Вычислительная математика - Основные образовательные

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ГАВРИЛОВА Н.М.
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
Рабочая программа для студентов заочной формы обучения, специальности
080801.65– Прикладная информатика в экономике
Тюмень 2011
2
Н.М. Гаврилова. Вычислительная математика. Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов заочной формы обучения, специальности
«Прикладная информатика в экономике» Института математики, компьютерных
наук. Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2011,
8 стр.
Учебно-методический
комплекс
обеспечивает
освоение
дисциплины
«Вычислительная математика», входящей в блок «Общих математических и
естественно-научных дисциплин. Дисциплины по выбору» и ориентированной на
подготовку специалистов по специальности 080801.65 «Прикладная информатика
в экономике».
Учебно-методический комплекс дисциплины опубликован на сайте ТюмГУ:
Вычислительная
математика
[электронный
ресурс]
/
Режим
доступа:
http://www.umk.utmn.ru., свободный.
Рекомендован к изданию кафедрой программного обеспечения
Института математики, естественных наук и информационных технологий.
Утвержден проректором по учебной работе Тюменского государственного
университета.
Ответственный
редактор:
И.Г.
Захарова,
зав.
кафедрой
программного
обеспечения, д.п.н., проф.
© ФГБОУ ВПО Тюменский государственный университет, 2011
3
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины
Целью преподавания дисциплины «Вычислительная математика» является
изучение основных понятий вычислительной математики, теоретических основ
численных
методов,
получение
навыков
решения
основных
задач
вычислительной
математики
с
использованием
современных
языков
программирования.
В результате изучения курса студент должен иметь представления о погрешности
вычислений, о численных методах решения основных задач алгебры,
математического анализа, дифференциальных уравнений и уравнений в частных
производных.
Знания, умения и практические навыки, полученные в результате изучения
дисциплины «Вычислительная математика», используются обучающимися при
разработке курсовых и дипломных работ.
Задачи дисциплины:
 обучить студентов основным методам решения задач вычислительной
математики;
 привить студентам устойчивые навыки математического моделирования с
использованием ЭВМ;
 дать опыт проведения вычислительных экспериментов.
1.2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
В результате изучения дисциплины студенты должны
иметь представление: об основных понятиях, определениях и
методах решения задач вычислительной математики;
численных
знать:
теорию основных разделов вычислительной математики: численные
методы решения систем линейных алгебраических уравнений, методы решения
нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений, приближение функций и
их производных, численное дифференцирование и интегрирование функций,
методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений,
метод сеток для дифференциальных уравнений в частных производных.
уметь:
 использовать основные понятия и методы вычислительной математики;
 практически решать типичные задачи вычислительной математики,
требующие выполнения небольшого объема вычислений;
 решать достаточно сложные в вычислительном отношении задачи,
требующих программирования их и численной реализации на ЭВМ.
иметь навыки в постановке и реализации задач вычислительной математики.
4
2. Объем дисциплины и виды учебной работы
Вид занятий
Семестр
7
140
Всего часов
Общая
140
трудоемкость
Аудиторные
16
занятия
Лекции
8
Практические
8
занятия
Самостоятельная 124
работа
Вид итогового контроля
16
8
8
124
экзамен
3. Тематический план изучения дисциплины
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
Наименование темы
Задачи линейной алгебры.
Методы решение
нелинейных уравнений и
систем нелинейных
уравнений.
Приближение функций и их
производных.
Численное
дифференцирование.
Численное интегрирование.
Численные методы решения
задачи Коши для
обыкновенных
дифференциальных
уравнений.
Численные методы решения
краевых задач для
обыкновенных
дифференциальных
уравнений.
Разностные схемы для
уравнений в частных
производных.
Всего часов:
Лекции
1
1
Практические Самост. Формы
занятия
работа контроля
1
14
1
14
1
1
1
1
1
1
1
1
16
12
14
18
1
1
18
1
1
18
8
8
124
4. Содержание разделов дисциплины
1.
Задачи линейной алгебры. Методы последовательного исключения
неизвестных (метод Гаусса - схема единственного деления). Метод оптимального
исключения. Понятие числа обусловленности матриц. Применения метода Гаусса
для расчета определителя и обратной матрицы. Метод пpостой итеpации.
Достаточные условия сходимости процесса итераций. Оценка погрешности
приближений процесса итераций. Метод Зейделя.
5
2.
Методы решение нелинейных уравнений и систем нелинейных
уравнений. Метод бисекций. Метод хорд (метод секущих). Метод Ньютона
(касательных). Квадратичная сходимость метода Ньютона. Метод итераций.
Сходимость и оценка погрешности метода итераций. Методы итераций и
Ньютона для системы двух уравнений. Достаточное условие сходимости процесса
итераций
3.
Приближение функций и их производных. Интерполяция и
аппроксимация функций. Постановка задачи интерполирования функций.
Интерполяционная
формула
Лагранжа.
Оценка
остаточного
члена
интерполяционного многочлена Лагранжа. Конечные разности различных
порядков. Таблица разностей. Первая интерполяционная схема Ньютона.
Интерполирование на основе кубического сплайна. Построение полинома
наилучшего приближения к функции. Метод наименьших квадратов.
4.
Численное
дифференцирование.
Метод
неопределенных
коэффициентов. Дифференцирование на основе интерполяционного многочлена
5.
Численное интегрирование. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
Оценка погрешности квадратуры.
6.
Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений. Разностная схема задачи. Порядок
аппроксимации разностной схемы. Метод Эйлера. Модификации метода Эйлера.
Метод Рунге-Кутта.
7.
Численные методы решения краевых задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений. Разностная схема линейной краевой задачи.
Метод прогонки.
8.
Разностные схемы для уравнений в частных производных. Понятие
аппроксимации, сходимости разностной схемы, определение устойчивости
разностной схемы. Разностные схемы для уравнения теплопроводности. Явная
схема. Неявная схема. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа.
Разностные схемы для решения уравнений гиперболического типа.. Явные
методы Эйлеpа. Разности против потока. Схема Лакса.
5. Практические занятия
1.
Задачи линейной алгебры. Решение системы линейных уравнений
методом Гаусса (схема единственного деления). Расчет определителя матрицы и
обратной матрицы при помощи метода Гаусса. Решение системы линейных
уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента. Оценка числа
обусловленности матриц. Решение системы линейных уравнений методом
простых итераций, методом Зейделя
2.
Методы решение нелинейных уравнений и систем нелинейных
уравнений. Приближенное решение нелинейных уравнений методом деления
отрезка пополам. Приближенное решение нелинейных уравнений методом
простых итераций, методом Ньютона. Приближенное решение систем
нелинейных уравнений методом простых итераций.
3.
Приближение функций и их производных. Интерполяция функций с
помощью многочлена Лагранжа. Интерполяция функций с помощью многочлена
Ньютона. Интерполяция функций с помощью кубического сплайна. Аппроксимация
функций методом наименьших квадратов.
4.
Численное дифференцирование. Численное дифференцирование на
основе интерполяционного многочлена Ньютона.
5.
Численное интегрирование. Приближенное вычисление интеграла по
квадратурным формулам Ньютона-Котеса (формулы прямоугольников, формула
трапеций, формула Симпсона).
6
6.
Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений. Приближенное решение задачи Коши методом
Эйлера. Приближенное решение задачи Коши методом Рунге-Кутта четвертого
порядка.
7.
Численные методы решения краевых задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений. Решение краевой задачи для линейного
дифференциального уравнения второго порядка методом прогонки.
8.
Разностные схемы для уравнений в частных производных.
Разностные схемы для уравнений параболического типа. Решение смешанной
задачи для уравнения параболического типа методом сеток.
Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Решение задачи Дирихле
для уравнения Лапласа методом сеток.
Разностные схемы для решения уравнений гиперболического типа. Решение
смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток.
6. Задания для самостоятельной работы
1.
Задачи линейной алгебры.
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса при помощи разложения
на треугольные матрицы (матричный метод).
2.
Методы решение нелинейных уравнений и систем нелинейных
уравнений.
Приближенное решение нелинейных уравнений методом хорд.
Приближенное решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона.
3.
Приближение функций и их производных.
Построение многочлена наилучшего приближения на системе ортогональных
функций (многочлены Чебышева).
4.
Численное дифференцирование.
Численное дифференцирование на основе интерполяционного многочлена
Лагранжа.
5.
Численное интегрирование
Приближенное вычисление интеграла по квадратурным формулам НьютонаКотеса (формулы левых и правых прямоугольников, формулы повышенного
порядка точности).
6.
Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Приближенное решение задачи Коши методом Эйлера на полуцелой сетке,
методом Эйлера-Коши. Приближенное решение задачи Коши методом РунгеКутта третьего порядка.
7.
Численные методы решения краевых задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго
порядка методом стрельбы.
8. Разностные схемы для уравнений в частных производных.
Исследование порядка аппроксимации разностных схем.
Разностные схемы для уравнений параболического типа. Явная схема. Неявная
схема. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Разностные схемы
для решения уравнений гиперболического типа.. Явные методы Эйлеpа. Разности
против потока. Схема Лакса.
7
7. Вопросы к экзаменам
1. Методы последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса, метод
оптимального исключения).
2. Применения метода Гаусса для расчета определителей и обратных матриц.
3. Матричный метод Гаусса.
4. Погрешность приближенного решения систем уравнений и обусловленность
матриц.
5. Метод простой итерации.
6. Достаточные условия сходимости процесса итераций.
7. Оценка погрешности приближений процесса итераций.
8. Метод Зейделя. Достаточное условие сходимости метода Зейделя.
9. Метод бисекций, метод хорд, метод касательных, метод итераций для решения
нелинейных уравнений. Понятие о сжимающем отображении. Достаточное
условие сходимости процесса итераций.
10. Метод Ньютона для систем нелинейных уравнений.
11. Метод Итераций для систем нелинейных уравнений.
12. Многочлен Лагранжа. Оценка остаточного члена многочлена Лагранжа
13. Конечные разности различных порядков. Таблица разностей. Первая
интерполяционная схема Ньютона
14. Интерполирование на основе кубического сплайна.
15. Квадратичное аппроксимирование функций. Метод наименьших квадратов.
16. Дифференцирование на основе многочленов Лагранжа и Ньютона.
17. Простейшие квадратурные формулы.
18. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
19. Оценка погрешности квадратуры.
20. Составные формулы численного интегрирования .
21. Метод разложения в ряд Тейлора решения задачи Коши для ОДУ.
22. Метод Эйлера и его модификации.
23. Методы Рунге- Кутта.
24. Численное решение линейного уравнения 2-го порядка (метод прогонки)
25. Понятие конечно - разностной сетки. Аппроксимация производных на конечноразностной сетке.
26. Понятие сходимости разностной схемы, проверка сходимости разностной
схемы.
27. Определение аппроксимации разностной схемы.
28. Определение устойчивости разностной схемы.
29. Сходимость как следствие аппроксимации и устойчивости (теорема Лакса).
30. Разностные схемы для уравнений гиперболического типа. Явные методы
Эйлеpа. Разности против потока. Схема Лакса.
31. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Пятиточечная схема.
Девятиточечная схема.
32. Разностные схемы для уравнений параболического типа. Разностные схемы
для уравнения теплопроводности. Явная схема. Неявная схема.
8. Литература
Основная литература:
1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - Спб.: Лань,
2009 - 672 с.
8
2. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. - Спб.:
Лань, 2008 - 400с.
3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М.. Численные методы. М.,
Физматлит, 2003-364 с.
4. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные
уравнения): Учебное пособие для вузов. М.: Высшая Школа, 2000 - 153 с.
5. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные
дифференциальные уравнения): Учебное пособие для вузов. М.: Высшая Школа,
2001 - 381 с.
6. Пирумов У.Г. Численные методы. Учебное пособие для вузов. М.: Дрофа, 2003 221 с.
Дополнительная литература:
1. Андеpсен Д., Таннехил Дж., Плетчеp Р. Вычислительная гидpомеханика и
теплообмен. Т1. М.; Миp. 1990 - 384c.
2. Фоpсайт Дж., Малькольм М., Моулеp К. Машинные методы вычислений. М.:
Миp. 1980 - 279с.
3. Турчак Л.И. Основы численных методов. М.: Наука, 1987 - 256с.
4. Гаврилова Н.М. Вычислительная математика, часть 1. Тюмень: изд.ТюмГУ,
2008 – 161 с.
9