зав. кафедрой программного обеспечения

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра программного обеспечения
ЗАХАРОВ С.Д.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов направления
02.04.03 «Математическое обеспечение и администрирование
информационных систем».
Магистерская программа «Высокопроизводительные вычислительные системы»
(очная форма обучения)
Тюменский государственный университет
2014
2
ЗахаровС.Д.
методический
Дополнительные
комплекс.
Рабочая
главы
дискретной
программа
для
математики.
студентов
Учебно-
направления
02.04.03«Математическое обеспечение и администрирование информационных систем»,
магистерская программа «Высокопроизводительные вычислительные системы», очная
форма обучения. Тюмень,2014, 19 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с
учетом рекомендаций и ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки. Рабочая
программа дисциплины(модуля) опубликована на сайте ТюмГУ «Дополнительные главы
дискретной
математики»
http://www.umk3plus.utmn.ru
программного
обеспечения.
[электронный
свободный.
ресурс]
Рекомендовано
Утверждено
директором
к
/Режим
доступа:
изданию
кафедрой
Института
математики
компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР:
Захарова И.Г., д.п.н., профессор,
зав. кафедрой программного обеспечения
©Тюменский государственный университет, 2014.
©Захаров С.Д., 2014.
3
и
1.
Пояснительная записка
1.1.
Цели и задачи дисциплины (модуля)
Дисциплина
«Дополнительные
главы
дискретной
математики»
обеспечивает
приобретение знаний и умений в соответствии с государственным образовательным
стандартом, содействует фундаментализации образования, формированию мировоззрения
и развитию логического мышления.
Цели дисциплины:
формирование математической культуры студента;
фундаментальная подготовка по основным разделам дискретной математики;
овладение
современными
методами
перечислительной комбинаторики
для
решения задач проектирования и моделирования систем.
1.2.Место дисциплины в структуре образовательной программы
Дисциплина «Дополнительные главы дискретной математики» входит в базовую
часть учебного плана дисциплин по направлению «Математическое обеспечение и
администрирование информационных систем». Для её успешного изучения необходимы
знания и умения, приобретенные в результате освоения вузовских курсов математики,
таких,
как
дискретная математика,
математический
анализ,
алгебра,
геометрия,
дифференциальные уравнения и другие.
Дискретная математика
относится
к
числу
основных
разделов
современной
прикладной математики. Знание построения, проведения, интерпретации результатов
дискретной математики является важной составляющей общей математической культуры
выпускника. Эти знания необходимы как при проведении теоретических исследований
в различных областях математики, так и при решении практических задач из
разнообразных
прикладных
областей,
таких,
как
информатика,
программирование,
математическая экономика, математическая лингвистика, обработка и передача данных,
распознавание образов, криптография и др.
Таблица1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи
с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
п/п
Наименование
Темы дисциплины необходимые для изучения
обеспечиваемых
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
(последующих) дисциплин
1.
1.1
1.2
Управление проектами
2.1
2.2
3.1
+
4
3.2
2.
Системы имитационного
+
моделирования
3.
Задачи оптимального
+
управления
4.
Дополнительные главы
математической логики
5.
+
+
+
+
+
+
+
+
Архитектура
многопроцессорных
вычислительных систем
6.
Курсовые и магистерские
+
работы
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
В
результате
математики»
базовой
изучения
части
по
дисциплины
«Дополнительные
направлению
подготовки
главы
дискретной
02.04.03«Математическое
обеспечение и администрирование вычислительных систем», с квалификацией(степенью)
«магистр» в соответствии с целями основной образовательной программы и задачами
профессиональной деятельности, указанными в ФГОС ВО, выпускник должен обладать
следующими компетенциями:
Общепрофессиональные компетенции

проблем
Владение
современной
теоретическими
информатики,
основами
ее
информатики
категории
связи
с
как
науки;
другими
знание
научными
дисциплинами, понимание основных этапов и тенденции развития программирования,
математического обеспечения и информационных технологий (ОПК-4);

владение навыками разработки моделирующих алгоритмов и реализации их на
базе языков и пакетов прикладных программ моделирования (ОПК-9);
1.4.Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине:
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
основы перечислительной комбинаторики, теории производящих функций,
методы теории графов.
Уметь: профессионально использовать методы данной теории при конструировании и
оценке сложности алгоритмов.
5
Владеть:способамипрактического
использования
математического
аппарата
комбинаторики при решении конкретных задач.
2.Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 1. Форма промежуточной аттестации(зачет): 1семестр – экзамен, Общая
трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единиц, 108 академических часов, из
них 76,05 часов, выделенных на контактную работу с преподавателем, 31,95 часов,
выделенных на самостоятельную работу.
Таблица2.
Вид учебной работы
Семестр
1
Контактная работа:
76,05
Аудиторные занятия(всего)
72
В том числе:
-
Лекции
36
Практические занятия(ПЗ)
36
Семинары(С)
Лабораторные занятия(ЛЗ)
Иные виды работ:
4,05
Самостоятельная работа(всего):
31,95
Общая трудоемкость, зач.ед.
3
час
108
Вид промежуточной аттестации (зачет,экзамен)
экзамен
3.Тематический план
Тема
семестра
№
Недели
Таблица3.
Виды учебной
Итог
Из них в
работы и
о
интерактивно
самостоятельная
часов
й форме, в
работа, в час.
по
часах
6
Итого
количеств
о баллов
3
5
6
6
работа*
4
(практические)заняти
Лабораторные
я*
занятия*
Самостоятельная
Семинарские
2
Лекции*
1
теме
7
8
9
10
6
6
18
3
0-15
6
6
6
18
3
0-15
12
12
12
36
6
0-30
6
6
6
18
3
0-15
6
6
6
18
3
0-15
12
12
12
36
6
0-30
6
6
6
18
3
0-20
6
6
6
18
3
0-20
12
12
12
36
6
0-40
36
36
36
108
16
0-100
9
9
Модуль1
1.1.
Комбинаторик
а
1.2. Теория графов
1-2
3-4
Всего*
Модуль 2
Алгоритмы и
2.1. их сложность
5-7
8-
2.2. Потоки в сетях
10
Всего*
Модуль 3
113.1. Матроиды
14
15-
3.2. Кодирование
Всего*
18
Итого (часов,
баллов за
семестр)*:
Из них в
интеракт.
форме
*-с учётом иных видов работ.
7
18
4.Содержаниедисциплины.
Модуль1.
Тема1.1.Комбинаторика.
Подсчет числа отображений конечных множеств в конечные множества с различными
элементами. Разбиения конечных множеств и числа Стирлинга второго рода. Разбиения
чисел на слагаемые. Диаграммы Ферре. Возвратные последовательности. Числа Каталана.
Производящие функции. Вероятностные задачи с конечным пространством элементарных
событий. Случайные величины.
Схема Бернулли. Формула включений - исключений.
Цикловые классы. Перестановки с заданными характеристиками. Лемма Бернсайда. Теорема
Пойа.
Тема1.2.Теория графов.
Основные понятия.
Способы задания графов. Деревья, характеризации деревьев.
Кодирование деревьев. Эйлеровы обходы.Двудольные графы. Принцип Дирихле. Раскраски
графов. Векторные пространства, связанные с графами.
Модуль2.
Тема2.1.Алгоритмы и их сложность.
Понятие
сложности
алгоритмов.Поиск
по
графу.Быстрая
сортировка.Идея
динамического программирования на примере распределительной задачи и обратной к
ней.Задача о кратчайшем пути. Метод ветвей и границ на примере задачи коммивояжера.
Тема2.2.Потоки в сетях.
Сети
и
потоки
в
них.Теорема
о
максимальном
потоке
и
минимальном
разрезе.Алгоритмы для нахождения максимального потока. Использование сетевых моделей
для нахождения связности графов.Теорема Менгера и теорема Уитни. Задача о наибольшем
паросочетании в двудольном графе как задача о максимальном потоке.Теоремы Кёнига и
Дилворта. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
Модуль3.
Тема 3.1.Матроиды.
Примеры матроидов.Матричные матроиды. Графические матроиды. Матроиды
разбиений. Матроид Фано.
Матроид трансверсалей. Жадный алгоритм. Теорема Радо-
Эдмондса.
Тема3.2.Кодирование.
8
Задачи и понятия теории кодирования.
Проверка однозначности кодирования.
Префиксные коды. Коды с минимальной избыточностью. Самокорректирующиеся коды..
5.Планы семинарских занятий.
Тема 1.1. Комбинаторика.
Двенадцатиричный путь. Подсчет числа отображений конечных множеств в конечные
множества. Разбиения конечных множеств и числа Стирлинга второго рода. Разбиения чисел
на
слагаемые.
Диаграммы
Ферре.
Возвратные
последовательности.
Числа
Каталана.Производящие функции. Вероятностные задачи с конечным пространством
элементарных событий. Схема Бернулли. Формула включений - исключений.Цикловые
классы. Перестановки с заданными характеристиками.Числа Гурвица.
Тема 1.2. Теория графов.
Основные понятия. Способы задания графов. Деревья, характеризации деревьев.
Кодирование деревьев. Эйлеровы обходы. Двудольные графы. Принцип Дирихле. Раскраски
графов. Векторные пространства, связанные с графами. Фундаментальные циклы,
фундаментальные разрезы.
Тема 2.1. Алгоритмы и их сложность.
Понятие сложности алгоритмов. Поиск по графу. Быстрая сортировка. Задача о
распределении ресурсов. Задача о кратчайшем пути. Метод ветвей и границ. Задача
коммивояжера.
Тема 2.2. Потоки в сетях.
Алгоритмы для нахождения максимального потока. Использование сетевых моделей
для нахождения связности графов. Задача о наибольшем паросочетании в двудольном графе.
Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
Тема 3.1. Матроиды.
Примеры матроидов. Матричные матроиды. Графические матроиды. Матроиды
разбиений. Матроид Фано. Матроид трансверсалей. Жадный алгоритм. .
Тема 3.2. Кодирование.
Задачи и понятия теории кодирования. Проверка однозначности кодирования.
Префиксные коды. Коды с минимальной избыточностью. Самокорректирующиеся коды.
Коды Хэмминга.
6.Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не планируются.
7.Примерная тематика курсовых работ.
Не планируются
9
8.Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы
студентов.
Таблица5.
№
Модули и темы
Виды СРС
Неделя
Объем
часов
обязательны
дополнительны
семестр
е
е
а
Проработка
Работа с
1-2
6
лекций,
учебной
решение
литературой,
типовых
составление
3-4
6
задач
задач
Модуль1
1.1
Комбинаторика
1.2
Теория графов
Всего по модулю 1*:
12
Модуль2
2.1
Алгоритмы и их
сложность
Проработка
Оценка
лекций,
Потоки в сетях
6
8-10
6
сложности
работа с
2.2
5-7
программ
литературой,
Всего по модулю 2*:
12
Модуль3
3.1
Матроиды
Проработка
11-14
6
15-18
6
лекций,
3.2
работа с
Написание
литературой,
программ
решение
типовых
Кодирование
задач
Всего по модулю 3*:
12
ИТОГО*:
36
*-сучётоминыхвидовработ
9.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по
итогам освоения дисциплины.
10
9.1. Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы
(выдержка из матрицы компетенций):
семестр ОПК-4-владение теоретическими основами информатики как науки;
знание проблем современной информатики, ее категории связи с
другими научными дисциплинами, понимание основных этапов и
тенденции развития программирования, математического обеспечения
информационных технологий
ОПК-9-владение навыками разработки
моделирующих алгоритмов и реализации их на базе
языков и пакетов прикладных программ
моделирования
Дисциплины учебного плана
1
Б1История и методология компьютерных наук
Б1Дополнительные главы дискретной математики
Б1 Алгоритмы и технологии разработки
Б1Методика преподавания компьютерных наук
параллельных программ
Б1Алгоритмы и технологии разработки параллельных программ
Б2 Научно-исследовательская работа
Б1Системы компьютерной математики
Б1Вычислительный эксперимент c использованием пакета MatLab
Б1Дополнительные главы дискретной математики
Б1Дополнительные главы математической логики
Б1Современные технологии программирования
2
Б1Алгоритмы и технологии разработки параллельных программ
Б2 Научно-исследовательская работа
Б1Современные технологии программирования
Б2 Курсовая работа по направлению
Б1Распределенные хранилища данных
Б1Построение информационных приложений на базе промышленных
11
СУБД
3
Б1Системы имитационного моделирования
Б1 Управление проектами
Б1Задачи оптимального управления
Б2 Научно-исследовательская работа
Б1Открытые технологии разработки программного обеспечения
Б1Разработка мобильных приложений
Б2 Преддипломная практика
4
9.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал
оценивания:
Таблица 6.
Код компетенции
Карта критериев оценивания компетенций
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
базовый(хор.)
повышенный
(удовл.)
76-90 баллов
(отл.)
61-75баллов
91-100 баллов
12
Виды занятий
Оценочные
(лекции, семинарские,
средства (тесты,
практические,
творческие
лабораторные)
работы, проекты и
др.)
ПК-4
О Знает: основные понятия
Знает: основные сведения Знает: основные термины, Лекции,
дискретной математики.
о дискретных структурах, методологию и особенности занятия.
основные методы решения дискретных
практические Практические
задания, опрос.
структур,
типовых численных задач различные методы решения
дискретной математики
прикладных
задач
дискретной математики.
Умеет: выявить задачи
Умеет:
выявить
задачи Умеет: выявить типовые, а Практические занятия
дискретной математики.
дискретной математики и также нестандартные задачи
задания,
выбрать
контрольная работа
необходимый дискретной
математики,
Практические
типовой алгоритм для ее разработать метод решения
решения.
поставленной
задачи
использованием
с
типовых
алгоритмов решения задач
дискретной математики.
Владеет:
методологией, Владеет:
основными понятиями и моделирования
навыками Владеет:
алгоритмами,
необходимыми
выявления
прикладных
для методами
задач математики.
навыками Лекции,
моделирования прикладных занятия.
задач задач методами дискретной
дискретной математики,
а
также
внедрения готовых моделей
использующих
прикладных
задач
дискретные алгоритмы.
дискретной математики при
решении профессиональных
13
задач.
практические Практические
задания, экзамен
ПК-9
О Знает: основные понятия
Знает: основные сведения Знает: основные термины, Лекции,
дискретной математики.
о дискретных структурах, методологию и особенности занятия.
основные методы решения дискретных
практические Практические
задания, опрос.
структур,
типовых численных задач различные методы решения
дискретной математики
прикладных
задач
дискретной математики.
Умеет: выявить задачи
Умеет:
выявить
задачи Умеет: выявить типовые, а Практические занятия
дискретной математики.
дискретной математики и также нестандартные задачи
задания,
выбрать
контрольная работа
необходимый дискретной
математики,
Практические
типовой алгоритм для ее разработать метод решения
решения.
поставленной
задачи
использованием
с
типовых
алгоритмов решения задач
дискретной математики.
Владеет:
методологией, Владеет:
основными понятиями и моделирования
навыками Владеет:
алгоритмами,
необходимыми
выявления
прикладных
для методами
задач математики.
навыками Лекции,
моделирования прикладных занятия.
задач задач методами дискретной
дискретной математики,
а
также
внедрения готовых моделей
использующих
прикладных
задач
дискретные алгоритмы.
дискретной математики при
решении профессиональных
14
задач.
практические Практические
задания, экзамен
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для
оценки знаний, умений, навыков и(или) опыта деятельности,
этапы
формирования
компетенций
в
процессе
освоения
характеризующей
образовательной
программы.
Контрольная работа по темам 1.1,1.2:
1.Найдите производящую функцию и линейное рекуррентное уравнение для
последовательности 𝑎𝑛 = (𝑛2 + 𝑛 + 1) ∙ 2𝑛 .
2.Найдите производящую функцию чисел Моцкина.
3. Постойте алгоритм последовательного вывода правильных скобочных структур.
4. Докажите, что если в треугольнике Дика на восходящих ребрах в k-той строке
стоят числа k, а на нисходящих k+1, то в основании стоят числа Бернулли.
𝑛
1
5. Докажите тождество Абеля 2 (𝑛 − 1)(𝑛 − 6)𝑛𝑛−3 = ∑ 𝑘,𝑚≥1 ( ) 𝑘 𝑘−2 𝑚𝑚−1 .
𝑚+𝑚=𝑛 𝑘
6. Докажите, что число разбиений числа nна части, не делящиеся на m, равно числу
тех его разбиений, в которых ни одна часть не встречается более, чем m-1 раз.
7.Пусть диагональные элементы матрицы порядка n равны нулю. Подсчитайте число
ненулевых произведений в разложении определителя этой матрицы.
8. Нарисуйте помеченное дерево по коду Прюфера 𝑥23 𝑥3 𝑥12 𝑥4 .
9. Приведите пример связного графа с единственным простым циклом, в котором
длины двух циклов в произведении всех транспозиций, отвечающих его ребрам, зависят от
выбранного порядка умножения.
10. Подсчитайте число упорядоченных пар циклов 𝜎1 , 𝜎2 длины 3 в группе 𝑆5 ,
произведение которых 𝜎1 𝜎2 имеет циклический тип 51 .
Контрольная работа по темам 2.1,2.2:
1.
Найти все минимальные s-t-разрезы в сети.
2.
Найти максимальный s-t-поток в сети.
3.
Оценить сложность работы алгоритма «Приведение матрицы к жордановой
нормальной форме».
15
Контрольная работа по теме 3.1,3.2:
1.
Изобразить все комбинаторные геометрии с не более чем 5 точками (всего 17
геометрий).
2.
Доказать, что для n=1,2,3 существует в точности 2𝑛 неизоморфных матроидов
на n точках.
3.
Доказать, что нет прямоугольника с целочисленными длинами сторон, который
может быть разделен меньше, чем на 9 квадратов.
4.
Выяснить, является ли код С с кодирующим алфавитом {0,1,2} однозначно
декодируемым:С={01,200,120,0100}
5.
Выяснить, является ли слово Р=0121001210201 в алфавите {0,1,2} кодом
сообщения в кодировании, задаваемом схемой:
1  10
2  12


 :  3  012
 4  101


5  2100
Если да, то выяснить, является ли Р кодом ровно одного сообщения
6.
Построить по методу Хэмминга кодовое слово для сообщения ~ =(11101011)
7.
По каналу связи передавалось кодовое слово, построенное по методу Хэмминга
для сообщения ~ . После передачи по каналу связи, искажающему слово не более чем в
одном разряде, Было получено слово ~ =(11011100110). Восстановить исходное сообщение.
8.
Выяснить, существует ли двоичный код с минимальной избыточностью,
обладающий заданной последовательностью L длин кодовых слов:1. L = (1, 3, 3, 4)
9.
С помощью процедуры Хаффмена построить двоичный код с минимальной
избыточностью для набора вероятностей Р:Р =(0,5; 0,2; 0,2; 0,05; 0,05)
Пример экзаменационного билета:
1.
Числа Каталана.
2.
Жадный алгоритм.
Вопросы к экзамену:
1.
Подсчет числа отображений конечных множеств в конечные множества с
различными элементами. Двенадцатиричный путь.
2.
Разбиения конечных множеств.
3.
Числа Стирлинга второго рода.
4.
Разбиения чисел на слагаемые.
16
5.
Диаграммы Ферре.
6.
Возвратные последовательности.
7.
Числа Каталана.
8.
Производящие функции.
9.
Схема Бернулли.
10.
Формула включений - исключений.
11.
Цикловые классы.
12.
Перестановки с заданными характеристиками.
13.
Лемма Бернсайда. Теорема Пойа.
14.
Деревья, характеризации деревьев.
15.
Кодирование деревьев.
16.
Эйлеровы обходы.
17.
Двудольные графы.
18.
Понятие сложности алгоритмов. Пример.
19.
Поиск по графу. Быстрая сортировка.
20.
Динамическое программирование.
21.
Метод ветвей и границ на примере задачи коммивояжера.
22.
Сети и потоки в них. Теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе.
23.
Алгоритмы для нахождения максимального потока.
24.
Использование сетевых моделей для нахождения связности графов.
25.
Теорема Менгера и теорема Уитни.
26.
Задача о наибольшем паросочетании в двудольном графе как задача о
максимальном потоке.
27.
Теоремы Кёнига и Дилворта.
28.
Примеры матроидов. Матричные матроиды. Графические матроиды. Матроиды
разбиений. Матроид Фано.
29.
Матроид трансверсалей.
30.
Жадный алгоритм.
31.
Теорема Радо-Эдмондса. .
32.
Задачи и понятия теории кодирования. Проверка однозначности кодирования.
Префиксные коды. Коды с минимальной избыточностью. Самокорректирующиеся коды.
9.4.Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и(или) опыта деятельности характеризующих этапы
формирования компетенций.
Форма промежуточной аттестации–экзамен:
17
Для сдачи экзамена студент должен явиться на экзамен. Экзамен проводится в
устно-письменной форме (на усмотрение преподавателя). Билет содержит 2 вопроса.
Для
получения
положительной
оценки
необходимо
дать
ответ
с
практической
иллюстрацией. При выставлении итоговой оценки учитывается качество выполненных в
течение семестра лабораторных работ. При необходимости экзаменатор может задавать
вопросы по существу выполненных и (или) невыполненных работ.
10.Образовательные технологии.
Для реализации компетентностного подхода используются как традиционные
формы
и
методы
обучения,
взаиморецензированиие,
так
и
представление
интерактивные
и
обсуждение
формы
(круглый
проектных
стол,
разработок),
направленные на формирование у магистрантов навыков коллективной работы, умения
анализировать алгоритмы и технологии для оптимального их использования при
разработке программных продуктов.
11.Учебно-методическое информационное обеспечение дисциплины.
11.1. Основная литература:
1. Судоплатов
С.В.,
Овчинникова
Е.В.. Дискретная математика[Электронный
ресурс]: учебник/ С.В. Судоплатов, Е.В. Овчинникова. -Электрон.текстовые дан. Новосибирск:
Изд-во
НГТУ,
2012.
(Серия
«Учебники
НГТУ»).Режим
доступа:
http://www.biblioclub.ru/book/135675/ (дата обращения: 04.11.2014)
11.2. Дополнительная литература:
1. Ландо С.К. Лекции о производящих функциях [Электронный ресурс] : курс лекций
/ С.К.Ландо. – Электрон.текстовые дан. - М. : МЦМНО, 2007. – Режим доступа:
http://www.biblioclub.ru/book/63247/ (дата обращения: 04.11.2014).
2. Звонкин А.К., Ландо С.К. Графы на поверхностях и их приложения [Электронный
ресурс] / А.К.Звонкин, С.К.Ландо. – Электрон.текстовые дан. – М. : МЦМНО, 2010. – Режим
доступа:http://www.biblioclub.ru/book/63250/ (дата обращения: 04.11.2014).
11.3.Интернет-ресурсы:
Не предусмотрены
12.Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного
программного
процесса
обеспечения
по
и
дисциплине
(модулю),
информационных
необходимости).
Не предусмотрены
18
включая
справочных
перечень
систем
(при
13.Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
При освоении дисциплины для проведения лекционных занятий нужны учебные
аудитории, оснащённые мультимедийным оборудованием, для проведения практических
занятий необходимы обычные классы.
19
Дополнения и изменения к рабочей программе на 201__/201__учебныйгод
В рабочую программу вносятся следующие изменения:
_________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_________________________________________________________________
Рабочаяпрограммапересмотренаиодобренаназаседаниикафедры__________________
____________________«__»_______________201г.
Заведующийкафедрой___________________/___________________/
ПодписьФ.И.О.
20