Концепции алгоритма вычисления

1
Зависимости дисперсии случайной силы от трения и от шага
в численном решении уравнений Ланжевена
И.Г.Коляри, Н.Д.Мавлитов
г.Омск
e-mail: Cagliari@list.ru
Общие понятия
Для описания экспериментально наблюдаемых распределений осколков деления − массового распределения, зарядового распределения, энергетического распределения и т.п. используется
жидкокапельная модель, которая использует различного вида параметризации.
Одна из часто используемых параметризаций – {c,h,α}1. Нами тоже была использована данная параметризация, но из-за ряда имеющихся в ней ограничений, пришлось отказаться. Параметризация определяет поверхность ядра в цилиндрических координатах    ( , z ) . В данной работе
ограничимся азимутально-симметричными, т.е. независимыми от φ − функциями    (z ) . Краткий обзор параметризаций во взаимосвязи с жидкокапельной моделью дает Хассе [1]. Принципиально существуют следующие требования в соответствии с описанием процесса расщепления ядра:
1. функция    (z ) должна быть дифференцируемой;
2. должны быть описаны три основные степени свободы, а именно, удлинение ядра, утончение шейки, возможная асимметрия возникающих фрагментов;
3. должны описываться моделью исходные и конечные формы, т.е. сфера и два соприкасающихся друг с другом осколка;
4. в принципе, должна быть возможной меняться форма шейки между двумя фрагментами.
Все эти требования параметризации использует в своей работе Müllr [2], предлагая использовать полином шестой степени:
 2 ( z )  l 2  z 2 a4 z 4  a3 z 3  a2 z 2  a1 z  a0

z   l ,l 


Рисунок 1. Наглядное представление геометрического смысла коллективных параметров2.
Обобщенные коллективные деформационные переменные (обобщенные координаты) выбраны
следующим образом:
l  полудлина компаунд  формы,
r  радиус шейки,
zr  координата “шейки”,
k  кривизна кривой в точке с координатами (r,z r ) ,
z S  координата центра масс.
U.Brosa [3] указывает на то, что в данной параметризации особую роль играет k  кривизна кривой в точке с координатами (r,z r ) и при переходе от положительных значений k к k  0
возникает форма с длинной шейкой. Как показывают расчеты, в данной параметризации переменная k играет весьма значительную роль, поскольку при ее малом изменении физические величины
резко изменяются.
1
2
См. Приложение 1
Рисунок находится в файле: C:\NUCL_Sclad's\Nucl_03\NUCL\TEX_TEX\FORM_1BA.BMP
2
Связь между l , r , zr , k , z S  и a4 , a3 , a2 , a1 , a0  можно осуществить через геометрические соотношения:
1. величина радиуса шейки в точке z  zr – координата радиуса шейки
 2 ( zr )  r 2
2. касательная3;
d 2
0
dz z  z
r
3. кривизна кривой в точке A( z r , r ) :
d 2 2
dz 2
 2kr
z  zr
Отметим, что k может быть как положительным, так и отрицательным: если k  0 , то кривая вогнута, если k  0 , то кривая выпуклая, т.е. если k  0 , то форма имеет одну шейку, если
k  0 , то форма имеет две шейки.
4. имея определенного рода геометрическую форму, можно найти центр масс фигуры:
l
 dz z 
2
( z)
 zs
z  l
l
 dz 
2
( z)
z  l
5. Условие сохранения объема:
l
4
  dz  2 ( z )  R03
3
z  l
Численная схема
I. Численная схема Эйлера для параметризации {c,h,α}
Уравнения Ланжевена в общем виде можно записать так [4;5]
p  hq, p   Rt 
p
m
Где Rt   gt  − случайная сила, g − амплитуда случайной силы, t  − случайная величина со
свойствами
t   0
q 
t1 t 2   2 t1  t 2 
Моделируемая случайная сила методом Монте-Карло записывается:
t   t   t 
Где  t  − случайное число, подчиняющееся распределению Гаусса со следующими параметрами
 t   0
 2 t   2
В итоге, конечно-разностная схема выглядит следующим образом
pi 1  pi  hqi pi t  T  t   t 
qi 1  qi 
pi
t
m
Обычно пишут, что это касательная в точке где радиус шейки имеет минимальное значение, но это правильно только
для ограниченного числа случаев; в случае параметрзации, которую использует Müller, «радиус шейки» имеет несколько абстрактное понятие.
3
3
Предлагаемая численная схема
Применяемая численная схема Эйлера [5] для параметризации {c,h,α} уже не удовлетворяет
для работы с выбранной параметризацией (Müllr): имеется большое количество обобщенных координат.
Поскольку любая численная схема создает «собственный шум», то задачей является – отработать численную схему, в которой:
1. Необходимо как можно сильнее ограничить влияние «собственного шума численной схемы». Иначе, на решение будут накладываться и «собственный шум численной схемы», и
шум от случайной силы, которая моделируется в данном алгоритме.
2. Если убрать случайную силу, которая моделируется данным алгоритмом, то решение
должно идти по «красной траектории».
II.
При решении задач, которые описываются системами стохастических дифференциальных
уравнений (уравнений Ланжевена), можно заметить, что имеющееся дифференциальное уравнение
(правая часть)




dv
ma  m
  r   v  F t  ,
dt

 
 
по сути, состоит из двух слагаемых ma  Ar ; v; t   Br ; v; t  :
 


Ar ; v; t    r   v – отвечающее за поведение системы без воздействия шума;
 
Br ; v ; t   F t  – слагаемое, отвечающее за случайную силу, порожденную или тепловыми свойствами среды, или иными свойствами, которые порождают случайное воздействие.
По сути, численные схемы можно применить отдельно к каждому из этих слагаемых:
 
 
Ar ; v ; t  и Br ; v; t  , т.е. и то, и другое слагаемое разложить в ряд.
Ограничимся тем, что случайная сила подчиняется [6]:
F t   0
Fi t1 F j t 2   2 D ij t1  t 2 
Задачей данной работы является определение функции D  Dh,   , в том случае если и
трение, и температура меняются вдоль траектории движения. h – шаг дискретизации (шаг печати,
шаг наблюдения за объектом),  – коэффициент трения.
Решение будем проверять на 2-х задачах: движение свободной материальной точки с учетом трения и под действием случайной силы; движение осциллятора с учетом трения и под действием случайной силы.
Отметим один из важных аспектов, который отражен в данной работе: если в численном
алгоритме «отключить» шум, то решение должно идти по «классической»4 траектории.
Часто в литературе второе слагаемое представляется как произведение двух сомножителей:
 
Br ; v ; t   Fampl  wt 
где Fampl – так называемая, амплитуда случайной силы;
wt  – генератор (случайной силы) с математическим ожиданием m и дисперсией D .
Но такое, с позиции математики, возможно только в том случае, если величины, входящие
в Fampl являются const вдоль прохождения всей траектории. Поэтому в данной работе отсутствует
понятие «амплитуда случайной силы», которая имеется в работах 5
Движение одномерной свободной частицы с учетом трения
Уравнения, описывающие Броуновское движение одномерной свободной частицы с учетом
трения [6;7]
4
5
В смысле, по той траектории, что посчитана аналитически, если задача решается аналитически.
Работы Косенко и др. привести в списке
4
dx
u
dt
dp
 p  F (t )
dt
с условием, что случайная сила имеет математическое ожидание равное нулю, и сила дельта коррелирована:
F t   0
Fi t1 F j t 2   2 D ij t1  t 2 
D  mkBT − коэффициент диффузии в пространстве импульсов (формула Эйнштейна)
Аналитическое решение системы для свободной частицы:
kT

x 
2t  3  4e  t  e 2 t 
2
m
 p  kTm1  e 2 t 

где  
m
 x − дисперсия по координате;
 p − дисперсия по импульсу.
Если взять процесс без шума, то траектория и величина скорости (импульса) не зависит от
шага дискретизации (назовем «шаг печати» или «шаг наблюдения за объектом»). Таким образом,
если дисперсия для импульса (при движении точки при наличии трения) в пределе не зависит от
шага дискретизации («шаг печати») и от трения, то случайная сила (ее дисперсия) [в численной
схеме] должна зависеть и от шага дискретизации, и от трения.
В общем случае необходимо знать зависимость  p   p wrandem  ; h  . В нашем примере, поскольку вдоль траектории трение не меняется, достаточно найти функцию  p   p wrandem h  .
Для величин, заданных начальными условиями [5]:
m  17 – масса частицы
T  1.2 – температура (энергия, MeV)
k  1 – постоянная Больцмана
  17 – коэффициент трения

  1
m
x0  2 – начальная координата
p0  4 – начальный импульс
Дисперсия случайной силы для приведенных данных выглядит следующим образом
DURAND  4477.52  h10  17793.00  h 9  31054.6  h8  312.93  h 7  20128.8  h 6  8626.48  h 5
 2497.97  h 4  486.499  h 3  62.6051 h 2  5.21914  h  0.321645
Броуновское движение гармонического осциллятора
Уравнения движения осциллятора под действием случайной силы [7]
dx
v
dt
dp
 p  m 02 x  F t 
dt
с учетом, что
D  mkBT − коэффициент диффузии в пространстве импульсов
5
F t   0
Fi t1 F j t 2   2 D ij t1  t 2 
Поскольку общие условия в задаче не изменились, то для работы в численную схему подставляем уже известный (определенный ранее) закон дисперсии случайной силы.
Результаты счета
Свободная частица
10000 испытаний
hpr = 0.10D+00 − шаг "печати"
pDISP_teor = 0.4516636E+01
Disp(P) =
0.4508495E+01
10000 испытаний
Случайный шаг: hpr = 0.1D0 + URAND(IY)*(0.6D0 - 0.1D0)
pDISP_teor = 0.4516636E+01
Disp(P)
= 0.4554674E+01
Осциллятор
10000 испытаний
hpr = 0.10D+00 − шаг "печати"
pDISP_teor = 0.4516636E+01
Disp(P)
= 0.4528168E+01
ошибка: 0.26%
10000 испытаний
Случайный шаг: hpr = 0.1D0 + URAND(IY)*(0.6D0 - 0.1D0)
pDISP_teor = 0.4516636E+01
Disp(P)
= 0.4517804E+01
ошибка: 0.03%
Список литературы
1. R.W.Hasse, Annals of Physics 68, 377 (1971)
2. A.Müller // Vorgelegt von Andreas Müller aus Berlin-Schöneberg, Untersuchungen spaltung
einigertranseinsteiniumisotope sowie des 236U // Inaugural-dissertation zur Erlangung der
Doktorwürde des Fachbereichs Physik der Philipps-Universsität Marburg/Lahn (1987)
3. U.Brosa, S.Grossmann, A.Müller // Physical reports (Review Section of Physics Letters). 1990. №
4. P. 167
4. Г.Д.Адеев, Д.В.Ванин «Стохастический подход к динамике деления», Вестник Омского
университета, 1999, вып.1., с.5-15
5. Г.И.Косенко // Применение уравнений Ланжевена для описания деления возбужденных
ядер. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.
Томск. 1992
6. Ю.Л.Климонтович «Турбулентное движение и структура хаоса», Москва, Наука, 1990 с.185
– 231
7. Ю.Л.Климонтович «Кинетическая теория электромагнитных процессов». Москва. «Наука»,
1980