В тире и рядом

В тире и рядом
Шишка отскочила –
прямо Мишке в лоб…
Мишка рассердился…
На фотографии изображен участок поверхности толстого
(10мм) листа фанеры с размерами примерно 15мм×15мм. В
середине снимка ямка – след от удара свинцовой пульки массой
0,68г калибра 4,5мм, выпущенной из пневматического
пистолета. Диаметр ямки ≈3мм меньше калибра пули, то есть
она не застряла в фанере. Выстрел был произведен с малого
расстояния ≈ 2м. Пуля была упруго отражена листом фанеры и
попала стрелку прямо в лоб. Шишка на лбу не появилась, так
как при ударе и отскоке пуля потеряла большую часть своей
кинетической энергии.
Первый вывод из случившегося: проводить такого
рода эксперименты нужно, соблюдая правила техники
безопасности. Стрелять
нужно, находясь
за
прозрачной,
например,
стеклянной
стенкой.
Прозрачной – чтобы всё-таки можно было что-то
видеть. Можно также в несколько раз увеличить
расстояние от стрелка до мишени.
Измеренная методом баллистического маятника скорость пулек после вылета из ствола
пистолета составляет около 100м/с. Пуля при вылете из ствола имеет кинетическую
энергию примерно 3,4Дж. Как тратится начальная кинетическая энергия пули? На
фотографии видна ямка – неупругая деформация фанеры – это разрушение материала, на
которое требуется энергия. Фанера вокруг ямки была упруго деформирована и
восстановила свою форму, при этом энергия упругой деформации превратилась в энергию
звуковых волн и частично была возвращена пуле. Скорость распространения звуковых
волн в фанере (в дереве) гораздо больше, чем начальная скорость пули. Поэтому размеры
области фанеры, вовлеченной в удар, были во много раз больше размеров пули. Время
удара можно оценить так: глубина ямки равна примерно 1 мм, на этом участке пути
скорость пули уменьшилась со 100м/с до 0. Если, например, взять среднее
арифметическое этих скоростей, то получится средняя скорость 50м/с, а это соответствует
времени движения пули в фанере вперед 20мкс. Толщина фанерного листа 10мм. При
скорости поперечных звуковых волн в сплошном дереве около 2км/с расстояние,
пройденное звуковыми волнами за такое время в направлениях вдоль поверхности
фанерного листа, составит примерно 4см, что в 4 раза превышает толщину слоя фанеры.
Скорость продольных волн (в направлении полета пули) больше скорости поперечных
волн примерно в два раза, поэтому продольные волны успевают несколько раз пробежать
расстояние 10 мм, и можно считать, что в продольном направлении произошел
«абсолютно неупругий удар». Размеры листа фанеры (20см×30см), в который попала
пуля, были гораздо больше 4 см. Следовательно, когда пуля относительно фанеры
перестала двигаться, волны по листу фанеры продолжили движение, и через некоторое
время то место фанеры, куда попала пуля, вернулось к положению равновесия. Пуля не
застряла в фанере, поэтому после прохождения положения равновесия (участком, в
котором она находилась) пуля полетела в обратную сторону. Причем, её скорость
оказалась равной скорости прохождения положения равновесия тем участком фанеры, в
который пришелся удар. Разобьем мысленно лист фанеры на участки. Первый=цилиндр, с
радиусом R. Второй = кольцо с внутренним радиусом R и внешним радиусом 2R, третий=
кольцо с внутренним радиусом 2R и внешним радиусом 3R, и так далее.
Между этими участками имеется механическая связь, которую можно моделировать
пружинками, распределенными по периметрам. С учетом такого разбиения эквивалентная
механическая система, обладающая свойствами, похожими на свойства объектов,
участвовавших в эксперименте, выглядит так, как показано на рисунке.
Масса первого груза, в который пуля ударяется абсолютно не упруго, равна 1×М, второго
груза М×(22-12)=3×М, третьего груза М×(32-22)=5×М, четвертого – М×(42-32)=7×М, и так
далее (последовательность нечетных чисел с множителем М). Жесткости пружин,
соединяющих грузы, пропорциональны длинам участков контакта соответствующих
грузов, то есть первая пружина имеет жесткость К1~2πR, вторая – К2~4πR, третья –
К3~6πR, четвертая – К4~8πR, и так далее (последовательность четных чисел с одинаковым
множителем).
Для упрощения анализа достаточно рассмотреть только два первых груза М и 3М с
пружиной между ними. Скорость первого груза после попадания в него пули (при
абсолютно неупругом соударении) равна Vm/(m+M)≈Vm/M, так как масса пули m
существенно меньше массы М. После взаимодействия со вторым грузом (3М) скорость
первого груза равна (Vm/M)×(М-3М)/(М+3М) = –Vm/(2M). Вот с этой скоростью и
отскакивает от системы больших грузов пуля массы m. Точный расчет дает поправочный
коэффициент немного больший единицы.
Поскольку после отскока пуля имела скорость около 5м/с (что было найдено в
последующих и уже безопасных для стрелка экспериментах ), то отношение масс m/M
может быть оценено величиной 1:10. При плотности фанеры 0,8г/см3 диаметр круга на
листе фанеры, который «составил» первый груз с массой М, равен примерно: 3,3см.
Диаметр (внешний) кольца, «составляющего» второй груз равен 6,6 см. Это значение по
порядку величины соответствует полученной раньше оценке для размеров области,
занятой волнами – 2×4 см = 8см.
Итак, при неупругом ударе пули о лист фанеры на разрушение материала фанеры (на
образование той самой ямки, которая видна на фотографии) было потрачено ≈ 90%
энергии, ≈ 9% в виде кинетической энергии достались фанере и ≈ 1% пуле. После того,
как завершился контакт пули с фанерой, у пули осталась кинетическая энергия,
составляющая только 0,25% от её первоначальной величины.
Эксперименты с пневматическим пистолетом были, естественно, продолжены.
Выяснялось, сколько слоев упаковочного картона пробивает пуля. Оказалось, что новая
пуля пробивает в среднем 6-7 слоев картона, а пуля, которую использовали второй или
третий раз (после пробивания стопки листов картона), проходила через 12-15 слоев
картона. Это связано с тем, что все неровности и шероховатости на поверхности пули,
которые обеспечивали большое сопротивление при первом использовании пули, после
прохождения через несколько слоев картона стирались, сглаживались, и при повторных
выстрелах пуля тратила меньше энергии на пробивание одного листа картона.
Пули направлялись в пластиковые бутылки от газированных напитков, заполненных
водой. Пуля могла пробить только первую стенку бутылки, а вторая стенка всегда
оставалась целой. То есть у пули после пробивания первой стенки кинетическая энергия
уменьшается настолько, что на пробой второй стенки ее уже не хватает. А если стрелять в
пустую бутылку, то в большинстве случаев стенка бутылки не пробивалась. Вот хорошая
тема для подробного исследования какому-нибудь школьнику/исследователю – почему
стенка бутылки с водой пробивается, а без воды нет?
Впечатляющее зрелище получается, когда пуля пробивает стенки жестяной банки с
газированным пенным напитком. Сначала банка подвешивается на прочной нитке к ветке
дерева. Нитка начинает раскручиваться, и когда банка приобретает максимальную
угловую скорость, производится выстрел в нижнюю часть банки. Банка продолжает
вращаться, а из двух образовавшихся в стенках отверстий начинают бить две пенные
струи!
В других экспериментах пули
выпускались в воду, причем
выстрелы
производились
в
направлении,
составлявшем
небольшой угол с горизонтом.
Прямыми наблюдениями (зрителей
вокруг на берегу собиралось много)
было установлено, что пули
«пробивают»,
двигаясь
почти
горизонтально по прямой, слой
воды толщиной примерно 2м, и
только затем уходят в глубину.
Известно, то при движении тела с
большой скоростью V в среде с плотностью ρ сила сопротивления пропорциональна
динамическому давлению ρV2/2, площади поперечного сечения S, а коэффициент
пропорциональности Cx зависит от числа Рейнольдса ρVR/η, где R – это характерный
размер тела R ≈ S0,5 , а η – это вязкость материала среды (вязкость воды равна ~10-3 Пуаз).
Например, в диапазоне чисел Рейнольдса от 102 до 105 для тела в форме шарика этот
коэффициент равен примерно 0,4. При числах Рейнольдса от 2×105 до 106 этот
коэффициент принимает значение около 0,1, то есть имеет место существенное
уменьшение относительных потерь кинетической энергии тела в диапазоне от 105 до
2×105. При числах Рейнольдса больших 106 этот
коэффициент увеличивается.
На рисунке из учебника С.П. Стрелкова «Механика»
показана графически зависимость Cx от Re для шарика.
Форма пули вовсе не шарик. На рисунке она показана в
сечении. Понятно, для чего у свинцовой пули такая
хвостовая часть – за счет деформации относительно мягкого
свинца обеспечивается отсутствие зазора между пулей и стенками ствола, в котором пуля
разгоняется сжатым воздухом, а также обеспечивается зацепление пули за так называемые
«нити нарезки» в стволе. Ствол имеет винтовую нарезку, что придает движущейся вдоль
ствола пуле вращательное движение вокруг ее оси симметрии. При таком движении
(поступательное + вращательное) пуля в воздухе сохраняет стабильное положение по
отношению к направлению выстрела и этим обеспечивается большая дальность и
точность стрельбы.
Коэффициент Cx для пуль описанной формы явно больше соответствующего
коэффициента для шарика с таким же максимальным сечением.
В начале полета пули в воде число Рейнольдса составляет примерно 4,5×10 5. После того,
как пуля потеряет 80% кинетической энергии (скорость её уменьшится до 45 м/с), число
Рейнольдса составит 2×105. Это означает, что большую часть пути в воде пуля движется
при относительно малых потерях энергии. Только потеряв 96% энергии (скорость
уменьшилась до 20м/с), пуля начинает испытывать сопротивление с коэффициентом ≈ в 4
раза большим, чем при начальной скорости. Можно считать, что движение вниз (падение)
пули начинается с момента, когда сила сопротивления сравняется по величине с силой
тяжести (Архимедовой силой в связи с её относительной малостью можно пренебречь).
Это соответствует скорости пули в воде ~1м/с. При этом число Рейнольдса равно
примерно 7×103.
Из 2-го закона Ньютона получается уравнение движения пули в горизонтальном
направлении (в пренебрежении силой тяжести). При умножении выражений с двух
сторон от знака равенства на Vdt можно получить уравнение:
V 2 
V 2 
V 2 
Md 
  Cx  
 SVdt  Cx 
 dm
 2 
 2 
 2 
 SVdt  dm
Здесь dm – это масса воды, которую пуля «замела» своим сечением при проходе через
воду.
Решение этого уравнения:
V 2 
d

 2   C dm
x
M
V 2 


 2 
V 2 
m
L S
ln  к2   Cx
 Cx
M
M
Vн 
Здесь L – это путь, пройденный пулей в воде. Если считать, что от скорости пули 100м/с
вплоть до скорости 1м/с коэффициент Cx остается одним и тем же, то его значение
найдётся из соотношения:
2
2  103     0, 00225 
 100 
2 ln 
  Cx 
6,8  104
 1 
Cx  0,197  0, 2
Полученное значение Cx для пули примерно в 2 раза больше, чем для шарика с таким же
максимальным сечением. Отметим, что даже начальная скорость пули в 15 раз меньше
скорости звука в воде, а также то обстоятельство, что вода обладает малой сжимаемостью.
При максимальном динамическом давлении, создаваемом пулей ρV2/2=50атм, плотность
воды перед пулей увеличивается только на 0,05%.
При выстреле из пневматического пистолета в воздух в вертикальном направлении (от
уровня земли) новая свинцовая пулька падает на землю в среднем через 9,4 секунды.
Стреляная свинцовая пулька падает в среднем через 10 секунд (первые выстрелы такими
пулями производились в стопку картонных листов).
Эксперименты со стрельбой в вертикальном направлении проводились возле бассейна
достаточно больших размеров (конечно, стрельба велась, когда в бассейне никого не было
). С момента выстрела до момента появления всплеска на поверхности воды (на
расстоянии 2-5 м от места выстрела) проходили в среднем эти самые секунды. Начальная
скорость свинцовой пули 100м/с. При такой скорости движения пули в воздухе с
плотностью ρ=1,3кг/м3 и вязкостью η≈2×10-5 число Рейнольдса равно примерно: 1,3×104,
то есть коэффициент Cx в формуле для силы сопротивления находится на участке
зависимости от числа Рейнольдса, когда он примерно постоянен. Шарику на аналогичном
участке соответствует значение коэффициента ≈ 0,4. Для пули этот коэффициент,
наверняка, будет больше. Придется подбирать такое значение этого коэффициента, чтобы
рассчитанное время полета пули соответствовало экспериментально полученному
значению.
Проще всего это сделать не аналитически, а с помощью компьютера. Подобранные
коэффициенты для полета новых и стреляных пуль в воздухе получились:
Стреляные – 10,0с – Cx =0,72. Высота подъема – 120м.
Новые – 9,4с – Cx =0,88. Высота подъема – 105м.
Отметим, что и в этих случаях коэффициент Cx для данного диапазона чисел Рейнольдса
больше, чем для круглого шарика с таким же максимальным сечением. Максимальная
скорость пули примерно в 3 раза меньше скорости звука в воздухе, а динамическое
давление, создаваемое пулей ρV2/2=0,06 атм, и увеличивает плотность воздуха перед
пулей примерно на 6%.
Естественно, что выстрелы производились и под значительными углами к горизонту.
Экспериментально подбирался, например, такой угол, чтобы дальность полета по
горизонтали была максимальной. В этом случае пули выпускались над поверхностью
медленно текущей реки в безветренную погоду. Всплески при падении пуль в воду были
видны на большом расстоянии. «На глаз» это расстояние было порядка 150 м, и
достигалась такая дальность стрельбы при наклоне ствола пистолета к горизонту около
30º. С помощью компьютера можно найти максимальную дальность полета пули в
горизонтальном направлении и угол к горизонту, под которым нужно стрелять, чтобы
дальность была максимальной. При этом использовалось значение Cx =0,72. Результаты
расчета:
Угол
≈
32,3º,
максимальная дальность ≈168м.
Выстрелы
в
горизонтальном
направлении над поверхностью
воды с высоты около 2м над водой
приводили к тому, что пуля в
первый раз падала на середине
реки (примерно в 50 м от берега),
и несколько раз отскакивала от
поверхности
воды,
создавая
несколько всплесков.
Это напоминало прыжки на воде
плоских камешков, которые все
мы в детстве бросали в воду с
берега.
«Мораль» = любая механическая игрушка может послужить экспериментальным
оборудованием для многочисленных физических экспериментов.
С. Варламов