фізика - Теория относительности

ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2005, вип. 1
Ф І З И К А
УДК 511: 531/534:530:512.942
ГЕНЕРАЦИЯ АЛГЕБР ПРОСТРАНСТВ ЕВКЛИДА
И СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
С.В. Терехов
Донецкий национальный технический университет
Построение теории электронов привело Лоренца [1] к необходимости введения нового, отличного
от галилеевского, преобразования инерциальных систем координат. Физические эффекты, возникающие
при таком изменении исходной системы отсчета, были исследованы Эйнштейном [2] в специальной теории относительности (СТО). Для объяснения геометрического смысла основных понятий СТО Минковским была введена комплексная плоскость с мнимой временной осью (псевдоевклидова плоскость, см.,
например, [3]). Дальнейшие исследования в этой области [4] привели к формированию понятия системы
отсчета как метрической карты, в каждой точке которой присутствуют пробные тела для измерения времени и расстояний с передачей информации наблюдателю, расположенному в выбранной точке метрической карты. Поиск преобразований, относительно которых физические законы остаются неизменными
(инвариантными), позволяет выявить глобальные свойства пространственно-временного континуума. В
связи с этим является весьма важным вопрос об алгоритме нахождения таких преобразований координат.
Современная теория линейных преобразований [3] базируется на определенных требованиях,
предъявляемых к матрице преобразования. Если квадратная матрица A размерности n  n переводит
матрицу X размерности n  k в матрицу Y размерности n  k , то говорят, что матрица A определяет преобразование: Y  A X . Если определитель матрицы преобразования det A  1 , то преобразование называется ортогональным, при этом в случае, когда det A  1 , преобразование называется
собственным. Собственные преобразования соответствуют собственным движениям в исследуемом многообразии. Отличие определителя преобразования от нуля указывает на невырожденность матрицы пре1
образования и возможность обратного преобразования: X  A Y . Обратимость матрицы преобразо1
1
вания определяется уравнением A A  A A  E , где E – единичная матрица. Матрица A задает
изометрическое преобразование, если
AT G A  G , где AT определяет транспонированную матрицу к
матрице A , а квадратная матрица G задает метрику исследуемого множества матриц. Выражения вида
X T G X  Y T GY , не изменяющиеся при выбранном преобразовании координат, называют инвариантами.
Такой подход к нахождению физически значимых преобразований обладает рядом недостатков:
– на линейное преобразование накладывается большое число ограничений, которые в последовательной теории должны возникать естественным образом;
– игнорируется алгебраический аспект данной проблемы;
– не учитывается тот факт, что псевдоевклидова плоскость Минковского содержит мнимое время:
изменяется геометрия и алгебра, которой подчиняются элементы многообразия на этой плоскости;
– не учитывается размерность многообразия, которая может влиять на выбор поля чисел, используемого для адекватного описания структуры и свойств пространства.
Целью данной работы является демонстрация нового подхода к поиску линейных преобразований, описывающих физические движения, на основе построения векторного и матричного исчисления на
комплексной плоскости с использованием алгебры Клиффорда [5], а также решение проблемы перехода
от евклидовой плоскости к плоскости Минковского при увеличении скорости поступательного движения
до скорости света.
Выбор базисных элементов и определение действий с ними порождает алгебру и геометрию исследуемого многообразия. Согласно теореме Фробениуса (см., например, [6]) охватывающей алгеброй
для поля действительных чисел является алгебра комплексных чисел. Рассмотрим комплексную плос-
©Терехов С.В.
163
ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2005, вип. 1
2
кость. Выберем в качестве базисных элементов e1  1 и e2  i ( i  1 – мнимая единица), причем
их произведение коммутативно, т.е. e1 e2  e2 e1 . Для построения векторного пространства над комплексной плоскостью воспользуемся алгеброй Клиффорда, в которой для произведения элементов справедливо соотношение:
(1)
ei e j  ei  e j  ei  e j ,
где антикоммутатор ei  e j 


1
1
ei e j  e j ei 
2
2
 ei , e j   g ij
торое симметрично относительно перестановки индексов i и
определяется произведением, ко-
j . Таким образом, величины g ij образу-
ют симметричный тензор второго ранга, который определяет метрику исследуемого многообразия.
Коммутатор
ei  e j 


1
 ei e j  e j ei   1 ei , e j ijk ek
2
2
является произведением, которое антисимметрично относительно перестановки индексов i и
вательно, величины

k
ij
j . Следо-
являются компонентами антисимметричного псевдотензора (экстенсива) тре-
тьего ранга, который определяет ориентацию базиса (ориентатор). Если пространство однородно и изотропно, то в любой его точке можно выбрать ортогональную (в широком смысле этого слова) систему
координат, которая характеризуется следующими равенствами:
–
 0, i  j
- символ Кронекера («+» соответствует векторам, а «–» – кватерg ij    ij , где  ij  
 1, i  j
нионам [6]);
–

k
ij
  ijk
  1, если все индексы различны и образуют нечетную подстановку

.
  0, если хотя бы два индекса совпадают
 1, если все индексы различны и образуют четную подстановку

Таким образом, алгебра Клиффорда позволяет рассматривать пространства, для которых собственными
движениями являются поступательное и вращательное движения.
Для комплексной плоскости метрическая матрица имеет вид
i
1
 , а ориентатор равен нулю.
G  
 i  1
Используя свойства матриц, выделим вещественную и мнимую части этой матрицы:
i  1 0 0 i  1 0 0 1
1
  
  
  
  i 
 .
G  
 i  1  0  1  i 0   0  1  1 0 
(2)
Из формулы (2) видно, что вещественная часть этой матрицы совпадает с метрической матрицей плоскости Минковского G , т.е. G  Re G . Это означает, что метрика комплексной плоскости эквивалентна метрике плоскости Минковского.
 
Для вещественного вектора
ляется его длина, т.е. скаляр
 x
X    на евклидовой плоскости метрическим инвариантом яв y
X T E X  x2  y2  X
го инвариантом будет величина
2
(модуль вектора). На плоскости Минковско-
X T G X  x 2  y 2 (интервал между событиями или норма вектора).
На комплексной плоскости метрическим инвариантом является величина X G X  x  y  2 i x y .
T
Таким образом, сохраняющимися величинами являются скалярные формы
вектора) и
X 
2
2
X
2
 x 2  y 2 (норма
 2 x y (будем называть нормативом). На евклидовой плоскости норма, модуль и
норматив вещественного вектора будут связаны соотношением
164
2
X
4
 X
4
 X 
4
. Переход в
Терехов С.В.
ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2005, вип. 1
полярную
2
X
систему
 X
2
координат,
приводит
к
равенству
X
4
 X
4
cos 2  2 
или
cos  2  . Из этого равенства следует, что норма вектора, лежащего на биссектрисах
координатной плоскости, равна нулю (изотропные вектора [3]).
Переход от евклидовой плоскости к комплексной плоскости соответствует преобразованию вещественного вектора согласно формуле
 x  1  z  z   z  1  z   1 
 
  .
 
(3)
X    
 y
2   i  z  z  
2  i 
2  i
Из этой формулы видно, что в качестве базисных векторов могут быть выбраны псевдовектора
f1 
1  1
1 1

 и f 2 
  . Тогда проекцией вещественного вектора на ось f 1 будет ком2  i 
2  i
плексное число
z
2
, а на ось f 2 – комплексно-сопряженное число
z
. Докажем эти положения с
2
использованием алгебры Клиффорда.
Вычислим возможные произведения базисных элементов
e1  1 и e2  i комплексной плоскости, которые генерируют появление структур размерностью 2  1 или 1 2 (базисный элемент явля e1  e1  1 
 e2  e1  i 
 , q  
 . Вектор
ется числом, а всего в базисе два элемента): g  
 e1  e2  i 
 e2  e2  1 
q  i g , следовательно, для нахождения второго вектора базиса произведем обмен местами базисных
 e1  e1  1 
 e e  i 
   g  , t   2 1
  i g  . Таким образом, в качестве
элементов, тогда p  
 e1  e2  i 
 e2  e2  1 
 1 
 . Этот базис
g   
 i 
будем называть исходным. Эрмитово-сопряженный вектор к комплексному вектору g имеет вид
второго базисного вектора можно выбрать комплексно-сопряженный вектор
g    1  i  . Базис, который состоит из эрмитово-сопряженных базисных векторов g 1  g  и
   , будем называть сопряженным. Модуль вектора g
g2  g
g
2
 g  G g  2 , а норма – g T G g  g
равна нулю, то вектора g и
2
на комплексной плоскости равен
 0 (изотропные вектора). Так как норма вектора g
g T перпендикулярны, т.е. образуют декартов базис. Для того чтобы полу-
g1  g и g 2  g  (или эрмитово-сопряженные к ним вектора) на ко1 
1
1
, т.е. в качестве базисных векторов выберем вектора f 1 
g и

g
2
2
чить орты, умножим вектора
эффициент
f2 
1
2
g . Таким образом, внешнее произведение базисных элементов порождает новую алгебру –
векторную алгебру псевдовекторов. Вычислим скалярные произведения базисных псевдовекторов:
Табл. 1. Скалярные произведения базисных псевдовекторов.
Терехов С.В.
f1
f2
f 1
1
0
f 2
0
1
165
ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2005, вип. 1
 x
X    по базису имеет вид
 y
 x
X     a1 f 1  a 2 f 2 ,
 y
Разложение вещественного вектора
(4)
где проекции определяются комплексными числами
a 1 и a 2 . Скалярные произведения векторов соx
1

 1 i  и f 2  1  1  i  на вещественный вектор X    равпряженного базиса f 1 
2
2
 y
ны
f 1  X 
xi y
2

z
2
 a1 и f 2  X 
xi y
2

z
2
 a 2 . Это означает, что разложение (4)
имеет вид формулы (3). Если разделить обе части равенства (4) на длину вектора X , то получим вид
разложения любого вещественного вектора с единичной длиной
1  x  e i
e i 
e X    
f1 
f 2.
(5)
d  y
2
2
В исходном базисе формула (5) принимает вид
e i   e i 
eX 
g 
(6)
g.
2
 x 
 по псевдовекторам исходного базиса имеет вид
Разложение произвольного псевдовектора S  
iy
 x
S     a1 f 1  a2 f 2 ,
(7)
 i y
2
где проекции определяются скалярными произведениями псевдовекторов сопряженного базиса на псевдовектор S :
f 1  S 
xy
2
 a1 и
f 2  S 
xy
2
 a2 .
(8)
Из формулы (8) видно, что проекции псевдовектора на базисные направления вещественны. Проведем
нормировку псевдовектора (8):
1 x  x y
x y
  
(9)
f1 
f .
d  i y d 2
d 2 2
Из (9) видно, что прямые линии y   x являются особыми на евклидовой плоскости, так как на них
eP 
лежат изотропные вектора, норма которых равна нулю.
Внешние произведения базисных векторов определяют базисные матрицы размерностью 2  2 вида
1 1 i
  L  ,
f 1  f 1  
2  i 1
i
11
 K ,
f 2  f 1  
2  i  1 
1  1 i
  K  ,
f 1  f 2  
2   i  1
1  1 i 
 L.
f 2  f 2  
1 
2i
Матрица L является эрмитовой матрицей, так как выполняется равенство
(10)
(11)
L   L . Матрица K связа-
G
. Матрицы K и L представим в виде
2
1  1 0   0  1   0  i  1
1  1 0   0 1   2  i  3
  i 
 
  i
 
; K  
, (12)
L  
2  0 1   1 0 
2
2  0  1   1 0 
2
на с метрической матрицей равенством K 
166
Терехов С.В.
ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2005, вип. 1
где вещественные матрицы
 k ( k  0  3 ) имеют вид:
1 0
0
 ;  1  
 0  
0 1
1
1 
1
 ;  2  
0
0
Эти матрицы обладают следующими свойствами:
det  0  det  1  1 ; det  2
0
0 1
 ;  3  
 .
1 
1 0
 det  3  1 ;
 02   22   23  E 2 ;  12   E 2 ;  i  0   0  i   i ( i  1 3 );
 1  2   2  1   3 ;  2  3   3  2   1 ;  3  1   1  3   2 .
Из формул (13) видно, что матрицы
умножением матриц
риц
 k ( k  0 3)
 i ( i  1 3 ), которая
(13)
образуют новую алгебру с некоммутативным
изоморфна алгебре кватернионов, так как введение мат-
 0   0 ; 1   1 ;  2  i  2 ;  3  i  3
дает для матриц  k ( k  0  3 ) соотношения:
 02  E 2 ;  12   22   23   E 2 ;
 i  0   0  i   i ( i  1 3 );
 1 2   2  1   3 ;  2  3   3  2   1 ;  3  1   1 3   2 .
Таким образом, предлагаемый подход позволяет не только построить преобразования вещественных
векторов и псевдовекторов на соответствующих плоскостях, но и сгенерировать новую алгебру элементов многообразия с большей размерностью. Отсюда следующий нетривиальный вывод: изменение размерности многообразия влечет за собой изменение алгебры базисных элементов, формирующих основные свойства нового пространства.
Кроме того, матрица  0 определяет метрику евклидовой плоскости, а матрица  2 – метрику
псевдоевклидовой плоскости. В связи с этим вычислим метрические инварианты вещественного вектора
x
X    с матрицами  k ( k  0  3 ). Метрические инварианты равны:
 y
2
X T  0 X  x 2  y 2  X – длина (модуль) вектора; X T  1 X  0 ;
2
2
X T  2 X  x 2  y 2  X – норма (или интервал между событиями) и X T  3 X  2 x y  X  –
норматив вектора.
Якобиан перехода от вещественных переменных
x и y к комплексным величинам z и z  име-
x

z
J 
y

z
x 

 z  1  1 1 
.
 
ет
вид
Матрица,
определяемая
равенством
 y  2   i i 

 z  
1 0
 , осуществляет переход от вещественных векторов к псевдовекторам.
P  J  0   1  
0 i 
1 0
 генерирует переход от вещественных векторов к сопряженМатрица N  J  2   3  
 0 i 
ным псевдовекторам. Отметим, что матрицы  0   0 ,  1   3 ,  2  i  1 ,  3   2 называют




матрицами Паули. Внешние произведения матриц
k
(k
 0  3 ) порождают алгебру октав (см.,
например, [6]).
Действие матриц (10) и (11) на базисные вектора определяется равенствами
Терехов С.В.
167
ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2005, вип. 1
K f1  f 2,
L f1  0,
K f 2  0,
K  f1  0,
K  f 2  f1 ;
(14)
L f 2  f 2,
L  f 1  f 1,
L  f 2  0.
(15)
Следовательно, для вектора f 1 матрицы
матрицей трансформации, а матрица
K  и L являются матрицами уничтожения, матрица K –
L  – матрицей тождественности. Для вектора f 2 матрицами
уничтожения, трансформации и тождественности являются соответствующие комплексно-сопряженные

матрицы. Из формул (14) и (15) видно, что базисные матрицы K и K изменяют ориентацию исход
ного базиса векторов f 1 и f 2 , а базисные матрицы L и L оставляют ориентацию этого базиса
неизменной. Если при преобразовании ориентация базиса не меняется, то базисные вектора являются
собственными векторами такого преобразования, поэтому такие преобразования называются собственными. Следовательно, матрицы K и L определяют метрику плоскости и ее собственные движения,
соответственно. Таким образом, внешние произведения базисных элементов генерируют метрику своего
пространства и определяют допустимые движения в этом пространстве.
Вычислим внутренние произведения базисных матриц:
Табл. 2. Внутренние произведения базисных матриц
K
K
0
K
L
L
K
L

0
K
L
0
K
L
0
0
K
L

0
L
K
0
0
L
Из табл. 2 видно, что она имеет блочный вид: компонентами этой таблицы являются матрицы размерностью 2  2 . Используя данные табл. 2, найдем отличные
от нуля комбинации базисных матриц:
K K   K  K L L  L  L  L  L  1 1 0  0
 
,


 
2
2 0 1
K L   K  L L K  L  K  K  K  1 1 0  3

,


 
2
2
2  0  1
2
2
2
2
2
(16)
K K   K K L L  L L  L  L  1 0  i  2

,


 
0 
2
2
2i
2
2
K L   K  L L K  L  K  K  K  1 0 i  i 1

.


 
2
2
2  i 0 
2
2
Формулы (4)-(16) показывают, что выбор базисных элементов позволяет с помощью определения внешнего произведения сгенерировать все основные матрицы, определяющие метрику и матрицы преобразования. Поэтому базисные элементы и порождаемые ими структуры будем называть генераторами.
Любую вещественную матрица размерности 2  2 можно представить в виде линейной комби

нации базисных матриц K , K , L и L :
a b 
  A 1K  A 2 K   A 3 L  A 4 L  ,
A  
c d 
где комплексные числа равны следующим внутренним произведениям
A 1  f 1 A f 2 , A 2  f 2 A f 1 , A 3  f 1 A f 1 , A 4  f 2 A f 2 .
168
(17)
(18)
Терехов С.В.
ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2005, вип. 1
A1 
Если матрица преобразования не изменяет ориентации базисных векторов, то коэффициенты
A 2  0 . Отсюда следует, что
 A 3  a  i b
d  a
и
.



 c  b  A 4  A 3  a  i b
Используя показательную форму записи комплексных коэффициентов
(
(19)
A 3   ei  и A 4   e  i 
a 2  b 2 ), нормируя матрицу A на величину  , получим вид изометрической (это легко показать с учетом того факта, что G  2 K , и данных, приведенных в табл. 2), собственной, ортогональ
ной матрицы
EA 
 cos 
A  L e i   L  e  i   
  sin 
a2  b2
1
sin  
,
cos  
(20)
которая описывает поворот одной системы координат относительно другой вокруг общего начала координат на евклидовой плоскости.
2
Аналогичные рассуждения для базисных элементов e1  1 и e2  q ( q  1 ), которые определяют множество двойных чисел, генерируют изометрическую, собственную, ортогональную матрицу,
которая имеет вид
EA 
 ch 
A  
 sh
a2  b2
1
sh 

ch 
(21)
и определяет преобразование Лоренца на евклидовой плоскости.
Рассмотрим преобразование координат на комплексном многообразии, сво-дящееся к преобразо-
 x 
 . Преобразование псевдовекторов имеет вид W  A S , при этом W
S  
iy
является также, как и S , псевдовектором. Пусть изометрическое, обратимое, собственное движение
 a b
 ( a , b , c и d – комплексные
плоскости Минковского задается ортогональной матрицей A  
 c d
ванию псевдовектора
числа). Вид матрицы преобразования, удовлетворяющий физическим требованиям, найдем путем разложения матрицы преобразования по базисным матрицам. В силу собственности движения матрица преобразования не должна изменять ориентации базиса, следовательно, коэффициенты A1  A 2  0 , т.е.
d  a и c   b . Из равенств Re  a d  b c   1 и Im  a d  b c   0 , определяющих ортогональность матрицы преобразования ( a  a 1  i a 2 и b  b 1  i b 2 , a k и b k – вещественные числа
(k
 1 ; 2 )), получим систему уравнений
a 21  a 22  b 21  b 22  1
.

 a 1 a 2  b 1 b 2  0
(22)
Рассмотрим возможные решения системы уравнений (22):
– a 2  0 , b 1  0 , a 1   , b 2   (  и  – вещественные числа). Матрица преобразования имеет вид
 
A 1  
  i
i  a

   b 
b 
,
a  
(23)
det A 1   2   2  1. Если   0 и   1 , то матрица A 1 определяет тождественное
преобразование. При значениях параметров   0 и    1 матрица A 1 определяет зеркальное
причем
Терехов С.В.
169
ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2005, вип. 1
отражение координатных осей или поворот системы координат на угол
.
В случае, когда
 0 и
b   i  матрица A 1 соответствует преобразованию Лоренца. Матрица A 1 определяет однопараметрическую группу преобразований псевдоевклидовой плоскости.
– a 1  0 , b 2  0 , a 2   , b 1   (  и  – вещественные числа). Матрица преобразования имеет
вид
 i
A 2   
 
 
,
i  
(24)
det A 2    2   2  1 . Матрица A 2 осуществляет преобразование псевдо x 
i u 
 в псевдовектор W    , т.е. не определяет физического движения.
вектора вида S  
iy
v
причем
–
a 2  0 , b 2  0 , a 1   , b 1   . Матрица преобразования имеет вид
  
,
A 3  
 
 
причем
(25)
det A 3   2   2  1 . Данная матрица является матрицей преобразования вещественных
векторов и описывает поворот в евклидовой плоскости. Матрица (25) определяет однопараметрическую
группу преобразований евклидовой плоскости.
– из второго равенства (22) находим:
b 1 ( 1, 2 )  
a22  a 21  1 
2
D
, где
b2  
a1 a 2
b1

D  a 21  a 22
и в силу вещественности коэффициент
 2  2  a 21  a22  1 , при этом все пара-
D  0 для всех допустимых значений вещественных параметров a 1 и a 2 (параметры a 1  0 и a 2  0 ). Матрица преобразования имеет вид
 a  b

A 4   
(26)

b
a


метры отличны от нуля. Дискриминант
и определяет двухпараметрическую группу преобразований, которая содержит случаи (23) и (25). Таким
образом, без учета изометричности матрицы преобразования существует двухпараметрическая группа
преобразований, которая содержит в себе подгруппы преобразований вещественных векторов и псевдовекторов. Изометричность матрицы преобразования на псевдоевклидовой плоскости приводит к единственно возможной матрице преобразования (23).
Преобразование Лоренца и наблюдаемые физические эффекты показывают, что при возрастании скорости движения до скорости света изменяется геометрия пространства: геометрия Евклида переходит в геометрию псевдоевклидовой плоскости. Группа вращений на угол  в евклидовой плоскости
определяется матрицей преобразования вида (25), причем
det A 3   2   2  1 . Одно из решений
этого равенства можно записать в виде    cos  и    sin  , т.е. свести к евклидовому тригонометрическому тождеству. Для псевдоевклидовой плоскости матрица преобразования имеет вид (23),
2
2
причем det A 1      1 . Выбирая параметры преобразования    ch  и    sh  ,
приводим равенство к гиперболическому тождеству. Эти решения определяют однопараметрические
(параметр  ) группы преобразований евклидовой и псевдоевклидовой плоскостей.
Полученные решения не являются единственными. Введем в рассмотрение функции Якоби [7-10]:
– эллиптический косинус cn  , k  
170
k' H   T 
,
k   
Терехов С.В.
ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2005, вип. 1
– эллиптический синус
1 H  
sn  , k  
,
k   
   T 
– изменение амплитуды dn  , k   k '
,
  
где эта-функция
  
  
 и тета-функция       4 
 – целые функции, не имеюH      1 
 2T 
 2T 
щие общих нулей и удовлетворяющие равенствам:
 i
   T '    ;
 T

i



H    2 iT '    exp      T ' H    ;
 T

    2T       ;
    2 iT '    exp  
H    2T    H   ;


2
вещественные числа
T
2
dx

и
T '
dx

(k
2
  k '  2  1 ) опреде-
2
2
1  k 2 sin 2 x
0 1   k '  sin x
ляют основные периоды ( 4 T и 2 i T ' ) введенных функций. Параметры k и k ' выражаются через пер0
  2 0  
  0  
 и k '   4  , которые определяются рядами:
вичные тета-функциями k  
  3 0  
  3 0  




2
2

 1  x   2   1  n q
 2 n  1 2
4
sin 2 n  1 x  ;
n0

 2 x   2  q
 2 n  1 2
4
cos 2 n  1 x  ;
n0

 3  x   1  2  q n cos 2 n  x  ;
2
n 1

 4  x   1  2   1 n q n cos 2 n  x  ,
2
n 1
где положено
q  e i   , 0  q  1 ,  – комплексный параметр, у которого Im   0 . Из опреде-
лений этих функций видно, что
 1 x 
является нечетной функцией, а остальные тета-функции – чет-
ными функциями. Рассмотрим возможные преобразования в случае эллиптического поля скоростей:
1). В силу того, что функции Якоби удовлетворяют уравнениям:
(27)
cn 2   , k   sn 2   , k   1 и dn 2   , k   k 2 sn 2   , k   1 ,
то для ортогональной матрицы преобразования вещественных векторов на евклидовой плоскости можно
положить
(28)
   cn , k и    sn , k (или    dn , k и    k sn  , k ).



Тогда двухпараметрическая (параметры
описываться системами уравнений:




 и k ) группа преобразований евклидовой плоскости будет
 x '  x cn , k   y sn , k 

 y '   x sn , k   y cn , k 
Терехов С.В.

(29)
171
ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2005, вип. 1
или
 x '  x dn , k   y k sn , k 
.
(30)

 y '   x k sn , k   y dn , k 
Если параметр k  0 , то sn , 0  sin  , cn , 0  cos  и dn , 0  1. Тогда система уравнений (29) описывает поворот в евклидовой плоскости, а система уравнений (30) соответствует тождественному преобразованию системы координат. При значении параметра k  1 функции Якоби равны
cn  , 1 
1
;
ch 
sn  , 1 
sh 
;
ch 
dn  , 1 
1
,
ch 
(31)
системы уравнений (29) и (30) совпадают и принимают вид
1
sh

 x '  x ch  y ch

.
(32)

 y '   x sh  y 1

ch
ch
Таким образом, при граничных значениях параметра k  0 и k  1 системы уравнений (29), (30) и (32)
описывают ортогональные преобразования вещественных векторов, которые сохраняют длину вектора
 l '  2   x '  2   y '  2  x2  y2  l 2 .
2). При мнимых значениях аргумента функции Якоби связаны соотношениями:
dn   , k ' 
.
(33)
cn   , k ' 
В случае поворота в псевдоевклидовой плоскости получаем при значениях параметра k  0
(34)
sn i, 0  sin  i    i sh , cn i, 0  cos  i    ch ;
dn  i, 0  1 ,
и k 1
sin 
1
1
sn  i  , 1  i
;
;
.
(35)
cn  i  , 1 
dn  i  , 1 
cos 
cos 
cos 
Для соотношений (34) ( k  0 ) система уравнений (29), описывающая преобразование псевдовекторов,
sn  i  , k   i
имеет вид
sn   , k ' 
;
cn   , k ' 
cn  i  , k  
1
;
cn   , k ' 
dn  i  , k  
 x '  x ch  i y sh
.

 y '   i x sh  y ch
(36)
1
sin 

 x '  x cos   i y cos 

.

sin

1
 y ' i x
y
cos 
cos 

(37)
Умножая второе уравнение системы (36) на мнимую единицу i и производя замену i y   , получим
преобразование Лоренца. Система уравнений (30) в этом случае определяет тождественное преобразование системы координат. Метрическим инвариантом является интервал между событиями. При значении
параметра k  1 системы (29) и (30) совпадают и принимают вид
Умножая второе уравнение системы (37) на мнимую единицу i и производя замену i y   , получим
преобразование, которое оставляет неизменным интервал между событиями. Однако в отличие от системы уравнений (29) полученная система уравнений теряет смысл при углах


2
  n , n  Z , т.е. на
координатных осях.
3). Если значения параметра 0  k '  1 , то преобразование псевдовекторов описывается системой уравнений (см. систему уравнений (29) с учетом (33))
172
Терехов С.В.
ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2005, вип. 1
x   sn , k '

 x '  cn   , k '


  '  x sn , k '  

cn   , k '
или
x '   ' sn , k '

 x  cn   , k '

.

    x ' sn , k '   '

cn   , k '
(38)
Пусть начало координат системы отсчета K ' движется относительно системы от-
v
  sn   , k '  , а cn  , k ' 
счета K , тогда x '  0 . Следовательно,
c
v
1  
c
2
. Подставив
найденные выражения в систему (38), получим преобразование Лоренца справедливое для всех значений
параметра 0  k '  1 .
4). Система уравнений (30) для произвольных значений параметра k с учетом формул (33) принимает вид
x ' dn   , k '    ' k sn   , k ' 

x
cn   , k ' 

.






x
'
k
sn

,
k
'


'
dn

,
k
'
 

cn   , k ' 
(39)
Следовательно, второе ортогональное, изометрическое преобразование псевдовекторов задается системой уравнений


x'

x



2
v
 v
1  k '   ' k
c
 c
v

c
2
x' k
;  
v
 '
c

1 k '

2
v

c
2
.
(40)

 v
1
1  

 c
Из полученных формул следует, что при значении параметра k  0 ( k '  1 ) система уравнений (40)
определяет тождественное преобразование, а при значении параметра k  1 ( k '  0 ) система уравнений
(40) дает преобразование Лоренца.
Использование двухпараметрической группы вращений на угол  с модулем k (системы уравнений (29) и (30)) позволяет не только объединить преобразования в евклидовой и псевдоевклидовой плоскостях, но и продемонстрировать наличие других ортогональных и изометрических преобразований. Отметим, что при изменении параметра k от нуля до единицы происходит переход от круговых тригонометрических функций к гиперболическим функциям. С физической точки зрения функции Якоби на
псевдоевклидовой плоскости равны
v
sn   , k '    ;
c
v
cn   , k '   1   
c
2
;
 v
dn   , k '   1   k ' 
 c
2
.
На евклидовой плоскости системы уравнений (29) и (30) с учетом равенств (40) при скоростях v  c
определяют преобразование Галилея. На псевдоевклидовой плоскости система уравнений (29) определяет
преобразование Лоренца, которое является частным случаем общего преобразования координат (40). Таким образом, для эллиптического поля скоростей существует два ортогональных преобразования, относительно которых интервал остается инвариантом.
ВЫВОДЫ
Вещественная часть метрической матрицы комплексной плоскости, для которой ориентатор равен
нулю, определяет метрику плоскости Минковского. Введение понятия норматива и переход в полярную
систему координат позволяет установить связь между расстоянием на евклидовой плоскости (длиной вещественного вектора) и интервалом между событиями (нормой того же вектора). Показано, что на биссектрисах координатных углов располагаются изотропные вектора. Внешние произведения базисных
элементов комплексной плоскости генерируют структуры, описывающие метрику и преобразования векторов и псевдовекторов. Внешнее произведение разноименных базисных псевдовекторов (матрица K )
Терехов С.В.
173
ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2005, вип. 1
определяет метрику комплексной плоскости, а внешнее произведение одноименных базисных псевдовекторов (матрица L ) – преобразование вещественного вектора или псевдовектора. Для базисного вектора
f 1 матрицы K  и L являются матрицами уничтожения, матрица K – матрицей трансформации век-

тора f 1 в вектор f 2 , а матрица L – матрицей тождественности. Для вектора f 2 матрицами уничтожения, трансформации и тождественности являются соответствующие комплексно-сопряженные матрицы. Любая матрица размерности 2  2 может быть представлена в виде линейной комбинации базис

ных матриц K , K , L и L . Собственное преобразование псевдовекторов определяется линейной

комбинацией матриц L и L , которые не изменяют ориентацию псевдовекторного базиса. Выделены
вещественные матрицы  k ( k  0  3 ), которые подчиняются некоммутативной алгебре и связаны с
матрицами Паули определенными соотношениями. Аналогичное построение над полем двойных чисел
приводит к преобразованию Лоренца. Если не учитывать свойство изометричности комплексной матрицы преобразования, то анализ этой матрицы позволяет получить матрицы преобразования вещественных
векторов на евклидовой плоскости и псевдовекторов на плоскости Минковского. Изометричность матрицы преобразования на псевдоевклидовой плоскости приводит к единственно возможной матрице преобразования матрице Лоренца. Использование эллиптических функций Якоби позволяет продемонстрировать связь между преобразованиями на евклидовой плоскости и плоскости Минковского, а также указать
другие двухпараметрические преобразования, относительно которых сохраняется расстояние между точками евклидовой плоскости или интервал между событиями на плоскости Минковского.
РЕЗЮМЕ
За допомогою алгебри Кліффорда та поняття зовнішнього добутку базових елементів продемонстрована схема знаходження нових лінійних перетворювань системи координат, які залишають незмінним інтервал між подіями.
Зовнішні матриці визначають метрику та власні рухи в досліджуемому просторі. Для ізометричних перетворювань є
єдина матриця Лоренца, яка дає єдиний інваріант – інтервал між подіями. Перехід між площинами Евкліда та Мінковського може бути виконаний за допомогою функцій Якобі, які дозволяють побудувати двухпараметричну групу
перетворювань та вказати нові перетворювання дійсних векторів, при яких незмінним залишається інтервал між подіями.
SUMMARY
A new model of searching linear transformations of system of coordinates is given in this article. The use of
Clifford’s algebra and exterior products of basic elements allows not only to build transformations in Euclid’s and Minkovsky’s planes in the natural way, but to generate algebra for space of higher dimension. Exterior matrices determine metrication and the own movements of the elements in the space formed by basic elements. The use of Yacoby’s functions permits to
form the transmission from Euclid’s group of transformations to Lowrents’ group and to demonstrate the set of new linear
transformations of system of coordinates.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Лорентц Г.А. Теория электронов и ее применение к явлениям света и теплового излучения. – М.: Гос. изд-во
технико-теоретической лит-ры, 1956. – 472 с.
2. Эйнштейн А. Собрание научных трудов, Т.1. Работы по теории относительности 1905-1920. – М.: Наука, 1965. –
700 с.
3. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. – М.: Наука, 1974. – 544 с.
4. Владимиров Ю.С. Системы отсчета в теории гравитации. – М.: Энергоиздат, 1982. – 256 с.
5. Казанова Г. Векторная алгебра. – М.: Мир, 1979. – 119с.
6. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. – М.: Наука, 1973. – 144 с.
7. Справочник по специальным функциям. / Под ред. М.Абрамовица и И.Стигана. – М.: Наука, 1979. – 830 с.
8. Маркушевич А.И. Замечательные синусы. – М.: Наука, 1974. – 96 с.
9. Маркушевич А.И. Введение в классическую теорию абелевых функций. – М.: Наука, 1979. – 239 с.
10. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. – Т.III. – М.: Наука, 1967. – 760 с.
1.
Надійшла до редакції 14.10.2004 р.
174
Терехов С.В.