теор числ_методы в крипт
реклама
Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" Московский институт электроники и математики Факультет прикладной математики и кибернетики. Программа дисциплины Теоретико-числовые методы в криптографии для специальности 090102 Компьютерная безопасность Автор программы: Нестеренко Алексей Юрьевич, к.ф-м.н, e-mail: anesterenko@hse.ru Одобрена на заседании кафедры Компьютерная безопасность 26 июня 2012 г. протокол № 5 Заведующий кафедрой А.Б. Лось ____________________ Утверждена УС МИЭМ НИУ ВШЭ Ученый секретарь В.П.Симонов «___»_____________20 г. ________________________ Москва, 2012 Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы 2 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ. 1.1. Целью преподавания дисциплины является ознакомление студентов с основными теоретико-числовыми методами, применяемыми в криптографии и способами решения на их основе задач защиты информации. 1.2. В результате изучения курса студенты должны уметь использовать знания и навыки, приобретенные при изучении дисциплины, для исследования специальных свойств криптографических алгоритмов и криптографических протоколов. 2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ. Студенты должны освоить теоретический материал и уметь самостоятельно решать конкретные задачи. 3. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ. Вид учебной работы Аудиторные занятия Лекции (Л) Практические занятия (ПЗ) Курсовой проект (работа) Самостоятельная работа Вид итогового контроля (зачет, экзамен) Семестры 10 Всего часов 90 34 34 34 34 56 зачет 56 зачет 4. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ. 4.1. Разделы дисциплины и виды занятий. №п/п Раздел дисциплины 1 Оценка сложности арифметических операций, сложность основных целочисленных алгоритмов в кольце целых чисел, кольцах вычетов и конечных полях Элементы теории чисел, непрерывные дроби и их свойства, квадратичные вычеты, асимптотический закон распределения простых чисел Арифметические алгоритмы, проверка простоты чисел, построение больших простых чисел, алгоритмы факторизации целых чисел Криптографическая система RSA, потокол ДиффиХеллмана выбор параметров и взаимосвязь между ними 2 3 4 Аудиторные занятия Лекции ПЗ ЛР (или С) 8 12 10 4 3 4.2. Содержание разделов дисциплины Наименование тем, их содержание. Тема 1. Понятие функции сложности и ее свойства, сложность арифметических операций с целыми числами. Тема 2. Сложность алгоритма Евклида, сложность операций в кольце вычетов Тема 3. Использование модульной арифметики, вычисления с многочленами Тема 4 Дискретное преобразование Фурье Тема 5. Непрерывные дроби и их свойства Тема 6. Квадратичные вычеты, квадратичный закон взаимности Гаусса Тема 7. Асимптотический закон распределения простых чисел, теорема Чебышева Тема 8. Контрольная работа. Тема 9. Проверка простоты чисел, Решето Эратосфена, критерий Вильсона, тест на основе малой теоремы Ферма, тест Рабина - Миллера Тема 10. Построение больших простых чисел, критерий Люка, теорема Поклингтона, метод Маурера, (n+1) - методы, числа Мерсена Тема 11. Алгоритмы факторизации целых чисел, метод Полларда, алгоритм ПоллардаШтрассена, факторизация Ферма. Тема 12. Алгоритм Диксона, метод квадратичного решета, (p-1) – метод факторизации Полларда. Тема 13. Криптографическая система RSA, потокол Диффи-Хеллмана, выбор параметров и взаимосвязь между ними Тема 14. Условие на выбор чисел p и q , выбор параметров e и d. Тема 15. Контрольная работа. 4.3. Понедельный план проведения занятий лекционных и практических. № недели Вид занятий Тема занятий Часы 1-5 Лекция Понятие функции сложности и ее свойства, сложность арифметических операций с целыми числами. Сложность алгоритма Евклида, сложность операций в кольце вычетов Использование модульной арифметики, 2 2 4 Вид контро ля 4 6-9 10-14 15-17 Лекция Лекция Лекция вычисления с многочленами Дискретное преобразование Фурье Непрерывные дроби и их свойства Квадратичные вычеты, квадратичный закон взаимности Гаусса Асимптотический закон распределения простых чисел, теорема Чебышева Проверка простоты чисел, Решето Эратосфена, критерий Вильсона, тест на основе малой теоремы Ферма, тест Рабина - Миллера Построение больших простых чисел, критерий Люка, теорема Поклингтона, метод Маурера, (n+1) - методы, числа Мерсена Алгоритмы факторизации целых чисел, метод Полларда, алгоритм ПоллардаШтрассена, факторизация Ферма. Алгоритм Диксона, метод квадратичного решета, (p-1) – метод факторизации Полларда Криптографическая система RSA, выбор параметров и взаимосвязь между ними Условие на выбор чисел p и q , выбор параметров e и d. 2 2 2 Контро льная работа 4 4 2 2 2 4 Контро льная работа 2 5. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ Не предусмотрен. 6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ. Основная литература 1. Нестеренко А.Ю. Теоретико- числовые методы в криптографии, РИО МИЭМ, 2012, 222с. 2. Глухов М. М., Круглов И. А., Пичкур А. Б., Черемушкин А. В. Введение в теоретикочисловые методы криптографии. – СПб:» Лань», 2010 3. Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. – М.: ТВП, 2001. – 262 с. 4. Виноградов И.М. Основы теории чисел. – СПб.: «Лань», 2004. – 176 с. 5. Черемушкин А. В. Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии. – М.: МЦНМО, 2002. – 104 с. 6.2. Дополнительная литература 1. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Структуры данных и алгоритмы. – Москва – Санкт-Петербург – Киев: Издательский дом «Вильямс», 2001. – 384 с. 2. Василенко О. Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии. – М.: МЦНМО, 2007. 3. Ростовцев А. Г. Алгебраические основы криптографии. – СПб.: НПО «Мир и семья», ООО «Интерлайн», 2000. – 354 с. 6. Нестеренко Ю.В. Теория чисел: учебник для студентов высших учебных заведений. – М.: Издат. центр «Академия», 2008. – 272 с. 7. Гашков С.Б., Чубариков В.Н. Арифметика, алгоритмы, сложность вычислений. Учеб- 5 ное пособие. — М.: Высшая школа, 2000. 8. Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика. С упражнениями и решениями. — М.: Мир, 1999. 9. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. — М.: Мир, 1994 10. Саломаа А. Криптография с открытым ключом. — М.: Мир, 1996. 11. М.И. Рожков. Криптографические методы защиты информации на основе криптосистем с “открытым ключом”. Учебное пособие, МИЭМ, 1999. 7. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ. Компьютерный класс для выполнения домашних заданий с использованием универсальных математических пакетов прикладных программ из расчета одно рабочее место на двух студентов. 8. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ. Лекция является одним из важнейших видов учебных занятий. Ее основное назначение – дать систематизированные основы научных знаний по дисциплине, раскрыть содержание, закономерности и тенденции развития изучаемого предмета, рекомендовать методику применения теоретических знаний на практике, сконцентрировать внимание обучаемых на наиболее сложных и узловых вопросах, стимулировать их активную познавательную деятельность, формировать творческое мышление и потребность в самообразовании. В случае слабой проработки студентами материалов предыдущих лекций, следует обращать особое внимание на напоминание пройденного материала и необходимость самостоятельной подготовки к лекциям. При чтении лекции следует обращать особое внимание на межпредметные связи и акцентировать внимание на соответствующих вопросах, затрагиваемых в других дисциплинах. Для этого лектор по данной дисциплине должен поддерживать тесный рабочий контакт с теми преподавателями, сведения из дисциплин которых он использует. Для укрепления межпредметных связей различных дисциплин соответствующие вопросы включаются в повестку дня заседаний методических секций по циклам дисциплин, а наиболее важные вопросы выносятся на заседания учебно-методического семинара кафедры по инициативе преподавателей. В качестве средств для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации студентов рекомендуются: Индивидуальные долгосрочные задания. Студенту предлагается самостоятельно решить некоторые задачи, которые не задавались в виде домашнего задания. По итогам выполнения индивидуального долгосрочного задания преподаватель выставляет студенту дополнительную оценку. Проведение на практических занятиях письменных 10 минутных контрольных опросов для всех студентов. Текущий контроль усвоения знаний осуществляется путем выполнения контрольных работ, проверки выполнения домашнего задания. Учебным планом на изучение дисциплины отводятся один семестр. В конце семестра в качестве итогового контроля предусмотрен зачет. Перечень тем домашних заданий: − Свойства функций оценки сложности. Сложность арифметических операций в кольце целых чисел − Вычисления в кольце целых чисел и в кольце матриц − Вычисления в кольцах вычетов, китайская теорема об остатках − Применения алгоритма быстрого преобразование Фурье. Вычисление в конечных полях 6 − Исследование разрешимости и решение квадратичных сравнений − Непрерывные (цепные) дроби − Приближение действительных чисел цепными дробями − Распределение простых чисел. Теорема Чебышева. − Изучение свойств мультипликативной группы кольца вычетов. − Вероятностные алгоритмы проверки чисел на простоту. Применение достаточных условий простоты к построению больших простых чисел. − Экспоненциальные алгоритмы разложения целых чисел на множители − Субэкспоненциальные алгоритмы разложения целых чисел на множители. − Алгоритмы нахождения значений многочленов, произведения многочленов. Использование быстрых преобразований Фурье для нахождения произведения многочленов − Экспоненциальные алгоритмы дискретного логарифмирования − Субэкспоненциальные алгоритмы дискретного логарифмирования − Изучение свойств группы точек эллиптической кривой. − Алгоритмы проверки простоты и факторизации целых чисел, использующие эллиптические кривые. Рабочая программа составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальности 090102 Компьютерная безопасность. Срок действия программы продлен на: 20___/20___ уч.год_______________________________________. (подпись зав. кафедрой) 20___/20___ уч.год_______________________________________. (подпись зав. кафедрой) 20___/20___ уч.год_______________________________________. (подпись зав. кафедрой) 20___/20___ уч.год_______________________________________. (подпись зав. кафедрой)
