МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский физико-технический институт (государственный университет) УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Ю.А.Самарский 31 мая 2012 г. ПРОГРАММА по курсу ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА по направлению 010900 “Прикладные математика и физика” факультет: все факультеты кафедра теоретической физики курс V семестр 9 лекции 34 часа Экзамен 9 семестр практические (семинарские) занятия 34 часа Зачет нет лабораторные занятия нет Самостоятельная работа– 2 часа в неделю ВСЕГО ЧАСОВ 68 Программу и задание составил д.ф.-м.н., проф. Р.О. Зайцев Программа принята на заседании кафедры теоретической физики 19 мая 2012 года Заведующий кафедрой Ю.М. Белоусов ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНАЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ II РОДА Термодинамическая теория возмущений Представление Мацубары. Температурные функции Грина. Диаграммная техника для ферми- и бозе-операторов. Диаграммная техника для неравновесных процессов. II. Уравнения Горькова Система основных уравнений при конечной температуре. Уравнения при наличии внешнего магнитного поля. Термодинамика сверхпроводящего состояния. Сверхпроводник в слабом магнитном поле. Дифференциальные уравнения сверхпроводимости вблизи температуры сверхпроводящего перехода (уравнения ГЛАГ). III. Теория сильно скоррелированных электронов Атомное представление. Диаграммная техника для спиновых операторов и операторов Хаббарда. Электронная структура оксидов переходных металлов. IV. Высокотемпературная сверхпроводимость Аномальный изотопический эффект. Отклонения от теории БКШ. Сверхпроводимость в модели Хаббарда. V. Ферромагнетизм металлов Энергетическая структура элементов переходных групп. Теория Стонера. Уравнения самосогласованного поля в однопетлевом приближении. Критерий ферромагнетизма для бесконечной энергии Хаббарда. Теория ферромагнетизма железа и кобальта. I. ФЛУКТУАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ II РОДА VI. Фазовые переходы. Теория Ландау Ферро- и антиферромагнетизм. Сегнетоэлектрики. Cверхпроводимость. Переход жидкого гелия в сверхтекучее состояние. Переходы металл-диэлектрик. Теория самосогласованного поля. 2 VII. Термодинамика сильно флуктуирующих систем Теория ОрнштейнаЦернике. Критические индексы. Точно решаемые одномерные и двумерные модели. VIII. Фазовый переход в пространстве 4- измерений Фазовый переход в четырехмерном пространстве Эвклида. Уравнения Судакова в четырехмерном пространстве. Гипотеза универсальности и гипотеза Вильсона. Вычисление критических индексов в трехмерном пространстве. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ IX. Диаграммная техника Запаздывающая, причинная и опережающая функции Грина. Квантово-механическое усреднение двухкомпонентных временных функций Грина. Система уравнений Келдыша и переход к уравнениям для функции распределения. X. Уравнения КадановаБейма Аппроксимация Хартри и уравнение Больцмана. Обобщённое уравнение Больцмана. Квазиравновесные явления и распространение звука. XI. Флуктуационно-диссипационная теорема Формулы Кубо для линейного отклика. Соотношения ЧелленаВельтона. Флуктуационно-диссипационная теорема для ток-токового коррелятора. Формула Найквиста. Белый шум. XII. Диффузионные процессы при низкой температуре Вычисление коррелятора плотность-плотность. Уравнения электродинамики в металлах. Аномальный скин-эффект и эффект Кондо. Диффузоны, купероны и теплопроводностные моды. Соотношение Эйнштейна. Вычисление четырёхтоковых корреляторов. 1 / f -шум при низких температурах. 3 XIII. Неравновесные флуктуации параметра порядка Вычисление третьего коэффициента в нестационарных уравнениях ГинзбургаЛандау. Динамический критический индекс и попытки его вычисления. XIV. Неравновесные процессы в сверхпроводниках Вычисление аномальных функций Грина. Квантовая теория туннельного эффекта. Туннельный ток между сверхпроводником и нормальным металлом. Микроскопическая теория эффекта Джозефсона. Литература 1. Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. — М.: Наука, 1962. 2. Зайцев Р.О. Диаграммные методы в физике твердого тела: учеб. пособие. — М.: МФТИ, 1990. 3. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика. Т. 2. — М.: Наука, 1978. 4. Зайцев Р.О., Орлов В.Г. Теория высокотемпературной сверхпроводимости: учеб. пособие. — М.: МФТИ, 1993. 5. Покровский В.Л., Паташинский А.З.. Флуктуационная теория фазовых переходов. — M.: Haука, 1992. 6. Изюмов Ю.А., Скрябин Ю.Н. Статистическая механика магнитоупорядоченных систем. — М.: Наука, 1987. 7. Зайцев Р.О., Диаграммные методы в теории сверхпроводимости и ферромагнетизма. — М.: УРСС, 2004. 8. Зайцев Р.О., Введение в современную статистическую физику. — М.: УРСС, 2006. 4 ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КУРСА - потенциал: 0 T ln S 1/ T 0 . Температурная S -матрица: S T ( ord ) exp H int ' d ' . 0 Теорема Майера о разложении по связанным <...>0c диаграммам: Аналитические G R : 0 T свойства запаздывающей S 1/ T 0c 1 . функции Грина G R i G i n i , n 0, 0 , где G i n — температурная (мацубаровская) функция Грина. Теорема Ландау о связи между запаздывающей и причинной функциями Грина: a) для ферми-возбуждений: Re G Re G R , Im G th Im G R , 2T б) для бозе-возбуждений: Re G Re G R , Im G cth Im G R . 2T КОЛЬЦЕВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ Поляризационный оператор: dp n F p q n F p , q 23 i p q p где n F p — распределение Ферми для частиц с энергией p , отсчитанной от энергии Ферми; 2nT . 5 Кольцевые диаграммы до 6-го порядка. Корреляционная поправка для электронейтральной плазмы: e2 dq ( e 2Z 2 i ) 2 T dT 2 2 . q [q 4( e 2Z 2 i )] 0 Для электронов в металле следует учесть также однопетлевую обменную поправку: dp dp n p n p 1 4e 2V 1 2 F 1 F 2 . 6 2 0 2 p1 p 2 Двухпетлевая поправка с логарифмической точностью определяет при T 0 вторую корреляционную поправку 2 V p0 4 3m 4 1 ln 2 ln p0 4me 2 , где 1/ — обратный радиус экранирования: 2 4e 2 mp 0 / 3 , p0 — импульс Ферми. 6 ГАЗОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ Графическое изображение интегральных уравнений. Уравнение для вершинной части (p1,p2;p3,p4) при заданной суммарной частоте и импульсе 1 2 3 4 s0 p1 p 2 p 3 p 4 s удобно записать через относительные импульсы 2k p1 p 2 и 2k ' p 3 p 4 : s 0 ,s k k ' V k k ' где K0 dp 23 V k p K s 0 ,s p s 0 ,s p k ' , 1 n F p s / 2 n F p s / 2 . is0 p s / 2 p s / 2 Компоненту Фурье от парного потенциала Vp можно исключить с помощью уравнения для амплитуды рассеяния f k, k ' : dp V k 'p f k ' , p 4 . f k ' , k m 23 k '2 p 2 i В длинноволновом пределе p0f << получаем простейшую заV k k ' мену V p1 p 3 4 2 / m Re f p 3 , p1 . Для отрицательной амплитуды рассеяния имеем куперовскую неустойчивость с энергией связи 2 exp / 2 p0 f , где p0 — импульс Ферми, — величина порядка энергии Ферми. 7 УРАВНЕНИЯ ГОРЬКОВА Графическое изображение уравнений Горькова. i p G G p F p 1 , i p G F p *G p 0 , где G , 2n 1T , p p 2 / 2m . * F p dp . gT 23 РАССЕЯНИЕ СПИНОВЫХ ВОЛН Амплитуда рассеяния спиновых волн, вычисленная в борновском приближении, определяется компонентой Фурье от обменного интеграла J(k). ( p1, p2; p3, p4) = J(p3 p1) J(p4 p1) + J(p3) + J(p4). 8 Борновские амплитуды рассеяния спиновых волн. РАССЕЯНИЕ ВОЗБУЖДЕНИЙ В МОДЕЛИ ХАББАРДА Амплитуда рассеяния ферми-возбуждений с противоположными спинами, вычисленная в борновском приближении, определяется компонентой Фурье от интеграла перескока t p . В предельном случае бесконечного отталкивания в одной и той же ячейке амплитуда рассеяния пропорциональна первой степени интеграла перескока: ( p1, p2; p3, p4) = t(p3) t(p4). Для конечной энергии Хаббарда U имеем две ветви электронного спектра, разделенные щелью: 9 U tp 1 U 2 t p2 2Utp 1 ne . 2 2 Электронная плотность 0 ne 2 и химический потенциал p связаны между собой через уравнение состояния: ne 2 Ap n F p , p , где 1 Ap 1 2 . 2 2 U t p 2Ut p 1 n e t p U 1 n e В пределе U tp заполняется только нижняя подзона. Уравнение состояния для ne 1 имеет простейший вид: ne 2 ne n F p , где p=(1ne/2)tp . p Температура перехода в сверхпроводящее состояние имеет конечную величину для положительных значений химического потенциала, что соответствует электронным концентрациям 2 / 3 ne 1 . ПАРКЕТНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ Уравнение Судакова случай p1 p2 p3 p4 pmax : 10 pmax p g 3 2 p ' p dp' , где = 1/82. p' Уравнение для угловой вершинной части Y ( p q pmax ) и для поляризационного оператора (q): pmax p 1 p' p' p pmax dp' dp' , q 2 p ' . p' p' q ТЕОРИЯ ФЕРРОМАГНЕТИЗМА МЕТАЛЛОВ Обобщенное уравнение Хартри–Фока–Дайсона: 1 G1 p, G0 p, p , p f t , p T , , , ,q g , ; , t , p G q . Уравнение состояния: n T , , H T D p e i , где D p f G p . ,p Определение магнитного момента: M T , , H B n T , , H . 11 КВАНТОВОЕ КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ G G G G , G r, t; r ' , t ' i r ' , t ' r, t , G r, t; r' , t ' i r, t r' , t ' , G r, t; r' , t ' t t 'G r, t; r', t ' t 't G r, t; r' , t ' , G r, t; r' , t ' t t 'G r, t; r' , t ' t 't G r, t; r' , t ' . G d , 2 r r G,p t , R e i ipr G,p t , R ; t , R drd . 2 2 2 2 0 1 G 0,1 G1,2 z 4 X1 X 2 z 1,3G3,2 d 4 X 3 , 1 G*0 0,2 G1,2 z 4 X1 X 2 G(1,3)(3,2) z d 4 X 3 , nt , R, p i G,p t , R G 0,2 G 0 0,1 0 * 1 1 1 i r R . t m В отсутствие внешних полей и взаимодействий: G0 p nF p 1 nF p p i p i 2i 1 n F p p . 1 nF pi nFpi 2in F p p p 12 p УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ МЕТАЛЛА ИЛИ ПОЛУПРОВОДНИКА 4 j, c 1 A 1 A e , j , c t c t 1 A D div , h rot A . t t c t div e 4 2 , rot h Соотношение Эйнштейна: 2 D 4 . НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИНЗБУРГА–ЛАНДАУ A T Tc 1 2 B 4m 1 2ie 0 , 4mD t 4mD E ie rot h 4 j , j E * * * , t 2m A h rot A, E ~ , div E 4 4 ~ , t D A ie D div * 0 *0 * , t t t 2m 2ieA , 0 2ie , div j 0, c 1 . t t 13 ЗАДАЧИ 1. Вычислить поляризационный оператор и радиус экранирования низкотемпературной плазмы. 2. Определить пространственную и временную дисперсию поляризационного оператора для трехмерного электронного газа высокой плотности. 3. Определить пространственную и временную дисперсию поляризационного оператора для одномерного электронного газа в низкотемпературном пределе. Проанализировать возникающие особенности. 4. Доказать, что в газовом пределе уравнение состояния неидеального ферми-газа не меняется. 5. Вычислить амплитуду тока Джозефсона для случая контакта двух одинаковых сверхпроводников. 6. Вычислить амплитуду туннельного тока для случая контакта из двух различных несверхпроводящих металлов. 7. В логарифмическом приближении выразить температуру сверхпроводящего перехода через амплитуду рассеяния в "пустой" решетке. 8. Определить температурную зависимость спиновой магнитной восприимчивости (найтовский сдвиг) в сверхпроводящей фазе. 9. Вычислить амплитуду рассеяния спиновых волн в приближении Борна–Дайсона. 10. Определить спектр ферми-возбуждений для модели Хаббарда в нулевом приближении самосогласованного поля. Вычислить величину корреляционной щели. 11. Найти уравнение состояния для модели Хаббарда с бесконечным отталкиванием. Определить магнитную восприимчивость. 12. Записать уравнение состояния для модели Хаббарда с вырождением. Рассмотреть случай квадратной, треугольной и ОЦК-решётки. 13. Произвести обобщение результатов предыдущей задачи на случай конечного магнитного поля. Определить спиновую 14 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. восприимчивость и записать условие ферромагнитной неустойчивости. Сравнить с критерием Стонера. Произвести вычисление амплитуды рассеяния двух возбуждений с противоположными спинами в модели Хаббарда с бесконечным отталкиванием. Используя результаты предыдущей задачи, обсудить условия возникновения куперовской неустойчивости. Определить функцию Грина электронного ферми-газа в однопетлевом приближении для случая бесконечной энергии Хаббарда. Сравнить с нульпетлевым приближением. Определить функцию Грина электронной системы, резонирующей между одно- и двухчастичными состояниями, в предположении о бесконечной энергии Хаббарда. Установить связь с проблемой ферромагнетизма никеля. Определить функцию Грина электронной системы, резонирующей между двух- и трехчастичными состояниями, в предположении о бесконечной энергии Хаббарда. Установить связь с проблемой ферромагнетизма железа. Для гейзенберговского ферромагнетика вычислить термодинамическую и запаздывающую функции Грина для спиновых операторов. Определить критические индексы в трёхмерной модели Изинга и Гейзенберга с помощью -разложения. Соотношения подобия в случае сильного критического поля. Вычисление критического индекса . Произвести вычисление ток-токового коррелятора с учётом пространственной и временной дисперсии. Установить связь с аномальным скин-эффектом. Произвести вычисление сверхпроводящего тока при наличии пространственной дисперсии (эффект Пиппарда). Оценить возможность возрастания температуры сверхпроводящего перехода за счёт особенности Ван-Хова для квадратной и ОЦК-решётки. Произвести вычисление туннельного тока через контакт между сверхпроводником, изолятором и нормальным металлом (SIN-контакт). 15 26. Произвести вычисление туннельного тока через контакт между двумя сверхпроводниками (SIS-контакт). 27. Произвести вычисление джозефсоновского тока через контакт между двумя сверхпроводниками. 28. Произвести вычисление оператора пространственной зависимости сверхпроводящего параметра порядка. Оценить величину эффекта близости на границе сверхпроводника с нормальным металлом. 29. Получить граничные условия к уравнению Гинзбурга– Ландау. 30. Произвести обобщение уравнений Гинзбурга–Ландау на случай временной зависимости параметра порядка. Срок сдачи задания: 09.12–16.12 2012 г. Подписано в печать 31.05.2012. Формат 6084 116. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0.Тираж 60 экз. Заказ № 139 Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Московский физико-технический институт (государственный университет)” 141700, Моск. обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9 16 17