Теорема Холла (о паросочетаниях, о различных представителях

Теорема Холла (о паросочетаниях, о различных представителях, о деревенских свадьбах – Вейль).
Формулировка Германа Вейля: «В деревне относительно каждого юноши (n человек) и каждой девушки
известно, дружат они или нет. Если для любых k юношей (k – любое натуральное в пределах 1≤k≤n)
объединение множеств их подруг содержит не менее k девушек, то каждый юноша может выбрать себе
жену из числа своих подруг».
«Для того, чтобы в двудольном графе каждой вершине первой доли можно было поставить в соответствие
свою смежную с ней вершину второй доли, необходимо и достаточно выполнение следующего условия: любое
k-элементное подмножество вершин первой доли должно иметь в сумме не менее k смежных вершин во
второй доле».
1. На кружке 20 школьникам было предложено 20 задач. Каждый школьник решил две задачи и каждую
задачу решили ровно двое из них. Докажите, что можно так организовать разбор задач, чтобы каждый
школьник рассказал одну задачу и все задачи были разобраны.
2. Клетчатый прямоугольник покрыт доминошками так, что каждую клетку покрывают ровно 2 доминошки.
Доказать, что доминошки можно разбить на 2 группы так, что каждая группа полностью покрывает
прямоугольник в один слой.
3. На шахматной доске стоят 8k ладей по k ладей в каждой горизонтали и вертикали. Доказать, что на доске
можно выбрать из них 8 ладей, не бьющих друг друга.
4. На доске NNстоят KN ладей по K ладей в каждой горизонтали и вертикали. Доказать, что ладьи можно
разбить на K групп по N штук так, что в каждой группе ладьи не бьют друг друга.
5. В клубе на танцевальном вечере каждый юноша знаком не менее, чем с M девушками, а каждая девушка –
не более, чем с M юношами. Докажите, что каждый юноша может пригласить на танец знакомую девушку.
6. ТЕОРЕМА БИРКГОФА: «Квадрат двумя различными способами разбит на N кусков одинаковой площади.
Доказать, что в нём можно выбрать N точек так, что в каждом куске каждого разбиения имеется ровно по
одной выбранной точке».
7. Имеется таблица NN из неотрицательных чисел, причём сумма чисел в каждой строке и каждом столбце
равна одному и тому же положительному числу. Доказать, что можно выбрать N ненулевых чисел в
таблице так, что в каждой строке и в каждом столбце будет выбрано ровно по одному элементу.
8. В клетках таблицы NN расставлены натуральные числа так, что суммы чисел в каждом столбце и в
каждой строке равны 2002. Двое игроков по очереди делают ходы. За один ход разрешается выбрать N
клеток с ненулевыми числами так, что любые две клетки стоят в разных строках и столбцах, и уменьшить
все числа в выбранных клетках на 1. Проигрывает тот, кто не сможет сделать следующий ход. Доказать, что
независимо от действий игроков выигрывает второй. (Областная олимпиада 2002 года, 10-11 класс).
9. Клетки шахматной доски 88 занумерованы числами от 1 до 32 так, что каждое число встречается дважды.
Докажите, что можно выбрать 32 клетки, занумерованные разными числами, так что на каждой вертикали и
каждой горизонтали найдется хотя бы по одной выбранной клетке. (Турнир городов)
10. В стране из каждого города выходит по 3 железные дороги. Две компании хотят их все приватизировать.
Антимонопольный комитет требует, чтобы из каждого города выходили дороги обеих компаний. Доказать,
что компании могут договориться между собой, чтобы требование Антимонопольного комитета было
выполнено.
11. В компании из N человек, где каждый знаком хотя бы с одним из остальных, у всех поровну знакомых.
Докажите, что из членов этой компании можно выбрать не менее, чем N/3 непересекающихся пар
знакомых.
Теорема Холла (о паросочетаниях, о различных представителях, о деревенских свадьбах – Вейль).
Формулировка Германа Вейля: «В деревне относительно каждого юноши (n человек) и каждой девушки известно, дружат они или нет. Если для
любых k юношей (k – любое натуральное в пределах 1≤k≤n) объединение множеств их подруг содержит не менее k девушек, то каждый юноша
может выбрать себе жену из числа своих подруг».
«Для того, чтобы в двудольном графе каждой вершине первой доли можно было поставить в соответствие свою смежную с ней вершину второй
доли, необходимо и достаточно выполнение следующего условия: любое k-элементное подмножество вершин первой доли должно иметь в сумме
не менее k смежных вершин во второй доле».
1. На кружке 20 школьникам было предложено 20 задач. Каждый школьник решил две задачи и каждую задачу решили ровно двое из них.
Докажите, что можно так организовать разбор задач, чтобы каждый школьник рассказал одну задачу и все задачи были разобраны.
2. Клетчатый прямоугольник покрыт доминошками так, что каждую клетку покрывают ровно 2 доминошки. Доказать, что доминошки можно
разбить на 2 группы так, что каждая группа полностью покрывает прямоугольник в один слой.
3. На шахматной доске стоят 8k ладей по k ладей в каждой горизонтали и вертикали. Доказать, что на доске можно выбрать из них 8 ладей, не
бьющих друг друга.
4. На доске NNстоят KN ладей по K ладей в каждой горизонтали и вертикали. Доказать, что ладьи можно разбить на K групп по N штук так, что
в каждой группе ладьи не бьют друг друга.
5. В клубе на танцевальном вечере каждый юноша знаком не менее, чем с M девушками, а каждая девушка – не более, чем с M юношами.
Докажите, что каждый юноша может пригласить на танец знакомую девушку.
6. ТЕОРЕМА БИРКГОФА: Квадрат двумя различными способами разбит на N кусков одинаковой площади. Доказать, что в нём можно выбрать
N точек так, что в каждом куске каждого разбиения имеется ровно по одной выбранной точке».
7. Имеется таблица NN из неотрицательных чисел, причём сумма чисел в каждой строке и каждом столбце равна одному и тому же
положительному числу. Доказать, что можно выбрать N ненулевых чисел в таблице так, что в каждой строке и в каждом столбце будет
выбрано ровно по одному элементу.
8. В клетках таблицы NN расставлены натуральные числа так, что суммы чисел в каждом столбце и в каждой строке равны 2002. Двое игроков
по очереди делают ходы. За один ход разрешается выбрать N клеток с ненулевыми числами так, что любые две клетки стоят в разных строках
и столбцах, и уменьшить все числа в выбранных клетках на 1. Проигрывает тот, кто не сможет сделать следующий ход. Доказать, что
независимо от действий игроков выигрывает второй. (Нижегородская областная олимпиада 2002 года, 10-11 класс).
9. Клетки шахматной доски 88 занумерованы числами от 1 до 32 так, что каждое число встречается дважды. Докажите, что можно выбрать 32
клетки, занумерованные разными числами, так что на каждой вертикали и каждой горизонтали найдется хотя бы по одной выбранной клетке.
(Турнир городов)
10. В стране из каждого города выходит по 3 железные дороги. Две компании хотят их все приватизировать. Антимонопольный комитет требует,
чтобы из каждого города выходили дороги обеих компаний. Доказать, что компании могут договориться между собой, чтобы требование
Антимонопольного комитета было выполнено.
11. В компании из N человек, где каждый знаком хотя бы с одним из остальных, у всех поровну знакомых. Докажите, что из членов этой
компании можно выбрать не менее, чем N/3 непересекающихся пар знакомых.
Теорема Холла (о паросочетаниях, о различных представителях, о деревенских свадьбах – Вейль).
Формулировка Германа Вейля: «В деревне относительно каждого юноши (n человек) и каждой девушки известно, дружат они или нет. Если для
любых k юношей (k – любое натуральное в пределах 1≤k≤n) объединение множеств их подруг содержит не менее k девушек, то каждый юноша
может выбрать себе жену из числа своих подруг».
«Для того, чтобы в двудольном графе каждой вершине первой доли можно было поставить в соответствие свою смежную с ней вершину второй
доли, необходимо и достаточно выполнение следующего условия: любое k-элементное подмножество вершин первой доли должно иметь в сумме
не менее k смежных вершин во второй доле».
1. На кружке 20 школьникам было предложено 20 задач. Каждый школьник решил две задачи и каждую задачу решили ровно двое из них.
Докажите, что можно так организовать разбор задач, чтобы каждый школьник рассказал одну задачу и все задачи были разобраны.
2. Клетчатый прямоугольник покрыт доминошками так, что каждую клетку покрывают ровно 2 доминошки. Доказать, что доминошки можно
разбить на 2 группы так, что каждая группа полностью покрывает прямоугольник в один слой.
3. На шахматной доске стоят 8k ладей по k ладей в каждой горизонтали и вертикали. Доказать, что на доске можно выбрать из них 8 ладей, не
бьющих друг друга.
4. На доске NNстоят KN ладей по K ладей в каждой горизонтали и вертикали. Доказать, что ладьи можно разбить на K групп по N штук так, что
в каждой группе ладьи не бьют друг друга.
5. В клубе на танцевальном вечере каждый юноша знаком не менее, чем с M девушками, а каждая девушка – не более, чем с M юношами.
Докажите, что каждый юноша может пригласить на танец знакомую девушку.
6. ТЕОРЕМА БИРКГОФА: Квадрат двумя различными способами разбит на N кусков одинаковой площади. Доказать, что в нём можно выбрать
N точек так, что в каждом куске каждого разбиения имеется ровно по одной выбранной точке».
7. Имеется таблица NN из неотрицательных чисел, причём сумма чисел в каждой строке и каждом столбце равна одному и тому же
положительному числу. Доказать, что можно выбрать N ненулевых чисел в таблице так, что в каждой строке и в каждом столбце будет
выбрано ровно по одному элементу.
8. В клетках таблицы NN расставлены натуральные числа так, что суммы чисел в каждом столбце и в каждой строке равны 2002. Двое игроков
по очереди делают ходы. За один ход разрешается выбрать N клеток с ненулевыми числами так, что любые две клетки стоят в разных строках
и столбцах, и уменьшить все числа в выбранных клетках на 1. Проигрывает тот, кто не сможет сделать следующий ход. Доказать, что
независимо от действий игроков выигрывает второй. (Нижегородская областная олимпиада 2002 года, 10-11 класс).
9. Клетки шахматной доски 88 занумерованы числами от 1 до 32 так, что каждое число встречается дважды. Докажите, что можно выбрать 32
клетки, занумерованные разными числами, так что на каждой вертикали и каждой горизонтали найдется хотя бы по одной выбранной клетке.
(Турнир городов)
10. В стране из каждого города выходит по 3 железные дороги. Две компании хотят их все приватизировать. Антимонопольный комитет требует,
чтобы из каждого города выходили дороги обеих компаний. Доказать, что компании могут договориться между собой, чтобы требование
Антимонопольного комитета было выполнено.
11. В компании из N человек, где каждый знаком хотя бы с одним из остальных, у всех поровну знакомых. Докажите, что из членов этой
компании можно выбрать не менее, чем N/3 непересекающихся пар знакомых.