Vychislitel&#39

Приближенные вычислительные методы.
Тема.: Метод половинного деления
Цели:
Образовательная:
 дать представление о приближенных методах вычисления с помощью компьютера,
 закрепить умения и навыки по работе с операторами цикла с предусловием и
постусловием.
Развивающая:
 развитие абстрактного и логического мышления.
Воспитательная:
 формирование нравственного отношения учащихся к программным средствам
вычислительной техники,
 ответственное отношение к труду, аккуратность.
Метод. Объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый.
Межпредметная связь. Математика. Решение нелинейных уравнений.
Ход урока
1. Оргмомент. 2 мин.
Цель. Подготовка учащихся к восприятию нового материала.
2. Актуализация опорных знаний. 5 мин.
Цель. Актуализировать знания учащихся по теме “Решение нелинейных уравнений”.
Вопросы для фронтального опроса.
 Какие уравнения вы знаете?
Ответ: Алгебраические(тригонометрические, показательные)
 Какие способы решения вы используете?
Ответ: По формулам, замена переменных.
3. Объяснение нового материала. 15 мин.
Для решения разных типов уравнений применяются разные методы. Все они дают точные
решения и все относятся к аналитическим методам. Например линейные, квадратные,
биквадратные уравнения. Уравнения 3-ей степени тоже можно решить аналитическим способом,
если оно раскладывается на множители. А что делать с уравнением 5-ой степени, если его нельзя
разложить на множители? Когда в задаче возникают такие проблемы, их решают численными
методами. Численные методы позволяют получить не точное, а приближенное решение
уравнения, но с заданной точностью.
Решение нелинейных уравнений с одной переменной представляют одну из важных задач
прикладного анализа. Необходимость, в которой возникает в многочисленных и разнообразных
разделах физики, механики, техники и др. областях.
Общий вид нелинейного уравнения: F(X)=0, где функция F(X) определена и непрерывна на
конечном или бесконечном интервале[a,b]. Нелинейные уравнения подразделяются на
алгебраические и трансцендентные. Уравнение вида F(x)=0 является алгебраическим, если
функция – алгебраическая. Путем алгебраических преобразований из всякого алгебраического
уравнения можно получить уравнение в канонической форме: Pn(x)=a0xn+a1xn-1+…+an=0, где
a0,a1,…,an–коэффициенты уравнения, х- неизвестное, n- степень алгебраического уравнения. Если
функция F(x) не является алгебраической, то уравнение называют трансцендентным.
Например: x-10sinx=0; 2x-2cosx=0;lg(x+5)=cosx. В некоторых случаях решение трансцендентных
уравнений можно свести к решению алгебраических уравнений. Поскольку большинство
нелинейных уравнений с одной переменной не решаются аналитическим методом на практике их
решают численными методами. Решить такое уравнение – это значит установить, имеет ли оно
корни, сколько корней и найти их значение с заданной точностью.
Задача численного нахождения действительных и комплексных корней состоит из двух
этапов:
1. Отделение корней;
2. Уточнение корней.
Наиболее распространенными численными методами решения трансцендентных
уравнений являются следующие методы:
 Метод половинного деления;
 Метод хорд;
 Метод касательных(Ньютона);
 Метод простой итерации.
Отделение корней.
Установление промежутков, содержащих только один корень.Отделение корней можно
выполнить двумя способами:
1. графический;
2. численный.
Графический метод.
А.
 построить график функции f;
 абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс и есть корни уравнения.
В.
 Уравнение f(x)=0 преобразовывают к виду :f1=f2;
 Абсциссы точек пересечения графиков будут корнями уравнения.
Отделить графически корни уравнения:x3-3x-0,4=0;
x3=3x+0,4.
Построение графика осуществить с помощью Excel
Выделяем промежутки: с1[-2;1], c2[-1;0], c3[1;2],
Численный метод
1. Если непрерывная на отрезке[a,b] функция f(x) принимает на его концах значения
разных знаков(f(a)*f(b)<0), то уравнение имеет на этом отрезке по меньшей мере
один корень;
2. Если функция f(x) к тому же строго монотонна, то корень на отрезке [a,b] единственный.
Для отделения корней можно эффективно использовать ПК.
Пусть имеется уравнениеf(x)=0. Причем все интересующие корни находятся на
отрезке [a,b], в котором f(x) – определена, непрерывна и f(a)*f(b)<0. Требуется
отделить все корни, т.е. указать все отрезки, содержащие по одному корню.
h- достаточно малый шаг.
f(x1)*f(x2)<0 – то на отрезке [x1,x2] – существуют корни.
h –достаточно - малое значение.
Блок - схема
Отделение
корней
Ввод
a,b,h
X1=a
X2=X1+h
Y1=f(x1)
д
X2<
b
не
Y2=f(x2)
д
Выво
д
Y1*Y2
<0
не
X1=X2
X2=X1+h; Y1=Y2
Конец
Уточнение корней методом половинного деления
1. Выделить все отрезки, на котором есть корень. На концах данного отрезка
значения разных знаков
1. делим отрезок пополам
𝑏+𝑎
с=
2
2. Выбираем тот отрезок, на концах которого функция принимает значения разных
знаков
Если f(a)*f(c)<0, то b:=c
Если f(b)*f(c)<0, то a:=c
3. Длину отрезка [a,b] сравниваем с заданной точностью e, т.е. |b-a|>2*e
И так продолжаем до тех пор, пока |b-a|<2*e
Начало
Ввод a,b,e
X1=(a+b)/2
f(x1)= …
нет
f(x1)=0
да
f(a)=…
нет
f(a)*f(x1)
<0
a=x1
да
Вод x1
b= x1
Конец
нет
|b-a|<e
да
4. Решить следующее уравнение, используя при отделении корней графический метод
6x+3x2-x3=0
5. Самостоятельная работа : отделить корни(использовать ЭТ - Excel)
1 вариант
x2-cosπx=0; x3+3x-6=0;
2 вариант
x -cosπx=0;
x3-x-2=0;
6.
Подведение итогов
7. Д/з Составить программы отделения и уточнения корней численным методом.