14 (С2) ТР № 146. Треугольная призма ABCA1 B1C1 с нижним основанием ABC и боковыми ребрами AA1 , BB1 , CC1 рассечена плоскостью, проходящей через точки E, F,C , где точка Е является серединой ребра AA1 , точка F лежит на ребре BB1 , причем BF : FB1 1 : 2. А) Докажите, что объем части призмы ABCA1 B1C1 , заключенный между секущей плоскостью и нижним основанием этой призмы составляет 5 объема призмы. 18 Б) Найдите угол между нижним основанием призмы и плоскостью сечения, если призма ABCA1 B1C1 – правильная, и все ее ребра равны между собой. Ответ: Б) arccos 3 102 . 34 Решение: Рис.1 А) Пусть в грани AA1 B1 B заданной призмы AB a, AA1 6b , A1 AB , d расстояние от грани AA1 B1 B до ребра CC1 . 1 6ab sin d S ( AA1 B1 B) d 3abd sin . 2 2 Часть призмы ABCA1 B1C1 , заключенная между секущей плоскостью и нижним основанием призмы, есть четырехугольная пирамида CEABF , основанием которой служит трапеция с основаниями, равными 3b и 2b , высотой h a sin . А высотой пирамиды будет d . 1 AE BF 5b a sin d Тогда V (CEABF ) S ( AEFB ) d ; ; S ( AEFB ) h 3 2 2 5abd sin V (CEABF ) 5abd sin 5 ; , что и требовалось доказать. V (CEABF ) 6 V ( ABCA1 B1C1 ) 6 3abd sin 18 Тогда: V ( ABCA1 B1C1 ) Б) Поместим правильную призму в систему координат, как показано на рисунке 2 . Пусть длины всех ребер равны 6. Рис. 2 Выпишем координаты нужных точек. C (0;3;0), E (0;3;3), F (3 3;0;2). Составим уравнение плоскости FEC . В искомом уравнении вида ax by cz d 0 : 3b d 0 d 2d 2d ; 3 3a 2 d 0; 3 3a 2c d 0 . b ; 3c 2d 0; c 3 3 3 3b 3c d 0 d 4d . 3 3a d 0; 9 3a d 0; a 3 9 3 d d 2d Искомое уравнение: x y z d 0 или x 3 3 y 6 3z 9 3 0 . 3 3 9 3 Уравнение нижнего основания призмы: z 0. Если искомый угол , то cos 1 0 3 3 0 6 3 1 1 27 108 0 0 1 6 3 136 6 3 2 34 3 102 . 34