Анализ задачи. Логические задачи.

1. Анализ задачи. Логические задачи.
Приступая к решению задачи, ее внимательно изучают, устанавливают ее
требования (вопросы) и условия, исходя из которых надо решать задачу.
Обычно в задаче не одно условие, а несколько независимых элементарных
(нерасчленимых дальше [35,с.6]) условий; требований в задаче также может
быть не одно. В таком случае расчленяют все утверждения и требования.
Наиболее удобной, компактной и в то же время наглядной формой записи
результатов
предварительного
анализа
являются
различные
виды
схематической записи задач.
Подробности об особенностях и глубине анализа задач в [35, с.6-16],[23, с.13,32-36,62].
Использованы задачи из [1], [5], [10], [12], [13], [19], [22], [25], [35].
Литература
На следующем примере продемонстрируем различие стандартного и
нестандартного подходов при решении достаточно простой задачи.
Задача 1. Составить квадратное уравнение, корни которого были бы
соответственно равны квадратам корней уравнения 2 x 2  5 x  1  0 .
Первый способ.
Анализ. Вычленим требования задачи: составить уравнение. Какое? Квадратное.
Составить квадратное уравнение значит найти его коэффициенты. Обозначим
их буквами a, b и с, а переменную искомого уравнения буквой у , с тем, чтобы
отличить это уравнение от данного  схематическая запись задачи:
Дано: 1) корни уравнения 2 x 2  5 x  1  0 есть x1 и x 2 ;
2) корни уравнения ay 2  by  c  0 есть y1 и y 2 ;
3) y1  x12 , y 2  x22 .
Найти: a, b, c.
Решение. Т.к. х1, 2 
2
5  25  4  2 5  17

, то
4
4
2
 5  17 
 5  17 
21  5 17
21  5 17
 

 

у1  
,
у

2

 4 
4
8
8





21  5 17 
21  5 17 
21
1
 у 
  а у 2 
ay 2  by  c  а у  у1  у  у 2   а у 
у

0


8
8
4
4





.
21
1
Т.о. а  произвольное, b= - а, с  а .
4
4
Второй способ.
Заметим, что в задаче не требуется найти корни исходного уравнения. А можно
ли обойтись без этого? Согласно теореме Виета, достаточно знать сумму и
произведение корней. Поэтому, считая уравнение приведенным, получим y1y2=
(x1x2)2 = 1/4= c, y1+y2=(x1+x2)2 - 2x1x2 = 25/4 – 1 = 21/4 = - b.
Задача 2. В классе учится 40 человек. Каждый из них изучает не менее одного
иностранного языка: английский, немецкий, французский; 34 человека
изучают хотя бы один из двух языков: английский, немецкий; 25
человек  хотя бы один из языков: немецкий, французский; 6 человек
изучают только немецкий. Одновременно два языка  английский и
немецкий  изучают на 3 человека больше, чем французский и
немецкий языки. Сколько человек изучает каждый из языков и
сколько изучает одновременно пару языков?
Анализ. Изобразим условие задачи схематически отрезками прямой.
Из схемы нетрудно наметить решение задачи. Так видно, что только
французский язык изучают 40  34 = 6 человек
Задача 3. Сколько цифр у числа 2100 ?
Анализ. Можно выделить следующие условия:
1) 2100N;
2) 2100 можно записать в виде многозначного числа в десятичной
системе исчисления.
Требование: Сколько цифр содержит запись этого многозначного
числа?
Решение. Замечаем, что 210=1024  210>103. Возведя обе части в 10-ую степень,
находим, что 2100>1030. У числа 1030 тридцать одна цифра ( у числа 10  две
цифры, у 100 три и т.д.) Поэтому у числа 2100 цифр не меньше. Но м.б. больше?
Оценим 210 сверху. Обратимся к равенству 210=1024. Возведя обе части этого
равенства в квадрат и округляя правую часть, получим неравенство: 220<1,05106
240<1,111012, 250=240210<1,1110241012  250<1,21015  2100<1,441030.
У числа в правой части последнего неравенства тоже 31 цифра. Значит, у числа
2100 тоже 31 цифра.
Глубина анализа зависит от степени знакомства с видом задач, к которому
принадлежит данная, и способом их решения. Его цель  найти идею, ключ к
решению или даже более  план решения задачи.
Задача 4. Построить параллелограмм по стороне, сумме диагоналей и углу
между ними.
Анализ. В анализе задач на построение [25,с.2] предполагают, что требование
выполнено. В данном случае построен параллелограмм. Далее на основании
условий пытаются выделить основной элемент (отрезок, точка, фигура),
построение которого приводит к построению искомой фигуры.
Рассмотрим
в
параллелограмме
треугольник,
образованный диагоналями и одной из его сторон.
O
Отложим на DO отрезок OE=OA и соединим точку Е с А.
BOA – внешний к ОАЕ,  E  12 BOA. Задача
сводится к построению АВЕ по двум сторонам AB и ВЕ
B
A
(данная
полусумма
диагоналей)
и
углу
ВЕА,
противоположному данной стороне.
В заключение следует осуществить построение, доказать, что построенный
параллелограмм – искомый, и провести исследование возможности и
единственности построения.
C
D
Некоторые задачи требуют для своего решения специфических знаний
вне математики. Так, например, в [12] среди задач, представленных на
математической олимпиаде для 9го класса, есть такая:
Задача 5. Изменение курсов доллара и германской марки в течение недели
показано на таблице. На сколько процентов максимально можно
будет увеличить за эту неделю капитал, играя на курсе валют?
(Начальный капитал имелся в рублях. Конечный  тоже должен быть
в рублях. В течении недели можно имеющиеся деньги как угодно
распределять в рубли, доллары и марки. Курсы продажи и покупки
считаются одинаковыми).
Доллар
Марка
ПН
4500р.
2500р.
ВТ
4500р.
2800р.
СР
5000р.
2500р.
ЧТ
4500р.
3000р.
ПТ
4000р.
2500р.
СБ
4500р.
3000р.
Анализ. Проведем анализ задачи, соотнося условия задачи с требованием. Что
значит играть на изменении курса валют? Это значит в конце каждого дня
переводить имеющиеся деньги в ту валюту, изменение курса которой на
следующий день по отношению к сегодняшнему наибольший из всех других
валют. Отсюда получаем условия:
1. Начальный капитал в рублях.
2. Курсы продажи и покупки одинаковые, т.е. используются только данные
таблицы.
3. Коэффициент изменения рубля всегда равен 1 (рубль = рублю).
4. Коэффициент изменения
Доллар
Марка
4000
 98
2800
4500
 10 9
2500
с ПН на ВТ
4500
с ВТ на СР
5000
2500
 28 25
2800
 25 28
с СР на ЧТ
4500
с ЧТ на ПТ
4000
с ПТ на СБ
4500
 910
3000
4500

2500
4000
 98
5000
8
9
3000
2500
 65
3000
 56
2500
 65
Вопрос: На сколько процентов увеличится капитал, если каждый раз переводить
его в ту валюту, коэффициент изменения которой на следующий день
наибольший из всех валют?
Переформулирование условия и требования задачи в результате анализа
позволило перевести ее из области нестандартных в число обычных, легко
решаемых.
Огромное количество текстовых (в т.ч. логических) задач легко решается
после анализа формулировки задачи и введения некоторой схемы.
Задача 6. Семья состоит из 3-х человек: отца, матери и сына. В настоящее время
сумма их возрастов составляет 65 лет. 9 лет назад эта сумма
составляла 40 лет . 4 года назад отец был старше сына в 9 раз. Сколько
лет отцу?
Анализ. Обозначим названные величины: x - возраст отца, y - возраст матери, z
- сына. Имеем три условия:
1) x  y  z  65 ;
2)
3)
x  9   y  9  z  9  40 ;
x  4  9z  4 ;
Первое условие явно противоречит второму: x  y  z  65 и x  y  z  67 . Что
здесь может быть? Каким образом получилось, что возраст семьи на 2 года
больше указанного в 1-ом условии (настоящего)? Очевидно, сын 9 лет назад
еще не родился. Причем до рождения еще 2 года. Отсюда в результате получаем
систему:
 z  9  2;

 x  4  9z  4.
Требование  найти x
Логические задачи можно найти в следующей литературе: [10], [14], [16], [22], [34].
Следует учесть, что такие задачи хороши в качестве шуточных (для оживления) во время
перерыва или на разминке между серьезными темами.
Задача 7. Сын отца профессора разговаривает с отцом сына профессора, причем
сам профессор в разговоре не участвует. Может ли быть такое?
Отец профессора
Профессор
Сын отца профессора
Отец сына профессора
Сын профессора
Содержание
Анализ. Если в уме трудно представить, то можно
сделать схему условия. Вывод очевиден.
Профессор – женщина (ее муж беседует с ее
братом).