Исследование неразветвленной цепи переменного тока с

4.11. Технологическая карта – инструкция по выполнению лабораторной работы
Исследование неразветвленной цепи переменного тока с активным
сопротивлением и индуктивностью
Цель работы: Опытным путем проверить свойства цепи переменного тока
с последовательным соединением активного сопротивления и индуктивности.
Если в однородном магнитном поле с индукцией В равномерно со скоростью 
вращать рамку, то в каждой стороне этой рамки индуктируется ЭДС электромагнитной
индукции, которая равна:
e  Bl sin  (4.1)
Если к рамке подключить нагрузку, то в замкнутой цепи пойдет ток,
изменяющийся по синусоидальному закону.
Значения, при которых ЭДС достигает своих максимальных величин, называются
амплитудными, обозначается E m . При амплитудном значении ЭДС этом sin   1 и
e  Em , следовательно Em  Bl , а e  Em sin  (3.2).
Промышленный ток
изменяется по синусоидальному закону, также как
изменяются Э.Д.С. и напряжения:
i = Im sin  t
или
i = Im sin (  t + α)…………………………….. (4.3)
e = Em sin  t
или
e = Em sin (  t + α1) …………………………….(4.4)
u =Um sin  t
или
u = Um sin (  t + α2)…………………………….(4.5)
где i, е, u – мгновенные значения тока, э.д.с. и напряжения соответственно;
Im , Em , Um - амплитудные (максимальные) значения тока, э.д.с. и напряжения;
 = 2πƒ – угловая частота;
α, α1, α2 – начальные фазы.
Среднее и действующее значение переменного тока.
Среднее значение переменного тока равно величине постоянного тока, при котором
через поперечное сечение проводника проходит такое же количество электричества, что и
при переменном токе. Обозначается среднее значение тока, напряжения и ЭДС
соответственно I c , U c , Ec .
Определяются средние значения по формулам:
2
U c  U m  0,637U m ……………………………………………………………(4.6),

2
Ec  Em  0,637 Em ……………………………………………………………(4.7),

2
I c  I m  0,637 I m ……………………………………………………………… (4.8).

Эффективным или действующим значением переменного тока называется такой
ток, который за одинаковый промежуток времени выделит в одном и том же проводнике
такое же количество теплоты, что и данный переменный ток. Определяется действующее
значение переменного тока, напряжения и ЭДС по формулам:
I
Im
 0,707 I m ………………………………………………………………… (4.9)
2
T
U
1
U
U 2 dt  m  0,707U m ………………………………………………….(4.10)

t0
2
E
Em
 0,707 Em ……………………………………………………………….. (4.11)
2
Векторные диаграммы.
При расчете цепей переменного тока часто приходится суммировать (или
вычитать) несколько однородных синусоидально изменяющихся величин одной и той же
частоты ƒ, но имеющих разные амплитуды (Im , Em , Um) и начальные фазы (α, α1, α2 ).
Такую задачу можно решать аналитическим путем тригонометрических
преобразований или геометрически.
Геометрический метод более прост и нагляден, чем аналитический.
Синусоидальную величину (например, u = Um sin (wt + α))
изображают в виде радиуса-вектора
(см. рис.3).
α – угол, образованный
ОА
ОАU m
с декартовыми координатами х=а, у=в
с осью Х в начальный момент времени, называемый
начальной фазой. Вектор ОА
вращается в заданной плоскости вокруг точки О с
постоянной угловой скоростью, равной угловой частоте ω, против часовой стрелки.
Направление вектора ОА не указывает направление действия напряжение (или тока и
э.д.с.). Это его отличие от векторов в механике, которыми обозначаются величина и
направление силы, скорости, ускорения. Сумма двух синусоидальных величин
изображается суммой векторов, изображающих отдельные слагаемые, а линейная
комбинация нескольких синусоидальных величин – соответствующей линейной
комбинацией векторов. Такое изображение синусоидальных величин называется
векторной диаграммой. При построении векторных диаграмм один из векторов –
исходный располагают произвольно, другие векторы – под соответствующими углами к
исходному.
Пусть необходимо сложить две синусоидальные функции с одинаковым периодом,
но разными начальными фазами (см.рис.4):
U = Um1 sin (ωt + α1) и U2 = Um2 sin (ωt + α2) .
Рис.4
По известному правилу сложения векторов можно получить вектор ОМ ,
изображающий сумму обеих функций U1(t) и U2(t), как геометрическую сумму векторов
ОМ1иОМ 2 , изображающих эти функции. Все три векторы вращаются одновременно
с угловой скоростью ω и легко непосредственно проверить, что ордината точки М
представляет собой сумму функций
Um1sin(ωt + α1) и Um2sin(ωt + α2). Аналогично
абсцисса точки М равна сумме функций Um1cos(ωt + α1) и Um2cos(ωt + α2).
Вместо того, чтобы вращать векторы с угловой скоростью, можно предположить,
что они неподвижны, а оси координат вращаются с угловой скоростью ω.
На рис.4 изображено относительное расположение векторов и осей в момент t = 0.
Геометрическое построение, описанное выше, определяет амплитуду ОМ =Um,
фазу α и тем самым позволяет найти выражение Umsin(ωt + α) = Um1sin(ωt + α1) +
Um2sin(ωt + α2), причем амплитуда Um будет равна
U  U 2 U 2  2U U cos(  ) ,
m
m1
m2
m1
m2
2
1
фаза α может быть определена через tg α
U sin 1 U m2 sin  2 .
tg  m1
U m1 cos1 U m2 cos 2
Аналогично линейная комбинация нескольких синусоидальных функций времени
и той же частоты есть синусоидальная функция времени той же частоты:
n
 Um
i
i 1
sin(t  i ) U m sin(t  )
Часто нужно вычислять производную или интегралы синусоидальных функций
времени типа U(t) = Umsin(ωt + α) . Имеем
dU

 U m cos(t  )  U m sin(t   )
dt
2
Um
Um
 .
cos(t  )
sin(t   )
Udt  


2
Производные и первообразные от функции U (t) изображаются векторами,


повернутыми к исходному вектору соответственно на углы + и - ,
а длины этих
2
2
U
векторов равны ωUm и m .

Изложенное выше применимо в тех случаях, когда требуется произвести сложение,
дифференцирование, интегрирование синусоидальных напряжений и токов, либо
линейные комбинации этих операций. Но это не применимо, если нужно подвергнуть
напряжения или токи нелинейным
алгебраическим операциям, как, например,
умножению или возведению в степень. При таких операциях возникают круговые
частоты, отличные от ω. Это обрекает на неудачу векторное построение, изображенное на
рис.4.
Построение векторов, изображенное на рис.4, называется векторной диаграммой.
Обычно при построении векторных диаграмм вместо амплитудных значений
синусоидальных величин берут их действующие значения.
Действующие значения переменного напряжения и тока будут равны:
Посредством действующих значений напряжения и тока проще выражается
активная мощность. Активная мощность является основной величиной, характеризующей
энергетические условия в цепи. Если для любого участка цепи известны векторы, длины
которых равны действующим значениям напряжения U и тока I, то активная мощность
есть скалярное произведение этих векторов:
P  U I  U  I cos , Вт.
Здесь φ – угол между векторами напряжения и тока.
Для электрических расчетов применяют также две вспомогательные величины:
полную мощность S = U I , ВА;
реактивную мощность Q = U I sin φ , вар.
Величины Р, Q, S соотносятся как стороны прямоугольного треугольника.
Прямоугольный треугольник , стороны которого численно равны величинам Р, Q, S,
называется треугольником мощностей (рис.5).
Цепи с последовательным соединением элементов R L C.
Для последовательной цепи, состоящей из нескольких элементов, строится
векторная диаграмма напряжений.
За исходный вектор принимается вектор тока, т.к. при последовательном
соединении через все элементы цепи протекает один и тот же ток. Может быть показано,
что напряжения на отдельных участках цепи сдвинуты по фазе относительно тока.
а) Пусть в цепи только активное сопротивление R.
По закону Ома ток в такой цепи
i
Т.к.
U
R
U = Um sin ωt, то i  U m sin t  I sin t .
m
R
Отсюда следует, что напряжение и ток совпадают по фазе.
б) Пусть в цепи только индуктивность L.
Допустим, что ток в цепи
i = Im sinωt.
Этот ток в индуктивности вызывает э.д.с. самоиндукции
.
di
eL  L  LI m cost
dt
По 2-му закону Кирхгофа: eL = -UL,
отсюда получаем UL = ω L Im cos ωt.
Из этого следует, что напряжение на индуктивности опережает ток на угол π/2.
Рассуждая аналогично, для цепи с емкостью С выявим, что напряжение на емкости
отстает от тока на угол π/2 (рекомендуется установить самостоятельно).
Таким образом, векторная диаграмма напряжений для цепи с последовательно
соединенными элементами R, L, C (см.рис.6) будет иметь вид, как показано на рис.7.
Вектор напряжения U , приложенного к цепи, определяется как сумма векторов
U  U R  U L  U C , а его величина равна
U  U R2 (U L U C )2
Построим векторную диаграмму напряжений для цепи на рис.1. Для произвольных
значений сопротивлений R, XL и XC и тока I она будет иметь вид, показанный на рис 8.
Вектор напряжения U равен сумме векторов напряжений на отдельных участках
цепи
U  U R1  U L  U R2  U C .
Если сумму векторов представить следующим образом:
U  (U R  U R )  (U L  U C ) ,
1
2
то в соответствии с этой записью векторную диаграмму можно изобразить так, как
показано на рис.9 или на рис.10.
Векторная диаграмма, представленная на рис.10 называется треугольником
напряжений. Вектор результирующего напряжения U на рис.10 опережает вектор тока I
на угол φ.
Если модули векторов треугольника напряжений разделить на модуль вектора тока,
то получим сопротивления последовательной цепи R , X, Z :
Z  R2  ( X L  X C )2
R = R1 + R2 ;
X = XL – XL ;
Эти сопротивления соотносятся как стороны прямоугольного треугольника.
Прямоугольный треугольник, стороны которого численно равны величинам R, X, Z,
называется треугольником сопротивлений (см.рис.11).
Таким образом, U  U a2  (U L  U C ) 2 или U  I R 2 ( X L  X C ) 2  IZ
- это выражение является законом Ома для последовательной цепи переменного тока.
На рис.8, 9, 10, 11 рассмотрен случай, когда
XL>XC(UL>UC).
Если ХL<XC, треугольники напряжений и сопротивлений будут иметь вид, показанный на
рис.12 (а,б).
В этом случае вектор напряжения отстает от вектора тока на угол φ. Возможен
частный случай, когда XL=XC. В цепи при этом наступает режим, называемый резонансом
напряжений.
Обычно для расчета электрических цепей используют комплексные числа. Тогда
все векторы можно изобразить на комплексной плоскости как показано на рис.13 для цепи
на рис.1 (значения величин произвольные).
Или
В комплексной форме полное напряжение записывается следующим образом
Ů = Ůа + ŮL + ŮC
Для цепи на рис.1
Ůa = ŮR1 + ŮR2 , R = R1 + R2
Ů = İR + jωLİ + İ / jωC
Ů = (R + j (ωL – 1 / ωC)) İ.
Это соотношение есть закон Ома, записанный в комплексной форме. Сомножитель
перед I есть полное сопротивление последовательной цепи в комплексной форме
1
Z  R  j (L  j )  R  j ( X L  X C ) .
c
Полное напряжение Ů = Z İ
Все комплексные величины можно записать в показательной форме.
В общем случае ток равен
İ = I ejψ ,
Ψ – угол между током и вещественной осью.
В нашем примере направление тока совпадает с вещественной осью, угол ψ=0,
тогда İ = I.
Полное сопротивление Z = Zejφ , где
X  XC .
Z  R2  ( X L  X C )2 ,
  arctg L
R
Комплекс напряжения в показательной форме
Ů = z İ = z I ejφ .
Получение синусоидальной ЭДС. Характеристики синусоидальных
величин. Обозначения в цепях переменного тока
Пусть в однородном магнитном поле, например, между полюсами
плоского магнита, под углом к горизонтальной плоскости расположена
плоская катушка, выполненная в виде прямоугольной рамки, по
периметру которой намотано w витков (рис. 2.2). Площадь сечения
рамки – S, магнитная индукция – В.
Рис. 2.2. Получение синусоидальной ЭДС
Заставим эту катушку вращаться против часовой стрелки с угловой
скоростью  . Если обозначить время полного оборота катушки через Т,
то
, рад/с. За некоторый промежуток времени t рамка
повернется на угол  t. Площадь проекции рамки в этом положении
. Рамка и ее проекция на горизонтальную плоскую
поверхность пронизываются одним и тем же числом силовых линий
магнитной индукции, поэтому обусловленный ими магнитный поток равен
.
При вращении катушки число силовых линий, охватываемых ее
витками, все время меняется.
Например, при горизонтальном положении рамки это число
максимально, при вертикальном – равно нулю. Другими словами,
меняется магнитный поток, пронизывающий катушку, в результате чего в
ней в соответствии с уравнением (2.2) наводится ЭДС:
.
Поясним величины, входящие в последнее выражение. Еm –
максимальное значение или амплитуда ЭДС. Аргумент синусоидальной
функции  t + называется фазой. Угол  , определяющий начальное
положение рамки и равный фазе в начальный момент времени (при t =
0), – начальная фаза. Фаза с течением времени (при вращении катушки)
постоянно меняется. Скорость изменения фазы  называется угловой
или циклической частотой. Время одного цикла изменения фазы (время
одного оборота рамки) называется периодом и обозначается T.
Количество полных изменений синусоидальной ЭДС в секунду
определяет частоту  , измеряемую в герцах (Гц). Один герц
соответствует одному полному колебанию в секунду. Связь между
частотой и периодом выражается формулой  = 1/ . При частоте 50 Гц
314 c-1.
Графическое изображение синусоидальной функции времени в
электротехнике называют волновой диаграммой. При ее построении на
горизонтальной оси откладывается время t или пропорциональный ему
угол  t. При нулевой начальной фазе кривая выходит из начала
координат и через каждые четверть периода принимает максимальные
значения и переходит через ноль. График такой функции построен по
уравнению е
= Еm sin t на рис. 2.3, а.
Рис. 2.3. Волновые диаграммы
При ненулевых начальных фазах диаграммы имеют несколько иной
вид. Пусть напряжение и ток на некотором участке цепи определяются
выражениями:
(2.3)
Для определенности положим  u > 0, а
волновую диаграмму напряжения. При t = 0 u
< 0. Сначала построим
= Umsin u. При
положительном  u эта величина положительна, и синусоида отсекает на
вертикальной оси отрезок выше начала координат (рис. 2.3, б). Начало
синусоиды и все ее точки оказываются сдвинутыми влево на величину 
u. Кривая тока, имея отрицательную начальную фазу, смещается вправо.
Если начальные фазы двух синусоидальных функций, изменяющихся с
одинаковой частотой, различны, то говорят, что они не совпадают по
фазе. Отрезок на горизонтальной оси, разделяющий начала
синусоидальных кривых (угол  на рис. 2.3, б), определяет угол сдвига
фаз. Он равен разности их начальных фаз:
 =  u –  i.
(2.4)
В случае напряжения и тока вычисление производится именно в таком
порядке: начальная фаза напряжения минус начальная фаза тока.
Если  u >  i и угол  положителен, то говорят, что напряжение
опережает по фазе ток, или ток отстает по фазе от напряжения. На
волновой диаграмме в этом случае кривая напряжения проходит через
ноль и максимальные значения раньше тока; изменения тока отстают от
соответствующих изменений напряжения. Мера отставания – угол  .
Остановимся еще на двух моментах. В цепях синусоидального тока мы
будем встречаться как с переменными, так и с постоянными величинами.
Для тех и других применяются различные обозначения. Переменные
величины – функции времени – будем обозначать маленькими
(строчными) буквами u, i, e, а постоянные – большими (прописными) U,
I, Е.
Второй момент касается указания направления тока или напряжения.
При постоянном токе его направление связано с движением
положительно заряженных частиц. В случае переменного тока его
стрелка на схеме показывает у с л о в н о в ы б р а н н о е
положительное направление. Если в какой-то момент времени ток
направлен по стрелке, он считается положительным, в противном случае
он отрицателен.
2.3. Действующее значение переменного тока
Понятие действующего значения тока вводится в связи с
необходимостью производства измерений. Что измерять у переменного
тока? Если бы мы имели дело только с синусоидами – кривыми одной
формы, то можно было бы измерять амплитуды. Но на практике
встречаются самые разные кривые, и может оказаться так, что два
различных по форме тока имеют одинаковые амплитуды, хотя очевидно,
что на электрическую цепь они будут оказывать разное воздействие.
Поэтому наиболее целесообразно оценивать величину тока по той
работе, которую он совершает. При такой оценке действие переменного
тока сравнивается с аналогичным действием постоянного тока.
Например, если некоторый переменный ток выделяет на участке цепи
такое же количество тепла, что и постоянный ток силой 10 ампер, то
говорят, что величина этого переменного тока составляет 10 ампер. Это
значение тока и называют действующим.
Итак, действующим значением переменного тока называется
численное значение такого постоянного тока, который за время,
равное одному периоду, выделяет в сопротивлении такое же
количество тепла, что и ток переменный.
Таким образом, для оценки величины переменного тока мы должны
сделать следующее.
1. Определить количество теплоты, выделяющейся в сопротивлении
R за время Т при протекании переменного тока i. Это количество
теплоты равно
`
.
2. Подобрать такой постоянный ток I, который за то же время Т в том
же сопротивлении R выделяет такое же количество тепла. При
постоянном токе оно равно
.
3. Приравнять W и W=:
,
откуда
.
(2.5)
Последняя формула и определяет действующее значение
переменного тока.
+++++++++++++++++++++
Представление синусоидальной функции времени
вращающимся вектором. Векторные диаграммы
Пусть в прямоугольной системе координат имеется вектор длиной Im,
расположенный под углом  к горизонтальной оси (рис. 2.5). Заставим
этот вектор вращаться против часовой стрелки c угловой скоростью  .
Тогда за время t он повернется на угол  t.
Проекцию вектора на вертикальную ось обозначим i. Из
треугольника oab она равна
, т.е. представляет собой
функцию, определяющую мгновенное значение
тока. Таким образом, последняя может быть
представлена как проекция на вертикальную
ось вращающегося вектора. Изображение тока
с помощью вектора называется его векторной
диаграммой. Длина вектора может быть равна
амплитудному Im, либо действующему
Рис. 2.5. Вращающийся вектор
значению I.
Обычно вектор при этом показывается не в произвольный момент
времени t, а в начальный (t = 0), когда его угол наклона к
горизонтальной оси равен начальной фазе.
Теперь по уравнениям (2.3) построим векторную диаграмму двух
векторов – тока и напряжения (рис. 2.6).
Длины векторов равны действующим значениям, углы их
наклона к горизонтальной оси – начальным фазам, а угол
между векторами, равный разности начальных фаз  u и  i,
в соответствии с уравнением (2.4) определяет
сдвиг фаз напряжения и тока.
Рис. 2.6. Векторная диаграмма тока и
напряжения
Подчеркиваем, что на диаграмме стрелка,
отмечающая угол  , всегда направляется от
вектора тока к вектору напряжения. Сейчас она
направлена в положительном направлении –
против часовой стрелки.
Векторная диаграмма дает наглядное представление об отставании
одних величин и опережении других. Если вращать картинку, показанную
на рис. 2.6, против часовой стрелки, то вектор тока будет отставать от
напряжения на угол  . Так как при вращении длины векторов и угол
между ними не меняются, то в том случае, когда начальные фазы
напряжения и тока нас не интересуют, мы можем изображать диаграмму
без осей и располагать ее так, как нам удобно (рис. 2.7).
Рис. 2.7. Варианты построения векторной диаграммы
++++++++++++++++++
2.10. Самоиндукция. Индуктивность. Синусоидальный ток в
индуктивности
Если в катушке, изображенной на рис. 2.1, магнитное поле создается
собственным током i, то магнитный поток называется потоком
самоиндукции и обозначается ФL, а индуцируемая в катушке ЭДС
ЭДС самоиндукции. В соответствии с формулой (2.1) она равна
,
еL –
(2.15)
где
– потокосцепление самоиндукции, величина, пропорциональная
протекающему по катушке току:
= Li.
Коэффициент пропорциональности L между потокосцеплением и
током называется собственной индуктивностью или просто
индуктивностью катушки (контура). Она зависит от формы и размеров
катушки, а также от магнитной проницаемости сердечника. Ее
размерность В x с/А=Ом x с. Эта единица измерения называется генри
(Гн).
Подставляя последнее выражение в (2.15) и полагая L = const,
получаем следующую формулу, определяющую ЭДС самоиндукции:
.
(2.16)
На рис. 2.18 показано изображение
индуктивности на электрической схеме; uL –
напряжение на зажимах катушки,
обусловленное электродвижущей силой
самоиндукции, или другими словами,
напряжение, наведенное в катушке
собственным переменным магнитным полем.
Рис. 2.18. Обозначение
индуктивности
Все три стрелки на схеме (i, eL, uL) принято направлять в одну
сторону. Раньше мы видели, что при одинаковых направлениях стрелок
напряжения и ЭДС они имеют разные знаки. Поэтому
.
(2.17)
Знак минус в правой части формулы (2.16) обусловлен принципом
Ленца, определяющим направление индуцированной ЭДС. В
рассматриваемом случае он может быть сформулирован следующим
образом:
ЭДС самоиндукции направлена так, что своим действием
препятствует причине, вызвавшей ее появление.
Причина появления ЭДС самоиндукции – изменение тока. Поэтому при
возрастании тока она направлена ему навстречу, при уменьшении тока –
в одну с ним сторону.
Препятствуя изменению тока, ЭДС самоиндукции оказывает ему
сопротивление, которое называется индуктивным и обозначается хL. В
соответствии с формулой (2.16) его величина определяется
индуктивностью и скоростью изменения тока, т.е. частотой. Формула,
определяющая индуктивное сопротивление, имеет вид:
.
В цепях постоянного тока такого понятия мы не встречали, так как при
постоянных магнитных полях ЭДС самоиндукции не возникает.
Пусть ток, протекающий по индуктивности, определяется выражением
(2.13). Тогда напряжение на ее зажимах, в соответствии с формулой
(2.17), равно
.
Это – мгновенное значение напряжения. Его амплитуда равна
.
Аналогичное выражение получается (после деления на
действующих значений
) и для
Приборы и оборудование:
1. Лабораторный трансформатор ЛАТР.
2. Амперметр Э59 0 – 1 – 2 А.
3. Вольтметр АСТВ 0 – 150 В.
4. Ваттметр Д5004 1 А, 150 В.
5. Катушка с сердечником (1200 витков).
Схема опыта: Рис.1.
Порядок работы
1. Собрать электрическую цепь по схеме (рис. 1)и предъявить ее на
проверку руководителю.
2. Включить ЛАТР и установить напряжение 80 В. снять показания
приборов при изменении положения сердечника в катушке.
3. Показания приборов записать в таблицу 1.
Таблица 1. Результаты измерений и вычислений
№
п/п
1
2
3
Измерено
U
P
I
В
80
80
80
Вт
А
Ua
UL
Вычислено
Z
R
XL
В
В
Ом
Ом
Ом
cos φ
φ
град.
4. Для каждого опыта вычислить:
Активное сопротивление R =
Полное сопротивление Z =
P
, Ом ;
I2
U
, Ом;
I
Индуктивное сопротивление XL = Z 2  R 2 , Ом;
Коэффициент мощности Cos φ =
R
;
Z
Активное падение напряжения Ua = I·R, В;
Индуктивное падение напряжения UL = I·XL, В;
Напряжение цепи U = U 2 a  U 2 L , В.
Результаты вычислений записать в таблицу 1.
5. Для двух опытов построить векторную диаграмму (U, I) и треугольник
сопротивлений (R, X, Z) в масштабе.
6. Сделать выводы и составить отчет.
7. Ответить на контрольные вопросы.
 Чему равно индуктивное сопротивление и в каких единицах оно
измеряется?
 Чему равно мгновенное напряжение на индуктивности L и на
активном сопротивлении R, если по ним протекает ток I?
 Что такое активная и реактивная мощности однофазной цепи
переменного тока? В каких единицах они измеряются?
 Чему равна полная мощность однофазной цепи переменного тока и в
каких единицах она измеряется?
 Что такое коэффициент мощности и в каких единицах он измеряется?
 Чему равна активная мощность цепи переменного тока, если
коэффициент мощности равен единице?