УСЛОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ TV

Вестник БГУ. Сер. 1.2007. № 1
УДК 519.2:519.713
Е.В. ХРАМОВА
УСЛОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ TV-ГРАММ ВЫХОДНЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ОДНОГО КЛАССА АВТОМАТОВ МУРА
We investigate the probabilistic dependence of the output sequence of the Moore automaton on the
input sequence which elements are arbitrarily distributed.
Рассмотрим класс автоматов Мура, определяемый каноническими уравне­
ниями:
где
- состояние автомата,
последовательности автомата,
- элемент входной
- функция переходов,
- функция выходов, y{t) - элемент выходной последова­
тельности автомата.
Функция переходов
имеет вид:
Функция выходов
имеет вид:
Исходя из предположения [1, 2], что входы xt - независимые одинаковые
распределенные случайные величины с распределением вероятностей
а выходы y(t) имеют распределение
были рассмотрены задачи нахождения
условных вероятностей
где
- число единиц в векторах
и
соответственно.
Отметим, что результаты [1,2] применимы на практике для векторов x(t)
произвольной длины.
В данной статье найдены условные распределения N-грамм (N 1) выход­
ной последовательности рассматриваемого автомата при следующих условиях:
1)
, имеют произвольные распределения:
2) входная последовательность автомата является последовательностью не­
зависимых случайных величин:
Полученные соотношения для условных распределений N-грамм имеют
экспоненциальную вычислительную сложность относительно длины п вектора
x(t) и применимы на практике для малых значений п.
100
Математика и информатика
Условные распределения выходных N-грамм при случайных входах
Найдем значения условных вероятностей
Для этого вычислим сначала следующие вспомогательные условные веро­
ятности:
где
Таблицу истинности функции
Тогда условные вероятности
запишем в виде
могут быть вычислены по следующей
формуле:
При т = N - 1 из формулы (2) получаем искомое значение для условной веро­
ятности
101
Вестник БГУ. Сер. 1.2007. № 1
Чтобы
найти
значения
условных
вероятностей
при
составим следующую систему, которая имеет единствен­
ное решение, так как матрица этой системы является невырожденной:
Решая (3), получим значения условных вероятностей:
где
лы (2).
Используя (2) и (4), вычислим
определяются с помощью форму­
Таким образом, была доказана следующая
Теорема 1. Пусть входная последовательность
условиям
1),
2),
тогда
условные
удовлетворяет
вероятности
определяются соотношениями(2), (4), (5).
В качестве примера рассмотрим систему (3) в случае N = 3:
и представим ее в матричном виде АХ = В, где:
102
(1)
Математика и информатика
Решение системы (3) для данного случая имеет вид:
что совпадает с (4) при N = 3.
Следствие 1. В условиях теоремы 1 условные вероятности для биграмм
определяются следующим об­
разом:
где
В случае, когда
боте [2].
определяется с помощью формулы (2).
из (6) следуют результаты, полученные в ра­
1. С е в а с т ь я н о в Б. А. // Дискрет. мат. 1994. Т. 6. Вып. 1. С. 34.
2. O н ж е // Тр. по дискрет. мат. 2002. Т. 5. С. 219.
Поступила в редакцию 01.11.05.
Елизавета Владимировна Храмова - младший научный сотрудник НИЛ математических ме­
тодов защиты информации ННИЦППМИ. Научный руководитель - кандидат физико-математи­
ческих наук, заместитель директора ННИЦППМИ В.А. Галинский.
103