Федеральное агентство связи Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики Межрегиональный центр переподготовки специалистов Контрольная работа №2 Электромагнитные поля и волны Вариант Выполнил: Группа: Проверил: Новосибирск, 2011 Задача №1 Плоская электромагнитная волна с частотой f падает по нормали из вакуума на границу раздела с реальной средой. Параметры среды: εа=ε0ε, µа=µ0µ, удельная проводимость σ. Амплитуда напряженности электрического поля Eт. 1.Определить амплитуду отраженной волны. 2.Определить амплитуду прошедшей волны. 3.Определить значение вектора Пойнтинга отраженной волны. 4.Определить значение вектора Пойнтинга прошедшей волны. 5.Определить коэффициент стоячей волны. 6. Вычислить расстояние между минимумами поля в первой среде. 7.Рассчитать и построить график зависимости напряженности электрического поля в первой среде в интервале -l < z < 0 и второй среде в интервале 0 < z < 3Δ0, где Δ0- глубина проникновения во вторую среду. Исходные данные приведены в таблице 1. Таблица 1 Em,В/м ε 4,0 4,0 f,МГц σ,См/м 1500 0,06 1200 0,02 Решение Абсолютная диэлектрическая проницаемость первой среды (стр.16[1]): εа1=ε0=10-9/36π= 8,85∙10-12 Ф/м Абсолютная диэлектрическая проницаемость второй среды (1.2.10[1]): εа2=ε0ε=8,85∙10-12∙4=35,4∙10-12Ф/м Абсолютная магнитная проницаемость для среды 1 и 2 одинакова (стр.20[1]): µа=µ0=4π∙10-7=1,257∙10-6Гн/м ω=2πf=2∙3,14∙1500∙106=9,42∙109 1/с Волновое число в первой среде (15[4]): 𝑘1 = 𝜔√𝜀𝑎 𝜇𝑎 = 9,42 ∙ 109 ∙ √8,85 ∙ 10−12 ∙ 1,257 ∙ 10−6 = 31,42 Характеристическое сопротивление в первой среде (14[3]): 𝑍𝑐1 𝜔𝜇𝑎 9,42 ∙ 109 ∙ 1,257 ∙ 10−6 = = = 377 Ом 𝑘1 31,42 Тангенс угла диэлектрических потерь (13 [3]): 𝜎 𝑡𝑔 𝛿 = 𝜔𝜀а -для первой среды: 𝑡𝑔 𝛿1 = 𝜎1 0 = =0 𝜔𝜀𝑎1 9,42 ∙ 109 ∙ 8,85 ∙ 10−12 -для второй среды: 𝑡𝑔 𝛿2 = 𝜎2 0,06 = = 0,18 𝜔𝜀𝑎2 9,42 ∙ 109 ∙ 35,4 ∙ 10−12 δ2=0,1781 рад Коэффициент затухания α и фазовая постоянная β (5.6[4]): -для первой среды: 𝛼1 = 9,42 ∙ 10 ∙ √ 9 8,85 ∙ 10−12 ∙ 1,257 ∙ 10−6 (−1 + √1 + 02 ) = 0 2 -для второй среды: 35,4 ∙ 10−12 ∙ 1,257 ∙ 10−6 𝛼2 = 9,42 ∙ 10 ∙ √ (−1 + √1 + 0,182 ) = 5,63 2 9 35,4 ∙ 10−12 ∙ 1,257 ∙ 10−6 √ 𝛽2 = 9,42 ∙ 10 ∙ (1 + √1 + 0,182 ) = 63,09 2 9 Волновое число во второй среде (5.15[4]): 𝑘2 = 𝛽2 − 𝑗𝛼2 = 63,09 − 𝑗5,63 Характеристическое сопротивление во второй среде: 𝜔𝜇𝑎 9,42 ∙ 109 ∙ 1,257 ∙ 10−6 = = = (189,18 + 𝑗16,88) Ом 𝑘2 63,09 − 𝑗5,63 𝑍𝑐2 𝛿2 𝑍𝑐2 = |𝑍𝑐2 |𝑒 𝑗 2 = √189,182 + 16,882 𝑒 𝑗 0,1781 2 = 189,9𝑒 𝑗0,089 Коэффициент отражения по электрическому полю (6.4[3]): Г= 𝑍𝑐2 − 𝑍𝑐1 189,18 − 𝑗16,88 − 377 = = −(0,3305 + 𝑗0,0397) 𝑍𝑐1 + 𝑍𝑐2 377 + 189,18 + 𝑗16,88 |Г| = √0,33052 + 0,03972 = 0,333 Коэффициент прохождения (6.4[3]): 𝑇= 2𝑍𝑐2 2(189,18 + 𝑗16,88) = = 0,6695 + 𝑗0,0397 = 𝑍𝑐1 + 𝑍𝑐2 377 + 189,18 + 𝑗16,88 = √0,66952 + 0,0397 𝑗 2 0,0397 𝑒 0,6695 = 0,671 ∙ 𝑒 𝑗0,059 Амплитуда падающей волны равна (5.11[4]): 𝐸 0 𝐸𝑚 4 𝐻 = = = = 0,01061 А/м 𝑍𝑐 𝑍𝑐1 377 0 Амплитуда отраженной волны (6.3[4]): 𝐸 − = Г𝐸 0 = 0,333𝑒 −𝑗0,12 ∙ 4 = 1,332𝑒 −𝑗0,12 В/м Амплитуда прошедшей волны: 𝐸 + = 𝑇𝐸 0 = 0,671𝑒 𝑗0,059 ∙ 4 = 2,684 ∙ 𝑒 𝑗0,059 В/м Вектор Пойнтинга отраженной волны: Пср1 (𝐸 − )2 −2∙0∙𝑧 0 1,3322 = 𝑒 cos = ∙ 1 ∙ 1 = 2,353 ∙ 10−3 Вт/м2 2 ∙ 𝑍𝑐1 2 2 ∙ 377 Вектор Пойнтинга прошедшей волны: Пср2 (𝐸 + )2 −2𝛼𝑧 𝛿 2,6842 −2∙5,63𝑧 0,1781 = 𝑒 cos = 𝑒 cos = 2 ∙ 𝑍𝑐2 2 2 ∙ 189,9 2 = 0,01889𝑒 −11,26∙𝑧 Вт/м2 Коэффициент стоячей волны(20[3]): КСВ = 1 + |Г| 1 + 0,333 = = 1,9985 1 − |Г| 1 − 0,333 Поле в первой среде состоит из полей падающей и отраженной волн(15 [3]): 𝐸𝑥1 = 𝐸𝑥0 + 𝐸𝑥− = 𝐴𝑒 𝑗(𝜔𝑡−𝑘1𝑧) − 𝐵𝑒 −𝛼𝑧 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝑘1 𝑧) Вещественные значения: 𝐸𝑥1 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 − 𝑘1 𝑧) − 𝐵𝑒 −𝛼𝑧 cos(𝜔𝑡 + 𝑘1 𝑧 + 𝜑0 ) = = 4 cos(𝜔𝑡 − 31,42𝑧) − 1,332𝑒 0∙𝑧 cos (𝜔𝑡 + 31,42𝑧 + 0,1781 )= 2 = 4 cos(𝜔𝑡 − 31,42𝑧) − 1,332 cos(𝜔𝑡 + 31,42𝑧 + 0,089) В/м Расстояние между минимумами поля в первой среде равно половине падающей волны(13 [3]): 𝜆1 = 2𝜋 2 ∙ 3,14 = = 0,1998 м 𝑘1 31,42 𝑙1 = 0,1998 = 0,0999 м 2 При t=0 𝐸𝑥1 = 4 cos(31,42𝑧) − 1,332 cos(31,42𝑧 + 0,089) В/м Зависимость напряженности электрического поля в первой среде в интервале - λ<z<0 приведены в таблице 2 и графике рис.1: Таблица2 Z -0,09 -0,08 -0,07 -0,06 -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 Ex1 -2,5 -2,1 -1,5 -0,7 0,12 0,89 1,67 2,23 2,57 2,67 Z -0,19 -0,18 -0,17 -0,16 -0,15 -0,14 -0,13 -0,12 -0,11 -0,1 Ex1 2,5 2,1 1,5 0,7 -0,12 -0,89 -1,67 -2,23 -2,57 -2,67 Глубиной проникновения поля в среду называется расстояние, при прохождении которого электромагнитное поле ослабевает в е раз(9.2.22[1]): ∆0 = 1 1 = = 0,1776 м 𝛼2 5,63 Отношение амплитуды напряженности электрического поля в точке с координатой Z к напряженности электрического поля в точке с координатой Z+1равно Em(Z)/Em(Z+1), поэтому амплитуда напряженности электрического поля во второй среде: 𝐸𝑥2 = 𝐸 + 𝑒 −𝛼𝑧 = 2,684 ∙ 𝑒 −5,63𝑧 где 0 < Z < 3Δ0 (3Δ0=3∙0,1776=0,53) Таблица 3. Z, м 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,53 2 Ex , 2,68 2,02 1,53 1,15 0,87 0,66 0,49 0,37 0,28 0,21 0,16 0,13 В/м В первой среде Вы построили мгновенное распределение Е, во второй – расределение амплитуды (не зависящее от времени). Сделайте уж одинаково, лучше всего – и мгновенные, и амплитуды в обеих средах. Работа над ошибками Рассчитать и построить график зависимости напряженности электрического поля в первой среде в интервале - λ < z < 0 и второй среде в интервале 0 < z < 3Δ0, где Δ0- глубина проникновения во вторую среду. В первой среде происходит сложение векторов напряженности падающей и отраженной волны. С учетом параметра Г, уравнения для плоской электромагнитной волны в первой среде можно записать следующим образом (6.2[4]): E1m - амплитуды электрического поля в первой среде H1m - амплитуды магнитного поля в первой среде e-j(ωt-kz)- волновой множетель 1 𝑗(𝜔𝑡−𝛽1 𝑧) 𝐸𝑥1 = 𝐸𝑚 𝑒 E1m - амплитуды электрического поля 𝐸𝑥1 = 4(1 − 0,333𝑒 𝑗2∙31,42𝑧 )𝑒 𝑗(𝜔𝑡−31,42𝑧) 1 𝐸𝑚 = 4 − 1,332 cos 62,84𝑧 При t=0 мгновенного распределения E 𝐸𝑥1 = (4 − 1,332 cos 62,84𝑧) cos 31,42𝑧 Таким образом, амплитуда поля в 1-й среде периодически изменяется вдоль оси z. «Волнистость» зависит от величины Г, т.е. соотношения волновых сопротивлений сред ZC1 и ZC2. Чем больше их различие, тем больше Г и тем больше "волнистость". m m Emin сум Eпад 1 Г 41 0,333 2.668В м , m m Emax сум Eпад 1 Г 41 0,333 5.332В м Расстояние между соседними пучностями поля в первой среде равно половине падающей волны(13 [3]): l = λ1/2 = 0,1998/2 = 0,0999( м). Изображение амплитуды электрического поля в первой среде в интервале - λ < z < 0 показана на рис.1: В первой среде С учетом параметра Т,поле во второй среде естественно искать в том же виде что и для первой(6.2[4]). Первое слагаемое, пропорциональное А, дает волну, распространяющуюся от границы z = 0 вглубь среды с εа2 , µа2. Второе слагаемое, пропорциональное В, определяет волну, распространяющуюся в обратном направлении, т.е. к границе z = 0. Из физических соображений следует принять В = 0 (поскольку очевидно, что волне во второй среде не от чего отражаться)(6.3[4]). Тогда: Коэффициент прохождения по электрическому полю (6.4[3]): 𝑇= 2𝑍𝑐2 2(189,18 + 𝑗16,88) = = 0,6695 + 𝑗0,0397 𝑍𝑐1 + 𝑍𝑐2 377 + 189,18 + 𝑗16,88 |Т| = √0,66952 + 0,03972 = 0,671 𝐻𝑥2 = 1 4 ∙ 0,671𝑒 −𝑗(63,09−𝑗5,63)𝑧 = 0,014𝑒 5,63𝑧 𝑒 −𝑗63,09𝑧 189,9 2 𝐻𝑚 = 0,014𝑒 5,63𝑧 𝐸𝑥2 = 4 ∙ 0,671𝑒 (5,63−𝑗63,09)𝑧 = 2,684𝑒 5,63𝑧 𝑒 −𝑗63,09𝑧 2 𝐸𝑚 = 2,684𝑒 5,63𝑧 При t=0 мгновенного распределения E 𝐸𝑥2 = 2,684𝑒 5,63𝑧 cos 63,09𝑧 Зависимость амплитуды напряженности электрического во второй среде в интервале 0 < Z < 3Δ0 (3Δ0=3∙0,1776=0,53) приведены в таблице 3. Изображение электрического поля во второй среде показана на рис.2: Найдем длину волны во второй среде: λ2 = 2π:k2 = 2·3,14:63,34 =0,099 (м) Во второй среде Задача 2. Цилиндрический резонатор имеет диаметр D, длина 0,05 м, заполнен диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью ε. 1.Определить резонансную частоту колебания E010. 2.Определить резонансную частоту колебания H111. 3.Определить собственную добротность колебания E010 при значении поверхностного сопротивления RS = 10-3 Сим/м. 4.Определить полосу пропускания резонатора на колебании E010. 5.Определить собственную добротность колебания H111, RS = 10-3 Сим/м. Таблица 2 D, м 0,012 ε 1,0 2,5 Решение. 1. Резонансная длина волны для основного колебания Е010 из (12.3.2.1.) [1] 0E 010 2r 01 , где r – радиус резонатора, α01 = 2,405 – корень функции Бесселя нулевого порядка. 0E 010 3,14 0,012 15,66 103 м , 2,405 резонансная частота колебаний E f 0 010 c 0E010 3 108 15,66 10 3 19,15 109 Гц . Резонансная частота колебания E010: f E 010 f 0E 010 19,15 109 1,0 19,15 10 9 Гц 2. Резонансная длина волны для колебания H111 0H 2 111 111 1 r L 2 2 , где L – длина резонатора, β111 = 1,84 – корень функции Бесселя. 0H 111 2 2 1,84 1 3 , 14 0 , 006 0,05 2 20,06 103 м , резонансная частота f H 111 0 3 108 14,95 109 Гц . 3 20,06 10 c 0H 111 Резонансная частота колебания H111: f H 111 f 0H 111 14,95 109 1,0 14,95 109 Гц 3. Собственная добротность колебания Q0 Q0 a р 2 Rs rl , где для диэлектрика a 0 4 10 7 12,56 10 7 . r l 12,56 10 7 6,28 19,15 109 0,006 0,05 4,046 105 . 3 0,006 0,05 2 10 4. Полоса пропускания резонатора на колебании Е010 010 f 0E 2f Q 19,15 10 9 47330,7 Гц . 4,046 10 5 5. Собственная добротность колебания Н111 (18.6.12) [1] 𝜋𝑓0 𝜇𝑎 𝑄0 = ∙ 𝑅𝑆 ∙ 𝑟𝑙 𝐻 )2 𝑙(𝛽11 𝜆𝐻11 2 (2𝑟 − 𝑙) ( + 𝐻 2 2𝑙 ) (𝛽11 ) − 1 0,006 ∙ 0,05 (0,012 − 0,05) ( 2 10−3 20,06 ∙ 2 ∙ 0,05 Использованная литература. ) + 3,14 ∙ 14,95 ∙ 109 ∙ 12,56 ∙ 10−7 = ∙ 10−3 1,842 0,05 ∙ 1,842 − 1 = 2,5476 ∙ 105 1.Техническая электродинамика. В.И.Вольман, Ю.В.Пименов. Связь, М.:1971. 2.Техническая электродинамика. О.И.Фальковский. Связь, М.:1978. 3.Электромагнитные поля и волны. Методические указания к контрольной работе. Новосибирск 2001. 4.Электромагнитные поля и волны. Конспект лекций. Новосибирск 2001. 5.Техническая электродинамика. В.И.Вольман, Ю.В.Пименов, А.Д.Муравцов. Радио и связь, М.:2000.