Алгебраическая система

Алгебраическая система
План:
Введение


1 Алгебраические операции
2 Список алгебраических систем
o 2.1 Групповых-подобные структуры
o 2.2 Кольцо-подобные структуры
o 2.3 Модули
o 2.4 Алгебры
o 2.5 Решетки
Литература
Введение
Алгебраическая система
Алгебраическая система (алгебраическая структура) - в математике это непустое
множество с заданным на ней набором операций и отношений, которые удовлетворяют
некоторой системе аксиом.
Основной задачей абстрактной алгебры является изучение свойств аксиоматически
заданных алгебраических систем.
Формально: объект



где
- Непустое множество,
- Множество алгебраических операций определенных на
- Множество отношений определенных на
Множество называется носителем алгебраической системы. Множества
называется сигнатурой алгебраической системы.
Если алгебраическая система не содержит операций, она называется моделью, если не
содержит отношений, то - алгеброй.
Если не рассматривают никаких аксиом, которым должны удовлетворять операции, то
алгебраическая система называется универсальной алгеброй заданной сигнатуры
.
Для алгебраических структур определяют морфизма, как отражение сохраняющие
операции (см. Гомоморфизм). Таким образом определяют категории.
Если множество обладает свойствами топологического пространства и операции являются
непрерывными, то такую алгебраическую систему называют топологической
алгебраической системой (например, топологическая группа).
Не все алгебраические конструкции описываются алгебраическими системами, есть еще
коалгебры, биалгебры, алгебры Хопфа и комодули над ними и т. д.
1. Алгебраические операции
- Арна операция на - Это отражение прямого произведения экземпляров множества
в само множество
. По определению, нуль-Арна операция - это просто
выделенный элемент множества.
Зачастую рассматривают унарные и бинарные операции, как простейшие. Но для нужд
топологии, алгебры, комбинаторики изучают операции большей арности, например,
теория операд и алгебр над ними (мультиоператорних алгебр).
2. Список алгебраических систем
M = магма, Q = квазигрупа, S = полугрупп,
L = Лупа, N = моноид, G = группа,
d = деления, a = ассоциативность,
e = с единицей, i = существования обратного

Множество может считаться вырожденной алгебраической системой с пустой
сигнатурой.
2.1. Групповых-подобные структуры


Магма (Групоид) - множество с одной бинарной операцией , Обычно ее называют
умножением.
Права квазигрупа - групоид, в котором возможно правое деления,
т.е. уравнение
всегда имеет единственный розьвязок

Квазигрупа - одновременно правая и левая квазигрупы.
o Лупа (Петля) - квазигрупа с единицей (унитарное квазигрупа):


Полугрупп - ассоциативный групоид:
o Моноид - полугруппа с единицей (унитарное полугрупп).
Группа - моноид с делением или ассоциативная лупа:

Абелева группа - коммутативна группа:
Операцию в абелевых групп часто называют добавлением (+) а нейтральный
элемент - нулем.
2.2. Кольцо-подобные структуры


Полукольцо - вроде кольца, но без оборачиваемости добавления (коммутативных
моноид по сложению и моноид по умножению).
Кольцо - структура с двумя бинарными операциями: абелева группа по сложению,
моноид по умножению,
выполняется дистрибутивный закон :
.



Коммутативных кольцо - кольцо с коммутативной умножением.
o Целостное кольцо - коммутативных кольцо без делителей нуля
(произведение двух ненулевых элементов не равен нулю).
 Булево кольцо - кольцо, все элементы которого являются
идемпотентамы. Оно является коммутативной и нет делителей нуля.
Кольцо с делением (или Тело) - кольцо, где ненулевые элементы образуют группу
по умножению.
Поле - коммутативной кольцо с делением.
2.3. Модули


Модуль над кольцом - абелева группа по сложению, с дистрибутивного унарные
операции "умножения на скаляр" из кольца.
Векторное пространство - модуль над полем.
2.4. Алгебры





Алгебра над кольцом (алгебра) - модуль над коммутативной кольцом образует
кольцо с билинейная умножением.
Алгебра над полем - векторное пространство с билинейной дистрибутивной
операцией умножения.
Коммутативна алгебра - алгебра с коммутативной умножением.
Ассоциативная алгебра - алгебра с ассоциативным умножением.
Альтернативная алгебра - алгебра с тождеством альтернативности для умножения:

Алгебра термов
Градуированная алгебра
Алгебра Ли - алгебра с антикомутативним умножением (позначаемим
),
Удовлетворяющее тождество Якоби
Алгебра Йордана - коммутативная алгебра с тождеством слабой ассоциативности:

Алгебра Мальцева - антикомутативна алгебра с тождеством

Алгебра над операдою - одна из общих алгебраических систем. Сама операда
играет роль сигнатуры алгебры.



2.5. Решетки

Напивгратка
o Решетка (Решетка) - структура с двумя бинарными операциями ∨ и ∧, что
есть коммутативных, ассоциативными и удовлетворяют закон поглощения :
a ∨ (a ∧ b) = a, a ∧ (a ∨ b) = a.
 Алгебра Гейтинга
 Дистрибутивная решетка
 Булева алгебра - дополнена дистрибутивная решетка.
 Алгебра логики.
Литература



А. Г. Курош "Общая алгебра", - М.: Мир, 1973, 162 с
П. Кон "Универсальная алгебра", - М.: Мир, 1969, 351 с
А. И. Мальцев "Алгебраические системы", - М.: Наука, 1970. - 392 c.
http://nado.znate.ru