны и характерные времена (и
темп использования) запасов, а это определяет потребляемая мощность
Запасы важны в сравнении с наблюдаемым потреблением, которое у животных
включает основной обмен (интенсивность основного обмена – это потребление кислорода в
покое) и текущие затраты (затраты в связи осуществляемой активностью). По факту последние часто
могут превышать основной обмен на порядок и даже более (как пример яркого отличия
такого рода для некоторых насекомых текущие затраты превосходят основной обмен более,
чем в 100 раз).
Таким образом, запасы можно оценивать не только как работу, которую можно в принципе совершить. Не
менее важна и оценка этих запасов с позиций связанных с ними возможностей конкретных организмов –
удовлетворения ими текущих энергетических потребностей.
Известно, что интенсивность основного обмена (измеряемая как потребление
кислорода) при заданной температуре зависит от массы в соответствии с аллометрическими
соотношениями (из справочных данных – как переход к изучению энергопотребления
организма в следующем семестре)
Для животных, не поддерживающих постоянную температуру тела («холоднокровных»,
или пойкилотермных), интенсивность энергетического обмена зависит также от температуры.
А именно, потребление О2 для теплокровных (39оС) I = 0,7 m3/4 л О2/ч
У холоднокровных (20оС) I = 0,04 m3/4 л О2/ч (m - масса в кг). При увеличении или
уменьшении температуры интенсивность обмена быстро изменяется примерно в
соответствии с правилом Вант-Гоффа (увеличивается в 2-4 раза с ростом температуры на
10оС в пределах диапазона, физиологически естественного для данного организма).
В соответствии с аллометрическими соотношениями для крупных и мелких
организмов наблюдают существенную разницу в скорости энергопотребления: мелкие
организмы потребляют на единицу массы значительно больше (удельный обмен определяют
как i = I/m). Например, мышь и человек, масса которых отличается примерно на 4 порядка,
различаются в удельном основном обмене на 1 порядок.
Задача про мышь на чашке весов (с исправленными данными)
Мышь на чашке весов теряет 0,012 г массы в час. Считая, что мышь не потеет, а
субстратом дыхания являются углеводы, оценить расход субстратов. Какую массу
может иметь эта мышь? Как изменятся выводы (о расходе субстратов и массе мыши),
если субстрат дыхания неизвестен?
С другой стороны, при заданной массе организма (считая, что запасы могут составлять
некоторую пропорциональную часть массы) можно оценить величину запасов как
обеспечивающих продолжительность жизнедеятельности. Данные следующей задачи
показывают, какова доля таких запасов (для крупного животного), а также структуру этих
запасов (по субстратам – подумайте, как можно объяснить именно такую структуру).
Приложение: задача об энергетических запасах человека (с. 20 из книги Макеева)
III.17. Энергетические запасы человека
В печени человека содержится до 500 г гликогена, в скелетных мышцах - до
200 г, в сердечной мышце и в мозгу - около 90 г гликогена. Резервный жир
составляет 67 г на 1 кг массы тела и столько же составляют резервные
белки. Рассчитайте на сколько суток хватит этих энергетических запасов
человеку массой 70 кг при полном голодании а) в состоянии постельного
режима (расход энергии 6500 кДж/сут – в соответствии с аллометрическими
соотношениями); б) при интенсивной мышечной нагрузке (расход энергии 20000
кДж/сут).
При расщеплении до СО2 и Н20 1 г белка и 1 г углеводов выделяется 17.6
кДж, а при расщеплении 1 г жиров - 38.9 кДж.
Решение:
Углеводы дадут 790 г х 17.6 кДж/г ≈ 13376 кДж.
Белки дадут 67 г/кг х 70 кг х 17.6 кДж/г ≈ 82544 кДж.
Жиры дадут 67 г/кг х 70 кг х 38.9 кДж/г ≈ 182441 кДж.
В сумме получается 278361 кДж.
При полном голодании этого количества энергии хватит на 278361/6500 ≈
42.8 сут постельного режима или 278361/20000 ≈ 14 сут при интенсивной
мышечной нагрузке.
Задание. Продуктом гликолиза при анаэробном обмене в мышцах и других тканях при недостатке
кислорода является молочная кислота (лактат). Пользуясь данными из книги Мушкамбарова
(значениями ΔGб.сг. для ОУФ), проанализировать, что именно с точки зрения достижения
наибольшего эффекта энергетических превращений определяет целесообразность такого выбора
конечного продукта. Есть ли альтернатива такому выбору?
=анализ гликолиза с этой точки зрения; почему глюкоза как субстрат, почему лактат как продукт?
2. Использование химической энергии
Важный пример использования химической энергии – это использование энергии
собственно в химических превращениях. В этом случае кинетические ограничения имеют критическое
значение.
зависимость энергетического эффекта от отношения концентраций продуктов и реагентов
(объяснение используемой зависимости в приложении «Количественная химия»)
Энергетический эффект при использовании конкретных соединений зависит не только
от самих используемых соединений, но и соотношения концентраций продуктов и реагентов.
Более высокая концентрация реагента (при прочих равных условиях) и/или более низкая
концентрация продукта способствует протеканию реакции.
Иными словами, увеличение концентрации реагента (или уменьшение концентрации
продукта) эквивалентно увеличению термодинамического потенциала. Связь концентраций и
термодинамического потенциала дает выражение для константы равновесия в форме K =
exp(-ΔG/RT) = П(продукты)/П(реагенты).
Стандартное значение термодинамического потенциала ΔG0 определяют как
энергетический эффект при концентрациях реагентов и продуктов, равных 1 М. Тогда в
общем случае
ΔG = ΔG0 + RT ln [П(продукты)/П(реагенты)].
(3)
Например, в реакции гидролиза АТФ (при стандартной энергии 30,2 кДж/моль): ΔG =
ΔG0 + RT ln ([АДФ][Фн]/[АТФ]) с выделением энергии от 35 до 55 кДж/моль (при
характерных значениях концентраций в животной клетке [АДФ] = 0,1 мМ; [Фн] = 8 мМ;
[АТФ] = 5 мМ).
Оборот АТФ
(как следствие основного обмена, пересчитанного в скорость расхода АТФ)
В клетке АТФ является универсальным посредником в энергетических превращениях. Поэтому
известное энергопотребление организма определяет интенсивность превращения АТФ («оборот»
АТФ). Зная интенсивность обмена и характерную концентрацию АТФ в клетке (она ограничена
общими, в том числе осмотическими ограничениями), можно оценить скорость оборота как
характерное время жизни одной молекулы АТФ.
общее количество АТФ в организме составляет 40? г (можно обсуждать эту величину в связи с
концентрацией АТФ в мышечной ткани 5 мМ при молекулярной массе 502 Да). Тогда оборот
при энергопотреблении, заданном аллометрическими соотношениями, составляет 10000 в
сутки. Соответственно, время жизни одной молекулы – несколько секунд (т.е. относительно
много по сравнению с характерной скоростью биохимических превращений, порядка десяткой
и сотен в сек).
Одна и та же молекула, используемая в качестве источника энергии для
биохимического превращения, в зависимости от концентрации (точнее, от соотношения
концентраций конечной и начальной форм в формуле (3)) может оказаться либо несущей
недостаточную, либо избыточную порцию энергии. В первом случае скорость процесса будет
мала (вариант: процесс не пойдет), во втором – возникнут непроизводительные потери
энергии. Из сказанного ясна проблема стабилизации концентраций для получения заданного
энергетического эффекта. Это одно из обоснований потребности в гомеостазе.
Молекулярный конструктор дает несколько возможностей стабилизации такого рода.
Простейшая – непосредственно стабилизировать данную концентрацию за счёт запаса
(пула) некоторого другого вещества (см. ниже пример использования креатинфосфата для
стабилизации концентрации АТФ).
Более сложный вариант – измерение отклонений концентрации от значения,
выбранного в качестве стабилизируемого, и включение механизма компенсации за счет
регуляции скорости синтеза. Например, синтез АТФ при уменьшении её концентрации (пока
пул креатинфосфата компенсирует это уменьшение) включает биохимический усилитель (с
участием АДФ и АМФ).
Проблема обеспечения стабильности энергетического эффекта гидролиза АТФ
возможности взаимозамены энергетических субстратов (АТФ/креатинфосфат)
Стабилизирующий пул креатин-фосфата
задача: расчет разности ΔG для реакции гидролиза креатин-фосфата в сравнении с
АТФ (7 кДж/моль)
Для стабилизации концентрации АТФ в клетке используется креатинфосфат
(далее – КФ; соответственно К – креатин), который поддерживает
постоянство АТФ за счет реакции: КФ + АДФ ⇔ К + АТФ (для этой реакции
Кравн= [К] [АТФ] /([КФ] [АДФ])). Реакция такого рода позволяет обеспечить
преимущественный расход креатинфосфата вместо АТФ для обеспечения
кратковременной потребности в энергии. При каком значении ΔG реакции
такого типа (т.е. фактически при каком различии энергии гидролиза связи в
АТФ и соединении, выполняющем подобно КФ роль буфера, поддерживающего
концентрацию АТФ) эффект замены будет максимален? Характерные значения
концентраций АТФ и АДФ составляют соответственно 5 и 0,1 мМ. Известно,
что концентрация АТФ даже при переключении из состояния покоя в режим
интенсивной нагрузки не уменьшается более, чем на 10%.
Решение.
<Эту
задачу
можно
решить,
формулируя
утверждение
об
оптимизации
и
находя
соответствующий
максимум
дифференцированием
(сделайте это самостоятельно). Но, учитывая, что результат будет иметь
порядок нескольких кДж/моль, а определять требуемую величину с точностью
больше 1 кДж/моль не имеет смысла (т.к. термодинамические величины не
удается определять с лучшей точностью) удобнее эту задачу решать
перебором>
Исходному состоянию покоя отвечает некоторое отношение
КФ ⋅ АДФ КФ 1
=
= exp(ΔG/RT) = 1/Кравн,
К ⋅ АТФ
К 50
где ΔG – искомое значение, которое не изменяется в ходе процесса.
Желательно, чтобы начальное количество креатинфосфата хотя бы в
несколько раз превышало количество креатина (в противном случае клетка
содержит
значительное
количество
бесполезного
креатина
вместо
креатинфосфата, который реально идет на замену АТФ). Пусть отношение КФ:К
= 10:1 (т.е. Кравн = 5) . Тогда к критическому моменту переключения, когда
концентрация АТФ уменьшилась на 10% (т.е. на 0,5 мМ), а концентрация АДФ
возросла в 6 раз (она соответственно увеличилась от 0,1 до 0,6 мМ),
отношение АДФ/АТФ возрастет в 6 раз, а следовательно, отношение КФ:К
составит около 2:1. Это значит, что лишь относительно небольшая часть от
всего количества КФ +К (около 25%) реально «работает», что нерационально.
Если взять исходное отношение КФ:К = 5:2(т.е. Кравн = 20), то конечное
отношение будет 10:22, т.е. количество КФ уменьшилось с 70% до 30%, что
почти в 2 раза более эффективно в сравнении с предшествующим вариантом.
(М) при расчете отношения АДФ/АТФ можно было бы считать, что концентрация АТФ
практически не изменилась
Найденному лучшему варианту отвечает значение ΔG около –7 кДж/моль.
Легко проверить, что изменение ΔG на 1 кДж/моль в любую сторону не
изменяет полученного результата, а большее изменение уже заметно ухудшает
эффективность.
требуемая кооперативность, химический усилитель обсуждение на примере каскада АТФ-АДФ-АМФ и
регуляции гликолиза
Система АТФ – АДФ – АМФ. Изменение концентрации как химический сигнал
В регуляции гликолиза используется механизм усиления отклонений концентрации
АТФ (от стабилизируемого значения), включающий синтез АТФ.
Задача. Механизм усиления, поддерживающий постоянную концентрацию
АТФ, включает три уровня АТФ–АДФ–АМФ (при соотношении концентраций
АТФ/АДФ/АМФ составляющем 5мМ/0,1мМ/0,001мМ). Какое изменение концентрации
АМФ вызовет уменьшение концентрации АТФ на 10% в результате действия
этого механизма, при котором связь всех трех концентраций обеспечивает
реакция 2 АДФ ⇔ АТФ + АМФ. Константа равновесия этой реакции,
катализируемой аденилаткиназой, K = [АТФ] [АМФ]/[АДФ]2 = 0, 44 (РМ, с.
137)
Решение. Обозначим концентрации АТФ, АДФ и АМФ соответственно x, y и
z. Соотношение баланса [АТФ] + [АДФ] + [АМФ] = А0. Отсюда связь
уменьшения концентрации АТФ (Δх) и увеличения других концентраций (Δy и
Δz для АДФ и АМФ соответственно, определенных с противоположным знаком
для удобства) Δх = Δy + Δz. Предположим Δz << Δх, Δy. Тогда Δх ≈ Δy.
Связь приращений дает уравнение K = (z + Δz)(x–Δx)/(y+Δy)2
Отсюда связь приращений Δх и Δz
z + Δz ≈ K(y+Δx)2/x.
Подставляя численные значения, получим почти 30-кратное изменение
(увеличение) [АМФ]
Δz ≈ K(y+Δx)2/x – z = 0,15/5 – 0,001 = 0,029 мМ.
При больших Δx тенденция роста сначала квадратичная, а затем быстрее
по закону Δz ≈ K Δx2/(x–Δx).
При очень малых приращениях коэффициент усиления постоянный
z + Δz = K(y+Δy)2/(x–Δx) ≈ K y2/x (1 + 2Δy/y + Δx/x)
Δz ≈ 2K y/x Δx
Δz/z ≈ 2K y/z Δx/x
3. Регуляция молекулярной активности
Выше рассмотрены примеры стабилизации концентрации АТФ как составной части
гомеостаза. Поддержание постоянных концентраций – частный случай управления
концентрациями химических компонентов клетки.
Общая проблема регуляции скоростей молекулярных процессов – обеспечить
достаточное изменение скорости при воздействии, которое само может быть слабым.
Поэтому требуется некоторое преобразование исходного стимула в изменение концентрации
какого-то вещества (или т.п., например, 2-мерная концентрация, степень заполнения…) и его
последующее усиление.
При этом решаются те же проблемы, что и при организации технических систем, и
поэтому обсуждение можно вести в терминах теории управления: коэффициент усиления,
устойчивость, контуры обратных связей и т.п. Например, коэффициент усиления – это
отношение сигнала на выходе из устройства к сигналу на входе. Если входной и выходной
сигналы – концентрации некоторых веществ, то коэффициент усиления – это отношение
относительных изменений этих концентраций.
потребности и физико-химическая реализация
Молекулы как элементы системы регуляции и управления
В управлении скоростями молекулярных процессов использованы некоторые
стандартные решения. Как правило, скорость и ход процесса регулирует, так или иначе,
некоторая концентрация или воздействие на нее (например, энергетический обмен
регулируется через концентрацию АТФ, как описано выше).
Молекула регулятора (c) может связаться с функциональной молекулой (обычно –
белком, обозначим ее E), а от этого зависит ее активность. В предельном случае
функциональная молекула активна в одном случае (например, при наличии связавшейся с ней
молекулы регулятора, т.е в форме Ec) и неактивна в противоположном случае (т.е. в форме
E).
Механизм, который обеспечивает такой результат – изменение пространственной структуры белка.
Например, при связывании с регулятором становится возможной посадка реагирующих частиц в активный
центр (в противном случае он недоступен для какой-то из взаимодействующих молекул).
Регуляция при связывании с одной молекулой регулятора
Если центр связывания один, то схема связывания
E + c = Ec
Связывание происходит за счет слабых взаимодействий типа электростатических, для
которых энергия активации относительно мала, а поэтому его можно считать равновесным
процессом (в отличие от регулируемого процесса, где энергия активации может быть весьма
велика).
В этом случае скорости прямого и обратного процессов равны (k+[E]c = k–[Ec], где k+ и
k– - константы скорости прямого и обратного процессов, K = k+/k– - константа равновесия, c
одновременно обозначает само вещество и его концентрацию) и есть общая связь
концентраций [E] + [Ec] = E0. Из этих условий можно выразить концентрацию активной
формы белка (например, действующей как фермент переносчик, сократимый белок…).
[Ec] = Kc[E] = E0 Kc /(1 + Kc )
Тогда скорость регулируемого процесса будет пропорциональна этой концентрации
(если не предусмотрена некая более сложная регуляция).
Иными словами, в этом простейшем случае типовая зависимость скорости процесса от
концентрации регулятора – гиперболическая.
Можно показать, что гиперболическая зависимость дает достаточно слабое усиление
малого изменения концентрации регулятора. Обозначим [Ec] = y (в данном случае она
пропорциональна скорости регулируемого процесса). Относительное изменение
концентрации активной формы белка
при относительном изменении концентрации
регулятора c (это и есть коэффициент усиления) U = (dy/y)/(dc/c) = d[ln(y)]/d[ln(c)]. Для
гиперболической зависимости вида y =c/(a+c) производная d[ln(y)]/dc = 1/c – 1/(a+c). Для нее
отношение U = (dy/y)/(dc/c) = 1 – c/(a+c), т.е. коэффициент усиления меньше единицы (близок
к единице при малых концентрациях регулятора, уменьшаясь до нуля с ростом c, причем
значительно меньше единицы уже при a>>c).
Иными словами, ясно, что усиление малого изменения концентрации регулятора в
данном случае достаточно слабое (низкий коэффициент усиления с этой точки зрения).
Если же напротив, активная форма [E] (тогда с – это ингибитор), то
Такое свойство для схемы связывания с одной молекулой регулятора не изменяется
также, если активной формой является свободная форма, которой отвечает концентрация [Ec]
(а не [Ec], как выше).
А требуется
и фактически часто осуществляется очень резкое переключение.
Например, у мухи при переходе к полету и уменьшении АТФ на 10% наблюдается 100кратное увеличение скорости гликолиза, т.е. в данном случае реальная система регуляции
обеспечивает коэффициент усиления, равный 1000.
Во многих других ситуациях реальной жизнедеятельности коэффициент усиления
необходим высокий (в сравнении с единицей как стандартном отсутствия усиления), в
предельном случае зависимость скорости процесса от концентрации регулятора –
ступенчатая.
кооперативное усиление:
количественное описание
=Формальное рассмотрение в терминах констант равновесия и констант скоростей
Регуляция при связывании с несколькими молекулами регулятора
Увеличение
восприимчивости
к
изменению
регулирующей
концентрации
обеспечивается за счет связывания функциональной молекулы со многими молекулами
регулятора (причем активна лишь одна форма, например, полностью свободная от
регулятора, или, напротив, связанная с максимально возможным числом молекул
регулятора).
Выражение для эффекта регуляции дает рассмотрение примера
При наличии
следующая
4-х центров связывания последовательность этапов связывания
k1S
⇔ ES
k −1
k2 S
⇔ ES2
k− 2
k3 S
kn S
k−3
k− n
⇔ ES3 … ⇔ ES n
Отдельные этапы связывания описываются уравнениями, аналогичными выведенному и
использованному выше для одной молекулы регулятора (). Для первого этапа
k1[E]c = k–1[Ec] , тогда [Ec] = K1c[E]
Для последующих этапов
[Ec2] = K2c[Ec] = K2K1c2[E]
[Ec3] = K3c[Ec2] = K3K2K1c3[E]
[Ec4] = K4c[Ec3] = K4K3K2K1c4[E]
Отсюда, учитывая баланс [E] + [Ec] + [Ec2] + [Ec3] + [Ec4] = E0, получим выражение для
относительной доли активной формы фермента, связанного с 4-мя молекулами регулятора
Y = [Ec4]/ [E] + [Ec] + [Ec2] + [Ec3] + [Ec4] =
= K4K3K2K1c4/(1 + K1c + K2K1c2+ K3K2K1c3+ K4K3K2K1c4).
Более точное выражение для микроскопических констант связывания
Y=
p 4 / k1k 2 k 3 k 4
1 + 4 p / k1 + 6 p 2 / k1k 2 + 4 p 3 / k1k 2 k 3 + p 4 / k1k 2 k 3 k 4
()
Оно позволяет получить выражение при равенстве констант как гиперболическую зависимость в
соответствующей степени. Из него ясно, что при равенстве констант коэффициент усиления не возрастает?
коэффициент усиления можно существенно увеличить за счет различия констант, когда следующее
связывание зависит от предыдущего. При возрастании констант получим…
Способ существенно увеличить усиление при связывании с несколькими центрами – это
наличие двух форм свободного фермента (напряженного и ненапряженного состояний).
Для схемы связывания
k+
Er ⇔ E
k−
k1S
⇔ ES
k −1
k2 S
⇔ ES2
k− 2
k3 S
kn S
k−3
k− n
⇔ ES3 … ⇔ ES n
вывод зависимости от выражения для насыщения активной формы
ES n
Y=
=…
Er + E + ES1 + ES 2 + ES 3 + ... + ES n
()
усиление химического сигнала
Эффект регуляции характеризуют, с одной стороны, коэффициент усиления, а с другой
стороны, полнота использования потенциальной производительности регулируемого белка
или молекулярного комплекса (важно, чтобы синтезированный белок использовался, т.к.
иначе он бесполезно занимает часть объёма клетки и разрушается со временем).
Полноту использования потенциальной производительности выражает непосредственно
Y: при малом Y работает лишь небольшая часть регулируемого белка.
Значение коэффициента усиления непосредственно из полученных общих формул для
связывания с несколькими молекулами регулятора (в соответствие с его определением) выражать неудобно
в силу громоздкости вычислений и необозримости результата.
Зависимость степени насыщения от двух основных факторов: числа молекул регулятора
и наличия релаксированного состояния, можно получить, считая одинаковыми константы
равновесия для различных этапов присоединения субстрата.
Тогда выражению для степени насыщения (которая в общем виде позволяет
представить многие возможности регуляции, обсуждаемые в РМ, Биофизике и т.д.)
an
Y=
,
L + (1 + a) n
где:
– произведение KS обозначено как a (где ki/k–i = K);
– константа для перехода между ненапряженной и напряженной конформациями
белкового комплекса обозначена как L = k+/k– ;
– учтена комбинаторика с точки зрения возможностей заполнения свободных мест
связывания при соответствующем числе уже заполненных – РМ, с. ; Биофизическая
химия, с. ).
Наличие ненапряженного состояния (которое дает слагаемое L в знаменателе)
обеспечивает многие возможности регуляции. Удобно сразу рассмотреть случай L >> 1, т.к.
промежуточные значения L дают промежуточные возможности в сравнении с малыми L (т.е.
практическим отсутствием такого состояния), когда многие возможности регуляции
отсутствуют, в чем легко убедиться, проведя вычисления.
Графически зависимости при различных значениях L и n = 4, а также L = 1000 при n =
2,3,4 представлены на рисунке 1?.
Эффект различия констант можно проанализировать на простейшем случае двух
центров связывания (с двумя молекулами регулятора).
Важная промежуточная задача: какую степень сигмоидности можно обеспечить в
схеме с двумя этапами
В рассматриваемых схемах наибольшее значение коэффициента достигается на
степенном участке зависимости Y(c), где абсолютное значение степени насыщения
относительно невелико, т.е. доля активных молекул белка невелика. Тогда регулируемая
скорость далека от максимального значения, а значит, эффективность его использования не
высока.
Следствие: в простых схемах коэффициент усиления низкий, если стоит задача не терять максимальных
значений
Общий вывод: в простых схемах трудно обеспечить высокое усиление без потери
эффективности, отсюда при потребностях в большом усилении сложные энергозатратные
решения (футильные циклы, каскады и т.д.)
более дорогой способ еще больше увеличить усиление – вычитание скоростей
противоположно направленных процессов, каскады или некоторая специфическая
кооперативность
наблюдаемое решение:
простые варианты: обратная связь по субстрату или продукту – например, конкурентное и
неконкурентное ингибирование,
Выше обсуждалась регуляция за счет участия нескольких одинаковых молекул
регулятора. Физико-химические взаимодействия с участием нескольких или многих
одинаковых молекул (особенно, если присоединение к образующемуся комплексу одной из
таких молекул влияет на присоединение другой или других молекул) называют
кооперативными.
Другой вариант кооперативного связывания – это связывание с агрегатами регулятора
(димерами, тетрамерами…), которые используются при регуляции у бактерий и вирусов.
Например, для бактериофага лямбда – регуляция гена, кодирующего белок-репрессор
лизиса бактериальной клетки-хозяина, за счёт связывания с димером репрессора.
Лактозный оперон кишечной палочки регулируется тетрамером из 4-х молекул
репрессора (регуляцию определяет также димерное связывание с цАМФ). Мономер репрессора
способен связываться с лактозой и в этом состоянии неактивен
R + L Ù RL, KL
В ответ на изменение концентрации лактозы в среде (а с ней и изменении ее
концентрации в клетке) изменяется концентрация репрессора в активной форме (т.е.
тетрамера), в результате увеличение концентрации лактозы уменьшает концентрацию
свободного репрессора и его тетрамера, что увеличивает экспрессию лактозного оперона.
Насколько существенно изменяется концентрация тетрамера (как активной формы
репрессора) в ответ на изменение концентрации лактозы, можно оценить, пользуясь
уравнением материального баланса для репрессора в различных формах
R0 = R (1+ L) + R4
и считая для простоты, что связывание мономеров представлено единственным процессом
4R Ù R4, K4R.
Удобно проводить расчеты в представлении, где значения констант равновесия
численно равны единице (т.е. KL = 1, K4R = 1). Рассмотрим 10-кратное изменение
концентрации лактозы (в условных единицах – также для удобства), т.е.
L: 1 (исх) → 10 (конечн)
Тогда можно оценить эффект изменения концентрации тетрамера через различие
исходная и конечная концентрация репрессора – соответственно Rисх и Rконечн
R0
Rконечн Rисх4 Rконечн4 Rисх4/Rконечн4
Rисх
2
20
1,4
16
4,6
3,4
4
1
3
3/11
1
(3/11)
(11/3)4≈200
4
4
0,5 1,0625 ~1/10 1/2
(1/10)
54 ≈ 625
R0/(1+L)
Задание. Рассмотрите аналитически данную задачу регуляции. Что является
коэффициентом усиления в данном случае? Какая функция (в явном или неявном виде) дает
зависимость коэффициента усиления от концентрации лактозы и других факторов. Как
можно выразить целесообразность с точки зрения регуляции работы лактозного оперона
(если сможете, попробуйте сформулировать количественное утверждение в этой связи)?
Представьте графически важные с Вашей точки зрения зависимости.
Приложение
Ускорение химических превращений
Каталитическая функция
Катализ как способ увеличить скорость химической реакции – это пример специально
организованного процесса/превращения как последовательности образования и разрыва
слабых связей комплекса катализатора с субстратами и продуктами, а также
пространственной (конформационной) перестройки существующего комплекса. В роли
катализаторов выступают белки (белки, выполняющие эту функцию, называются
ферментами).
Именно за счет катализа на молекулярном уровне возможна такая организация
превращений в клетке, при которой нужные процессы происходят, а ненужные – нет.
Нужные процессы происходят в форме биохимических реакций, сгруппированных в цепочки
и циклы, часто ветвящиеся.
Схема такого сложного биохимического процесса (как большого числа биохимических
реакций/каталитических превращений) требует не только строго заданной последовательности
химических превращений, но и не менее определенной последовательности физикохимических этапов прохождения каждой биохимической реакции.
Эффект увеличения скорости может быть получен за счет последовательного
(неодновременного) выполнения необходимых условий превращения – их разделения между
этапами в более сложной схеме превращения. В результате вероятность прохождения данной
молекулой всей цепочки превращений возрастает, т.к. процесс ограничивает
не
произведение достаточно малых вероятностей (в случае отсутствия катализатора), а
отдельные вероятности для последовательных этапов.
В терминах констант скоростей некаталитический вариант описывает простая схема
одноэтапного превращения (без дополнительного участника - катализатора) и,
соответственно, одна константа скорости прямой реакции и одна – обратной.
реагенты → продукты
Последовательному выполнению превращения с участием катализатора отвечает более
сложная схема. В этой схеме каждый этап в прямом и обратном направлении описывает
константа скорости, в которой есть множители тех же типов, что и для простой схемы без
дополнительных участников (см. выше). Произведение этих множителей можно увеличить на
порядки за счет соответствующего подбора этапов.
Например, с этой точки зрения можно представить химическое превращение A+2B → P,
происходящее по схеме с участием катализатора E
k D1 A
kD 2B
kD 3B
k+
k− D
k − D1
k− D 2
k− D 3
k−
kD P
E ⇔ EA ⇔ EAB ⇔ EAB2 ⇔ EP ⇔ E .
(*)
где индексы «D» и «–D» при константах скорости обозначают соответственно этапы
диффузии (субстратов и продукта) к ферменту и этапы, обратные диффузии, т.е. распад
комплекса фермента, к которому присоединена одна или несколько частиц, приводящее к
уменьшению, частиц, связанных с ферментом. Дополнительный индекс нумерует
последовательность этапов присоединения субстратов и необходим, чтобы различить
соответствующие константы скорости.
Если на первом этапе фиксировать одну из превращаемых частиц (закрепить слабыми
связями на катализаторе – молекуле, поверхности и др.) одну из превращаемых частиц, то
активационный множитель (за счет малой энергии активации при фиксации слабыми
связями) будет близок к единице. В любом случае энергетическое ограничение будет
значительно меньше, чем непосредственно при столкновении превращаемых частиц. Как
следствие, константа скорости на этом этапе будет на 10–20 порядков больше в сравнении с
константой скорости превращения без катализатора как дополнительного участника.
Аналогично можно фиксировать другие превращаемые частицы, чему соответствуют
того же рода большие константы скорости для этапов их присоединения к катализатору.
Если превращаемые частицы на катализаторе будут закреплены рядом, причем в таком
положении, чтобы изменяемые части молекул были взаимно ориентированы наилучшим
возможным образом для химического превращения, то на этапе собственно химического
превращения ориентационный множитель будет близок к единице. При характерной
величине ориентационного множителя
10–10 это означает, что произведение
ориентационного и активационного множителей для этого этапа будет на 10 порядков
больше, чем аналогичное произведение для превращения в схеме без катализатора.
Другой вариант организации превращения в более сложной схеме, дающий
аналогичный эффект – это характерная для биокатализаторов конформационная перестройка
молекулы, при которой происходит сближение изменяемых частей молекул после их
присоединения к соответствующим частям молекулы катализатора. Энергия активация
перестройки молекулы в этом случае не равна нулю, но мала (т.к. отвечает не химическим
превращениям с энергией активации 50–100 и более кДж/моль, а физическим превращениям,
для которых она может составлять 10–20 кДж/моль). Одновременно может происходить
принудительное сближение превращаемых молекул (за счет энергии слабых
взаимодействий), что может дополнительно уменьшить активационный барьер (и
значительно, особенно если задействованное число слабых взаимодействий велико).
Таким образом, при более сложной схеме число этапов возрастает (в разы или на
порядок), но скорость может возрасти значительно больше (обычно на 10 и более порядков),
т.к. произведение активационного и ориентационного множителя на каждом из этапов
возрастает на многие/несколько (и даже десятки) порядки.
–
–
–
Дополнительные вопросы/темы для размышлений:
как еще можно увеличить скорость каталитического превращения?
какое значение может иметь участие ионов в каталитическом превращении?
почему во всех или во многих биохимических превращениях не использована типовая
молекула катализатора (где есть стандартное место для расположения каждого субстрата,
стандартная часть молекулы, обеспечивающая сближение реагентов и т.д.)?