Линейные уравнения

Линейные уравнения
Содержание
Введение
Глава 1. Понятие и решение линейных уравнений
Глава 2. Линейные однородные уравнения и их основные свойства
Глава 3. Линейные уравнения высших порядков
Заключение
Список использованной литературы
Введение
Уравнением называется математическое соотношение, выражающее
равенство двух алгебраических выражений. Если равенство справедливо для
любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется
тождеством; например, соотношение вида (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) выполняется
при всех значениях переменной x. Для обозначения тождества часто вместо
обычного знака равенства = пишут знак , который читается «тождественно
равно». Тождества используются в алгебре при записи разложения многочленов
на множители (как в приведенном выше примере). Встречаются они и в
тригонометрии в таких соотношениях, как sin2x + cos2x = 1, а в общем случае
выражают формальное отношение между двумя на первый взгляд различными
математическими выражениями.
Если уравнение, содержащее переменную x, выполняется только при
определенных, а не при всех значениях x, как в случае тождества, то может
оказаться полезным определить те значения x, при которых это уравнение
справедливо. Такие значения x называются корнями или решениями уравнения.
Например, число 5 является корнем уравнения 2x + 7= 17.
Линейное
уравнение
это
алгебраическое
уравнение,
в
которое
неизвестные входят в 1-й степени и отсутствуют члены, содержащие
произведения неизвестных. Линейное уравнение с одним неизвестным имеет
вид:
ax= b. В случае нескольких неизвестных имеют дело с системами
линейных уравнений.
Глава 1. Понятие и решение линейных уравнений
Как
уже
упоминалось
во
введении,
линейное
уравнение
есть
алгебраическое уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени и
отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных.
Линейные уравнения решаются путем их сведения к эквивалентному
уравнению, из которого непосредственно видно значение неизвестного.
Например, уравнение x + 2 = 7 можно свести к эквивалентному уравнению x = 5
вычитанием числа 2 из правой и левой частей. Шаги, совершаемые при
сведении простого уравнения, например, x + 2 = 7, к эквивалентному, основаны
на использовании четырех аксиом.
1. Если равные величины увеличить на одно и то же число, то результаты
будут равны.
2. Если из равных величин вычесть одно и то же число, то результаты
будут равны.
3. Если равные величины умножить на одно и то же число, то результаты
будут равны.
4. Если равные величины разделить на одно и то же число, то результаты
будут равны.
Например, чтобы решить уравнение 2x + 5 = 15, мы воспользуемся
аксиомой 2 и вычтем число 5 из правой и левой частей, в результате чего
получим эквивалентное уравнение 2x = 10. Затем мы воспользуемся аксиомой 4
и разделим обе части полученного уравнения на 2, в результате чего исходное
уравнение сведется к виду x = 5, что и является искомым решением.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка
ao(x)e(n) + a1(x)y(n-1) + ...+an-l(x)y' + aa{x)y=r(x),
(1)
где ai(x) (i = 0, 1, ..., п) и r(х) — известные функции, непрерывные при
всех допустимых значениях x; у — искомая функция аргумента x; y`(n) — ее
производные по х.
Заметим, что искомая функция и ее производные входят в уравнение (1) в
первой степени, поэтому его и называют линейным.
Функция r(х), входящая в линейное уравнение (1), называется правой
частью.
Определение 1. Линейное дифференциальное уравнение (1) называется
однородным (или уравнением без правой части), если r(x) = 0.
Запишем уравнение (1) в другой, форме. Разделим все члены этого
уравнения на ao(x) и обозначим новые коэффициенты через
ai(x) = ai(х) / а0(х) (I = 1, ...n), а новую правую часть — через
/а0(х)/
Тогда уравнение (1) запишется в виде
y(n) + a1(x)y(n-1) + … + an-1(x)y` + an(x)y = f(x)
(2)
а соответствующее ему однородное уравнение — в виде
y(n) + a1(x)y(n-1) + … + an-1(x)y` + an(x)y = 0
(3)
f(x)= r(х)
Глава 2. Линейные однородные уравнения и их основные свойства
Рассмотрим уравнение
y`` + p(x)y` + q(x)y = 0
(4)
где р(х) и q(x) — функции, непрерывные при всех допустимых значениях
х. Уравнение (4) является линейным однородным уравнением вида (3), где п =
2, а1(х)=р(х), а2(х)=а(х). Оно имеет очевидное решение y(x)=0 (нулевое
решение), для которого y' = 0, y`` = 0 и уравнение (4) обращается в тождество.
Интерес представляет отыскание ненулевых решений уравнения (4).
Пусть у1=у1(х), у2 = y2(x) — два решения уравнения (4), отличные от
нулевого.
Определение 2. Два решения у1 и y2 уравнения (4) называются линейно
зависимыми, если существуют постоянные a1 и а2, не обращающиеся
одновременно в нуль и такие, что при любом значении х справедливо
соотношение
A1y2(x) + a2y2(x) = 0
(5)
Если же таких чисел a1 и а2 не существует, т. е. тождество (5) справедливо
только при a1 = a2 = 0, то решения у1 и у2 называются линейно независимыми.
Общее решение уравнения (4) удается найти не во всех случаях. Однако в
частном случае, когда уравнение (4) имеет вид
y `` + py` + qy = 0
(6)
где р и q — постоянные, его общее решение можно найти всегда.
Уравнение
(6)
называется
линейным
однородным
дифференциальным
уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Будем искать
его решение в виде y — ekx, где k — некоторое пока неизвестное число
(действительное или мнимое). Тогда y' = kekx, у" = k2ekx. Подставив эти
выражения в уравнение (6) и разделив обе его части на общий множитель ekx,
отличный от нуля для всех х, получим
k2 + pk + q = 0
(7)
Уравнение
(7)
называется
характеристическим
уравнением
для
уравнения (6). Его корни находятся по формуле
k1,2 = - p/2 ± √ p2/4 – q
(8)
В зависимости от характера корней уравнения (7) получаются различные
общие решения уравнения (6). Рассмотрим возможные случаи.
1. Корни действительные и различные: k =/= k2. В этом случае частными
решениями уравнения (6) являются y1 = еk1x, у2 = еk2x. Как было показано, эти
решения линейно независимы. Следовательно, общее решение уравнения (6)
имеет вид
y = C1ek1x + C2ek2x
2. Корни действительные и равные: k1 = k2 = k. В этом случае одно
частное решение имеет вид y1 = ekx. Если взять y2 = ekx , то решения у1 и y2
окажутся линейно зависимыми. Поэтому второе частное решение находим по
формуле (5) и получаем y2 = x ekx. Решения у1 и у2 линейно независимы.
Следовательно, общее решение уравнения (6) имеет вид
у = ekx (С1 + C2x).
3.
(9)
Корни комплексные: k1 = a + ib, k2 = a – ib, где a = - p/2 –
действительная, аβ = √q – P2/4 – мнимая часть комплексного числа.
Легко проверить, что в этом случае линейно независимыми решениями
уравнения (6) являются частные решения у1=еах sin βx и у2 = еах cos βx .
Следовательно, общее решение уравнения (12) имеет вид
Y = еах (C1 sin βx + C2cos βx).
(10)
Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения с
постоянными
коэффициентами
(6)
сводится
к
нахождению
корней
характеристического уравнения (7), которое легко составить непосредственно
по уравнению (8), если в нем заменить производные соответствующими
степенями показателя k.
Глава 3. Линейные уравнения высших порядков
Линейные
уравнения
высших
порядков
обладают
аналогичными
свойствами, что и те линейные уравнения, которые мы рассматривали ранее.
Сформулируем их, не останавливаясь на доказательствах.
Рассмотрим линейное однородное уравнение п-го порядка вида (3):
y(n) + a1(x)y(n-1) +... + an-1(x)y` + an(x)y = 0
Частные решения у1, y2, … yn, уравнения (3) называются линейно
независимыми, если между ними не существует тождественного относительно х
соотношения
A1y1 + a2y2 + … + anyn = 0
где постоянные a1, а2, ..., аn одновременно не обращаются в нуль. Если у\,
г/2, ..-,
УП
— линейно независимые частные решения уравнения (3), то его
общее решение задается формулой
y = C1y1 + C2y2 + … Cnyn,
(11)
где С1 С2, ..., Сn — произвольные постоянные.
Если коэффициенты а1, а2, ..., ап уравнения (3) постоянны, то его частные
решения у1, у2, ..., уп находятся с помощью характеристического уравнения
kn + a1kn-1 + … + an-1k+an = 0
(12)
При этом каждому действительному корню k уравнения (12), имеющему
кратность т, соответствуют т частных решений вида ekx, xm-1, ..., xm-1 ekx
уравнения (3).
Заключение
Подведем итог вышесказанному.
Уравнения служат мощным средством решения практических задач.
Точный язык математики позволяет просто выразить факты и соотношения,
которые,
будучи
изложенными
обычным
языком,
могут
показаться
запутанными и сложными.
Неизвестные величины, обозначаемые в задаче символами, например x,
можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде
уравнений. Методы решения уравнений составляют в основном предмет того
раздела математики, который называется теорией уравнений.
Теория линейных уравнений получила развитие после возникновения
учения об определителях и матриц. Понятие линейности переносится с
алгебраических уравнений на уравнения из других областей математики (напр.,
линейное дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение, в
которое неизвестная функция и ее производные входят линейно, т. е. в 1-й
степени).
Вместе с тем, линейное уравнение и проблемы его решения – составляют
один из множества разделов современной математической науки.
Список использованной литературы
1. Бугров
Я.С., Никольский
С.М. Высшая математика. Дифферен-
циальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1984.
2. Бугров
Я.С., Никольский
С.М. Высшая математика. Дифферен-
циальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного
переменного. – М.: Наука, 1985.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник. – М.:
Наука, 1982, 1987.
4. Данко
П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1986.
5. Еругин Н.П. Книга для чтения по дифференциальным уравнениям. –
Минск: Высшая школа, 1979.
7. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. / Под
ред. Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1978.
8. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы
математического анализа. / Под ред. А.В. Ефимова и
Б.П. Демидовича. – М.:
Наука, 1981.
9. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы
математического анализа. / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. – М.:
Наука, 1981.
10. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для
втузов. – М.: Наука, 1985.