СТРУКТУРООБРАЗОВАНИЕ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ С ЖИДКОСТЬЮ И ЛЕГКИМ СФЕРИЧЕСКИМ ЯДРОМ

Конвективные течения…, 2015
СТРУКТУРООБРАЗОВАНИЕ
ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СФЕРИЧЕСКОЙ
ПОЛОСТИ С ЖИДКОСТЬЮ
И ЛЕГКИМ СФЕРИЧЕСКИМ ЯДРОМ
М.А. ДАВЫДОВА, С.В. СУББОТИН
Пермский государственный гуманитарно-педагогический
университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24
Экспериментально исследуется поведение тяжелых частиц
на внутренней стенке вращающейся вокруг горизонтальной
оси сферической полости с жидкостью. В центре полости
находится легкое сферическое ядро. Под действием поля
силы тяжести ядро совершает круговые колебания в системе
отсчета полости, в результате которых генерируется осредненное дифференциальное вращение ядра и жидкости. В то
же время колеблющееся ядро является источником инерционных волн. При этом частицы, плотность которых незначительно превышает плотность жидкости, собираются в точках отражения инерционных волн от стенок полости – концентрических кольцах. При увеличении скорости дифференциального вращения ядра частицы в кольцах пороговым
образом
перераспределяются
с
азимутальной
периодичностью.
Ключевые слова: дифференциальное вращение, инерционные волны, осредненные эффекты, структурообразование, неустойчивость.
ВВЕДЕНИЕ
Для вращающихся гидродинамических систем характерно наличие внутреннего осциллирующего движения жидкости, известного
как «инерционные волны» [1]. Эти волны являются собственными
модами вращающейся жидкости и могут возбуждаться любым
внешним периодическим воздействием. Например, прецессия оси
вращения полости [2] или упругие деформации ее стенки [3] поддерживают инерционные волны, частота которых равна частоте
 Давыдова М.А., Субботин С.В., 2015
Конвективные течения…, 2015
воздействия. Так, в прецессирующем сферическом слое жидкости
[2] инерционные волны рождаются в местах разрыва вязкого пограничного слоя Экмана. Разрывы пограничного слоя являются
источником осциллирующих свободных сдвиговых слоев, проникающих в объем жидкости в виде конусов [4, 5]. Особенностью
поведения таких волн является то, что отражение волны от твердой
границы происходит под углом, равным углу падения, отсчитываемом от оси вращения, а не от нормали к границе. Благодаря специфическому закону отражения инерционная волна после многократного отражения эволюционирует в волновой аттрактор. В результате нелинейного взаимодействия в свободных осциллирующих слоях в объеме жидкости генерируется геострофическое течение [6] в
виде осесимметричных цилиндрических сдвиговых слоев, параллельных оси вращения [7, 8, 9]. Похожий механизм генерации азимутального течения имеет место в случае периодических деформаций вращающейся полости [3, 10].
Другой механизм генерации связан с возникновением осредненных касательных напряжений в вязких пограничных слоях на твердых границах в результате осциллирующего движения жидкости.
Так, в [11, 12] теоретически и экспериментально было исследовано
поведение свободного цилиндрического тела во вращающемся во
внешнем силовом поле цилиндре с жидкостью. В результате действия внешнего поля возбуждались колебания тела относительно
полости, вследствие чего тело и жидкость приходили в дифференциальное вращение. Динамика сферического тела в полостях различной геометрии была исследована в [13–15], где показано, что
структура осредненного течения имеет вид столба Тейлора с интенсивным двумерным вихревым течением внутри него. Устойчивость границы столба Тейлора, а также порог возникновения вихревой системы определялись одним безразмерным комплексом –
числом Рейнольдса Re ≡ ∆Ω r 2 / ν , рассчитанным через скорость
дифференциального вращения ∆Ω и радиус тела r .
В предлагаемой работе продолжаются экспериментальные исследования структуры течения во вращающейся сферической полости с жидкостью, в центре которой находится свободное сферическое ядро [14, 15]. Внимание уделяется образованию структур, в
формировании которых определяющую роль играют инерционные
волны, генерируемые колеблющимся ядром.
110
Давыдова М.А., Субботин С.В. Структурообразование во вращающейся
1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА И МЕТОДИКА
Легкое сферическое тело (ядро) 1 радиуса r = 1.27 см и средней
плотности ρ s = 0.25 г/см³ помещается в кювету 2, изготовленную
из плексигласа в форме куба (рис.1). Полость в кювете имеет сферическую форму радиуса R = 2.60 см, заполняется жидкостью и
закрепляется в шарикоподшипниках опор, установленных на горизонтальной платформе.
В качестве рабочей жидкости используются водоглицериновые
растворы вязкостью ν = 2 − 5 сСт. Плотность жидкости поддерживается постоянной ( ρ L = 1.47 ± 0.03 г/см³) путем добавления в раствор соли NaI . Вязкость жидкости измеряется капиллярным вискозиметром типа ВПЖ-2, для измерения плотности используется
ареометр.
Для изучения структурообразования на стенке полости используются сферические частицы ионообменной смолы марки
Lewatit S 1567 размером d p = 0.5 мм и плотностью ρ p = 1.42 г/см³.
Поскольку ρ p > ρ L , под действием центробежной силы тяжелые
частицы оседают на стенке полости. Объемная доля частиц в жидкости не меняется и составляет 0.4 %. В отдельных экспериментах
для качественного наблюдения за структурами течения в жидкость
добавляется алюминиевая пудра.
Вращение кюветы задается при помощи шагового двигателя 3
(FL86STH80-4208A). Управление шаговым двигателем осуществляется драйвером 4 (SMD-42). Скорость вращения регулируется
низкочастотным генератором 5 (ГЗ-112/1). Питание двигателя осуществляется от импульсного регулируемого источника постоянного тока 6 (Mastech HY5005E).
Наблюдения проводятся в стробоскопическом освещении лампы
7. Управление стробоскопом осуществляется с помощью генератора, интегрированного в компьютер. Структуры течений регистрируются фотоаппаратом 8 вдоль и поперек оси вращения.
Эксперимент проводится следующим образом. Кювета приводится в быстрое равномерное вращение вокруг горизонтальной оси
со скоростью f rot = Ω rot / 2π . После установления стационарного
режима вращения тела измеряется его скорость f s = Ω s / 2π и скорость вращения структур на стенке полости f w = Ω w / 2π в лабораторной системе отсчета. Скорости вращения измеряются путем
синхронизации частот f s и f w с частотой мерцаний стробоскопа 7.
111
Конвективные течения…, 2015
Рис.1. Схема экспериментальной установки
Распределение азимутальной скорости частиц на стенке полости
вдоль меридиана исследуется PIV-методом. Видеорегистрация
осуществляется на неподвижную в лабораторной системе отсчета
камеру Canon EOS 60D с частотой 50 кадров в секунду. С помощью
программы PIVLab [16] обрабатываются пары кадров, промежуток
времени между которыми кратен периоду вращения полости. Таким образом, скорость частиц ∆f p = ∆Ω p / 2π вдоль меридиана
рассчитывается в системе отсчета полости.
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ВРАЩЕНИЕ ЯДРА
В отсутствие вращения легкое ядро находится в верхней части
полости, а частицы, плотность которых незначительно превышает
плотность жидкости, – в нижней части. При увеличении f rot ядро
увлекается потоком жидкости, и при некотором критическом значении скорости занимает устойчивое положение вблизи оси вращения. В центрифугированном состоянии легкая сфера совершает
медленное отстающее дифференциальное вращение [14] со скоростью ∆f = f s − f rot (рис.2). С повышением f rot скорость дифференциального вращения монотонно понижается. При увеличении вязкости жидкости интенсивность дифференциального вращения также понижается, при этом зависимость ∆f ( f rot ) сохраняет свой вид.
Механизм генерации дифференциального вращения свободного
легкого тела в двумерной постановке описан в [12]. Эффект
объясняется действием на тело в неинерциальной системе отсчета
внешнего силового поля (поля силы тяжести). Действие
112
Давыдова М.А., Субботин С.В. Структурообразование во вращающейся
инерционного поля на неоднородную по плотности систему
«ядро – жидкость» приводит к круговым колебаниям ядра
относительно полости в экваториальной плоскости. В результате
нелинейных эффектов в динамических пограничных слоях на
твердых
границах
возникают
осредненные
касательные
напряжения, приводящие ядро во вращение.
0
∆f, об/с
-0.5
-1
ν, сСт
2.4
3.0
5.0
-1.5
-2
13
frot, об/с
20
27
Рис.2. Зависимость скорости дифференциального вращения ядра от
скорости вращения полости
Как показано в [12], безразмерная скорость дифференциального
вращения ядра заданного относительного размера r / R определяется выражением:
∆Ω
Ω rot
~ Γ2
r
δ
(1 − ρ )
2
,
(2.1)
где параметр Γ = g / Ω 2rot r , характеризующий отношение силы тяжести к центробежной силе, и отношение плотностей ρ = ρ s / ρ L
определяют амплитуду колебаний тела относительно полости; r / δ
характеризует отношение размера ядра к толщине динамических
пограничных слоев δ = 2ν / Ω rot , в которых генерируется осредненное течение.
На рис.3 представлена зависимость безразмерной скорости
∆Ω / Ω rot от комплекса Ψ = Γ 2 (r / δ )(1 − ρ ) 2 . Экспериментальные
точки, полученные при различных значениях вязкости жидкости,
113
Конвективные течения…, 2015
хорошо согласуются между собой. Здесь же для сравнения приведены точки, полученные в [14] для сферического ядра в полости
большего радиуса ( R = 3.60 см), но с таким же аспектным отношением ( r / R = 0.49 ). Видно, что результаты экспериментов, полученные на полостях разного размера, хорошо согласуются между
собой. Это указывает на универсальность механизма генерации
дифференциального вращения, связанного с нелинейными эффектами в пограничных слоях, при изменении геометрии системы с
цилиндрической [12] на сферическую.
0.1
|∆Ω|
Ω rot
0.01
0.03
ν, сСт
2.6
3.4
3.8
4.2
5.0
4.3 − 1
Ψ
0.3
Рис.3. Зависимость безразмерной скорости дифференциального
вращения тела от параметра Ψ . Кривая построена по (2.1), точки 1
получены в [14] для тела радиуса r = 1.77 см и относительной
плотности ρ = 0.20
3. СТРУКТУРООБРАЗОВАНИЕ
При быстром вращении полости частицы, плотность которых незначительно превышает плотность жидкости, под действием центробежной силы оседают на внутренней стенке полости, формируя
два концентрических кольца (рис.4а,б). При этом часть частиц собирается в приэкваториальной области. При центральном положении ядра кольца располагаются симметрично относительно экваториальной плоскости. Отметим, что со временем частицы растворяются в солевом растворе NaI , что приводит к выпадению осадка в
виде мелкой фракции. Мелкие частицы (размером ≤ 0.1 мм) также
собираются в кольца на внутренней стенке полости (см. рис.4а), но
ближе к экватору.
114
Давыдова М.А., Субботин С.В. Структурообразование во вращающейся
∆fp, об/с
0.15
0
в
-0.1
-26
-13
0
z,13
мм
26
Рис.4. Распределение тяжелых
частиц на стенке полости при
f rot = 24.5 об/с и ν = 2.9 сСт;
а – вид в поперечном оси
вращения сечении; б – вид вдоль
оси вращения; в – распределение
осредненной
скорости
дифференциального
вращения
частиц
вдоль
меридиана
при f rot = 23.0 об/с и ν = 2.9 сСт;
вертикальные штриховые линии
соответствуют положению колец
из частиц
Распределение скорости частиц ∆f p ( z ) , где z – расстояние от
экваториальной плоскости, приведено на рис.4в. Для получения
этой зависимости количество частиц было существенно увеличено,
так что они покрывали тонким слоем большую часть внутренней
поверхности полости.
В приэкваториальной области частицы совершают слабое отстающее вращение, скорость которого постепенно возрастает с увеличением широты и достигает своего максимального значения в местах, где собирается мелкая фракция. С увеличением расстояния z
отстающее вращение сменяется опережающим. При этом максимальная скорость опережающего вращения наблюдается на расстоянии z ≈ 15 мм, где локализуются кольца из крупных частиц. Отметим, что максимальная скорость опережающего движения в несколько раз превышает по интенсивности максимальную скорость
отстающего, где локализуются кольца из мелкой фракции. При
115
Конвективные течения…, 2015
дальнейшем приближении к полюсам полости скорость опережающего движения частиц уменьшается.
0.5
∆f , об/c
II
∆fw , об/с
a 14
m=9
0
1
2
-0.5
0
-0.5
**
frot
-1
18
0.5
I
10
20
22
*
frot
-1
24
26
frot , об/с
Рис.5. Зависимость скорости дифференциального вращения ядра ∆f
(точки 1) и азимутальных структур ∆f w (2) от скорости вращения
полости при ν = 2.9 сСт; I – область осесимметричных структур, II –
область существования азимутального рельефа
С уменьшением скорости вращения полости скорость отстающего вращения тела ∆f увеличивается и при некотором критическом
значении f rot* (область II на рис.5) частицы в кольцах пороговым
образом перераспределяются в группы с азимутальной периодичностью (рис.6а, б). В обеих полусферах азимутальные структуры из
частиц вращаются синфазно с одинаковыми угловыми скоростями.
Скорость дрейфа структур на стенке полости превышает скорость
вращения полости f w > f rot , а ∆f w = ( f w − f rot ) > 0 . При этом частицы в группах совершают циклоническое вращение.
При последующем уменьшении f rot скорость опережающего
вращения структур остается постоянной, как и волновое число m .
Это характерно вплоть до значения f rot** , при котором фазовая скорость ∆f w пороговым образом увеличивается (переход а, рис.5), а
волновое число уменьшается сразу на несколько единиц (рис.6в, г).
При дальнейшем понижении f rot (при увеличении скорости отста116
Давыдова М.А., Субботин С.В. Структурообразование во вращающейся
ющего дифференциального вращения ядра) скорость дрейфа структур монотонно уменьшается. При этом последующие переходы
между азимутальными структурами сопровождаются изменениями
m только на единицу.
Рис.6. Вид азимутальных структур, образованных частицами, при
ν = 2.9 сСт и f rot = 23.0 об/с (а, б), ν = 3.4 сСт и f rot = 19.0 об/с (в),
ν = 2.6 сСт и f rot = 20.0 об/с (г)
4. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
В [13–15] было обнаружено, что в результате колебаний ядра относительно полости в жидкости возникает азимутальное течение.
Структура течения имеет вид столба Тэйлора, в центральной части
которого интенсивно вращается двумерная вихревая система. В
докритической области столбик Тэйлора и вихревая система внутри
него имеют форму двух вложенных друг в друга жидких столбов
117
Конвективные течения…, 2015
кругового сечения. При этом порог волновой неустойчивости границы столба и порог возникновения системы вихрей внутри него
определяются числом Рейнольдса Re = ∆Ω r 2 / ν , где ∆Ω = 2π∆f .
Рассматриваемые здесь эксперименты показывают, что в исследуемом диапазоне безразмерных частот ω = Ω rot r 2 / ν пороги возникновения азимутально периодических структур на стенке полости
также определяются числом Рейнольдса, значение которого составляет Re = 180 ± 20 (рис.7).
300
Re
200
100
0
3⋅10
3
ω
10
4
1.5⋅104
Рис.7. Пороги возникновения структур на стенке полости
Критические значения Re , при которых развивались вихревая
система внутри столбика Тейлора и волна на его границе, составляли Re = 54 ± 4 и Re = 104 ± 8 соответственно [15]. Таким образом,
азимутальные структуры возникают в области развитого надкритического течения в центральной части полости. Ранее подобного
типа кольцевые структуры из частиц наблюдались в сферической
полости большего радиуса [17]. При этом пороговое значение числа Рейнольдса, при котором возникала азимутальная периодичность, составляло Re = 200 ± 14 . Это значение несколько превышает критическое Re , наблюдаемое в рассматриваемой работе. Различие может быть связано с количеством частиц (в наших экспериментах их было существенно больше).
Как обсуждалось выше, механизм генерации дифференциального вращения тела связан с его колебаниями относительно полсти, в
118
Давыдова М.А., Субботин С.В. Структурообразование во вращающейся
результате которых в динамических пограничных слоях рождается
среднее течение. Одновременно колеблющееся ядро является источником внутренних инерционных волн [4, 10]. Волны распространяются вдоль характеристических поверхностей конической
формы, образованных свободными осциллирующими сдвиговыми
слоями. Положение характеристических поверхностей определяется углом к оси вращения, зависящим от отношения частоты осцилляций Ω osc к частоте вращения системы [1]:
 Ω osc
 2Ω rot
θ = arcsin 

.

(4.1)
В рассматриваемом случае Ω osc = Ω rot , в соответствии с (4.1)
характеристические поверхности конической формы образуют угол
θ = 30° к оси вращения.
Известно, что наряду с механизмом генерации осредненного течения в результате осциллирующего движения в динамических
пограничных слоях вблизи твёрдых границ [18], существует механизм, связанный с колебаниями жидкости вдоль направления распространения инерционных волн [3, 10]. Осредненное течение возникает вследствие нелинейных эффектов в свободных сдвиговых
слоях. Кольцеобразное распределение частиц на стенке полости
(рис.8) подтверждает это. Крупные тяжелые частицы собираются
вблизи точек отражения инерционных волн, где пульсационная
компонента скорости максимальна.
Характеристические поверхности, вдоль которых распространяются инерционные волны, возбуждаемые колеблющимся ядром,
показаны линиями (см. рис.8), расположенными под углом θ = 30° .
Видно, что при различных значениях отношения r / R положение
колец согласуется с точками падения инерционных волн на границу полости.
Отметим, что размер крупных тяжелых частиц превосходит
толщину динамических слоев δ = 2ν / Ω rot ~ 0.1 мм, и их расположение вблизи границы определяется структурой осредненного
течения за пределами пограничных слоев. В то же время течение
внутри пограничного слоя определяет положение частиц из мелкой
фракции, размер частиц которой меньше δ .
119
Конвективные течения…, 2015
Рис.8. Схема распространения инерционных волн от колеблющегося тела в докритической области при r / R = 0.49 (а), r / R = 0.56 (б) и
r / R = 0.68 (в)
120
Давыдова М.А., Субботин С.В. Структурообразование во вращающейся
Рис.9. Фотографии течения до (а) и после (б, в) возникновения
азимутальных структур на стенке полости
Природа возникновения периодических структур обусловлена
развитием в объеме жидкости надкритических течений. Визуализация течения с помощью алюминиевой пудры показывает, что до
порога возникновения азимутальной периодичности (см. рис.4а, б)
течение на расстоянии (0.5 − 1)R от оси вращения осесимметричное (рис.9а). С увеличением числа Рейнольдса и возникновением
азимутальной периодичности на стенке полости (см. рис.6) в объеме жидкости возникает система валов (рис.9б, в). Скорость вращения системы валов опережает скорость вращения полости и совпадает со скоростью движения структур из частиц.
Заключение. Экспериментально исследовано поведение тяжелых частиц во вращающейся вокруг горизонтальной оси сферической полости с жидкостью и свободным твердым ядром. Ядро колеблется относительно полости в экваториальной плоскости под
действием силы тяжести и совершает отстающее дифференциальное вращение. В результате этих колебаний в жидкости распространяются инерционные волны. При этом частицы, плотность которых превышает плотность жидкости, собираются в точках отражения волн от стенок полости – в концентрических кольцах. Обнаружено, что с увеличением скорости дифференциального вращения
ядра частицы перегруппируются с азимутальной периодичностью,
что обусловлено развитием в жидкости надкритических течений в
виде системы валов.
Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда
(проект 14-11-00476).
121
Конвективные течения…, 2015
СПИСОК БИБЛИОГРАФИЧЕСКИХ ССЫЛОК
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
122
Гринспен Х. Теория вращающихся жидкостей. Л.: Гидрометеоиздат, 1975. 304 с.
Busse F.H. Steady fluid flow in precessing spheroidal shell // J. Fluid Mech. 1968. Vol. 33. P. 739–751.
Experimental determination of zonal winds driven by tides
/ C. Morize, M. Le Bars, P. Le Gal, et al. // Phys. Rev. Lett. 2010.
Vol. 104. P. 214501.
Kerswell R. On the internal shear layers spawned by the critical
regions in oscillatory Ekman boundary layers // J. Fluid Mech.
1995. Vol. 298. P. 311–325.
Experimental evidence of inertial waves in a precessing spheroidal
cavity / J. Noir, D. Brito, K.D. Aldridge, et al. // Geophys. Res. Lett.
2001. Vol. 28. P. 3785–3788.
Malkus W.V.R. Precession of the Earth as the cause of geomagnetism: experiments lend support to the proposal that precessional
torques drive the earth's dynamo // Science. 1968. Vol. 160,
No. 3852. P. 259–264.
Experiments on precessing flows in the Earth’s liquid core
/ J. Vanyo, P. Wilde, P. Cardin, et al. // Geophys. J. Int. 1995.
Vol. 121. P. 136–142.
Noir J., Jault D., Cardin P. Numerical study of the motions within a
slowly precessing sphere at low Ekman number // J. Fluid Mech.
2001. Vol. 437. P. 283–299.
Lorenzani S., Tilgner A. Fluid instabilities in precessing spheroidal
cavities // J. Fluid Mech. 2001. Vol. 447. P. 111–128.
Tilgner A. Zonal wind driven by inertial modes // Phys. Rev. Lett.
2007. Vol. 99. P. 194501.
Козлов В.Г., Козлов Н.В. Вибрационная динамика легкого тела
в заполненном жидкостью вращающемся цилиндре // Изв.
РАН. МЖГ. 2008. № 1. С. 12–23.
Kozlov N. Theory of the vibrational hydrodynamic top // Acta Astr.
2015. Vol. 114. P. 123–129.
Kozlov V.G., Kozlov N.V., Subbotin S.V. Taylor column instability
in the problem of vibrational hydrodynamic top // Phys. Rev. E.
2014. Vol. 90. P. 013029.
Давыдова М.А., Субботин С.В. Структурообразование во вращающейся
14. Козлов В.Г., Козлов Н.В., Субботин С.В. Движение жидкости и
твердого ядра в сферической полости, вращающейся во внешнем силовом поле // Докл. РАН. 2014. Т. 454, № 2. C. 173–177.
15. Kozlov V.G., Kozlov N.V., Subbotin S.V. Influence of an external
force field on the dynamics of a free core and fluid in a rotating
spherical cavity // Phys. Fluids. 2015. Vol. 27. P. 074106.
16. Thielicke W., Stamhuis E.J. PIVLab – Time-Resolved Digital Particle Image Velocimetry Tool for MATLAB (version: 1.35). 2014.
17. Flows excited by oscillating inner core in rotating spherical shell
/ V.G. Kozlov, N.V. Kozlov, S.V. Subbotin, A.A. Ivanova // Proc.
Intern. Conf. «Fluxes and structures in fluids». Russia, Kaliningrad,
June 25–28, 2015. P. 129–131.
18. Ниборг В. Акустические течения // Физическая акустика / под
ред. У. Мэзона. М.: Мир, 1969. Т. 2. С. 302–377.
PATTERN FORMATION IN ROTATING
SPHERICAL CAVITY WITH LIQUID
AND LIGHT SPHERICAL CORE
M.A. DAVYDOVA, S.V. SUBBOTIN
Abstract. The behavior of heavy particles on the inner wall of rotating
around a horizontal axis of a spherical cavity with liquid is experimentally studied. In the center of the cavity, a light spherical core is located.
Under the action of the gravity field, the core performs circular oscillations in the cavity reference frame. Because of oscillations, the averaged
differential rotation of the core and the fluid is generated. At the same
time, the oscillating core is the source of inertial waves. The particles
whose density is significantly higher than the density of the fluid are accumulated in reflection points of inertial waves from the cavity walls – in
the concentric rings. With increase of the core differential rotation, the
particles in the rings in a threshold manner are redistributed with azimuthal periodicity.
Key words: differential rotation, inertial waves, averaged effects, pattern
formation, instability.
123