Тема 10(принцип Дирихле).

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОР. МОСКВЫ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»
УТВЕРЖДАЮ:
_______________ Д.Е. Капуткин
Председатель Учебно-методической
комиссии по реализации Соглашения
с Департаментом образования
гор. Москвы
"____" ___________ 2015г
Приложение 1.1.
МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПО РЕАЛИЗАЦИИ ПРОЕКТНОЙ
ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
для учащихся 10-11 классов
по образовательному модулю
"МАТЕМАТИКА"
Москва – 2015
Проект10. «Принцип Дирихле»
При решении многих задач используется логический метод рассуждения «от противного».
Одна из его форм — это принцип Дирихле, который успешно применяется к доказательству
различных утверждений. Это достаточно простое утверждение, способное помочь в решении
многих математических задач. Многие олимпиадные задачи решаются с его помощью. По
традиции принцип Дирихле объясняют на примере «кроликов и клеток». Чтобы применить
принцип Дирихле для решения поставленной задачи, необходимо разобраться, что в ней —
клетки, а что — кролики.
1. Цели реализации образовательного проекта:
 познакомить с новым методом решения задач, который не рассматриваются в
школьном курсе;
 сформировать понимание отличия интуитивных соображений от доказательства;
 развивать умение различать в задаче условие и заключение;
 привить интерес к математике;
 способствовать развитию наблюдательности,
 развить способность к анализу (умение правильно анализировать, сравнивать);
 научить делать выводы.
2. Задачи проекта:
 ознакомиться с различными формулировками принципа Дирихле;
 научить выбирать для решения задачи требуемую формулировку принципа Дирихле;
 познакомить с задачами, где при расплывчатых формулировках удается получить
некоторую достоверную информацию.
3. Категории обучающихся:
Учащиеся 10-11 классов средней общеобразовательной школы.
4. Практические умения и навыки:
Учащиеся, выполнившие образовательный проект «Принцип Дирихле» должны:
 знать основные формулировки принципа Дирихле;
 уметь решать задачи по теме «Принцип Дирихле».
5. Объем образовательного проекта (акад. час):
Общая продолжительность – 5 часов.
6. Форма обучения:
Очная.
7. Форма занятий:
Практическо-проектная.
8. Режим проведения занятий:
1 час в неделю
9. Сроки проведения занятий:
13 сентября - 20 декабря 2015 г.
10. Место проведения занятий:
Кафедра математики, аудиторный фонд НИТУ «МИСиС» и средней школы,
компьютерные классы с выходом в Интернет, библиотека.
11. Форма проведения контроля и аттестация:
Контроль выполнения проводится в форме обсуждения предварительных результатов,
представления презентационного комплекта и подготовки доклада на тему «Принцип
Дирихле».
После выполнения и защиты образовательного проекта по математике проводится
аттестация учащихся. Результаты аттестации передаются педагогам общеобразовательной
школы.
12. План проведения занятий по реализации проекта:
1. Формулировка принципа Дирихле
2. Задачи, решаемые с помощью бинома принципа Дирихле.
3. Тьюторское сопровождение выполнения проекта группой учащихся.
4. Анализ полученных результатов и выводы по теме.
13. Структура презентационного комплекта по проведению занятий:
1. Введение (цель и задачи проекта).
2. История основных открытий.
Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле (13 февраля 1805,
Дюрен, Французская империя, ныне Германия — 5 мая 1859,
Гёттинген, королевство Ганновер, ныне Германия) —
немецкий математик, внёсший существенный вклад в
математический анализ, теорию функций и теорию чисел.
Дирихле принадлежит ряд крупных открытий в самых разных
областях математики, а также в механике и математической
физике.
В математическом анализе и математической физике он
ввёл понятие условной сходимости ряда и дал признак сходимости. Доказал разложимость в
ряд Фурье всякой монотонной кусочно-непрерывной функции. В 1834 году сформулировал
принцип Дирихле— утверждение, устанавливающее связь между объектами («кроликами») и
контейнерами («клетками») при выполнении определённых условий. Существенно продвинул
теорию потенциала.
В теории чисел доказал теорему о прогрессии: последовательность {a + nb}, где a, b —
взаимно простые целые числа, содержит бесконечно много простых чисел.
3. Основные определения.
На сегодняшний день существует несколько разных формулировок данного принципа
В несерьёзной форме принцип Дирихле гласит: «Нельзя посадить 7 кроликов в 3 клетки,
так, чтобы в каждой клетке было не больше 2 кроликов».
Наиболее распространена следующая формулировка этого принципа: «Если кролики
рассажены в клетки, причём число кроликов больше числа клеток, то хотя бы в одной из клеток
находится более одного кролика».
Классическая формулировка звучит так: «Пусть в n клетках сидит n+1 или больше
кроликов, тогда найдётся клетка, в которой сидят по крайней мере два кролика».
Доказательство этого утверждения также строится от противного. Предположим, что в
каждом ящике сидит менее двух кроликов (один или ни одного). Тогда во всех n ящиках в
совокупности сидит не более n кроликов. Получили противоречие.
Решение задачи с помощью принципа Дирихле сводится к выбору «кроликов» и «клеток».
Иногда не совсем очевидно, кто в данной задаче является «кроликом», и что служит «клеткой».
Более общая формулировка звучит так «Если m кроликов рассажены в n клеток, то хотя
бы в одной клетке находится не менее
не более
m
кроликов, а также хотя бы в одной клетке находится
n
m
кроликов».
n
Заметим, что в роли зайцев могут выступать различные предметы и математические
объекты – числа, отрезки, места в таблице и т. д.
В английском и некоторых других языках утверждение известно как «принцип голубей и
ящиков», когда объектами являются голуби, а клетками — ящики.
Девять клеток содержат десять голубей. Тогда по
принципу Дирихле хотя бы в одной клетке находятся
более одного голубя.
Девять клеток содержат семь голубей. Тогда
по принципу Дирихле хотя бы одна клетка
содержит не больше 7/9 голубя, т. е ноль.
При решении геометрических задач удобнее применять следующую формулировку:
«Пусть множество из N элементов разбито на n непересекающихся частей, не имеющих общих
элементов, где N>n. Тогда, по крайней мере, в одной части будет более одного элемента.»
Иногда применяют обобщенный принцип Дирихле: «Если nk+1 кроликов размещены в n
клетках, то найдутся k+1 кроликов, которые посажены в одну клетку (n, k – натуральные
числа)».
Обобщенный принцип Дирихле также достаточно очевиден: если бы в каждой клетке
сидело не более k кроликов, то во всех клетках было бы не более nk кроликов, что противоречит
условию. Обобщение принципа используют, когда требуется выявить несколько (три и более)
объектов, обладающих некоторым свойством.
Принцип Дирихле можно сформулировать на языке множеств и отображений: «При
любом отображении множества P, содержащего n+1 элементов, в множество Q, содержащее n
элементов, найдутся два элемента множества P, имеющие один и тот же образ».
Существует обобщение данного принципа на случай бесконечных множеств: не
существует инъекции более мощного множества в менее мощное. Например, если несчётное
множество голубей содержится в счётном множестве ящиков, тогда хотя бы в одном из ящиков
содержится несчётное множество голубей.
Пример 1. На столе лежит 25 конфет трех сортов. Можно ли утверждать, что не менее 9
из них одного сорта?
Решение:
Пусть «клетками» будут сорта конфет, а «кроликами» –
конфеты. По обобщенному
принципу Дирихле «Если m кроликов рассажены в n клеток, то хотя бы в одной клетке
находится не менее
m
m
кроликов, а также хотя бы в одной клетке находится не более
n
n
кроликов». Таким образом, найдется «клетка», в которой не менее 25 / 3 «кроликов». Так как
8 < 25 / 3 < 9, то найдется 9 конфет одного сорта.
Пример 2. В классе 29 учеников. В диктанте Вова сделал 13 ошибок, остальные меньше.
Докажите, что по крайней мере три ученика сделали ошибок поровну ( может быть по 0
ошибок).
Решение.
Пусть «клетки» – это число сделанных ошибок, а «кролики» – ученики. Каждый из
остальных 28 учеников сделал не более 12 ошибок. Занумеруем клетки от 1 до 14. В клетку с
номером 1 «посадим» всех, кто сделал 0 ошибок, в клетку с номером 2 – всех, кто сделал 1
ошибку, …, в клетку с номером 14 – тех, кто сделал 1 ошибку. В последнюю клетку попал один
ученик – Вова. Предположим, что никакие три ученика не допустили одинаковое число
ошибок. То есть в каждую из клеток с номерами 1, 2, …,13 попало менее трех человек. Тогда в
каждой из клеток находятся не более двух школьников, а всего в этих 13 клетках находится не
более 26 человек. В классе же 29 человек, а значит, в этих 13 клетках должно находиться 28
человек. Получили противоречие. Значит,
по крайней мере три ученика сделали ошибок
поровну
Пример 3. Докажите, что среди любых 52 натуральных чисел найдутся два числа,
сумма или разность которых делится на 100. Верно ли это утверждение для 51 числа?
Решение.
Построим 51 «клетку». Разобьем все остатки при делении на 100 на группы {0}, {1, 99},
…, {49, 51}, {50}. Число таких групп равно 51. По принципу Дирихле среди любых 52
натуральных чисел найдется два числа, у которых остатки попадают в одну группу. Сумма или
разность этих чисел будет делиться на сто.
Для 51 числа такой пары может не быть. Например, среди чисел 1, 2, 3, …,50, 100 нет
двух чисел, чтобы их сумма или разность оканчивались на 100.
Пример 4. Дано 11 различных целых чисел. Доказать, что из них можно выбрать два
числа, разность которых делится на 10.
Решение.
Пусть «клетки» – это остатки при делении на 10, а «кролики» – сами числа. По
принципу Дирихле, по крайней мере, два числа из 11 дают одинаковый остаток при делении на
10. Пусть это будут числа m  10q1  r и n  10q2  r . Тогда их
разность m  n  10q1  r  10q2  r  10(q1  q2 ) делится на 10.
Пример 5. Через треугольник ABC. проходит прямая L, не пересекающая ни одну из
его вершин. Доказать, что прямая L не может пересекать три стороны этого треугольника.
Решение.
B
P1
L
P2
C
A
Прямая L разбивает треугольник на две полуплоскости, назовем их P1 и P2. Будем
считать, что P1 и P2 не содержат прямую. Пусть «клетки» – это полуплоскости P1 и P2, а
«кролики» – вершины треугольника. Так как прямая L не пересекает ни одну из вершин, то
каждая из них находится в той или иной полуплоскости. В треугольнике три вершины, а
полуплоскостей у нас всего две. Тогда по принципу Дирихле одна из полуплоскостей будет
содержать две вершины. Предположим, что это вершины A и C, и находятся они в
полуплоскости P2 . В таком случае отрезок АС не пересекает прямую. То есть в треугольнике
есть сторона, которую прямая не пересекает.
Пример 6. Дан равносторонний треугольник АВС , длина стороны которого равна 1. В
середине треугольника находится 5 точек. Доказать, что хотя бы две из них находятся на
расстоянии меньше 0,5.
Решение.
B
A
C
Проведем в треугольнике АВС средние линии. Они разделят его на 4 маленьких
правильных треугольника со сторонами, длина которых равна половине длины стороны
треугольника АВС. То есть длина каждой стороны маленьких треугольников будет равна 0,5.
Предположим, что эти треугольники – клетки, а точки внутри них – кролики. Получается, у нас
есть 5 кроликов и 4 клетки. Следовательно, по принципу Дирихле в одной из них будет
находиться как минимум два кролика. Значит, расстояние между ними будет меньше, чем 0,5
(поскольку величина отрезка внутри треугольника никогда не превышает величины его самой
большой стороны).
Пример 7. Доказать, что в круге, радиус которого равен 1, нельзя выбрать более 5 точек
так, чтобы расстояние между любыми двумя из них было больше 1.
Решение.
Предположим, что удалось выбрать более 5 точек так, чтобы расстояние между любыми
двумя из них было больше 1. Разобьем круг на 6 равных секторов. Если в одном из секторов
находится две точки или больше, то расстояние между ними будет не больше 1. Предположим,
что в каждом секторе имеется по одной точке. Тогда найдутся две точки, для которых
центральный угол, образованный лучами, проходящими через эти точки, не больше 60 о. Тогда
расстояние между этими точками не больше 1. Следовательно, нельзя выбрать более 5 точек,
так, чтобы расстояния между любыми двумя из них было больше 1.
Пример 8. Доказать, что из любых пяти целых чисел можно выбрать два таких,
разность квадратов которых делится на 7.
Решение.
Найдем остатки, которые могут получаться при делении на 7 квадрата целого числа.
Пусть m – целое число. Если оно делится на 7, то и его квадрат делится на 7. Если при делении
на 7 , число m дает в остатке r, то его можно записать в виде
m  7q  r,1  r  7 .
Тогда
m2   7q  r   49q 2  14qr  r 2  7(7q 2  2qr )  r 2 .
2
Если

r  1 , то r 2  1 и m 2 при делении на 7 дает в остатке 1;

r  2 , то r 2  4 и m 2 при делении на 7 дает в остатке 4;

r  3 , то r 2  9  7  2 и m 2 при делении на 7 дает в остатке 2;

r  4 , то r 2  16  2  7  2 и m 2 при делении на 7 дает в остатке 2;

r  5 , то r 2  25  3  7  4 и m 2 при делении на 7 дает в остатке 4;

r  6 , то r 2  36  7  5  1 и m 2 при делении на 7 дает в остатке 1.
Итак, получили, что квадрат целого числа при делении на 7 может дать только один из
следующих остатков: 0, 1, 2 или 4. Значит, среди пяти квадратов целых чисел хотя бы два дают
одинаковый остаток при делении на 7, а в таком случае их разность делится на 7.
Пример 9. Среди футбольных команд проводится турнир в один круг. Доказать, что в
любой момент турнира найдутся две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число
матчей.
Решение.
Пусть всего n футбольных команд. Тогда каждая команда могла сыграть от 0 до n – 1
матчей. Заметим, что если какая-то команда не сыграла ни одного матча, то не найдется
команды, сыгравшей все матчи. То есть не может быть ситуации, когда есть команда,
сыгравшая 0 партий, и команда, сыгравшая n – 1 партию. Значит, различных количеств
сыгранных партий в любой момент турнира может быть не более n – 1 (от 0 до n – 2 или от 1 до
n – 1). По принципу Дирихле в любой момент турнира найдутся две команды, сыгравших
одинаковое количество матчей.
Пример 10. Можно ли записать число, делящееся на 1997, используя только единицы?
Решение.
Рассмотрим последовательность 1, 11, 111, . . . , 11. . .1, . . . чисел, десятичная запись
которых состоит из одних единиц. Так как существует лишь конечное число остатков от
деления на 1997, а последовательность содержит бесконечно много членов, то, согласно
принципу Дирихле, среди них найдутся два, дающих одинаковые остатки. Пусть это будут
числа mi  11...1 и m j  11...1 (i  j ) . Тогда их разность mi  m j  10 j mi  j делится на 1997. Так
i
j
как числа 10 j и 1997 – взаимно просты, то mi  j делится на 1997. Это и есть искомое число.
4. Задачи.
Чтобы выполнить практическую работу по заданной теме необходимо уметь решать
следующие задачи.
Задача 1. За круглым столом сидят сто человек, причем более половины из них –
женщины. Можно ли утверждать, что не найдутся две женщины, сидящие напротив друг друга.
Задача 2. В школе 420 учеников. Доказать, что хотя бы двое из них родились в один
день года. При каком наименьшем количестве учеников школы среди них обязательно найдутся
двое, у которых день и месяц рождения совпадают?
Задача 3. В классе 40 учеников. Найдётся ли такой месяц в году, в котором отмечают
свой день рождения не меньше чем 4 ученика этого класса?
Задача 4. Доказать, что из любых трёх целых чисел всегда можно выбрать два, сумма
которых чётна.
Задача 5. Грани куба окрашены в 2 цвета. Доказать, что найдутся две соседние
одноцветные грани.
Задача 6. На плоскости нарисовали 7 прямых, никакие две из которых не параллельны.
Доказать, что найдутся две из них, угол между которыми меньше 26°.
Задача 7. Доказать, что у любого многогранника есть, по крайней мере, две грани с
одинаковым числом сторон.
Задача 8. В бригаде 7 человек. Их суммарный возраст – 332 года. Доказать, что среди
них найдутся три человека, сумма возрастов которых не меньше 142 лет.
Задача 9. На листе клетчатой бумаги поставили в узлах клеточек 5 точек. Доказать,
что как минимум один отрезок с вершинами в этих точках пройдет через узел клеточки.
Задача 10. Даны. Доказать, что среди 12 различных двузначных чисел можно выбрать
два числа, разность которых — двузначное число, записываемое двумя одинаковыми цифрами.
Задача 11. Доказать, что из любых восьми целых чисел можно выбрать два таких,
разность квадратов которых делится на 13.
Задача 12. В какое наибольшее число цветов можно раскрасить клетки доски 8×8 так,
чтобы у каждой клетки среди её соседей (по стороне) были хотя бы две клетки, окрашенные в
тот же цвет?
14. Учебно-методическое обеспечение

Пользование Интернетом и библиотекой во время обучения

Комплект раздаточного материала для каждого учащегося (программа, методические
рекомендации и разработки, комплект заданий и задач разного уровня сложности, тесты,
презентации, другие мультимедийные разработки)
15. Литература:
 Бахтина Т.П. Раз задачка, два задачка Пособие для учителей. Минск, Асар, 2001 г.
 Андреев А.А., Горелов Г.Н., Люлев А.И., Савин А.И. "Принцип Дирихле", Самара
"Пифагор", 1997г.
 В. Г. Болтянский. Шесть зайцев в пяти клетках. // Ж-л «КВАНТ», 1977,No2.
 Ю. Ф. Фоминых. Принцип Дирихле. // Ж-л «Математика в школе», 1996, No3.
 И. Л. Бабинская. Задачи математических олимпиад. М.: Наука, 1975.
 Материалы из Википедии.
 Яндекс-картинки