Расчет короткой электрической дуги во внешнем аксиальном

И.Р. Урусова
Расчет короткой электрической дуги во внешнем аксиальном магнитном поле
(Институт физико-технических проблем и материаловедения НАН КР, г. Бишкек, Кыргызстан)
Приведена нестационарная трехмерная математическая модель электрической дуги и результаты расчетов короткой
электрической дуги во внешнем аксиальном магнитном поле. Численно реализована конусная форма электрической
дуги, проведено сравнение с результатами эксперимента. Показано, что удовлетворительное согласие результатов
расчета с экспериментальными данными свидетельствует в целом о корректности математической модели и
вычислительного алгоритма.
Введение
Во многих электродуговых установках имеют место быстропротекающие процессы, не
обладающие осевой симметрией, например, процессы в дуговом разряде во внешнем
магнитном поле [1-3]. В этой связи развитие нестационарной трехмерной математической
модели электрической дуги является актуальной задачей.
В работе [4] приведена нестационарная трехмерная математическая модель электрической
дуги и метод численного решения уравнений.
В настоящей работе представлены результаты тестирования модели на примере короткой
электрической дуги, горящей во внешнем аксиальном магнитном поле (ВАМП).
Постановка задачи
В работе [5] приведены результаты экспериментальных исследований электрической дуги
конусной формы во внешнем аксиальном магнитном поле (ВАМП). Дуга горит в аргоне
атмосферного давления, диапазон исследуемых токов составлял I = 20 − 300A ,
напряженность внешнего аксиального магнитного поля HxExt достигала 40kA/m ,
межэлектродное расстояние дуги L = 2 − 6mm . Эксперименты показали, что при увеличении
ВАМП выше некоторого предела, происходит качественное изменение пространственной
формы дуги - возникает конусная дуга, представляющая собой устойчивое формирование
плазмы в виде однородного полого конуса с вершиной в катодном пятне и анодной привязкой
в виде кольца.
Расчет выполнен для внешних параметров дуги в соответствие с данными [5]: сила тока дуги
I = 220A , ВАМП в направлении оси величиной HxExt = 32kA/m , межэлектродное
расстояние L = 5mm . Принято, что катодом является вольфрамовый стержень радиусом
Rc = 1, 4mm , с углом заточки под конус 90o и притупленной вершиной, радиус катодной
привязки дуги rc = 0, 8mm . Анодом является медная пластина толщиной la = 2mm .
Размеры расчетной области в направлении оси координат х составляют 10mm , в
направлениях осей y и z равны Y = Z = 24mm ; катод расположен симметрично в центре
расчетной области. Значения временного и сеточного шага приняты равными τ = 10−5 c и
∆ = 0, 2mm соответственно.
Математическая модель
В декартовых координатах x , y , z система нестационарных трехмерных уравнений имеет
следующий вид [1-4]:
уравнение неразрывности газа
∂ρ
+ div(ρU) = 0,
∂t
уравнение неразрывности электронного газа
∂Ne
+ div[Ne (U + Ud + Ut + Ua )] = Re ,
∂t
97
(1)
(2)
Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6
Схема расчетной области дуги; • • • - центральная ось
уравнение баланса энергии электронного газа
∂(2.5kTe + Ui )Ne
j2
+ div[Ne (U + Ud + Ut + Ua )(2.5kTe + Ui )] = div(λe gradTe ) + − ψ − B(Te − T ),
∂t
σ
(3)
уравнение баланса энергии тяжелых частиц:
div(λgradT ) + B(Te − T )
∂ρT
+ div(ρUT ) =
,
∂t
2, 5k/m
(4)
уравнения движения газа в направлениях осей x , y , z соответственно:
∂ρu
∂P
+ div(ρUu) = div(µgradu) −
+ µ0 (j × H)x + sx + (ρ − ρ∞ )g,
∂t
∂x
(5)
∂ρν
∂P
+ div(ρUν) = div(µgradν) −
+ µ0 (j × H)y + sy ,
∂t
∂y
(6)
∂ρw
∂P
+ div(ρUw) = div(µgradw) −
+ µ0 (j × H)z + sz ,
∂t
∂z
уравнения Максвелла:
rotH = j, rotE, divH = 0,
(7)
(8)
обобщенный закон Ома:
E + µ0 (U × H) = j/σ + (µ0 j × H − gradPt )/qe Ne ,
(9)
закон Дальтона
P/kT = Ni + Na + Ne Te /T.
98
(10)
И.Р. Урусова
Предполагается, что электродуговая плазма является однократно ионизованной,
квазинейтральной, течение плазмы ламинарное, дозвуковое, излучение объемное; вязкой
диссипацией энергии, а также индукционными токами пренебрегается ввиду их малости.
Приэлектродные процессы не рассматриваются.
При записи уравнений использованы следующие обозначения: t - время, ρ , λe , λ , µ , σ , ψ
– соответственно плотность газа, теплопроводность электронного газа и газа тяжелых частиц,
вязкость, электропроводность, излучение; m - масса атома; Ni , N a , N e - концентрации
ионов, атомов и электронов соответственно. Re = Ne Kr (Na Ki − Ne Ni ) скорость генерации
электронов, где Ki , Kr - константы ударной ионизации и трехчастичной рекомбинации
соответственно; Ui - потенциал ионизации газа; Pe = Ne kTe - парциальное давление
электронов; k - постоянная Больцмана; B - коэффициент энергообмена между электронами
и тяжелыми частицами; g - вектор ускорения свободного падения; qe = 1.6 × 10−19 Кл –
заряд электрона; µ0 = 4π × 10−7 Гн/м - магнитная постоянная; U , E , j , H - соответственно
векторы скорости, напряженности электрического поля, плотности электрического тока,
напряженности магнитного поля; , Te - температура тяжелых частиц и электронов, давление; u , v , w - соответственно компоненты вектора скорости U в направлении осей
декартовой системы координат x , y , z ; Ud , Ut , Ua - векторы скоростей дрейфа
электронов, термо- и амбиполярной диффузии, определяемые по формулам: Ud = j/(qe Ne ) ,
Ut = 0.5/Te Da gradTe , Ua = −Da /Ne gradNe , где Da коэффициент амбиполярной диффузии;
sx , sy , sz - дополнительные к div(µgradu) , div(µgradv) , div(µgradw) вязкие слагаемые.
Электромагнитная часть задачи решается в переменных (ϕ − А) , где ϕ - скалярный
потенциал электрического поля E = −gradϕ , А(Ax , Ay , Az ) - векторный потенциал
магнитного поля, связанный с Н соотношением rotА = Н .
Коэффициенты переноса и теплофизические свойства неравновесной аргоновой плазмы
рассчитываются в соответствии с методикой [1].
Температуры T неплавящихся катода и анода определяются из уравнения теплопроводности
∂ρcT
j2
= div(λgradT ) +
∂t
σ
(11)
где ρ , c , λ , σ - плотность, удельная теплоемкость, теплопроводность и электропроводность
материала электродов.
Граничные и начальные условия
Граничные условия приведены в таблице 1.
Граница
AHED, DEFC,
BGFC, AHGB
HGFE
Sc
Граничные условия
Переменная
Ne = Nemin ; Te = Temin ; ∂T /∂n = 0;
∂U/∂n = 0; ∂P/∂n = 0; ∂A/∂n = 0;
Ne = Nemin ; Te = Temin ; ∂T /∂x = 0;
∂U/∂x = 0; P = P0 ; ∂ϕ/∂x = 0;
Ne = Nemin ; Te R= TR emin ; T = T 0 ; U = 0; P = P 0 ;
I·∆x+ 0Y 0Z σ 1,2 ϕ2 dydz
RY RZ
; ∂A/∂x = 0;
1,2 dydz
0
0 σ
min
min
0
Ne = Ne ; RTe R= Te
; T = T ; U = 0; P = P 0 ;
I·∆x− 0Y 0Z σ N −1,N ϕN −1 dydz
RY RZ
ϕN =
; ∂A/∂x = 0.
N −1,N dydz
0
0 σ
ϕ1 =
ABCD
На боковых вертикальных границах AHED , DEF C , BGF C , AHGB (см. рис. 1) ставятся
условия гладкого сопряжения ( ∂/∂n = 0 , где n - нормаль к поверхности) рассчитываемых
характеристик с окружающей средой, а границы располагаются от столба дуги на
достаточном удалении, обеспечивающем выполнение указанных условий; течение
99
Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6
электрического тока отсутствует. Значения температуры и концентрации электронов для не
ионизованного газа приняты равными Te = Temin = 3, 5kK , Ne = Nemin = 1018m−3 .
Поясним компоненты векторного потенциала магнитного поля, строго говоря, следует
определять через тройной интеграл по закону Био-Савара-Лапласа, но вычисление этим
способом даже только на границах расчетной области потребует чрезмерно много
компьютерного времени счета. В этой связи допустимо использовать условия ∂А/∂n = 0 ,
которые, как показало сравнение результатов тестовых расчетов, обеспечивают получение
корректных результатов. На горизонтальной границе анода ABCD для температуры и
концентрации электронов задается Te = Temin , Ne = Nemin , температура охлаждаемого анода
полагается равной T = T 0 = 300K . Скорость газа равна нулю, давление равно P = P0 ,
компоненты векторного потенциала А определяется из условия ∂А/∂x = 0 . Потенциал
электрического поля ϕ определяется из условия протекания тока I по нормали к
поверхности. На горизонтальной границе HGF E , за исключением внешней токоведущей
поверхности катода Sc , ставятся условия гладкого сопряжения рассчитываемых
характеристик с окружающей средой, течение тока отсутствует. Значения температуры и
концентрации электронов для холодного не ионизованного газа полагаются равными
Te = Temin , Ne = Nemin ; температура торцевой поверхности Sc катода равна T = T0 . При
расчете потенциала электрического поля ϕ принято, что на токоведущей поверхности катода
Sc электрический ток величиной I течет по нормали к поверхности.
Заметим, что в формулах для вычисления потенциала электрического поля ϕ индексы 1 , 2 ,
N − 1 , N означают нумерацию сеточных линий в аксиальном направлении, σ 1,2 и σ N −1,N соответственно электропроводность на грани контрольного объема между линиями 1 и 2 ,
N −1 и N .
По условиям эксперимента [5] дуга зажигается уже в присутствие ВАМП. При постановке
начальных условий необходимо отметить, что используемая в настоящей работе
математическая модель не может рассчитать физические процессы непосредственно с
момента зажигания дуги и по этой причине промежуток времени ∆τ , в течение которого
между электродами формируется высокотемпературный токопроводящий канал, не входит в
вычислительный процесс. Как показывают эксперименты, продолжительность ∆τ может
составлять от нескольких десятков микросекунд при токах в несколько сотен ампер [6], до
нескольких сотен микросекунд при токах в несколько килоампер [7].
С учетом сказанного, в вычислительном алгоритме принято, что между электродами
существует токопроводящая высокотемпературная (T = 9kK) зона в форме цилиндра
радиусом rc с неподвижным газом. В течение первых ∆τ ≈ 50 − 70mkc при значениях
временнуго шага τ = 10−6 c и погрешности τ = 10−3 − 10−2 формируются распределения
рассчитываемых переменных, и только после этого начинается отсчет реального времени.
Заданные таким образом начальные условия вполне реалистичны и позволяют проследить,
по крайней мере, качественную эволюцию характеристик дуги до выхода на стационарный
режим.
Обсуждение результатов расчета
Поясним, что на представленных далее рисунках отсчет в направлениях осей координат y , z
ведется от центральной оси (см. рис. 1), а отсчет в аксиальном направлении ведется от
вершины конусного катода. Распределения характеристик в вертикальных средних сечениях
X − Z и X − Y приводятся для значений Y /2 и Z/2 соответственно; в целях экономии
места представлены, как правило, только центральные фрагменты расчетных характеристик
дуги. При изображении течения плазмы масштаб векторов U не выдержан, векторные поля
плотности тока j и электромагнитных сил f показаны в реальном масштабе.
В результате воздействия электромагнитных сил (пинч-эффект) холодный окружающий газ
вовлекается в дуговой разряд вблизи катода, прогревается и ускоряется в аксиальном
100
И.Р. Урусова
направлении (рис. 2 a ), пространственная форма теплового столба дуги пока еще близка к
цилиндрической (рис. 2 b ).
Рис. 2. Начальные ( t = 0 ) распределения векторного поля скорости U и температуры плазмы T в вертикальном
среднем сечении X − Y .
Взаимодействие радиальной компоненты плотности электрического тока j (рис. 3 ) с ВАМП
порождает электромагнитную силу f (рис. 3 b ), направленную в поперечном сечении Y − Z
по касательной к столбу дуги (правило левой руки). Воздействие f на дуговой столб
приводит его во вращательное левовинтовое (против часовой стрелки) движение в сечении
Y − Z (рис. 3 c ), и результирующее течение плазмы является уже
вращательно-поступательным. К моменту времени t ≈ 0, 1mc распределения характеристик
плазмы по всей длине дугового столба в поперечном сечении Y − Z качественно аналогичны
показанным на рис. 3, однако в аксиальном направлении происходит заметная перестройка
характеристик дуги.
Рис. 3. Начальные ( t = 0 ) распределения векторного поля: - плотности электрического тока j , b - электромагнитных
сил f , c - скорости плазмы U в поперечном сечении Y − Z при = 1mm . ⊗ - направление внутрь рисунка.
Центробежные силы обусловливают смещение плазмы из приосевой области на периферию, и
в центре дуги, особенно вблизи катода, начинает формироваться зона пониженного давления
(рис. 4 a ), куда со стороны анода устремляется газ. В приосевой области дуги вблизи анода
образуется циркуляционное течение и появляется аксиальный поток плазмы, движущийся
внутри основного потока в противоположном ему направлении (рис. 4 b ).
Результирующее течение внутреннего и внешнего потока плазмы по-прежнему является
вращательно-поступательным. Тепловой столб дуги все более расширяется, причем вблизи
анода максимальная температура плазмы распределяется по кольцевой поверхности (рис. 4 ).
101
Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6
Рис. 4. Распределения давления P , векторного поля скорости U и температуры плазмы T в вертикальном среднем
сечении X − Y , t = 0, 1mc .
Пространственная асимметрия дуги незначительна, в вертикальном среднем сечении X − Z
расчетные характеристики весьма близки к таковым в среднем сечении X − Y , а в
поперечных сечениях Y − Z являются почти симметричными относительно центральной оси
дугового разряда.
К моменту времени t ≈ 0, 4mc качественная картина процессов тепло- массообмена в
центральной области дуги в целом сформировалась (рис. 5). Вместе с тем, на периферии дуги
происходит заметная перестройка характеристик. С момента времени t ≈ 0, 4mc вокруг
разряда возникает тороидальный газовый вихрь, который движется от дуги в радиальном
направлении, способствуя выносу тепла из дуги на периферию. Вследствие этого вокруг дуги
начинает формироваться одиночный тепловой тор, который сравнительно быстро, в
интервале 0, 4 − 2mc , охлаждается и рассеивается в окружающей среде. Вероятно, данное
образование представляет собой некий гидродинамический аналог тепловой волны [8]
сильноточного импульсного разряда. Отметим, что подобная картина процессов тепломассообмена уже также наблюдалась в рамках нестационарной двухмерной модели
электрической дуги [9].
Рис. 5. Распределения векторного поля скорости U и температуры плазмы
t = 0, 4mc .
в вертикальном среднем сечении X − Y ,
С момента времени t > 1mc изменения расчетных характеристик конусной дуги практически
не происходит и при t = 2mc численный расчет был остановлен.
Заключение
Выполнены численные расчеты короткой электрической дуги во внешнем аксиальном
магнитном поле. Численно реализована конусная форма электрической дуги, проведено
сравнение с результатами эксперимента. Удовлетворительное согласие результатов
численного расчета с экспериментальными данными свидетельствует в целом о корректности
математической модели и вычислительного алгоритма.
ЛИТЕРАТУРА
1. Энгельшт В.С., Гурович В.Ц., Десятков Г.А. и др. Низкотемпературная плазма. т. 1.
Теория столба электрической дуги. - Новосибирск: Наука, 1990. - 374 с.
2. Лебедев А.Д., Урюков Б.А., Энгельшт В.С. и др. Низкотемпературная плазма. т. 7.
Сильноточный дуговой разряд в магнитном поле. - Новосибирск: Наука, 1992. - 267 с.
3. Чередниченко В.С., Аньшаков А.С., Кузьмин М.Г. Плазменные электротехнологические
установки. - Новосибирск: НГТУ, 2005. - 508 с.
4. Урусова И.Р. Трехмерная нестационарная модель электродуговых потоков плазмы //
Современные проблемы механики сплошных сред. - Бишкек, 2010, вып. 12, С. 207 - 217.
5. Леваков В.С., Любавский К.В. Влияние продольного магнитного поля на электрическую
дуги с неплавящимся вольфрамовым катодом // Сварочное производство. 1965. №10, С. 9 - 12.
102
И.Р. Урусова
6. Финкельнбург В., Меккер Г. Электрические дуги и термическая плазма. - М.: ИЛ, 1961.
7. Аньшаков А.С., Назарук В.И., Фалеев В.А. Поведение контактного сопротивления перед
зажиганием дуги в сильноточных неподвижных и скользящих контактах. // Междунар.
Конф. "Физика и техника плазмы". 1994, Минск, т. 1, С. 131 - 133.
8. Гурович В.Ц., Десятков Г.А., Спекторов В.Л., Энгельшт В.С. Нелинейные модели
нестационарной дуги. // VIII Вс. Конф. ГНТП. - Новосибирск, 1980. - С. 16 - 23.
9. Урусов Р.М., Султанова Ф.Р., Урусова Т.Э. Численное моделирование нестационарного
нагрева и плавления анода электрической дугой. Ч. I. Математическая модель и расчетные
характеристики столба дуги. // - Новосибирск, Теплофизика и аэромеханика. 2011. Т. 18, №4.
С. 121-139.
Урусова И.Р.
Қысқа электр доғасының сыртқы аксиал магниттiк өрiсiндегi есептеулерi
Қысқа электр доғасының стационар емес үш өлшемдi математикалық моделi және электр доғасының сыртқы аксиал
магниттiк өрiсiндегi есептеулерiнiн нәтижелерi келтiрiлген. Электр доғасының конусты формасы сандық iске
асырылған, тәжiрибе нәтижелерiмен салыстыру өткiзiлген. Эксперименталдi мәлiметтердi есептеулер нәтижелерi
қанағаттандыруы математикалық моделдiң және есептеуiш алгоритм жалпы алғанда дүрыс алынғаны көрсетiлген.
Urusova I.R.
Calculation of the short electric arc in an external axial magnetic field
Shows the time-dependent three-dimensional mathematical model of an electric arc and results short of the electric arc in an
external axial magnetic field. Numerically realized conical shape of the electric arc compared with experimental results. It is
shown that satisfactory agreement of calculation results with experimental data shows generally about the correctness of the
mathematical model and computational algorithm.
Поступила в редакцию 11.10.2011
Рекомендована к печати 19.10.2011
103