изучение затухающих механических колебаний

Лабораторная работа № 11.
ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ МЕХАНИЧЕСКИХ
КОЛЕБАНИЙ
1. ВВЕДЕНИЕ
Экспериментальное изучение механических колебаний, в том
числе затухающих, является трудоемкой задачей, требующей высокой
точности постановки эксперимента. В условиях учебной лаборатории
весьма
перспективным
является
использование
методов
моделирования. При помощи моделирования наглядные и достаточно
точные количественные характеристики затухающих механических
колебаний могут быть получены значительно проще.
Условимся называть моделированием процесс замены изучения
какого-либо явления в реальных условиях изучением его при помощи
тех или иных моделей, в условиях, специально подобранных для
удобства экспериментирования. При этом, кроме измерения размеров
тел, участвующих в явлении, и материалов, из которых они
изготовлены, очень часто исследуемый процесс может быть заменен
другим, который либо зависит от наиболее важных для данного
явления величин, либо имеет совсем другую природу, но сходное
математическое описание. Моделирование является продолжением
эксперимента новыми средствами.
Данная лабораторная работа посвящена физическому и
математическому моделированию, основанному на математических
аналогиях между механическими колебаниями и электрическими
колебаниями в RLC - цепях. Физической моделью для изучения
характеристик затухающих колебаний является колебательный
контур, в котором периодически возбуждаются колебания.
2. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Колебательными называются процессы, при которых
параметры, характеризующие состояние колебательной системы,
обладают определенной повторяемостью во времени. Такими
процессами, например, являются суточные и годовые колебания
температуры поверхности Земли, колебания маятников и т. п. Если
промежутки времени, через которые состояния системы повторяется,
равны между собой, то колебания называются периодическими, а
промежуток времени между двумя последовательными одинаковыми
состояниями системы – периодом колебаний T . Среди периодических
колебаний особое место занимают колебания гармонические, т. е.
колебания, при которых характеристики движения системы
изменяются по гармоническому закону, например:
x  A sin ω t  φ 0  ,
(1)
где x - отклонение материальной точки от положения равновесия
(смещение); A - амплитуда колебаний (максимальное отклонение от
положения равновесия);   t  φ 0 - фаза колебаний; φ 0 - начальная
фаза (значение фазы для колебаний в момент времени t  0 ); ω круговая или циклическая частота колебаний.
а) Свободные колебания при отсутствии трения (собственные
колебания)
Свободными называются колебания системы, выведенной из
положения равновесия и представленной затем самой себе.
Предположим, что на тело, выведенное из положения равновесия,
действуют силы, пропорциональные смещению и противоположно
ему направленные: F  kx , где k - коэффициент пропорциональности.
Силы, изменяющиеся подобным образом, как упругие силы,
независимо от их природы называются «квазиупругими». Если
пренебречь силами трения, уравнение движения по второму закону
Ньютона можно записать в виде
d 2x
m 2  kx
dt
(2)
d 2x k
 x  0.
dt 2 m
(3)
или
Последнее уравнение является дифференциальным уравнением
гармонических колебаний, решением которого будет гармоническая
функция
x  A sin ω t  φ .
(4)
В том, что (4) действительно является решение уравнения (3) ,
легко убедиться путем подстановки (4) в (2):
k
(5)
 A 2 sin ω t  φ   A sin ω t  φ   0.
m
Очевидно, что (5) будет выполняться для любого произвольного
момента времени в том случае, если ω2  k / m . Следовательно,
решением уравнения (3) действительно является гармоническая
функция (4) с циклической частотой:
 k /m
(6)
б) Свободные колебания при наличии трения (затухающие
колебания)
Предположим теперь, что на колеблющееся тело действуют
силы сопротивления движению, пропорциональны скорости тел и
противоположно направленные, например, силы вязкого трения при
малых скоростях движения тела: Fтр  v .
Дифференциальное уравнение движения с учетом квазиупругих
сил можно записать в виде:
d 2 x  dx k

 x  0.
(7)
dt 2 m dt m
Введем обозначения:  / m  2n и k / m  02 . С учетом этих
обозначений дифференциальное уравнение движения принимает
форму:
d 2x
dx

2
n
 02 x  0.
(8)
2
dt
dt
Наличие квазиупругих сил позволяет сделать заключение о том,
что тело будет совершать колебательное движение. Но, в отличие от
собственных колебаний, энергия колебаний будет уменьшаться,
расходуясь на преодоление трения. Следовательно, амплитуда
колебаний должна зависеть от времени, постоянно уменьшаясь.
Кроме того, силы трения тормозят движение, что должно приводить к
уменьшению частоты колебаний. С учетом сказанного решение
уравнения (8) можно искать в виде:
(9)
x  At sin t  .
При таком законе движения скорость тела и ускорение равны:
dx dA
d cost  
(10)
v

sin t    A
dt dt
dt
dv  d 2 A
dA

a
  2  A2  sin t    2  cost   .
dt  dt
dt

(11)
Если (9) является решением уравнения (8), то после подстановки
в (8) смещения (9), скорости (10) и ускорения (11) должно получиться
тождество:
dA
d 2 A

2
2
 dt 2  2n dt  0   A sin t   


(12)
dA


 2  2nA cost    0.
 dt

Очевидно, что тождество будет выполняться для любого
произвольного момента времени, если
d2A
dA

2
n
 02  2 A  0,
(13)
2
dt
dt
и
2
dA
 2nA  0.
dt
(14)
Из условия (14) следует, что
dA
(15)
 ndt.
A
Интегрируя это выражение, получим
(16)
ln A  nt  C
Постоянную интегрирования можно определить, если известно
значение A0 амплитуды колебаний в момент времени t  t0  0 :
ln A0  C
(17)
Подставив значение постоянной интегрирования в общее
решение (16), получим зависимость амплитуды колебаний от времени:
(18)
A  A0 e nt
Если теперь подставить (18) в условие (13), получим
A0 e nt 02  2  n2   0,
(19)
т. е. в любой момент времени
02  2  n 2  0,
откуда значение
выражением:
круговой
частоты
  02  n 2 .
колебаний
определяется
(20)
Таким образом, закон колебаний, определяемых уравнением (8),
имеет вид
(21)
x  A0 e nt sin t   .
Это так называемые затухающие колебания. При затухающих
колебаниях амплитуда с течением времени убывает по
экспоненциальному закону. В то же время отношение двух
последовательных амплитуд, отстоящих друг от друга на один период
колебаний, от времени не зависит и остается постоянным:
At  T  A0 e  n t T 

 e nT .
(22)
 nt
At 
A0 e
Величина n , определяющая быстроту убывания амплитуды,
называется показателем затухания. Натуральный логарифм
отношения амплитуд (22) называется логарифмическим декрементом
затухания.
A(t  T )
(23)
  ln
 nT .
A(t )
Для практических расчетов берут обычно абсолютное значение
логарифмического декремента:   nT .
Как видно из (23), показатель затухания n имеет размерность
[с-1], т.е. его можно записать в виде n  1  , а логарифмический
декремент
тогда
равен:
  T .
Величина,
обратная
1 
 , показывает,
 T
какое число полных колебаний совершит тело, пока амплитуда его
колебаний уменьшится в e раз. Действительно, через N периодов
после начала колебаний, т. е. к моменту времени NT амплитуда
уменьшится в A0 A NT  раз:
логарифмическому декременту затухания N 
A0
A(0)

 e N
 nNT
A( NT ) A0 e
Если N  1 8 , амплитуда уменьшается в e раз.
Как это следует из (20), круговая частота колебаний равна:
  k / m  2 / 4n 2 .
(24)
В зависимости от величины затухания (коэффициента трения  )
возможны различные типы движения.
а) В случае сильного затухания 2 4n2  k m колебательное
движение отсутствует. Тело, выведенное из положения равновесия,
лишь постепенно возвращается в это положение. Такое движение
обычно называют апериодическими колебаниями.
б) В случае критического затухания 2 4n2  k m, т.е.   0 .
в) Если 2 4n2  k m, т.е. в случае слабого затухания, имеют
место затухающие колебания.
3. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ, РЕЗОНАНС
При наличии трения в колебательной системе энергия
колебаний со временем убывает. Для того, чтобы в системе
поддерживались незатухающие колебания, необходимо периодически
восполнять потери энергии, т.е. осуществлять периодическое внешнее
воздействие на систему. Предположим, что на тело действуют
квазиупругая сила Fупр  kx , сила трения Fтр  v и периодическая
внешняя сила F  F0 sin 1t . По второму закону динамики
Вводя
d 2x
k
 dx F0
 x
 sin 1t
2
dt
m
m dt m
прежние
обозначения
02  k m ,
2n   m ,
дифференциальное уравнение движения можно записать в виде
F
d 2x
dx
 2n  02 x  0 sin 1t.
(25)
2
dt
dt
m
Уравнение (25) является линейным неоднородным уравнением
(или уравнением с правой частью). Как это следует из теории
дифференциальных
уравнений,
решение
неоднородного
дифференциального уравнения состоит из суммы двух решений:
1) общего решения однородного уравнения, соответствующего
данному неоднородному, т.е. уравнение затухающих колебаний
d 2x
dx
 2n  02 x  0.
2
dt
dt
2) частного решения неоднородного уравнения в целом.
Решением однородного уравнения, как было показано выше,
является монотонно убывающая со временем функция. Поэтому через
достаточно большой промежуток времени первой частью решения по
сравнению со второй можно пренебречь и рассматривать только
вторую часть решения. Это так называемые установившиеся
колебания.
Для линейных систем характерно, что если на систему
действует внешняя периодическая сила, изменяющаяся с частотой 1 ,
то в системе возникают колебания той же частоты, т.е. вторую часть
решения можно искать в виде
x  A sin 1t    A sin 
(26)
Подставив искомое решение x , скорость
d 2x
dx
и ускорение 2 в
dt
dt
уравнение (25), получим
F0
(27)
sin   .
m
Равенство (27) будет выполняться для любого произвольного
момента времени в том случае, если равны коэффициенты при sin  и
cos  в левой и правой частях. Разлагая в правой части (27) sin    и
приравнивая коэффициенты при sin  и cos  , получим условия
выполнения равенства
F
(28)
A02  12   0 cos 
m
и
F
(29)
2nA1   0 sin .
m
Таким образом, x  A sin 1t   будет являться решением
 A12 sin   2nA1 cos   02 A sin  
дифференциального уравнения движения (25) при выполнении
условий (28) и (29).
Из этих условий можно получить выражения для амплитуды
установившихся колебаний и начальной фазы:
2n
(30)
tg    2 1 2 ,
0  1
A

2
0
F0 m

2 2
1

 4n 
2
2
1
,
(31)
Как видно, и амплитуда, и начальная фаза установившихся
колебаний зависят от частоты внешней вынуждающей силы. Из (31)
можно заметить, что с ростом частоты 1 амплитуда колебаний
возрастает, но при 1   обращается в нуль. Это означает, что при
некоторых значениях частоты вынуждающей силы амплитуда
колебаний должна принимать максимальные значения. Явление
возрастания амплитуды колебаний при определенных значениях
частоты вынуждающей силы называют резонансом. Определим
резонансные значения частоты колебаний рез , амплитуды Aрез и
сдвига фаз между смещением и вынуждающей силой tg  рез .
Очевидно, что амплитуда колебаний будет максимальной в том
случае, если подкоренное выражение в (31) будет минимальным.
Обозначив
z  02  12   4n 2 12 ,
2
запишем
условие
экстремума
подкоренного выражения:
dz
 202  12  21   8n 2 1  0
d1
(32)
Таким образом, подкоренное выражение (и, соответственно,
амплитуда колебаний) принимает экстремальное значение при:
1  0
(33)
и
1  02  2n 2 .
(34)
Минимальным подкоренное выражение (или максимальной
d 2z
амплитуда) будет в том случае, если производная
, при
d12
подстановке корня а) и б) будет положительна.
Вторая производная от подкоренного выражения равна
d 2z
 4312  02  2n 2 .
2
d1
(35)
Значение этой производной при 1  0 равно 42n2  02 , а при
1  02  2n 2 , равно 802  2n 2 .
Учитывая, что в колебательных системах, как правило, n  0 ,
видим,
что
максимуму
амплитуды
соответствует
вынуждающей силы 1  02  2n 2 .
Таким образом, резонансная частота равна
частота
рез  02  2n 2 .
(36)
Учитывая это значение, по (30) и (31) находим резонансные
значения сдвига фаз и амплитуды колебаний:
02  2n 2
tg  рез  
,
n
F0 m
Aрез 
.
2
2
2n 0  n
(37)
(38)
Из (37) и (38) видно, что при отсутствии трения ( n  0 )
амплитуда колебаний при резонансе обращается в бесконечность, а
сдвиг фаз между смещением и вынуждающей силой равен  2 .
Графически зависимости амплитуды колебаний от частоты
вынуждающей силы (амплитудо-частотные характеристики) и сдвига
фаз (фазово-частотные характеристики) при различных значениях n
приведены на рис. 1 и 2:
Рис. 1. Амплитудно-частотные характеристики.
Важной характеристикой колебательной системы является ее
добротность. Добротность системы пропорциональна отношению
средней энергии за период колебаний к потерям энергии за тот же
период.
Рис. 2. Фазово-частотные характеристики
Для механической колебательной системы ее добротность
проще подсчитать как отношение резонансной амплитуды колебаний
к смещению под действием постоянной силы, равной амплитудному
значению вынуждающей силы A0 :
Aрез
F0 m
A0 
2n 02  n 2
F0
02

.
m02 2n 02  n 2
Это выражение можно упростить, учитывая, что для
колебательных систем 0  n . В этом случае добротность равна
Q
Aрез 0
 



A0 2n nT 8
(39)
где  - логарифмический декремент затухания.
4. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
В этом разделе пойдет речь об электрической цепи, состоящей
из последовательно соединенного активного сопротивления R ,
конденсатора C , катушки индуктивности L (рис. 3). Рассматриваемая
цепь представляет собой типичную колебательную систему,
вследствие чего ее часто называют колебательным контуром.
Рис. 3
Пусть R  0 и конденсатор C заряжен до напряжения U 0 . При
этом конденсатор имеет энергию: W0  q 2 2C , где q0
- заряд
конденсатора. Далее конденсатор разряжается и в цепи появляется
электрический ток. Вследствие явления самоиндукции ток в LC -цепи
достигает максимального значения I max не сразу, а постепенно. При
появлении тока возникает переменное магнитное поле, которое
порождает вихревое электрическое поле в проводнике. Вихревое
электрическое поле порождает индукционный ток, направленный
против тока, и препятствует его мгновенному увеличению. По мере
разрядки конденсатора энергия электрического поля уменьшается, но
возрастает энергия магнитного, которая определяется формулой:
(40)
WM  LI 2 2 .
В момент, когда конденсатор полностью разрядится ( q  0 ),
2
WЭ  0,WM  LI max
2.
Несмотря на то, что U C  0 , электрический ток не прекращается
сразу, опять же вследствие явления самоиндукции. Индукционный
ток, порождаемый вихревым электрическим полем, будет
поддерживать ток I t  .
В результате этого конденсатор C будет перезаряжаться до тех
пор, пока не исчезнет зарядный ток I t   0 , т. е. WM  0 . При этом
энергия конденсатора равна WЭ . Затем конденсатор C снова будет
разряжаться и процесс может продолжаться сколько угодно долго.
R  0 , потерь нет, поэтому выполняется закон сохранения энергии:
q 2 LI 2
W  WЭ  WM 

 const .
(41)
2C
2
Дифференцируя это выражение по времени t , учитывая, что:
dq
d 2 q dI
 I t , 2  ,
(42)
dt
dt
dt
получаем дифференциальное уравнение:
d 2q
1

q  0.
(43)
2
dt
LC
И если обозначить: 02  1 LC , то уравнение (43) полностью
эквивалентно
осциллятора:
дифференциальному
уравнению
x  02 x  0.
гармонического
(44)
Это позволяет сделать вывод: в контуре возникают гармонические
колебания заряда и силы тока:
q  q0 sin 0t  0 ;
(45)
I  I max sin 0t  ,
где  0 - собственная частота гармонических колебаний (или период
T ) определяется параметрами контура:
1
2
0 
; T0 
 2 LC .
0
LC
(46)
Сравнивая (45) с (7), можно провести аналогию:
1
k
mv 2
LI 2
kx 2
 ;WК 

;WП 
 WC
(47)
LC
m
2
2
2
При введении потерь ( R  0 ) закон сохранения уже не будет
выполняться, так как часть энергии будет выделяться в виде джоулева
тепла. Для описания такой RLC -цепи воспользуемся вторым
правилом Кирхгофа: сумма напряжения на всех участках замкнутого
контура равна действующей в этом контуре э.д.с.
Напряжения на отдельных элементах контура равны:
dI
q
U R  IR,U L   Eсамоинд.  L ,U C 
(48)
dt
C
Поэтому:
U L  U R  U C  0,
(49)
т.е.
L
dI
q
 IR   0,
dt
C
(50)
или:
d 2 q R dq 1


q  0.
(51)
dt 2 L dt LC
Если сравнивать (51) и (7), то получаем:
R
1
(52)
2n  ; 02 
L
LC
Так как уравнения (51) и (7) с математической точки зрения
эквивалентны, отличаются физическим смыслом неизвестных
функций, то можно по аналогии с решением уравнения (7) записать
решение уравнения (51) (см. табл. 1, рис. 3).
(53)
q  q0e nt sin 0t  
Таблица 1
Аналогия механических и электрических колебаний и их решений
Механические колебания
Электрические колебания
d 2x
dx
m 2    kx  0
dt
dt
xt 
d 2q
dq 1
L 2 R
 q0
dt
dt C
q t 
m

L
R
LC
k
dq
dx
I
dt
dt
где коэффициент затухания равен:

R
n
n
2m
2L
круговая частота равна:
k
1
02 
02 
m
LC
v
постоянные A , 0 определяются начальными условиями, т.е.
x0, v0
выражаются через:
q0   q0 , I 0 
В соответствии с результатами (21), (53) можно определить
критическое сопротивление Rкр :
L
(54)
,
C
при котором колебания в контуре становятся апериодическими (рис.
4).
рисуночек.
Rкр  2
5. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Блок-схема установки представлена на рис. 5:
опять рисунок
Генератор импульсов (ГИ) позволяет получить имульсы
прямоугольной формы, которые возбуждают исследуемый RLC контур. Периодическое возбуждение контура позволяет наблюдать на
экране осциллографа (ЭЛО) устойчивую картину затухающих
колебаний в RLC -контуре. Изменяя сопротивление R , можно
R
получить различные условия затухания, так как n 
Исследуемый
2L
контур имеет следующие параметры:
L  7 мГн, C  103 пФ (680 пФ)
6. ЗАДАНИЯ К РАБОТЕ
1. Собрать схему. Включить в сеть осциллограф.
2. Установить сопротивление магазина R равным нулю. Ручками
управления осциллографа «усиление по вертикали», «усиление по
горизонтали» и т. п. Добиться, чтобы на экране полностью
уложилась вся картина затухающих колебаний.
A 
3. По формуле   ln  1  определить логарифмический декремент
 A2 
затухания, где A1 , A2 - амплитуды колебаний, отстоящих друг от
друга на период T .
4. С помощью программы «lab11» пронаблюдать резонанс.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какие колебания называются затухающими?
2. От каких параметров системы зависят амплитуда, частота и период
затухающих колебаний?
3. Дайте
определение
основных
физических
величин,
характеризующих затухающие колебания.
4. Нарисуйте график зависимости амплитуды затухающих колебаний
от времени.
5. Запишите формулы, связывающие добротность системы Q с
другими характеристиками колебаний.
Литература
1. Савельев И. В. Курс общей физики. Т. 1 – Механика. 1982. – 432 с.
2. Матвеев А. Н. Механика. 1988. – 332 с.