Теоретико-числовые методы криптографии

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
«УТВЕРЖДАЮ»
Проректор по учебной работе
_______________/ Л.М. Волосникова
«___» _______________ 2011 г.
Теоретико-числовые методы в криптографии
Учебно-методический комплекс.
Рабочая учебная программа для студентов очной формы обучения
направления 090900.62 «Информационная безопасность»,
профиль подготовки «Безопасность
распределенных систем»
«ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»:
Автор работы __________________________________________/О.В. Ниссенбаум/
« » ____________ 2011 г.
Рассмотрено на заседании кафедры информационной безопасности 20.04.2011г.,
протокол № 8.
Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению.
«РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»:
Объем __ стр.
Зав. кафедрой __________________________________________/А.А. Захаров/
« » ____________ 2011 г.
Рассмотрено на заседании УМК Института математики, естественных наук и
информационных технологий 15.05.2011., протокол № 2.
Соответствует ФГОС ВПО и учебному плану образовательной программы.
«СОГЛАСОВАНО»:
Председатель УМК _____________________________________/ И.Н. Глухих/
« » ___________ 2011 г.
«СОГЛАСОВАНО»:
Зав. методическим отделом УМУ _________________________/С.А. Федорова/
«_____» _______________ 2011 г.
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных
технологий
Кафедра информационной безопасности
НИССЕНБАУМ О.В.
ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ МЕТОДЫ В КРИПТОГРАФИИ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов очной формы обучения,
направления 090000.62 «Информационная безопасность»,
профиль подготовки: «Безопасность
распределенных систем»
Тюменский государственный университет
2011
О.В. Ниссенбаум. Теоретико-числовые методы в криптографии.
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов
очной формы обучения направления 090000.62 «Информационная
безопасность», профиль подготовки «Безопасность распределенных
систем». Тюмень, 2011, 16 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС
ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и
профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ:
Теоретико-числовые методы в криптографии [электронный ресурс] /
Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой информационной безопасности.
Утверждено проректором по учебной работе ТюмГУ
Ответственный
редактор:
А.А.
Захаров,
информационной безопасности, д.т.н., проф.
зав.
© ГОУ ВПО Тюменский государственный университет, 2011
© Ниссенбаум О.В., 2011
кафедрой
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины
Дисциплина "Теоретико-числовые методы в криптографии" является частью
профессионального цикла (вариативная часть) по направлению подготовки
090000 «Информационная безопасность» в Тюменском государственном
университете.
Целью преподавания дисциплины "Теоретико-числовые методы в
криптографии" является изложение слушателям основных понятий и методов
теории чисел с ее приложениями в современной криптографии, ознакомление с
методами оценки сложности применяемых на практике алгоритмов и построения
эффективных алгоритмов решения некоторых прикладных задач в области
информационной безопасности.
Дисциплина "Теоретико-числовые методы в криптографии" относится к
числу прикладных математических дисциплин в силу отбора изучаемого
материала и его важности для подготовки специалиста. Во всех разделах
дисциплины большое внимание уделяется построению алгоритмов для решения
практических задач.
Задачами дисциплины являются:
четкое осознание необходимости и важности математической подготовки
для специалиста по компьютерной безопасности,
 ознакомление с основами классической и современной теории чисел,
имеющими практические приложения к решению некоторых важных
криптографических задач,
 умение давать строгую с математической точки зрения оценку
применяемых алгоритмов.

Вместе с другими дисциплинами цикла профессиональных дисциплин
изучение данной дисциплины призвано формировать специалиста, и в частности,
вырабатывать у него такие качества, как:





строгость в суждениях,
творческое мышление,
организованность и работоспособность,
дисциплинированность,
самостоятельность и ответственность.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата:
Дисциплина
принадлежит
циклу
профессиональных
дисциплин
(вариативная часть).
Дисциплина "Теоретико-числовые методы в криптографии" основывается на
знаниях, полученных при изучении дисциплин
·
«Математический анализ»
·
«Алгебра»
·
«Теория вероятностей»
Знания, полученные при изучении дисциплины "Теоретико-числовые
методы в криптографии", используются при изучении дисциплин
·
Криптографические методы защиты информации,
·
Криптографические протоколы.
1.3. Требования к результатам освоения дисциплины:
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих
компетенций:
общекультурных (ОК):


способностью осознавать необходимость соблюдения Конституции
Российской Федерации, прав и обязанностей гражданина своей страны,
гражданского долга и проявления патриотизма (ОК-1);
способностью критически оценивать свои достоинства и недостатки,
определять пути и выбрать средства развития достоинств и устранения
недостатков (ОК-12);.
профессиональных (ПК):



способностью принимать участие в эксплуатации подсистем управления
информационной безопасностью предприятия (ПК-9);
способностью выполнять работы по установке, настройке и обслуживанию
технических и программно-аппаратных средств защиты информации (ПК11);
способностью к программной реализации алгоритмов решения типовых
задач обеспечения информационной безопасности (ПК-17).
В результате изучения дисциплины студент должен:
Знать:
−
−
−
−
−
−
−
−
строение мультипликативной группы колец вычетов;
способы представления действительных чисел цепными дробями;
основные свойства символов Лежандра и Якоби,
критерии простоты и их использование для факторизации натуральных
чисел;
алгоритмы проверки чисел на простоту; построения больших простых чисел;
алгоритмы разложения чисел и многочленов на множители,
методы дискретного логарифмирования в конечных циклических группах;
основные свойства групп точек эллиптических кривых.
Уметь:
−
−
−
исследовать и решать системы сравнений по произвольному модулю;
представлять действительные числа цепными дробями;
строить большие простые числа,
−
применять алгоритмы проверки чисел на простоту; построения больших
простых чисел;
−
применять алгоритмы разложения чисел и многочленов на множители,
Владеть:
−
−
навыками применения теории чисел в криптографии и других дисциплинах;
навыками применения основных вычислительных алгоритмов в кольцах
вычетов и кольцах многочленов.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Таблица 1.
Вид занятий
Общая трудоемкость
Аудиторные занятия
Лекции
Лабораторные работы
Самостоятельная работа
Вид итогового контроля
Семестр
4
108 (3 ЗЕТ)
72
36
36
36
экзамен
3. Тематический план.
Таблица 2.
5
6
Итого количество
баллов
4
Из них в
интерактивной форме
3
Итого часов по теме
2
Самостоятел
ьная работа
1
Лабораторн
ые занятия
Тема
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
Лекции
№
недели семестра
Тематический план
7
8
9
Модуль 1
1
2
3
Введение в математические
проблемы криптографии.
Основы теории чисел.
Теория сравнений. Вычеты.
Сравнения первой степени.
Системы сравнений первой
степени.
Всего
Квадратичные сравнения и
криптосистемы на их основе.
5. Вероятностные тесты на
простоту.
Всего
4
6
7
8
Порождающий элемент и
дискретный логарифм.
Криптосистемы на их основе.
Доказуемо простые числа.
Алгоритмы криптоанализа
шифров с открытым ключом.
Конечные группы и поля
многочленов.
Всего
Итого (часов, баллов) за
семестр:
Из них в интерактивной
форме
0-3
6
6
6
18
9
0-6
4-6
6
6
6
18
9
0-6
7
2
2
2
6
3
0-20
14 14
Модуль 2
14
42
21
0-32
8-9
4
4
4
12
6
0-4
10
2
2
2
6
3
0-20
6
6
Модуль 3
6
18
9
0-24
1113
1417
18
6
6
6
18
9
0-11
8
8
8
24
12
0-13
2
2
2
6
3
16
36
16
36
16
36
48
108
24
18
36
0-20
0-44
0 – 100
54
Таблица 3.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
0-2
0-1
0-2
0-1
0-3
0-4
0-1
0-3
0-4
0-1
0-5
0-5
Итого
количество
баллов
0-3
0-3
0-1
Другие
формы
контроля
Домашня
я
контроль
ная
работа
Доклад
0-3
0-3
0-1
Модуль 1
1.
2.
3.
0-5
Всего
Модуль 2
4.
5.
0-5
Всего
Модуль 3
6.
7.
8.
0-5
Всего
Итого
контроль
ная
работа
ответ на
семинаре
Письменные работы
собеседо
вание
Устный опрос
коллокви
умы
№
темы
0-6
0-6
0-20
0-32
0-8
0-4
0-20
0-24
0-8
0-8
0-11
0-13
0-20
0-44
0-100
0-5
0-5
Таблица 4.
Модуль 1
1.1 Введение в
математические проблемы
криптографии.
Основы теории
чисел.
1.2
Теория
сравнений.
Вычеты.
Виды СРС
обязательные
дополнитель
-ные
Конспектирование
материала на
лекционных занятиях.
Выполнение домашних
работ, подготовка к
ответу на семинаре и к
собеседованию.
Конспектирование
материала на
лекционных занятиях.
Выполнение домашних
работ, подготовка к
ответу на семинаре и к
собеседованию.
Кол-во
баллов
Модули и
темы
Объем
часов
№
Неделя
семестра
Планирование самостоятельной работы студентов
0-3
6
0-6
4-6
6
0-6
Работа с
учебной
литературой
Работа с
учебной
литературой
Конспектирование
материала на
лекционных занятиях.
Выполнение
контрольной работы,
подготовка к ответу на
коллоквиуме.
Всего по модулю 1:
Модуль 2
Конспектирование
материала на
Квадратичные
лекционных занятиях.
2.1 сравнения и
Выполнение домашних
. криптосистемы
работ, подготовка к
на их основе.
ответу на семинаре и к
собеседованию.
Конспектирование
материала на
Вероятностные лекционных занятиях.
2.2 тесты на
Выполнение
простоту.
контрольной работы,
подготовка к ответу на
коллоквиуме.
Всего по модулю 2:
Модуль 3
Порождающий
Конспектирование
элемент и
материала на
дискретный
лекционных занятиях.
логарифм.
3.1
Выполнение домашних
Криптосистемы
работ, подготовка к
на их основе.
ответу на семинаре и к
Доказуемо
собеседованию.
простые числа.
Конспектирование
Алгоритмы
материала на
криптоанализа
лекционных занятиях.
3.2 шифров с
Выполнение домашних
открытым
работ, подготовка к
ключом.
ответу на семинаре и к
собеседованию.
Конспектирование
материала на
Конечные
лекционных занятиях.
3.3 группы и поля
Выполнение
многочленов.
контрольной работы,
подготовка к ответу на
коллоквиуме.
Всего по модулю 3:
1.3
Сравнения
.
первой степени. Системы
сравнений
первой
степени.
ИТОГО:
Работа с
учебной
литературой,
выполнение
домашней
контрольной
работы
7
2
0-20
14
0-32
Работа с
учебной
литературой
8-9
4
0-4
Работа с
учебной
литературой,
выполнение
домашней
контрольной
работы
10
2
0-20
6
0-24
Работа с
учебной
литературой,
выполнение
домашней
контрольной
работы
1113
6
0-11
Работа с
учебной
литературой,
выполнение
расчетной
работы на
компьютере
1417
8
0-13
Работа с
учебной
литературой,
подготовка
доклада.
18
2
0-20
16
0-44
0100
36
4. Разделы дисциплины и междисциплинарные
обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
п/п
1.
2.
связи
с
Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
Наименование обеспечиваемых
Модуль 1
Модуль 2
Модуль 3
(последующих) дисциплин
1
2 3
4
5
6
7
8
Криптографические методы защиты
+
+ +
+
+
+
+
+
информации
Криптографические протоколы
+
+ +
+
+
+
+
+
5. Содержание разделов дисциплины
1. Введение в математические проблемы криптографии. Основы
теории чисел. Делимость, простые числа, наибольший общий делитель.
Алгоритм Евклида, расширенный алгоритм Евклида. Цепные дроби.
Асимптотический закон распределения простых чисел. Мультипликативные
функции. Функция Эйлера.
2. Теория сравнений. Вычеты. Полная система вычетов, приведенная
система вычетов. Zn, Zp, Z*n, Z*p Обратный элемент в Zn Алгебраические
структуры на целых числах. Теорема Эйлера, теорема Ферма, тест Ферма
на простоту. Криптосистема RSA. Понижение степени сравнения.
3. Сравнения первой степени. Системы сравнений первой степени.
Сравнения первой степени и их решение. Системы сравнений первой
степени и их решение. Китайская теорема об остатках и ее применения в
криптографии (схема разделения секрета на ее основе и ее применение в
RSA).
4. Квадратичные сравнения и криптосистемы на их основе.
Квадратичные сравнения. Символ Лежандра. Закон взаимности.
Существование решений квадратичного сравнения по простому модулю.
Решение квадратичных сравнений по простому модулю. Символ Якоби и
его свойства. Существование и количество решений квадратичного
сравнения по составному модулю. Решение квадратичных сравнений по
составному модулю. Квадраты и псевдоквадраты. Проблема различения
квадратов и псевдоквадратов, ее связь с задачей факторизации. Числа
Блюма. BBS-генератор. Криптосистемы Блюма-Гольдвассер, ГольдвассерМикали.
5. Вероятностные тесты на простоту.
Тест Ферма. Тест Соловея-Штрассена. Тест Миллера-Рабина.
6. Порождающий элемент и дискретный логарифм. Криптосистемы
на их основе. Доказуемо простые числа. Циклическая группа Z*p (Up).
Порождающий элемент и дискретный логарифм. Задача дискретного
логарифмирования. Криптосистемы Диффи-Хэллмана и Эль-Гамаля.
Теоремы Сэлфриджа и Поклингтона. (n-1) – тесты на простоту. Доказуемо
простые числа общего вида. Числа Ферма, теорема Пепина, тест Пепина.
Числа Мерсенна и тест Лукаса-Лемера. Теорема Диемитко и процедура
генерации простых чисел ГОСТ Р34.10-94.
7. Алгоритмы криптоанализа шифров с открытым ключом. Элементы
теории сложности. Оценки сложности по времени, по объему требуемой
памяти. Полиномиальная сложность, субэкспоненциальная сложность,
экспоненциальная сложность алгоритмов. Сложность элементарных
операций. Теоретико-числовые проблемы, лежащие в основе двухключевых
криптосистем – факторизация, дискретное логарифмирование. Алгоритмы
факторизации. Метод пробных делений, метод Ферма, метод квадратичного
решета, ро-метод Полларда, p—1 – метод Полларда, методы случайных
квадратов. Примеры, оценки сложности указанных алгоритмов. Алгоритмы
дискретного логарифмирования. Метод прямого поиска, ро-метод
Полларда, метод исчисления индексов, «шаг младенца-шаг великана».
Примеры, оценки сложности указанных алгоритмов.
8. Конечные группы и поля многочленов. Многочлены над Zp, Zn.
Сложение многочленов, умножение многочленов, разложение многочлена
на сомножители. Неприводимые многочлены.
6. Темы лабораторных работ.
Тема 1: Введение в математические проблемы криптографии. Основы
теории чисел.
1. Операции над целыми числами. Нахождение наибольшего общего
делителя при помощи алгоритма Евклида, наименьшего общего кратного.
Построение таблицы первых простых чисел с помощью решета
Эратосфена. Нахождение канонического разложения числа.
2. Разложение дробей в цепные дроби при помощи алгоритма Евклида.
Асимптотический закон распределения простых чисел – вычисление
примерного количества простых чисел на заданном интервале.
3. Вычисление функции Эйлера от числа.
Тема 2: Теория сравнений. Вычеты.
4. Теория сравнений. Построение приведенной системы вычетов от по
заданному модулю. Проверка сравнений.
5. Вычисление обратного элемента в Zn при помощи расширенного алгоритма
Евклида. Тест Ферма на простоту.
6. Понижение степени сравнения. При помощи теоремы Эйлера.
Криптосистема RSA.
Тема 3: Сравнения первой степени. Системы сравнений первой степени
7. Сравнения первой степени и их решение. Системы сравнений первой
степени и их решение по Китайской теореме об остатках.
Тема 4: Квадратичные сравнения и криптосистемы на их основе.
8. Символ Лежандра. Существование решений квадратичного сравнения по
простому модулю. Решение квадратичных сравнений по простому модулю.
Символ Якоби. Существование и количество решений квадратичного
сравнения по составному модулю. Решение квадратичных сравнений по
составному модулю.
9. Квадраты и псевдоквадраты. Проблема различения квадратов и
псевдоквадратов, ее связь с задачей факторизации. Числа Блюма. BBSгенератор. Криптосистемы Блюма-Гольдвассер, Гольдвассер-Микали.
Циклическая группа Z*p (Up). Отыскание порождающего элемента.
Тема 5: Вероятностные тесты на простоту
10. Тест Ферма. Тест Соловея-Штрассена. Тест Миллера-Рабина.
Тема 6: Порождающий элемент и дискретный логарифм. Криптосистемы
на их основе. Доказуемо простые числа
11. Проверка существования и нахождение порождающих элементов.
Определение количества порождающих элементов в группе.
12. (n-1) – тесты на простоту на основе теорем Сэлфриджа и Поклингтона
Числа Ферма, тест Пепина. Числа Мерсенна и тест Лукаса-Лемера.
13. Процедура генерации простых чисел ГОСТ Р34.10-94.
Тема 7: Алгоритмы криптоанализа шифров с открытым ключом.
14. Алгоритмы факторизации. Метод пробных делений, метод Ферма, метод
квадратичного решета.
15. Ро-метод Полларда, p—1 – метод Полларда, методы случайных квадратов.
Примеры, оценки сложности указанных алгоритмов.
16. Алгоритмы дискретного логарифмирования. Метод прямого поиска, рометод Полларда
17. Метод исчисления индексов, «шаг младенца-шаг великана». Примеры,
оценки сложности указанных алгоритмов.
Тема 7: Конечные группы и поля многочленов
18. Сложение, умножение многочленов, нахождение неприводимого
многочлена над Zm. Кольца и поля многочленов.
7. Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
Проверка качества подготовки в течение семестра предполагает следующие
виды промежуточного контроля:
А) выполнение домашних контрольных работ по индивидуальным
вариантам (по одной в каждом учебном модуле);
Б) выполнение аудиторных контрольных работ (по одной в каждом учебном
модуле);
В) проведение устных теоретических опросов (коллоквиумов) по одному в
каждом учебном модуле;
Г) подготовка студентом доклада.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала
дисциплины осуществляется в рамках рейтинговой (100-бальной) системы оценок.
Примерные темы докладов:
1) Простые числа в криптографии.
2) Задача факторизации как основа шифра RSA.
3) задача дискретного логарифмирования как основа шифра Эль-Гамаля.
4) Тесты на простоту.
5) Доказуемо простые числа и их практическое применение.
6) Вероятностные тесты на простоту и их практическое применение.
7) Теоретико-числовые основы подписи ГОСТ Р 34.10-94.
8) Субэкспоненциальные алгоритмы факторизации.
9) Субэкспоненциальные алгоритмы дискретного логарифмирования.
Примеры индивидуальных заданий к домашним контрольным работам:
Пример индивидуального задания для домашней контрольной работы
к Модулю 1:
1. Вычислить НОД(a,b) двумя способами: алгоритмом Евклида с делением с
остатком и бинарным алгоритмом Евклида. Сравнить количество итераций для
этих алгоритмов.
а) a=99, b=63;
б) a=454, b=872.
2. Определить, являются ли числа a, b, c взаимно простыми? Попарно
простыми?
а) a=13, b=39, c=57;
б) a=38, b=57, c=76;
в) a=102, b=55, c=91.
3. Вычислить функцию Эйлера от следующих чисел:
а) 1; б) 2; в) 101; г) 16; д) 91; е) 102.
4. Пользуясь асимптотическим законом распределения простых чисел,
вычислить примерное количество простых чисел в промежутке от 500 000 до
1 000 000.
5. Сколько нечетных чисел размера 64 бит (старший бит =1) следует перебрать,
чтобы среди них с вероятностью не менее 0,995 нашлось хотя бы одно
простое?
6. Выписать абсолютно наименьший и наименьший неотрицательный вычеты
числа a по модулю b (понижать степени, пользуясь теоремой Эйлера), где
а) a=12, b=18;
б) a=11, b=14;
в) a=45, b=11;
г) a= –23 , b=4.
7. Выписать полную и приведенную системы наименьших неотрицательных
вычетов по следующим модулям:
а) 11; б) 16;
в) 2;
г) 18;
д) 14;
е) 1.
8. Верны ли следующие сравнения?
а) 319(mod 4); б) -22(mod 5); в) -36-11(mod 4); г) 27105(mod 3).
9. Вычислить a-1 mod b, если таковой существует, где
а) a=28, b=77;
б) a=18, b=35;
в) a=2, b=19;
г) a=11, b=37.
10. Решить сравнения
а)25x18(mod 97); б)10x8(mod 12); в)33x15(mod 31); г)84x28(mod 94).
11. Решить системы сравнений
а) 5x3(mod 8)
б) 2x3(mod 5)
3x2(mod 5)
4x1(mod 7)
в) 2x5(mod 11)
4x2(mod 13)
г) 8x7(mod 13)
2x15(mod 17)
Пример индивидуального задания для домашней контрольной работы
к Модулю 2:
a
 , где
b
 
1. Вычислить символ Якоби 
а) a=77, b=315;
b) a=165, b=93;
c) a=2, b=99;
d) a=41, b=47.
2. Выяснить, сколько решений имеет сравнение, не решая его.
a) x212 (mod 89);
b) x217 (mod 82);
c) x2115 (mod 289);
2
d) x 5 (mod 16).
3. Решить квадратичные сравнения
a) x224 (mod 43);
b) x239 (mod 61);
d) x21 (mod 35);
e) x28 (mod 49);
c) x223 (mod 41);
f) x2104 (mod 125).
Пример индивидуального задания для домашней контрольной работы
к Модулю 3:
1. Сколько порождающих элементов в Z*m? Найти порождающий элемент, если
они существуют.
а) m=141;
б) m=38;
в) m=121.
2. Какие из чисел 2, 3, 4, m-2, m-3, m-4 являются порождающими элементами Z*m?
а) m=7;
б) m=14;
в) m=18.
3. Факторизовать число m, используя метод квадратичного решета с решетами по
модулям 4, 5, 7:
а) m=257;
б) m=149;
в) m=1023.
4. Факторизовать число m, используя ро-метод.
а) m=253;
б) m=107.
5. Вычислить log 2 13 (mod 773–1), используя Шаг младенца–шаг великана.
6. Вычислить log 6 10 (mod 109–1), используя ро-метод.
7. Вычислить log 5 76 (mod 683–1), используя метод исчисления порядка.
Задания к аудиторным контрольным работам:
Пример варианта контрольной работы к модулю 1.
1. Вычислить абсолютно наименьший вычет и наименьший неотрицательный
вычет:
а) 23 mod 17
б)36 mod 72
в) 37 mod 5
г) 9110 mod 4
д) 8657 mod 11
е) 35160 mod (3*11)
2. Вычислить значение функции Эйлера от:
а) 7
б) 49
в) 15
г) 2082
3. Решить сравнения:
а) 12x ≡ 5 (mod 17)
б) 6x ≡ 9 (mod 23)
в) 100 x ≡ 15 (mod 35)
4. Решить систему сравнений:
12 x  5(mod 17 )

13 x  8(mod 2)

1
 x  3 (mod 5)
Пример варианта контрольной работы к модулю 2.
Найти все корни квадратичного сравнения x2≡ 1 (mod 323). Какие из них
являются квадратами, какие- псевдоквадратами, а какие – не квадратами?
Пример варианта контрольной работы к модулю 3.
1. Разложить на 2 сомножителя методом квадратичного решета n=1651.
Решёта по модулям 4, 5, 7.
2. Вычислить log517 (mod 23-1) ро-методом.
Вопросы к экзамену
Основные понятия теории чисел. Теорема делимости.
Наибольший общий делитель и алгоритм Евклида.
Цепные дроби и алгоритм Евклида.
Наименьше общее кратное. Простые числа.
Теоремы Евклида о простых числах. Решето Эратосфена.
Основные свойства простых чисел. Теорема о единственности разложения
на простые сомножители.
7. Теорема о делителях числа и ее следствия.
8. Асимптотический закон распределения простых чисел.
9. Функция Эйлера, ее свойства.
10. Сравнения. Свойства сравнений.
11. Полная система вычетов, приведенная система вычетов. Алгебраические
свойства, обратный элемент.
12. Теорема Эйлера, теорема Ферма. Следствие.
13. Тест Ферма на простоту. Числа Кармайкла. Теорема Кармайкла.
14. Применение теоремы Ферма в криптосистеме RSA.
15. Сравнения с одним неизвестным 1-й степени.
16. Система сравнений 1-й степени. Китайская теорема об остатках.
17. Применение Китайской теоремы об остатках в RSA и схема разделения
секрета на ее основе.
18. Квадратичные сравнения по простому модулю.
19. Символ Лежандра и его свойства.
20. Решение квадратичных сравнений по простому модулю.
21. Число решений квадратичного сравнения по составному модулю.
22. Символ Якоби, его свойства. Тест Соловея-Штрассена.
23. Квадратичные сравнения по модулю RSA. Связь задач извлечения корней и
факторизации. Криптосистема Рабина
24. Квадраты и псевдоквадраты. Числа Блюма.
25. BBS-генератор. Криптосистема Блюма-Гольдвассер, криптосистема
Гольдвассер-Микали.
26. Тест Миллера-Рабина.
27. Порядок группы. Порядок элемента в группе. Порождающий элемент.
28. Существование порождающего элемента в Z*n
29. Критерий Люка.
30. Теорема Сэлфриджа и тест Миллера.
31. Теорема Поклнгтона и тест на простоту на ее основе.
32. Числа Ферма, теорема Пепина, тест Пепина.
33. Числа Мерсена. Тест Лукаса-Лемера.
34. Теорема Диемитко. Процедура генерации простых чисел ГОСТ Р 34.10-94.
35. Дискретный логарифм. Проблема Диффи-Хелмана. Криптосистема
ЭльГамаля.
36. Проблема факторизации. Метод пробных делений.
37. Метод Ферма факторизации.
38. Метод квадратичного решета.
39. Ро-метод Полларда факторизации.
40. p—1 – метод факторизации.
41. Методы случайных квадратов.
42. Задача дискретного логарифмирования. Метод прямого поиска.
43. Ро-метод Полларда дискретного логарифмирования.
44. Алгоритм Полига-Хеллмана.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
45. Метод «Шаг младенца-шаг великана».
46. Метод исчисления порядка.
8. Образовательные технологии
Предусмотрено сочетание традиционных видов учебной активности, таких как
конспектирование лекций и контроль усвоения теоретического материала в виде
коллоквиумов, решения задач на практических занятиях самостоятельно и в
группах, выполнение домашних контрольных работ по индивидуальным
вариантам, проведение аудиторных контрольных работ, так и интерактивных
технологий, таких как собеседования, выполнение и обсуждение докладов и
расчетных работ.
Подготовка и защита студентами докладов по темам, не входящим в план лекций,
позволяет расширить научный кругозор студентов, повысить навык работы с
учебной и научной отечественной и зарубежной литературой, развить языковые
навыки, повысить математическую подготовку, укрепить междисциплинарные
связи, повысить навык программирования, развить навык систематизировать и
свободно излагать перед аудиторией материал по заданной теме.
9. Литература
9.1. ОСНОВНАЯ:
1. Глухов М. М., Круглов И. А., Пичкур А. Б., Черемушкин А. В. Введение в
теоретико-числовые методы криптографии. – СПб:»Лань», 2010
2. Молдовян Н. А., Молдовян А.А. Введение в криптосистемы с открытым
ключом : учеб. пособие - СПб. : БХВ-Петербург, 2005.
3. Виноградов И. М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1972. – 402 с.
4. Рожков А.В., Ниссенбаум О.В. Теоретико-числовые методы в
криптографии: Учебное пособие. – Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2007.
5. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. — М.: ИЛ, 1963.
6. Черемушкин А. В. Лекции по арифметическим алгоритмам в
криптографии. – М.: МЦНМО, 2002. – 104 с.
9.2. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ:
1. Агибалов Г.П. Избранные теоремы начального курса криптографии:
Учебное пособие. – Томск: Изд-во НТЛ, 2005. – 116 с.
2. Диффи У., Хеллман М.Э. Защищенность и имитостойкость. Введение в
криптографию. - ТИИЭР, т.67, №3, 1979.
3. Полянская О.Ю. Горбатов В.С. Инфраструктуры открытых ключей: учеб.
пособие - М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.
4. Зубов А. Ю. Криптографические методы защиты информации :
совершенные шифры : учеб. пособие - М.: Гелеос АРВ, 2005.
5. Осипян В. О., Осипян К.В. Криптография в задачах и упражнениях - М.:
Гелиос АРВ, 2004.
6. Основы криптографии: учебное пособие / А. П. Алферов [и др.]. - 3-е изд.,
испр. и доп. - М.: Гелиос АРВ, 2005.
7. Зубов А. Ю. Математика кодов аутентификации. – М.: Гелиос АРВ, 2007.
8. Молдовян Н. А. Криптография : от примитивов к синтезу алгоритмов. СПб: BHV-Петербург, 2004.
9. A. Menezes, P. van Oorschort, S. Vanstone, Handbook of Applied
Cryptography – CRC Press, Inc., 1997
10. Рябко Б.Я., Фионов А.Н., Основы современной криптографии для
специалистов в информационных технологиях, М.: Научный мир, 2004.
9.3. Программное обеспечение и Интернет-ресурсы.
- вузовские электронно-библиотечные системы учебной литературы.
- база научно-технической информации ВИНИТИ РАН
- доступ к открытым базам цитирования, в т.ч. springer.com, scholar.google.com,
math-net.ru
- математический пакет MathLab.
10.Технические средства и материально-техническое оснащение.
Для организации самостоятельной работы студентов необходим компьютерный
класс с пакетом прикладных программ, в том числе пакет MathLab и программа
работы с таблицами MS Excel или Open Office Calc.