ТЕМПЕРАТУРА ИНИЦИИРОВАНИЯ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ В

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2013, том 56, №6
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
УДК 536.46
М.М.Кабилов, И.Х.Халимов*
ТЕМПЕРАТУРА ИНИЦИИРОВАНИЯ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ В ВОЛНЕ
ФИЛЬТРАЦИОННОГО ГОРЕНИЯ ГАЗОВ ПРИ НАЛИЧИИ ТЕПЛООТВОДА
Российско-Таджикский (Славянский) университет,
Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан
*
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан И.К.Курбановым 03.05.2013 г.)
Рассматривается однотемпературная модель фильтрационного горения газов в инертной
пористой среде в неадиабатической постановке. Условие инициирования химической реакции получено в результате решения задачи о неполном расходовании недостающего компонента газовой
смеси при равенстве нулю градиента температуры.
Ключевые слова: температура – инициирование – теплоотдача – зона подогрева – горение – смесь
газов.
В данной работе получено соотношение температуры системы (пористая среда - смесь газов),
при которой инициируется химическая реакция в порах пористой среды. Это соотношение найдено
исходя из однотемпературной и одномерной модели фильтрационного горения газов (ФГГ) и равенства потоков тепла, «уходящего» в предлежащие непрогретые слои и поступающего (в область подогрева) из зоны горения. При этом на момент инициирования реакции выгорание реагента не происходит. Функция скорости химической реакции в виде Аррениуса заменяется усечѐнной функцией.
Необходимость таких дополнительных допущений отмечена в [1,2]. Заметим, что в однотемпературном приближении температура инициирования химической реакции (зажигания) является максимальной температурой в волне ФГГ. В [3] задача воспламенения (инициирования) решена в однотемпературном и двухтемпературном приближении методами встречной экстраполяции и сращиваемых
асимптотических разложений по аналогии с задачей о тепловом взрыве. При этом безразмерная пространственная переменная трактуется как безразмерное время. С такой позиции в [4] аналитически
решается двухтемпературная задача с учѐтом внешних теплопотерь в приближении моментальной
реакции. Однако в [1] приводятся недостатки оценок [3,4] температуры инициирования на основе
теории теплового взрыва. В настоящей работе температура инициирования определяется в результате
решения задачи о неполном расходовании недостающего компонента смеси газов при условии равенства нулю градиента температуры, аналогично [2]. Математическая модель стационарного распространения волны ФГГ в инертной пористой среде при условии внешнего теплоотвода состоит из
уравнения переноса тепла системы (пористая среда и смесь газов) и массы недостающего компонента
газа, записанных в движущейся со скоростью
системе координат, а также интеграла баланса масс
всей смеси и уравнения состояния в предположении постоянства давления [1].
Адрес для корреспонденции: Кабилов Маруф Махмудович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе,
ул. М.Турсун-заде, 30, Российско-Таджикский (Славянский) университет. E-mail: maruf1960@mail.ru
445
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2013, том 56, №6
dT
d 2T
 (11   22 ) 2   0 (T  T0 )  1 JQ ,
dx
dx
dn
1 (1  U )   1 J , J  nk0 exp( E RT ) ,
dx
1 (1  U )  10 (10  U ) , 1T  10T0 .
( 1 (1  U )c p   2 c2U )
(1)
Здесь T – температура среды, T0 – температура внешней среды, 1 , c p приведѐнная плотность и теплоѐмкость смеси газов соответственно,  2 , c2 – те же величины для пористой среды, 10
– приведѐнная плотность исходной смеси газов, 10 – скорость вдува газа, U – скорость волны горения, 1 ,1 – текущие значения плотности и скорости фильтрации смеси газов, 1 ,  2 – объѐмные
содержания газа и пористой среды,  1 , 2 – коэффициенты теплопроводности газа и пористой среды, J – скорость химической реакции, Q – тепловой эффект реакции, n – доля массовой концентрации недостающего компонента газовой смеси, E – энергия активации, R – универсальная газовая постоянная, k0 – предэкспонент.
После преобразований

E (T  T0 )
,
RT*2
E (T0  2T* )
,
RT*2
* 
x
Uu

 , ad 
ETad
,
RT*2
введя следующие параметры
 
2
U 2u 10 (1  u )
1* k0 exp *

, 
 
2
2
U u
  2 , e 
 ad (1  u0 )
0

, u  1 
,  
(1   )u
1  u0
10c p   2c2

 T
Q0
11   2 2
c
,   2 2 , u0  10 , 1*  10 0 , Tad  Tad  T0 
,
10 c p   2 c2
10 c p
U
T*
cp
имеем систему

d 2 d 

 2   e2 n  exp   1  0
2
dx
dx 

d (1  n) 1

 2 n  exp   1  0.
dx

(2)
Далее систему (2) сведѐм к одному уравнению и, интегрируя от  до x , получаем
d

  2
dx

x
  dx   (1  n)  0.
e

Поскольку
dx
 dn
2
  dx  1  dndn   1 n(exp 1) ,
x
n
n
446
(3)
Математическая физика
то
М.М.Кабилов, И.Х.Халимов
d d dn
1
d

  2 n(exp   1)
.
dx dn dx

dn
Из уравнения (3) имеем
 dn
n(exp   1)
1
n
d

dn
  e (1  n)   

1
2
n(exp   1)
.
При малых  (то есть в окрестностях T0 ) из последнего уравнения имеем
d   e (1  n)   ln n

,
1
dn

n
(4)
2
где градиент
d
не конечен. Полагая
dn
 e (1  n )   ln n  0,
получаем неопределѐнность
(5)
d 0
 . Для раскрытия неопределенности (4) воспользуемся правилом
dn 0
Лопиталя из теории математического анализа, то есть берѐм производные по n от числителя и знаменателя правой части (4)
d

 e 
d
n .
 dn
dn  1 (  d  n)
2
dn
Разрешив это уравнение относительно
d
, имеем
dn

 d 

2 d
n
  2 e    0 .
  (   )
dn
n
 dn 

2
В случае недогорания n  n и
d

 0 . Следовательно, n  . В результате условие неопределѐнdn
e
ности (5) примет вид
1  n  n ln n  0 .
Решением этого уравнения является n  1 . Тогда уравнение

 1  0 выражает равенство безразe
мерных потоков тепла, «уходящего» из зоны подогрева и «приходящего» из зоны горения, и опреде-
447
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2013, том 56, №6
ляет безразмерную температуру инициирования химической реакции  * в зависимости от коэффициента теплоотдачи  0 и других теплофизических и кинетических констант газовой смеси

Здесь  
RT*2c p
EQ0
k0 exp *
.
 0 1*c p
(6)
. Уравнение (6) является критерием воспламенения смеси газов, находящихся в
порах пористой среды. В свою очередь, правая часть уравнения (6) представляет собой критерии
подобия характерных времѐн процесса, а именно, отношение времени протекания химической
реакции к времени теплоотдачи.
Отметим, что соотношение (6) содержит только физико-химические характеристики смеси газов, кроме коэффициента теплоотдачи, и не позволяет явно определить температуру инициирования
T* . Определение этой температуры из данного уравнения в зависимости от входящих в него параметров не составляет труда, поскольку существует стандартная программа «Подбор параметра». Отсутствие расхода недостающего компонента в момент инициирования реакции и равенство потоков тепла, «уходящего» из области подогрева в окружающее пространство и приходящего в него из зоны
горения, заранее не предполагалось, а вытекает в ходе исследования по мере необходимости. Именно
на нарушении последнего условия основана теория зажигания.
Поступило 06.05.2013 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Добрего К.В., Жданок С.А. Физика фильтрационного горения газов. – Минск: Ин-т тепло- и массообмена им.А.В.Лыкова НАНБ, 2002, 203 с.
2. Бабенко Ю.И. – Физика горения и взрыва, 2007, т.43, №6, с.75-77.
3. Лаевский Ю.М., Бабкин В.С. – В кн.: Распространение тепловых волн в гетерогенных средах. Новосибирск: Наука, 1988, с. 108-145.
4. FoutkoS.I., ZhdanokS.A., ShabunyaS.I. – 26th Symp. (Int.) on Combustion. Naply, Italy. The Combustion Institute, 1996, v.2, рр. 1556-1565.
М.М.Ќобилов, И.Њ.Њалимов*
БО ГАРМЇ ТЕЗОНИДАНИ РЕАКСИЯИ КИМИЁВЇ ДАР МУЊИТИ
КОВОКИ ИНЕРТЇ
Донишгоњи (Славянии)Россияю Тољикистон,
*Институти
математикаи ба номиА.Љўраев Академияи илмњои Љумњурии Тољикистон
Модели як њароратонаи сўзиши филтронаи газњо дар муњити ковоки инертї дар гузориши ѓайри адиабатї дида баромада шудааст. Шарти ба шўръ овардани реаксияи химиявї дар
448
Математическая физика
М.М.Кабилов, И.Х.Халимов
натиљаи њалнамудани масъалаи пурра сарф нашудани реагенти ками омехтаи газ њангоми ба
нул баробар будани градиенти њарорат њосил карда шудааст.
Калимањои калидї: њарорат – ба шўръорї – гармидињї – соњаи гармшавї – сўзиш – омехтаи газњо.
M.M.Kabilov, I.H.Halimov*
THE INITIATION TEMPERATURE CHEMICAL REACTION IN THE WAVE
FILTRATION COMBUSTION GASES IN THE PRESENCE OF HEAT SINK
Russian-Tajik (Slavonic) University,
*
A.Juraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
We consider a single-temperature model of filtration combustion of gases in an inert porous medium
in a non-adiabatic formulation. The condition of the initiation of the chemical reaction is obtained by solving
the problem of incomplete expending of insufficient component of the gas mixture at zero temperature gradient.
Key words: temperature – initiation – heat – heating zone – burning – a mixture of gases.
449