Основные понятия и определения теоретической механики.

Министерство общего и профессионального образования РФ
Алтайский государственный технический университет
им. И.И.Ползунова
Бийский технологический институт
А.В. Жеранин, Ф.Ф. Спиридонов, К.В. Шестаков
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Часть 2
Методическое пособие
Барнаул 1998
УДК 531.8
2
А.В. Жеранин, Ф.Ф. Спиридонов, К.В. Шестаков. Основные понятия и определения теоретической механики. Часть 2: Методическое
пособие.
Алт. гос. техн. ун-т им. И.И. Ползунова, БТИ. – Бийск.
Из-во Алт. гос. техн. ун-та, 1998, - 30с.
Методическое пособие предназначено для студентов всех специальностей и форм обучения Бийского технологического института,
изучающих теоретическую механику
Методическое пособие в полном объеме охватывает основные
понятия и определения теоретической механики «Кинематика» и «Динамика», систематизировано, в концентрированной форме отражает
изучаемый материал и является полезным при подготовке к зачету и
экзамену по данному разделу механики.
Рассмотрено и утверждено
на заседании кафедры
теоретической механики.
Протокол №75 от 30.10.97г.
Рецензент кандидат технических наук,
доцент кафедры машиноведения БГПИ Гузь М.А.
3
1 КИНЕМАТИКА
1. Кинематика - раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел с геометрической точки зрения,
вне связи с силами, определяющими это движение.
1.1 Кинематика материальной точки
В кинематике материальной точки решается две основные задачи:
определение положения точки в рассматриваемой системе отсчета в
определенный момент времени; определение скорости и ускорения в
любой момент времени.
Для описания (задания) движения точки в кинематике применяют
три способа: векторный, координатный и естественный.
2. Траектория движения точки - геометрическое место последовательных положений движущейся точки в рассматриваемой системе
отсчета.
Векторный способ задания движения точки (рисунок - 1а).
3. Уравнение движения точки - вектор-функция времени, т.е.
r = r(t).
4. Скорость движения точки истинная мгновенная - векторная
величина v, характеризующая быстроту и направление движения точки
в рассматриваемой системе отсчета, v = dr/dt - векторная производная,
как вектор, всегда направлена по касательной к траектории движения
точки в данной точке.
5. Ускорение точки истинное мгновенное - векторная величина,
характеризующая быстроту изменения модуля скорости и направления
движения точки, a = dv/dt как вектор, a всегда расположен в соприкасающейся плоскости.
6. Соприкасающаяся плоскость - плоскость, всегда касательная
к траектории, и проходящая через вектор скорости v и центр кривизны (ЦК) траектории в данной точке (на рисунке 1а заштрихована).
Координатный способ задания движения точки (рисунок 1а).
7. Уравнения движения точки - алгебраические уравнения вида:
x = x(t), y = y(t), z = z(t) в случае пространственного движения
точки;
x = x(t), y = y(t) в случае плоского движения точки;
x = x(t) при движении по прямой, где x, y, z - координаты точки в
декартовой системе координат.
4
Рисунок 1 - Задание движения векторным и координатным
способами - а; естественным способом - б
8. Уравнение траектории точки - алгебраическое уравнение виy = y[f(x)], z = z[f(x)] в случае пространственного движения точки;
y = y[f(x)] в случае плоского движения точки.
9. Скорость движения точки определяется по ее проекциям на
оси декартовой системы координат, v = i vx+ j vy + k vz , где vx = dx/dt,
vy = dy/dt, vz = dz/dt, |v| = (vx2+vy2+vz2)1/2.
10. Ускорение точки определяется по его проекциям на оси декартовой системы координат a = i ax + j ay + k az , где ax = dvx/dt, ay
= dvy/dt, az = dvz/dt ,
|a| = (ax2 + ay2 + az2)1/2
Естественный способ задания движения точки (рисунок 1б)
Движение материальной точки считается заданным (описанным)
естественным способом, если известны: траектория движения; уравнение движения; начало отсчета; направление отсчета положительных
значений дуговой координаты.
11. Уравнение движения - алгебраическое уравнение вида
s = s(t), где s - дуговая координата.
12. Дуговая координата – расстояние, отложенное по траектории
движения точки от начала отсчета (НО).
13. Начало отсчета - неподвижная точка на траектории, намеченная произвольно, в полном направлении от которой отсчитываются
значения + s дуговой координаты; в другом - отрицательные - s.
14. Естественная система координат - подвижная система отда:
5
счета, представляющая собой совокупность трех взаимно перпендикулярных осей (касательной , нормали n и бинормали b (на рисунке 1б
не показана траектории в данной точке) с общим началом (точкой),
совмещенным с движущейся материальной точкой. Координатная
плоскость  M n , проходящая через касательную  и нормаль n к траектории в данной точке - соприкасающаяся плоскость, на рисунке1а
заштрихована. При движении точки по траектории естественная система координат движется вместе с ней, при этом ось касательная  и
соприкасающаяся плоскость всегда остаются касательными к траектории в той или иной ее точке.
15. Скорость движения точки определяется по ее проекции на
касательную к траектории в данной точке, v = vr, где  = 1 - орт касательной, v = ds/dt.
16. Ускорение точки определяется по его проекциям на касательную и нормаль к траектории в данной точке, a = a + nan , n = 1 орт
нормали, a = dv /dt = ds2/dt , an= v2/ ,  - радиус кривизны траектории в данной точке.
17. Радиус кривизны - расстояние по нормали к траектории в
данной точке от местоположения данной точки на траектории до центра ее кривизны (ЦК) в данной точке траектории.
18. Кривизна траектории в данной точке - величина обратная
радиусу кривизны, K=1/.
19. Вектор кривизны - K = nK.
20. Длина пути - расстояние, пройденное точкой по траектории
от одного положения на ней до другого,
.
21. Уравнения равнопеременного движения - алгебраические
уравнения, описывающие изменения скорости и дуговой координаты
точки во времени в случае постоянства проекции a ускорения a точки
на касательную , т.е. при a = const, v = vH + at, St = SH + vHt + at2/2,
где vH , SH - начальные скорость и дуговая координата точки в
начальный момент времени.
22. Уравнения равномерного движения - уравнения, описывающие движение точки, когда a = 0, v = const, St = SH + vt.
1.2 Кинематика твердого тела
6
В теоретической механике различают следующие основные виды
движения твердых тел: поступательное, вращательное, плоско-параллельное (плоское), сферическое, сложное движение в общем случае.
23. Поступательное движение твердого тела - движение, при котором любая прямая, соединяющая две любые точки тела, движется
параллельно самой себе, при этом скорости всех точек тела и их ускорения геометрически равны, т.е. v1=v2 =vi =v=const, a1=a2 =ai =a=const
для всех точек тела в данный момент времени.
24. Вращательное движение (движение вокруг неподвижной
оси) - движение твердого тела, при котором останутся неподвижными
все точки тела, лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения, а все другие точки движутся в плоскостях, перпендикулярных
оси вращения и описывают в этих плоскостях окружности, центры которых лежат на оси вращения.
25. Ось вращения - геометрическое место неподвижных точек
тела, образующих неподвижную материальную прямую.
26. Уравнения вращения - уравнения вида  = (t), описывающее изменение угла поворота тела (угловой координаты) с течением
времени. Угол  поворота и число n оборотов тела, соответствующее
ему, связаны уравнением =2n.
27. Угол поворота (угловая координата) - двугранный угол, образованный полуплоскостями, проходящими через ось вращения, одна P
из которых неподвижна, а другая Q вращается вокруг оси вместе с телом. В одном направлении вокруг оси отсчитываются положительные
значения угла , в другом - отрицательные (рисунок 2).
28. Угловая скорость вращения - алгебраическая величина ,
характеризующая быстроту изменения угла  поворота с течением
времени и направление вращения, и равная  = d/dt; - вектор ,
направленный по оси вращения в ту сторону, откуда видно вращение
тела в направлении противоположном вращению часовой стрелки. Если
  0, то вращение в направлении отсчета положительных значений угла +  поворота, если   0 , то - в направлении отрицательных
значений - , см. рисунок 2.
7
Рисунок 2 - Вращение тела ускоренное а; замедленное - б
29. Угловое ускорение - алгебраическая величина , характеризующая быстроту изменения угловой скорости с течением времени, и
равная  = d/dt = d2/dt2; - вектор, направленный по оси вращения в
сторону вектора при ускоренном вращении (рисунок 2а), - в противоположную сторону при замедленном (рисунок 2б). Вращение ускоренное, если  > 0 и  > 0 или  > 0 и  < 0, т.е. когда знаки первой  и
второй  производных по времени t от угла  поворота совпадают; замедленное, если  > 0, а  < 0 или,  > 0 и  < 0 т.е., когда знаки
производных противоположны.
30. Уравнения равнопеременного вращения - уравнения виды:
t=H + t, t=H + H t + t2/2 описывающие изменение угловой скорости и угла поворота с течением времени t, где H, H - начальные угловая скорость и угол поворота тела в начальный момент времени tH, когда  =const.
31. Уравнение равномерного вращения - уравнение  t= H +t,
описывающее вращение тела, когда  = 0,  = const.
32. Вращательная (окружная, линейная) скорость точки твердого тела - скорость движения данной точки тела по окружности, описываемой ею в плоскости перпендикулярной оси вращения с центром
K вращения лежащим на этой оси, |v| = ||t , где R - радиус вращения
точки (окружности описываемой точкой при вращении тела). Как вектор, вращательная скорость v точки тела всегда направлена по каса-
8
тельной к описываемой ею окружности в направлении вращения тела,
см. рисунок 2.
33. Вращательное ускорение точки тела - алгебраическая величина, равная a=R, и характеризующая изменение величины вращательной скорости данной точки; - вектор a=R, направленный по той
же касательной к описываемой точкой окружности, по которой направлен вектор v вращательной скорости, где r - радиус-вектор данной точки относительно любого неподвижного центра (например точка О),
расположенного на оси вращения. При ускоренном вращении направления векторов v и a совпадают (рисунок 2а), при замедленном противоположны (рисунок 2б).
34. Центростремительное ускорение точки тела - величина, характеризующая темп изменения направления вращательной скорости
точки с течением времени, и равная a = 2R; - вектор a = v ,
направленный всегда от точки к центру К вращения; a > 0 всегда.
35. Полное (линейное, окружное) ускорение точки тела - вектор,
равный a = a + a, вращательная и центростремительная составляющие которого всегда перпендикулярны, т.е. a  a, а модуль
|a| =
(a 2 + a 2 )1/ 2 , и характеризующий быстроту изменения вектора v
вращательной скорости и по величине, и по направлению.
36. Плоскопараллельное (плоское) движение тела - движение,
при котором каждая точка тела движется в плоскости, параллельной
некоторой неподвижной плоскости (рисунок 3а) при этом: а) плоская
фигура, образованная сечением тела этой неподвижной плоскостью Q ,
во все время движения тела остается в этой неподвижной плоскости; б)
при движении тела отрезок M1MM2 , перпендикулярный к этой неподвижной плоскости Q, остается параллельным своему начальному положению; в) все точки тела, лежащие на этом отрезке M1MM2 , перпендикулярном плоскости Q, описывают тождественные параллельные
между собой траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения, то есть v = v2 = vi =const;
a1=a2=ai= const для всех точек данного отрезка M1MM2 в данный момент времени (см. рисунок 3а).
37. Уравнения плоского движения - уравнения вида: xO = xO(t),
yO = yO(t),  = (t), где xO , yO - координаты полюса,  - угол поворота
плоской фигуры вокруг полюса, описывающие плоское движение, как
сложное результирующее двух составляющих его движений, поступательного движения плоской фигуры вместе с полюсом и вращательного
движения плоской фигуры в плоскости ее движения вокруг полюса, см.
рисунок 3б.
9
Рисунок 3 - К определению: плоского движения - а;
уравнений движения - б
38. Полюс - любая точка плоской фигуры, например точка О,
движение которой задано xO = xO(t), yO = yO(t), или может быть определено.
39. Скорость vA любой точки, например А, плоской фигуры равна геометрической сумме скорости vO полюса (точка О) и вращательной скорости vOA этой точки А во вращении вместе с плоской фигурой
вокруг полюса - vA = vO + vOA , где vOA = . OA, vOA  OA (рисунок 4а).
40. Ускорение aA любой точки, например А, плоской фигуры
равно геометрической сумме ускорения aO полюса и ускорения aOA
этой точки во вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса
aA = aO + aOA, где aOA = aOA + aOA , aOA =  . OA, aOA = 2 . OA, aOA
 aOA , |aOA| = [(aOA )2 + (aOA )2 ]1/ 2 , см. рисунок 4б.
41. Мгновенный центр скоростей - точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Для моментов
времени мгновенным центром скоростей являются разные точки плоской фигуры.
42. Мгновенный центр ускорений - точка плоской фигуры,
ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Для разных
моментов времени мгновенным центром ускорений являются разные
точки плоской фигуры.
10
Для данного момента времени мгновенные центры скоростей и
ускорений - разные точки плоской фигуры.
Рисунок 4 - Определение скорости - а и ускорения - б точки
плоской фигуры
43. Сферическое движение тела - движение, при котором одна из
точек тела во все время движения остается неподвижной, а все остальные точки двигаются по сферическим поверхностям, центры которых
совпадают с неподвижной точкой, например О, (рисунок 5а).
44. Уравнения сферического движения - уравнения вида:

= (t),  = (t),  = (t) , где , ,  - эйлеровы углы (углы прецессии,
нутации и собственного вращения), см. рисунок 5а.
Сферическое движение в фиксированный момент времени можно
рассматривать как простое вращение вокруг так называемой мгновенной оси.
45. Мгновенная ось вращения - подвижная ось, проходящая
неизменно через неподвижную точку О.
46. Сложное движение тела в общем случае - результирующее
двух составляющих его движений: поступательного движения тела
вместе с полюсом и сферического движения тела вокруг полюса.
47. Уравнения сложного движения тела в общем случае - уравнения вида:
xO = xO(t), yO = yO(t), zO = zO(t),  = (t),  = (t),  = (t),
где xO, yO, zO - координаты полюса.
За полюс может быть выбрана любая точка тела, движение которой известно или может быть определено.
11
Рисунок 5 - К определению сферического движения - а;
направление ускорения Кориолиса - б
48. Сложное движение точки - движение точки, состоящее из
движения ее вместе с некоторым телом и движения ее относительно
тела, - абсолютное движение, результирующее двух его составляющих
его движений, переносного и относительного.
49. Абсолютное движение точки - движение точки относительно
системы отсчета связанной с землей.
50. Переносное движение точки - движение точки вместе с телом
относительно земли.
51. Относительное движение точки - движение точки относительно системы отсчета. связанной с телом.
52. Абсолютная скорость, ускорение точки - скорость, ускорение ее абсолютного движения.
53. Переносная скорость, ускорение точки - скорость, ускорение
в движении относительно земли той точки тела, в которой в данный
момент времени находится рассматриваемая материальная точка.
54. Относительная скорость, ускорение точки - скорость, ускорение относительного движения точки.
55. Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей:    е   r .
56. Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме
переносного, относительного и кориолисового ускорений:
a  ae  a r  a к
57. Кориолисово ускорение (ускорение Кориолиса) - составляющая абсолютного ускорения точки, характеризующая влияние отно-
12
сительного движения на модуль и направление переносной скорости и
влияние переносного движения на направление относительной скорости точки, равная удвоенному векторному произведению вектора угловой скорости переносного вращения на вектор относительной скорости точки:
a к  2  e   r , a к  2  e   r sin e ;  r , a к  r , a к  e.
(см. рисунок 5б).
2 ДИНАМИКА
58. Динамика - раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве с учетом действующих на них сил.
Основу динамики составляют законы Галилея - Ньютона (аксиомы динамики): закон инерции, закон пропорциональности силы
и ускорения, закон равенства действия и противодействия, закон
независимости действия сил.
59. Закон инерции - материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действие других тел не изменит это состояние.
60. Инерция (инерционность) - свойство материальных тел, заключающееся в стремлении их сохранять неизменной скорость своего
движения (или состояние покоя), т.е. сохранять данное кинематическое
состояние.
61. Мерой инерции материальных тел являются: масса (при поступательном движении); момент инерции (при вращении). Масса количество материи данного вида в данной точке (в данном объеме).
62. Момент инерции точки - величина, равная произведению
массы m точки на квадрат ее кратчайшего расстояния r до оси (центра) вращения: Jz = m r2, J = m r2, кг . м2.
Масса определяет инерционность тела только при поступательном движении, так как в этом случае скорости и ускорения всех
точек тела в данный момент времени геометрически равны. При вращении вокруг оси инерционность тела определяется не только массой
тела, но и тем как масса распределена окрест оси вращения. Чем компактнее (ближе к оси) распределена масса тела, тем меньше инерционность тела и наоборот. Поэтому при вращении тела вокруг оси его
инерционность определяет момент инерции тела. Определяют моменты инерции тела относительно: точки (начала декартовой системы
13
координат); оси (координатных осей); плоскости (координатных плоскостей).
63. Момент инерции тела относительно точки (оси, плоскости) величина, равная предельному значению суммы произведений масс
элементарных частиц тела на квадрат их кратчайшего расстояния до
точки (оси, плоскости): J = lim  mi ri2, кг . м2.
64. Закон пропорциональности силы и ускорения - ускорение
материальной точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет
одинаковое с ней направление, - основное уравнение динамики (рисунок 6).
Рисунок 6 - Движение точки по кривой - а; падение в поле тяжести - б
65. Законы инерции и пропорциональности силы и ускорения
справедливы для инерциальных систем отсчета. Инерциальные системы отсчета - системы отсчета неподвижные, связанные с землей
или движущиеся прямолинейно и равномерно.
66. Закон равенства действия и противодействия - при взаимодействии двух тел, силы приложенные к каждому из них, равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.
|F| = |F`|, F = F`, где - сила действия на рассматриваемую точку со стороны тела, F` =  m. a - сила противодействия телу со стороны точки
(сила инерции Ф), F`  Ф (рисунок 7а), см. также рисунок 6а.
14
67. Сила инерции материальной точки - сила противодействия
телу сообщающему точке ускорение a , равная: Ф =m. a , Ф=Ф + Фn,
где Ф - касательная составляющая силы инерции, пропорциональная
касательной составляющей a полного ускорения a точки; Фn - нормальная составляющая силы инерции, пропорциональная нормальной
an составляющей полного ускорения a , см. рисунок 7а.
Рисунок 7 - Сила действия и сила инерции - а; сложение ускорений - б
68. Закон независимости действия сил - несколько одновременно действующих на материальную точку сил (F1; F2; Fi; ...; Fn) сообщают точке такое ускорение a, какое сообщила бы ей одна сила F, равная их геометрической сумме  Fi, т.е. a = ai, где ai - ускорение
точки, сообщаемое ей i-ой силой (рисунок 7б).
2.1 Динамика материальной точки
Записав основное уравнение динамики F = m. a , где F = Fi в
проекциях на оси декартовой и естественной систем координат,
см. рисунок 1, получим дифференциальные уравнения движения
точки в декартовых и естественных координатах:
d 2S
``
m x =  Xi
m
= Fi r
2
69.
m y``=  Yi
m z``=  Zi
dt
70.
m
vr2
= Fi n

15
В случае движения точки по плоской неподвижной шероховатой
кривой дифференциальные уравнения в правой части будут содержать
проекции на оси систем координат касательной (сила Fтр. трения) и
нормальной N составляющих полной реакции этой кривой (твердой
шероховатой поверхности), как связи.
В динамике материальной точки решаются (в частности) две так
называемой основные задачи: 1-я (прямая); 2-я (обратная).
71. 1-я (прямая) задача динамики точки - задача об определении
сил по заданному движению точки.
72. 2-я (обратная) задача динамики точки - задача об определении движения точки по заданным силам.
При решении этих задач исходными являются дифференциальные уравнения движения точки, записанные в общем виде в декартовых или естественных координатах.
Ряд задач динамики материальной точки решается с применением принципа Германа-Эйлера-Даламбера (принцип Даламбера),
который формулируется и записывается следующим образом.
Для свободной материальной точки (рисунок 8а).
73. Движущаяся свободная материальная точка может рассматриваться как покоящаяся в том или ином рассматриваемом положении
под действием активных (задаваемых) сил и силы инерции, т.е. Fi
+ Rj + Ф = 0 - условие псевдопокоя свободной точки под действием
сил,
сходящихся
в
точке.
Рисунок 8 - Применение принципа Даламбера для свободной - а;
несвободной - б точки
Для несвободной материальной точки (рисунок 8б).
16
74. Движущаяся несвободная материальная точка может рассматриваться как покоящаяся в том или ином рассматриваемом положении под действием активных сил, реакций связи и силы инерции,
т.е. Fi + Rj + Ф = 0 - условие псевдопокоя несвободной точки под
действием сил, сходящихся в точке.
При решении задач уравнения (73) и (74) записываются в аналитической форме, т.е. в проекциях на оси декартовой (или естественной) системы координат.
Различают две меры действия силы и две меры механического
движения (рисунок 20). При этом одна из мер - величина векторная,
другая - скалярная.
Рисунок 9 - Меры действия силы и механического движения
75. Импульс силы - вектор S, динамический параметр, величина,
характеризующая передачу материальной точке механического движения со стороны действующего на нее тела за данный промежуток t
времени, и учитывающий (в отличие от силы) и интенсивность, и продолжительность механического взаимодействия.
76. Импульс постоянной по величине и направлению силы (Fconst ) равен произведению вектора силы на интервал времени ее действия, S = F .t , Hм.
77. Импульс переменной по величине и (или) направлению силы
(F - var.) равен:
tk
S=
 Fdt ,
tn
где tn и tk - момент начала и конца действия силы F= F(t), время действия силы t = tk - tn.
78. Работа силы - алгебраическая величина, характеризующая передачу точке (телу) механического движения со стороны действующего
на не тела (точки) при перемещении точки (тела) на некотором пути.
17
79. Работа силы, постоянной по величине и направлению,
(F
- сonst) на конечном перемещении u материальной точки равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения:
A = F . u = | F|. |u| cos (F;u) (рисунок 10а).
Рисунок 10 - К определению работы силы постоянной - а;
переменной - б
80. Работа силы, переменной по величине и (или) направлению,
(F -var.) на конечном перемещении материальной точки равна значению криволинейного интеграла взятого от выражения для элементарной работы этой силы на элементарном перемещении точки:
AH,K=
K
K
K
H
H
H
K
 | F | d cos( F ; v ) =  | F |ds cos( F ;  )   F ds   Fdr
r
H
(рисунок 10б), где d  - элементарный путь, пройденный точкой за
элементарный интервал dt времени; ds - элементарное приращение
дуговой координаты точки;  =1 - var - орт касательной; dr - элементарное приращение радиуса-вектора точки; X, Y, Z - проекции силы
F = F(t) на оси декартовой системы координат x, y, z - элементарное
приращение координат dx, dy , dz точки; F  - проекция силы на касательную к траектории в данной точке; d  = |ds|  |dr|.
81. Мощность N постоянной силы - отношение элементарного приращения работы A силы F к элементарному интервалу времени dt, в течении которого имело место это приращение, т.е. - работа
совершаемая в единицу времени:
18
N=

dt

Fdr
dr
F
 Fv | F || v |cos( F ; v )  Xv x  Yv y  Zv z .
dt
dt
82. Работа равнодействуюшей силы F=Fi на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ ее составляющих
(F1;
F2; ... ; Fn) на том же перемещении:
A(F)=A(Fi)=
K
K
K
K
H
H
H
H
 Fdr   F1dr1   Fi dri ...  Fn drn .
83. Работа постоянной силы F на результирующем перемещении u=ui равна алгебраической сумме работ этой силы на составляющих (u1; ui ; .... ; un) перемещениях:
A = Fu = Ai = Fu1 + Fu2 + ... + Fui + Fun.
84. Количество движения D материальной точки - вектор, имеющий направление вектора скорости v и модуль, равный произведению массы точки на модуль скорости ее движения:
D = mv, |D| = m|v| (рисунок 22а),
.
Рисунок 11- Количество движения точки - а;
и момент количества движения - б
85. Производная от вектора количества движения точки по
времени равна равнодействующей всех сил, действующих на точку:
dD
 F  Fi .
dt
19
86. Приращение вектора количества движения точки за конечный интервал времени равно геометрической сумме импульсов всех
сил, действующих на точку в течении этого интервала времени:
DK - DH = Si или mvK - mvH = S1 + S2 + ... + Si + ... + Sn.
87. Записав уравнение (86) в проекциях на оси декартовой системы координат, получим:
mvKX - mvHX = SXi ;
mvKY - mvHY = SYi;
mvKZ - mvHZ = Szi.
Уравнения (85-87) - разные формы записи теоремы об изменении количества движения материальной точки.
В случае, когда Si = 0 или, например SXi = 0, уравнения (86) и
(87) называют законом сохранения количества движения материальной
точки в целом (D = mv = const) или - в проекции на ось в частности x
(Dx = mvx = const).
88. Момент количества движения материальной точки относительно центра О - вектор Lo, направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через вектор D количества движения точки и центр О
в ту сторону, смотря откуда вектор D виден направленным против вращения часовой стрелки, и равный: Lo = r x D (рисунок 11б).
89. Момент количества движения материальной точки относительно оси - алгебраическая величина, взятая со знаком плюс или минус, и равная произведению модуля проекции DxOy вектора количества
движения D точки на плоскость xOy, перпендикулярную оси z, на плечо hxOy этой проекции относительно этой оси z: Lz = |DxOy| hxOy (рисунок 11б).
90. Производная от вектора момента количества движения
точки относительно центра по времени равна главному моменту всех
сил, действующих на точку, относительно этого центра:
dL0
 M * 0   M 0 ( Fi ) .
dt
91. Записав уравнение (90) в проекциях на оси декартовой системы координат, получим:
dL y
dLx
dLz
  M y ( Fi ) ;
  M x ( Fi ) ;
  M z ( Fi )
dt
dt
dt
20
Уравнения (90) и (91) - теорема об изменении момента количества движения точки, записанная в дифференциальной векторной и
аналитической формах соответственно,
В случае, когда  Mo(Fi)=0 или, например Mx(Fi) = 0, уравнения
(90) и (91) называются законом сохранения момента количества
движения точки относительно центра (Lo - const) или - оси (Lx - const).
92. Приращение кинетической энергии K материальной точки
при ее движении на некотором пути равно сумме работ всех сил, действующих на точку на этом пути: K =  Ai , где K = KK - KH, KK,KH кинетическая энергия точки в конечном и начальном положениях.
93. Кинетическая энергия точки - мера механического движения, равная половине произведения массы точки на квадрат скорости
ее движения: K =
1 2
mv .
2
2.2 Динамика твердого тела и механической системы
Все силы, действующие на механическую систему, делятся на
внешние и внутренние. Ко внешним силам относятся активные (задаваемые) силы и реакции внешних связей. Ко внутренним силам
относят реакции внутренних связей - силы взаимодействия между
телами (точками), входящими в рассматриваемую систему тел (точек).
94. Свойство системы внутренних сил - главный момент
M*o,внут. и главный вектор R*внут. внутренних сил равны нулю
(R*внут = 0), (M*o,внут = 0) , так как все внутренние силы, являясь силами
действия и противодействия между отдельными телами (точками) системы, попарно равны по модулю и противоположны по направлению.
95. Центр масс системы материальных точек - точка, радиусвектор rc которой определяется уравнением:
rc =
m r
m
i i
,
i
где mi и ri - масса и радиус-вектор i -ой точки механической системы
(рисунок 12а).
21
Рисунок 12 - К определению центра масс - а;
возможные перемещения рычага - б
96. Записав уравнение (95) в проекциях на оси декартовой системы координат, получим выражения для координат центра масс
xc =
m x
m
i
i
,
yc =
i
m y
m
i
i
,
zc =
m z
m
i i
,
i
i
см. рисунок 12а.
97. Центр масс системы материальных точек движется как материальная точка с массой m равной массе всей системы (m=mi), к которой приложены все внешние силы (F1вне , F2вне , ... . Fjвне , ... , Fnвне),
действующие на систему, т.е. уравнение движения центра масс:
m ac =  Fjвне.
98. Записав уравнение (97) в проекциях на оси декартовой системы координат получим дифференциальное уравнение движения
центра масс: m
xc = X
вне
j
, m

yc = Y
вне
j
,m

zc = Z
вне
.
j
99. Количество движения системы материальных точек - вектор,
равный геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех материальных точек этой системы: D = Di = mvc, где vc скорость движения центра масс.
100. Производная от количества движения системы материальных точек по времени равна главному вектору внешних сил, действующих на все точки этой системы: dD/dt=Fвне.
101. Записав уравнение (100) в проекциях на оси декартовой системы координат, получим:
22
dD x
dt
 F вне .
Уравнения (100) и (101) - дифференциальные (векторная и
аналитическая) формы записи теоремы об изменении количества
движения системы материальных точек.
вне
102. В случае, когда F
= 0 или, например Xвне = 0, уравнения (100) и (101) называемые. законом сохранения количества движения системы материальных точек в целом (D = mvc - const) или (Dx
= mvcx - const ) - в проекции на ось x.
103. В векторной конечной форме теорема об изменении количества движения системы материальных точек имеет вид: D = Sjвне
или
DK - DH = S1вне + S2вне + ... + Sjвне + ... + Snвне.
104. Записав уравнение (103) в проекциях на оси декартовой системы координат, получим выражение для теоремы об изменении количества движения механической системы в аналитической конечной форме:
DKx - DKx =  Sxjвне
DKy - DKy =  Syjвне
DKx - DKz =  Szjвне
105. Кинетический момент (главный момент количеств движения) системы материальных точек относительно центра - вектор,
равный геометрической сумме моментов количеств движения всех
точек системы, взятых относительно этого центра:
Lo =  Loi = (ri x D) = [ri x (mi vi)]
106. Кинетический момент (главный момент количеств движения) системы материальных точек относительно оси - алгебраическая сумма моментов количеств движения всех точек системы, взятых относительно этой оси:
Lz =  Lzi =  (+- |DxOy| hxOy).
107. Производная от кинетического момента системы материальных точек относительно центра по времени равна равна главному моменту всех внешних сил, действующих на все точки этой системы, относительно того же центра:
dLo/dt = Mo*вне = Mo(Fiвне).
23
108. Записав уравнение (107) в проекциях на оси декартовой системы координат, получим:
dLx/dt = Mx(Fiвне) ,
dLy/dt = My(Fiвне) ,
dLz/dt = Mz(Fiвне) .
Уравнения (107) и (108) - теорема об изменении кинетического
момента системы материальных точек, записанная в дифференциальной векторной и аналитической формах соответственно.
109. В случае, когда Mo(Fiвне) = 0 или, например, Mx(Fiвне) =0,
уравнения (107) и (108), называемые законом сохранения кинетического момента системы материальных точек относительно центра
(Lo- const ) или - оси (Lx - const ).
110. Кинетическая энергия механической системы - сумма кинетических энергий всех ее частей (точек, тел): K= Ki.
Формулы для вычисления кинетической энергии тела (для основных видов движения тел) приведены в таблице.
111. Приращение кинетической энергии механической системы
на некотором ее перемещении равно сумме работ всех внешних сил,
действующих на все точки (тела) этой системы, на данном перемещении: K = Aiвне, где K = KK - KH - кинетическая энергия системы в
конечном и начальном положениях.
112. Принцип Даламбера для несвободной механической системы - движущаяся несвободная механическая система может рассматриваться как покоящаяся под действием внешних активных (задаваемых) сил, реакций внешних связей и сил инерции. Условия такого псевдопокоя - равенство нулю суммы главных векторов
(F*вне +
*
*
R вне + Ф = 0) и суммы главных моментов относительно любого центра
всех этих сил:
Mo*( F*вне) + Mo*( R*вне) + Mo*( Ф*).
113. Аналогично формулируется и записывается принцип Даламбера для свободной механической системы, но естественно без реакций внешних связей и их моментов, т.е.
F*вне + Ф*= 0, Mo*(F*вне) + Mo*(Ф*) .
При решении задач уравнения (112) и (113) записываются в аналитической форме, т.е. в проекциях на оси декартовой или естественной системы координат.
114. Абсолютно твердое тело как система материальных точек неизменяемая система бесконечно большого числа элементарных
частиц, бесконечно малое расстояние между которыми всегда неизменно.
24
115. Масса твердого тела как системы материальных точек - предельное значение суммы масс ее элементарных частиц: m = limmi. О
массе и моменте инерции тела (точки), как мерах инерции см. п.60 - 63.
116. Радиус инерции тела - расстояние z от оси вращения z до
точки, в которую должна быть сосредоточенна вся масса m тела, чтобы момент инерции этой точки относительно этой оси равнялся моменту инерции тела относительно этой оси:
Jz = m z2 = lim miri .
117. Момент инерции тела Joz относительно какой-либо оси oz
равен сумме момента инерции Jc тела относительно оси c, проходящей через центр масс тела, и параллельной оси oz, и произведения
массы m тела на квадрат кратчайшего расстояния a между осями:
Joz = Jc + ma2 - теорема о моментах инерции тела относительно параллельных осей.
Решение ряда задач динамики механической системы, состоящей
из твердых тел, предполагает приведение системы сил инерции, действующих на все частицы каждого тела, к центру масс каждого
тела (или другому центру приведения, если это целесообразно).
118. В результате приведения сил инерции к центру, как правило
к центру масс, система бесконечно большого числа элементарных
сил инерции, действующих на все частицы тела, заменяется, в общем
случае, одной силой, равной главному вектору сил инерции
(Ф*
= - m ac = - lim miai) и приложенной в центре приведения (например в
центре масс), и одной парой сил, с векторным моментом, равным
главному моменту сил инерции, взятому относительно выбранного
центра приведения
Mc*Ф = - lim [rix(miai )] = -Jc .
119. Обобщенные координаты - независимые величины, заданием которых однозначно определяется положение всех точек механической системы. Для голономной несвободной механической системы
число обобщенных координат равно числу степеней свободы.
Подавляющее число механизмов, используемых в технике, является системами с одной степенью свободы, например: рычаг, лебедка,
кривошипно-шатунный механизм, планетарный механизм, тело, вращающееся вокруг неподвижной оси и т.п. Две степени свободы имеет
центробежный регулятор. Три степени свободы имеет: свободная материальная точка; несвободное сферически движущееся тело; тело, совершающее плоское движение. Шесть степеней свободы (наибольшее
число степеней свободы) имеет свободное твердое тело в общем случае
его движения.
25
120. Голономная несвободная механическая система - несвободная механическая система, перемещение которой в пространстве
ограничено голономными (интегрируемыми) связями.
121. Голономная интегрируемая связь - связь, описываемая
уравнениями в конечной форме или интегрируемыми дифференциальными уравнениями.
122. Возможные (виртуальные) перемещения - воображаемые
элементарные (линейные или угловые, например: SA; SB; ) перемещения точек тела (тел) механической системы), в действительности
допускаемые связями, ограничивающими перемещение тела (тел) в
пространстве (рисунок 12б).
Для стационарной (с постоянными по времени связями) механической системы действительные перемещения входят в число ее возможных перемещений, т.е. являются их частными случаями.
123. Идеальная связь - связь, для которой сумма работ реакций
этой связи на возможных перемещениях точек их приложения равна
нулю:  Ri . Si = 0. Например, абсолютно гладкая поверхность, шероховатая поверхность в случае качения без скольжения.
124. Абсолютно гладкая поверхность - научная абстракция, модель, которой заменяется реальная шероховатая поверхность, в результате чего не принимается во внимание трение.
В действительности все поверхности трения достаточно шероховаты и трение имеет место даже при наличии смазки поверхностей
трения. В связи с этим силу трения - касательную составляющую полной реакции поверхности как связи - переносят в группу активных
(задаваемых) сил, делая тем самым связь условно идеальной, что позволяет применять для решения ряда задач принцип возможных перемещений.
2.3 Принцип возможных (виртуальных) перемещений
125. В случае покоя (равновесия) несвободной механической системы (общее уравнение статики)
Для несвободной механической системы со стационарными двухсторонними идеальными связями, находящейся в покое (равновесии),
сумма работ всех внешних активных (задаваемых) сил на любом
возможном перемещении ее из рассматриваемого положения равна
нулю: FiвнеSi = 0 или (Xiвнеxi + Yiвнеyi +Ziвнеzi = 0.
126. В случае движения несвободной механической системы
(общее уравнение динамики).
26
Для несвободной механической системы со стационарными двухсторонними связями в любой момент времени сумма работ всех активных (задаваемых) сил и сил инерции на любом возможном перемещении ее из рассматриваемого положения равна нулю:
FiвнеSi + ФjSj = 0
или
(Xiвне + Фxi)xi +(Yiвне + Фyi)yi+(Ziвне + Фzi)zi = 0.
Для механической системы с одной степенью свободы достаточно
записать и решить одно уравнение (125) или (126). Если же система
имеет несколько степеней свободы, то уравнение (125) или (126) записывают для каждого независимого перемещения в отдельности.
Таким образом, записывается и решается совместно столько уравнений (125) или (126) сколько степеней свободы имеет рассматриваемая механическая система.
Таблица - Формулы для кинетической энергии тела и работы внешних
сил, действующих на тело, и дифференциальные уравнения
основных видов движения
27
Параметры
Поступательное
движение
Вращение вокруг оси
Плоское движение
Сферическое
движение
Сложное движение
в общем случае
Кинетическая
энергия
1 2
mv
2
1 2
 Jz
2
1
1
mvc2+ 2Jc
2
2
1 2
 Jo
2
1
1
mvc2+ 2Jo
2
2
Работа внешних
сил
Mk

Mн
K
R
*
вне
dr
M

*вне
z
d 
H
 R * вне dr 
Mо*вне
R
*вне
dr 
MH
MH
 M я *вне ( K   H )
 M o*вне
вне
mxc  X iвне Jz  M z ( Fi ) mxc  Xiвне
myc  Yiвне
myc  Yiвне
J  M ( Fiвне )
mzc  Ziвне
c
c
e J o  ( Fi вне ) mxc  Xiвне
M z*вне ( K   H )
Дифференциальные уравнения движения
MK
MK
ЛИТЕРАТУРА
1. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч.I, II. - М.: Высшая
школа, 1977. - 430c.
2. Советский энциклопедический словарь. - М.: Энциклопедия, 1983. 160c.
myc  Yiвне
mzc  Ziвне
 E Jo   (Fiвне )
28
3. Философский словарь. - М.: Политиздат, 1980. - 444c.
4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для
инженеров и учащихся ВТУЗ’ов. - М.: Наука, 1980. - 976c.
5. Яворский Б.М., Пинский А.А. Основы физики. Т.I. - М.: Наука,
1981. - 480c.
СОДЕРЖАНИЕ
1 Кинематика……………………………………………………....
стр.
3
1.1 Кинематика материальной точки…………………………...
3
29
1.2 Кинематика твердого тела………………………………......
6
2 Динамика………………………………………………………..
12
2.1 Динамика материальной точки…………………………......
14
2.2 Динамика твердого тела и механической системы……......
20
2.3 Принцип возможных (виртуальных) перемещений…….....
25
Литература....................................................................................
А.В ЖЕРАНИН, Ф.Ф. СПИРИДОНОВ, К.В. ШЕСТАКОВ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
28
30
Часть 2
Методическое пособие
Подписано в печать 23.07.98. Формат 60х84 1/16.
Усл. п. л. – 1,7. Уч. изд. л. – 1,8.
Печать – множительно-копировальный аппарат
«RISO TR 1510».
Тираж 50 экз. Заказ 98- 51.
Издательство Алтайского государственного
технического университета им. И. И. Ползунова.
656099, г. Барнаул, пр-т Ленина, 46.
Оригинал-макет подготовлен ИВЦ БТИ
АлтГТУ им. И.И. Ползунова.
Отпечатано на ИВЦ БТИ
АлтГТУ им. И.И. Ползунова.
659305, г. Бийск, ул. Трофимова, 29.