Алгебра и теория чисел - Основные образовательные программы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФИЛИАЛ ТЮМГУ В Г. ТОБОЛЬСКЕ
Кафедра физики, математики и методик преподавания
УТВЕРЖДАЮ
Директор Института
_______________________ /Ф.И.О./
__________ _____________ 201__г.
Валицкас А.И.
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
Направление подготовки 01.03.01. “Математика”,
профиль подготовки:
“Вычислительная математика и информатика”
форма обучения: очная
Тюменский государственный университет
2014
2
Содержание
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины ………………………………………………………..
1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы …………………...
1.3. Компетенции обучающегося ………………..……………………………………...
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине …………………..
Структура и трудоёмкость дисциплины …………………………………….................
Тематический план ……………………………………………………………………….
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля ………………..
Содержание дисциплины ………………………………………………………………...
Планы практических занятий …………………………………………………………...
Лабораторный практикум ………………………………………………………………..
Примерная тематика курсовых работ ………………………………………………….
Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы
студентов …………………………………………………………………………………..
Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины …………………………………………………………………….
10.1. Перечень компетенций (выдержка из матрицы компетенций) ………………
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных
этапах их формирования, описание шкал оценивания
10.3 Типовые контрольные задания …………………………………………………..
10.4 Контрольные материалы промежуточной аттестации …………………………
Образовательные технологии ……………………………………………………………
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины ………………...
Перечень информационных технологий и справочных систем ………………………..
Материально-техническое обеспечение дисциплины …………………………………
Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины …………...
3
4
4
5
6
6
8
9
10
10
11
12
12
17
18
18
19
20
24
26
26
27
28
28
1. Пояснительная записка
1.1 Цели и задачи дисциплины. Цель преподавания дисциплины “Теория
чисел” триедина:
 овладение студентами математическим аппаратом теории чисел, фундаментальными теоретическими положениями этой науки;
 воспитание и развитие их математической культуры;
 осознание ими прикладного характера математики в целом и теории чисел в частности.
Курс теории чисел должен решать следующие задачи:
 вооружать студентов фундаментальными теоретическими знаниями по
теории чисел;
 давать достаточный терминологический и понятийный запас, необходимый для самостоятельного изучения специальной литературы;
 учить навыкам формулировки разнообразных теоретических и практических задач на языке теории чисел;
 предлагать строгие формальные доказательства основных результатов,
развивая культуру мышления студентов;
 демонстрировать наглядность большинства идей излагаемой теории,
открывающую дорогу многим приложениям;
 демонстрировать применение теории чисел для решения разнообразных практических задач;
 пополнить алгоритмический запас студентов, позволяющий им решать
типовые задачи;
 обеспечить разнообразный материал для самостоятельной работы.
В результате изучения дисциплины “Теория чисел” у студентов формируются навыки в следующих основных видах деятельности, предусмотренные стандартом высшего профессионального образования:

научно-исследовательская и научно-изыскательская:
–
применение основных понятий, идей и методов фундаментальных мате4
матических дисциплин для решения базовых задач;
–
решение математических проблем, соответствующих направленности
(профилю) образования, возникающих при проведении научных и прикладных исследований;
–
подготовка обзоров, аннотаций, составление рефератов и библиографии
по тематике проводимых исследований;
–
участие в работе семинаров, конференций и симпозиумов, оформление и
подготовка
публикаций
по
результатам
проводимых
научно-
исследовательских работ.
 производственно-технологическая:
–
использование математических методов обработки информации, полученной в результате экспериментальных исследований или производственной деятельности;
–
применение численных методов решения базовых математических задач
и классических задач естествознания в практической деятельности;
–
сбор и обработка данных с использованием современных методов анализа информации и вычислительной техники.

педагогическая деятельность:
–
преподавание физико-математических дисциплин и информатики в образовательных организациях общего образования и среднего профессионального образования;
–
разработка методического обеспечения учебного процесса в образовательных организациях общего образования и среднего профессионального образования.
1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы. Дисциплина “Теория чисел” относится к базовой части Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования
(ФГОС ПО) по направлению 01.03.01 “Математика”, являясь частью блока
“Алгебра и теория чисел”.
5
Дисциплина “Теория чисел” базируется на знаниях, полученных в рамках
школьного курса математики или соответствующих дисциплин среднего профессионального образования.
В ходе изучения дисциплины “Теория чисел” студенты должны усвоить
основные понятия и методы теории чисел. Освоение дисциплины предусматривает приобретение навыков работы с соответствующими учебниками, учебными пособиями и монографиями.
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с
обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
п/п
1.
2.
3.
4.
Наименование обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
Модуль 1
Алгебра многочленов
Теория игр и методы принятия
решений
Дискретная математика
Математическая логика
Модуль 2
Модуль 3
+
Модуль 4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
данной образовательной программы. В результате освоения ОП выпускник
должен обладать следующими компетенциями:
 готовностью использовать фундаментальные знания в области математического анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных
уравнений, дискретной математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов, численных методов,
теоретической механики в будущей профессиональной деятельности (ОПК-1);
 способностью к организации учебной деятельности в конкретной предметной области (математика, физика, информатика) (ПК-9).
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине: Студент, изучивший дисциплину, должен
6
ЗНАТЬ
• основные теоретико-числовые понятия;
• основные результаты о делимости целых чисел и теории сравнений;
• основные алгоритмы решения стандартных задач.
УМЕТЬ
• применять теорему о делении с остатком и свойства делимости к решению различных арифметических задач;
• применять алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя
целых чисел, его линейного разложения и наименьшего общего кратного;
• используя “решето” Эратосфена, составлять таблицы простых чисел и решать
задачи на применение основной теоремы арифметики и свойств простых чисел.
• находить разложение заданного рационального числа в конечную цепную
дробь и разложение заданного иррационального числа в бесконечную цепную
дробь, вычислять подходящие дроби и применять свойства подходящих дробей
при решении задач;
• применять определение и свойства сравнений по заданному модулю при составлении полной и приведённой систем вычетов;
• вычислять значения функции Эйлера и остатки арифметических выражений от
деления на заданное число, используя свойства сравнений и теоремы Эйлера и
Ферма.
• решать различными способами линейные сравнения первой степени с одним
неизвестным.
• применять для решения задач алгоритмы нахождения показателя и первообразного корня по заданному модулю. Уметь решать двучленные сравнения, используя таблицы индексов.
• применять обобщённый признак делимости Паскаля для конструирования конкретных признаков делимости.
• проверять правильность выполнения простейших арифметических действий с
помощью сравнений по модулям 9 и 11.
7
• определять по внешнему виду обыкновенной дроби вид её десятичного разложения (конечная десятичная дробь, чисто или смешанно периодическая), уметь
находить длины периода и предпериода этого десятичного разложения;
• находить аннулирующие уравнения для некоторых простых видов алгебраических чисел.
ВЛАДЕТЬ
• методами решения рассмотренных при изучении дисциплины задач;
• навыками применения современного математического инструментария для решения задач математики и информатики;
• методикой построения, анализа и применения математических моделей для
прикладных задач математики и информатики.
2. Структура и трудоёмкость дисциплины
Семестр: III-IV . Форма промежуточной аттестации: зачёт в III семестре и
экзамен в IV семестре. Общая трудоёмкость дисциплины составляет 6 зачётных единиц, 216 академических часов, из них 92 часа аудиторных занятий, 96,8
часов, выделенных на контактную работу с преподавателем, 97 часов, выделенных на самостоятельную работу.
Таблица 2.
Вид учебной работы
Контактная работа:
Аудиторные занятия
В том числе:
Лекции
Практические занятия
Самостоятельная работа
Общая трудоемкость 6 зач. ед.
216 час
Всего
часов
96,8
92
–
36
56
97
6
216
Вид промежуточной аттестации
8
Семестры
III
IV
32,2
32
–
16
16
76
3
108
зачёт
64,6
60
20
40
21
3
108
экзамен
3. Тематический план
Таблица 3.
Самостоятельная
работа*
Итого часов по теме
Из них в интерактивной
форме, в часах
Итого количество баллов
8
9
10
4
8
4
16
–
–
–
–
20
36
20
76
28
52
28
108
2
4
2
8
0-25
0-50
0-25
0-100
16
–
76
108
8
0-100
Семестр IV
12
24
12
24
4
8
4
8
4
8
4
8
–
–
–
–
–
–
12
12
4
4
5
5
48
48
16
16
17
17
10
10
3
3
2
2
0–50
0–50
0–25
0–25
0–25
0–25
20
–
21
81
15
0-100
1
2
3
4
1–4
5–12
13–16
4
8
4
16
16
Модуль 1
1.1.
1.2.
1.3.
Всего
Итого
(часов, баллов):
Модуль 2
Всего
Модуль 3
Всего
Модуль 4
Всего
Итого
(часов, баллов):
1–12
13–16
17–20
Практические занятия
7
Тема
Лекции
6
№
Недели семестра
Лабораторные занятия*
Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.
4
Семестр III
40
9
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 4.
Итого баллов
0–10
0–15
0–10
0–35
IV
0–5
0–5
0–5
0–15
0–25
0–50
0–25
0–100
0–10
0–20
0–15
0–5
0–50
–
0–10
0–10
0–5
0–25
–
0–10
0–10
0–40
0–10
0–35
0–5
0–15
0–25
0–100
контрольная работа
0–10
0–20
0–10
0–40
Семестр
ответ на семинаре
тесты
Письменные
работы
–
0–10
–
0–10
коллоквиумы
№ Темы
Устные
ответы
Семестр III
Модуль 1
1.1.
1.2.
1.3.
Всего
Модуль 2
Всего
Модуль 3
Всего
Модуль 4
Всего
Итого
5. Содержание дисциплины
МОДУЛЬ 1: Теория делимости в кольце целых чисел
1.1. Делимость целых чисел
Теорема о делении с остатком. Делимость нацело и её свойства. Наибольший общий делитель.
Алгоритм Евклида. Линейное разложение НОД. Наименьшее общее кратное. Взаимно простые числа и их свойства.
1.2. Основная теорема арифметики
Простые числа и их свойства. Основная теорема арифметики. Описание делителей натурального числа. Количество (n) и сумма (n) делителей натурального числа. Нахождение НОД
и НОК с помощью канонических разложений. Бесконечность количества простых чисел в
арифметических прогрессиях.* Решето Эратосфена.
1.3. Цепные дроби
Конечные цепные дроби. Подходящие дроби и их основные свойства. Теорема о представлении рациональных чисел конечными цепными дробями. Применение конечных цепных дробей
к нахождению линейного разложения НОД. Бесконечные цепные дроби. Значение бесконечной цепной дроби. Теорема о представлении иррациональных чисел бесконечными цепными
дробями. Признак иррациональности числа и иррациональность числа e. Подходящие дроби
как наилучшие приближения действительных чисел рациональными.*
10
МОДУЛЬ 2: Теория сравнений
Отношение сравнимости по модулю и его основные свойства. Кольцо Zn , поле Zp и группа
Zn. Полная и приведённая системы вычетов. Мультипликативные функции. Функция Эйлера
и её основные свойства. Теоремы Эйлера и Ферма. Китайская теорема об остатках. Полиномиальные сравнения и их решения. Редукция сравнения по составному модулю к модулю, являющемуся степенью простого числа, а затем – к простому модулю. Структура решений линейного сравнения первой степени. Методы решения. Показатель числа (или класса вычетов)
по заданному модулю и его основные свойства. Первообразные корни по заданному модулю.
Количество и структура первообразных корней. Существование первообразных корней по простому модулю. Первообразные корни по модулям p и 2p (p – простое число). Индекс числа
(или класса вычетов) относительно первообразного корня по данному модулю. Индексы по
модулям p и 2p (p – простое число). Двучленные сравнения по простому модулю. Квадратичные вычеты и невычеты. Символ Лежандра и его свойства. Квадратичный закон взаимности Гаусса. Сравнения второй степени по произвольному модулю.
МОДУЛЬ 3: Арифметические приложения теории сравнений
Нахождение остатков полиномиальных и экспоненциальных выражений с помощью теоремы
Эйлера. Проверка арифметических действий с помощью сравнений по подходящим модулям.
Обобщённый признак делимости Паскаля. Признаки делимости на 2 т, 5 т, 3, 9, 11 [, 7, 13] .
Конструирование признаков делимости на заданное число. Конечные и бесконечные десятичные дроби.
МОДУЛЬ 4: Алгебраические и трансцендентные числа
Определение алгебраических и трансцендентных (над Q) чисел. Доказательство существования трансцендентных чисел по Кантору. Теорема Эрмита-Линдемана. Теорема Лиувилля о
приближениях алгебраического числа рациональными числами и её применение к построению
трансцендентных чисел и доказательству иррациональности некоторых чисел.
6. Планы практических занятий
№
Модуль
1–2
3–4
5–6
7
8
Модуль 1:
Теория
делимости в
кольце целых
чисел
План практического занятия
Семестр III
Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Линейное разложение НОД.
Наименьшее общее кратное.
Проверка числа на простоту. Каноническое разложение
натурального числа.
Вычисление числа (n) и суммы (n) натуральных делителей. Нахождение НОД и НОК.
Конечные цепные дроби. Подходящие дроби Представление рациональных чисел конечными цепными дробями.
Применение конечных цепных дробей к нахождению линейного разложения НОД.
Представление иррациональных чисел бесконечными цепными дробями. Подходящие дроби как наилучшие приближения действительных чисел рациональными.
11
№
Модуль
1–2
3
4–5
6–7
Модуль 2:
Теория
сравнений
8–9
10
11-12
13
14–15
Модуль 3:
Арифметические
приложения
теории
сравнений
16
17-18
19-20
Модуль 4:
Алгебраические
и трансцендентные числа
План практического занятия
Семестр IV
Отношение сравнимости по модулю и его основные свойства. Кольцо Zn , поле Zp и группа Zn. Полная и приведённая системы вычетов.
Вычисление функции Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма.
Китайская теорема об остатках. Полиномиальные сравнения и их решения. Редукция сравнения по составному модулю к модулю, являющемуся степенью простого числа, а
затем – к простому модулю.
Структура решений линейного сравнения первой степени.
Методы решения.
Показатели чисел (или классов вычетов) по заданному модулю и первообразные корни по заданному Количество и
структура первообразных корней. модулю. Нахождение
первообразных корней.
Индексы чисел (или классов вычетов) относительно первообразных корней по данному модулю. Двучленные сравнения по простому модулю.
Квадратичные вычеты и невычеты. Символ Лежандра и его
свойства. Квадратичный закон взаимности Гаусса. Сравнения второй степени по произвольному модулю.
Нахождение остатков полиномиальных и экспоненциальных выражений с помощью теоремы Эйлера. Проверка
арифметических действий с помощью сравнений по подходящим модулям.
Обобщённый признак делимости Паскаля. Признаки делимости на 2 т, 5 т, 3, 9, 11 [, 7, 13] . Конструирование
признаков делимости на заданное число.
Конечные и бесконечные десятичные дроби: длины периодов и предпериодов.
Определение алгебраических и трансцендентных (над Q)
чисел. Минимальные уравнения алгебраических чисел.
Алгебраические действия с алгебраическими числами.
Построение трансцендентных чисел Лиувилля.
7. Лабораторный практикум
Лабораторный практикум по дисциплине не предусмотрен.
8. Примерная тематика курсовых работ
Тема 1
Приближение действительных чисел рациональными дробями
Цель работы: изучить бесконечные цепные дроби и показать, что подходящие
12
дроби дают лучшие приближения, чем приближения десятичные с примерно такими же
знаменателями, что и у подходящих дробей.
План
1. Рассмотреть приближения действительных чисел подходящими дробями,
привести примеры таких приближений ([1], с. 172-175 или [2], c.224-228).
2. Доказать теорему Дирихле о диофантовых приближениях ([1], c. 179-181 или
[2], c.230-231).
3. Показать, что приближение подходящей дробью даёт большую точность, чем
приближение соответствующей десятичной дробью ([1], c. 183-186 или [2], c.
237-241.
Литература
1.
2.
Михелович Ш.Х. Теория чисел. – М.: Высшая школа, 1966.384 с.
Бухштаб А.А. Теория чисел. – СПб: Издательство “Лань”, 2008.
Тема 2
Представление иррациональных чисел цепными дробями
Цель работы: изучить основные понятия, относящиеся к бесконечным цепным
дробям, а также способы разложения иррациональных чисел в цепные дроби.
План
1. Дать определение бесконечной цепной дроби и изложить (со ссылкой на теорию конечных цепных дробей) свойства подходящих дробей.
2. Дать определение сходимости и доказать, что бесконечная цепная дробь всегда сходится к некоторому иррациональному числу. Доказать обратное
утверждение: любое иррациональное число разлагается в бесконечную цепную дробь.
3. Привести примеры разложений иррациональных чисел в цепные дроби. Рассмотреть для этой цели несколько квадратичных и кубических иррациональностей (типа 2 , 5 , 3 2 ).
Литература
1. Бухштаб А.А. Теория чисел. – СПб: Издательство “Лань”, 2008. (см. гл. 24).
2. Хинчин А.Я. Цепные дроби. – М.: Наука, 1978. (§1-5 и 10).
3. Нечаев В.И. Числовые системы. – М: Просвещение, 1975.
Тема 3
Основная теорема арифметики
Цель работы: разобраться в доказательстве основной теоремы арифметики в
кольце целых чисел и познакомиться с арифметикой целых гауссовых чисел (в которой
также выполняется основная теорема арифметики); привести пример, в котором не выполняется утверждение об однозначности разложения.
План
1. НОД. Алгоритм Евклида.
13
2. Решение диофантовых уравнений с двумя неизвестными.
3. Простые числа, их свойства.
4. Основная теорема арифметики.
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
Калужнин Л.Л. Основная теорема арифметики. М.: Наука, 1969.
Хинчин А.Я. Элементы теории чисел, Энциклопедия элементарной математики, кн.1, Арифметика,
Гостехиздат, 1951.
Маркушевич А.И. Деление с остатком в арифметике и в алгебре (сер. “Педагогическая библиотека
учителя”), изд. Академии педагогических наук РСФСР, 1949.
Бухштаб А.А. Теория чисел. – СПб: Издательство “Лань”, 2008.
Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. – М.: Наука, 1965.
Тема 4
Некоторые диофантовы уравнения
Цель работы: изучить различные методы решения диофантовых уравнений и
применить метод бесконечного спуска для доказательства неразрешимости некоторых
диофантовых уравнений.
План
1. Дать определения и привести примеры диофантовых уравнений.
2. Сформулировать и обосновать критерий разрешимости общего линейного
диофантова уравнения a1x1 + … + anxn = b.
3. Изучить и изложить метод решения произвольного полиномиального диофантова уравнения от одного неизвестного.
4. Изложить методы решения некоторых диофантовых уравнений второй степени: например, x2 – y2 = n, x2 + y2 = z2.
5. Изучить метод бесконечного спуска и применить его для доказательства отсутствия нетривиальных решений
некоторых диофантовых уравнений:
например, x4 + y4 = z2, x4 + y4 = z4.
6. Сформулировать Великую теорему Ферма и изложить краткую историю её
доказательства.
Литература
1.
2.
3.
4.
Бухштаб А.А. Теория чисел. – СПб: Издательство “Лань”, 2008.
Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. – М.: Наука, 1978.
Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. – М.: Наука, 1965.
Серпинский В. О решении уравнений в целых числах. – M.: ГИФМЛ, 1961.
Тема 5
Решение полиномиальных сравнений
Цель работы: изучить некоторые методы решения полиномиальных сравнений.
План
1. Дать определения и доказать основные свойства сравнений.
2. Изложить некоторые методы решения линейного сравнения ax  b (mod m)
с одним неизвестным.
3. Изучить китайскую теорему об остатках.
14
4. Сформулировать и обосновать некоторые методы решения произвольного полиномиального сравнения от одного неизвестного:
 для простых модулей,
 для модулей, являющихся степенями простых чисел,
 для произвольных модулей.
Литература
1.
2.
3.
Бухштаб А.А. Теория чисел. – СПб: Издательство “Лань”, 2008.
Михелович Ш.Х. Теория чисел. – М.: Высшая школа, 1966.
Степанов С.А. Сравнения. – М.: Знание, 1975.
Тема 6
Системы линейных сравнений
Цель работы: изучить некоторые методы решения линейных сравнений от одного неизвестного и систем таких сравнений.
План
1. Дать определения и доказать основные свойства сравнений.
2. Изложить некоторые методы решения линейного сравнения ax  b (mod m)
с одним неизвестным.
3. Изучить китайскую теорему об остатках.
4. Сформулировать и обосновать некоторые методы решения произвольной системы линейных сравнений от одного неизвестного:
Литература
1.
2.
3.
4.
Бухштаб А.А. Теория чисел. – СПб: Издательство “Лань”, 2008.
Михелович Ш.Х. Теория чисел. – М.: Высшая школа, 1966.
Виноградов И.М. Основы теории чисел. – СПб.: Издательство “Лань”, 2009.
Степанов С.А. Сравнения. – М.: Знание, 1975.
Тема 7
Теоремы Эйлера и Ферма и их применение
Цель работы: разобраться в доказательствах теорем Эйлера и Ферма и изложить некоторые их применения.
План
1. Дать определения и доказать основные свойства сравнений.
2. Изучить доказательство теоремы Эйлера и получить в качестве частного
случая теорему Ферма.
3. Показать некоторые применения теорем Эйлера и Ферма (вычисление
остатков, вероятностный алгоритм проверки числа на простоту, применения в
теории кодирования).
Литература
1.
2.
3.
4.
Бухштаб А.А. Теория чисел. – СПб: Издательство “Лань”, 2008.
Валицкас А.И. Конспект лекций по компьютерной алгебре // Рукопись. – Тобольск, 2009.
Михелович Ш.Х. Теория чисел. – М.: Высшая школа, 1966.
Степанов С.А. Сравнения. – М.: Знание, 1975.
15
Тема 8
Уравнение Ферма (Пелля) x2 – Ay2 = 1
Цель работы: изучить основные факты о разложении действительных чисел в
бесконечные цепные дроби и применить их для нахождения всех решений диофантова
уравнения Ферма.
План
1. Изучить основные свойства конечных и бесконечных цепных дробей и разложений действительных чисел в цепные дроби.
2. Изучить специфические свойства бесконечных цепных дробей для чисел вида
A .
3. Применить теорию цепных дробей для решения уравнения Ферма.
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
Бухштаб А.А. Теория чисел. – СПб: Издательство “Лань”, 2008.
Михелович Ш.Х. Теория чисел. – М.: Высшая школа, 1966.
Хинчин А.Я. Цепные дроби. – М.: Наука, 1978.
Арнольд В.И. Цепные дроби. – М.: МЦНМО, 2001.
Бугаенко В.О. Уравнение Пелля. – М.: МЦНМО, 2001.
Тема 9
Алгебраические числа
Цель работы: изучить понятие алгебраического числа и доказать, что множество
алгебраических чисел замкнуто относительно сложения, вычитания, деления (образует
поле).
План
1. Изучить определение алгебраического числа и связанные с ним понятия (минимального многочлена, степени).
2. Привести примеры алгебраических чисел.
3. Доказать, что множество алгебраических чисел замкнуто относительно сложения, вычитания, деления.
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
Бухштаб А.А. Теория чисел. – СПб: Издательство “Лань”, 2008.
Михелович Ш.Х. Теория чисел. – М.: Высшая школа, 1966.
Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М.: Наука, 1982.
Гельфонд А.О. Трансцендентные и алгебраические числа. – М.: КомКнига, 2006.
Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика ? – М.: МЦНМО, 2000.
16
Тема 10
Трансцендентные числа
Цель работы: изучить понятия алгебраических и трансцендентных чисел и построить конкретные примеры трансцендентных чисел Лиувилля.
План
1.
2.
3.
4.
Изучить определения алгебраических и трансцендентных чисел.
Привести примеры алгебраических чисел.
Изучить доказательство теоремы Лиувилля.
Построить свой пример трансцендентных чисел Лиувилля по аналогии со
стандартными, приведёнными в литературе.
Литература
1.
2.
3.
4.
Бухштаб А.А. Теория чисел. – СПб: Издательство “Лань”, 2008.
Михелович Ш.Х. Теория чисел. – М.: Высшая школа, 1966.
Гельфонд А.О. Трансцендентные и алгебраические числа. – М.: КомКнига, 2006.
Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика ? – М.: МЦНМО, 2000.
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование
самостоятельной работы студентов
Таблица 5 .
Виды СРС
№
Модули и
темы
обязательные
дополнительных
1
2
3
1
Модуль 1
изучение лекций,
работа с литературой
4
решение
нестандартных
задач
Неделя
семестра
Объем
часов
Кол-во
баллов
5
6
7
1–16
40
0–25
40
0–25
1–12
12
0–15
13–16
4
0–5
17–20
5
0–5
21
0–25
Итого
2
Модуль 2
изучение лекций,
работа с литературой
3
Модуль 3
изучение лекций,
работа с литературой
4
Модуль 4
изучение лекций,
работа с литературой
решение
нестандартных
задач
решение
нестандартных
задач
решение
нестандартных
задач
Итого
17
Семестр
ПК-9
+
Семестр
5-7
6
6
1-2
+
+
+
6
7
7
18
Ряды
Численные методы
+
2-3
3
3
3
3-4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
7
8
8
8
8
8
8
8
8
ИГА
Теория чисел
+
+
+
+
+
4
4
5
5
5-6
Теория вероятностей,
случайные процессы
Алгебра многочленов
Учебная практика
+
Преддипломная практика
Дискретная математика
+
Основы микроэлектроники
Конструктивная геометрия
+
+ +
+
+
+
8
8
8
8
8
Теория игр и методы принятия
решений
Теория функций
+
Методы оптимизации
2
+
Теоретическая механика
2
Технология разработки
программных средств
+
Сайтостроение
2
Основы мехатроники и
роботостроения
ПК-9
Технология NXT и ее
программирование
+
Мультимедиа технологии
Физика
+
Разработка видеоматериалов
Основания геометрии
+
Программное обеспечение ЭВМ
Линейная алгебра
+
Технологии профессионального
обучения
2
Технология разработки учебных
программ
1-2
Разработка цифровых
образовательных ресурсов
Аналитическая геометрия
+
Системы дифференциальных
уравнений
+
Дифференциальное и
интегральное исчисление
Основные алгебраические
структуры
+
Математическая логика
1
Математическая статистика
1
Дифференциальная
геометрия и топология
ОПК-1
Элементы алгебры логики и
теории множеств
ОПК-1
Дифференциальные уравнения
Теория и методика обучения
математике и информатике
10. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
по итогам освоения дисциплины
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в
процессе освоения образовательной программы (выдержка из матрицы
компетенций):
Таблица 5.
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций
на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 6.
повышенный
(отлично)
91-100 баллов
Знает: что такое реЗнает: основные позультат задачи, методы
нятия, классические Знает: что такое ре- доказательства теорем,
факты, утверждения зультат решения задачи, методы решения задач
и приёмы, имеет пред- основные методы реше- с использованием изуставление о результате ния типовых задач курса
ченных понятий в нерешения задачи
стандартном виде
Умеет:
приводить
примеры и контпримеры,
сформулировать результат по образцу.
Владеет: приемами
решения задач, иллюстрирующих теорию, навыком выделения результата задачи по образцу.
Умеет: решать типовые
задачи, находить способ
конструирования объектов, иллюстрирующих
данное понятие или
свойство, сформулировать результат задачи
самостоятельно
Владеет: общими и
специальными приемами решения основных
задач курса, основанными на соответствующих методах, навыком выделения результата задачи самостоятельно
19
Умеет: сформулировать результат задачи
самостоятельно,
решать нестандартные
задачи
Владеет: навыком выделения
результата
задачи самостоятельно, имеет представление о значении дисциплины в математике,
анализирует решение
математических задач,
выделяет методы рассуждения
Оценочные
средства
базовый
(хорошо)
76-90 баллов
самостоятельные работы, контрольные работы, домашние задания
минимальный
(удовл.)
61-75 баллов
Виды
занятий
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
лекции, практические занятия, лабораторные
ОПК-1: готовность использовать фундаментальные знания в области математики
в будущей профессиональной деятельности
Код компетенции
Карта критериев оценивания компетенций
Знает: необходимый
материал по математике и методике для
организации учебной
деятельности
Знает: стандартный материал по математике и методике для организации учебной деятельности,
критерии оценки, основы информационных технологий
Знает: широко и глубоко
материал по математике и
методике для организации
учебной
деятельности,
критерии оценки обучающихся, методы и формы
применения информационных технологий в учебном
процессе
Умеет:
изложить
фактический материал по математике,
приводить примеры и
контрпримеры,
использовать методические приёмы
Умеет: изложить материал
по математике доказательно,
используя
методические
приёмы и методы информационных технологий
Умеет: изложить материал по математике доказательно, используя методические приёмы и методы
информационных технологий, отвечать на вопросы
Владеет: математическим необходимым
материалом и методическими приёмами
его подачи
Владеет: общими и специальными приёмами решения
основных задач курса, методами доказательства, методическими приёмами и методами использования информационных технологий
Владеет: общими и специальными приёмами решения нестандартных задач
методами
доказательств,
методические
приёмами и методами информационных технологий
Оценочные
средства
повышенный
(отлично)
91-100 баллов
самостоятельные работы, контрольные работы, домашние задания
базовый
(хорошо)
76-90 баллов
Виды занятий
минимальный
(удовл.)
61-75 баллов
лекции, практические занятия
Код
компетенции
ПК-9: способность к организации учебной деятельности в конкретной
предметной области (математика, физика, информатика)
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы,
необходимые для оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта
деятельности, характеризующей этапы формирования компетенций в
процессе освоения образовательной программы
Вопросы, выносимые на самостоятельное изучение
1. Функция (x) и неравенство Чебышева.
2. Представление квадратичных иррациональностей периодическими цепными
дробями.
3. Представление натуральных чисел в виде суммы двух квадратов.
4. Приближения действительных чисел подходящими дробями.
5. Системы сравнений.
20
6. Квадратичные вычеты и невычеты.
7. Символ Лежандра и закон взаимности Гаусса.
8. Теорема Лиувилля о приближениях алгебраического числа рациональными
числами и её применение к построению трансцендентных чисел и доказательству иррациональности некоторых чисел.
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ДЛЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ
РАЗДЕЛ I. Теория делимости в кольце целых чисел
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Тема: Функция (x) и неравенство Чебышева.
Что такое простое число ?
Каково определение функции (x) ?
Вычислите (0, 5), (2, 999), (17).
Сформулируйте неравенства Чебышева.
Сформулируйте асимптотический закон распределения простых чисел.
Сформулируйте постулат Бертрана.
Тема: Представление квадратичных иррациональностей
периодическими цепными дробями.
Что такое бесконечная цепная дробь ?
Приведите примеры бесконечных цепных дробей.
Что такое квадратичная иррациональность ?
Приведите примеры квадратичных иррациональностей.
Что такое (смешанно) периодическая бесконечная цепная дробь ?
Приведите примеры (смешанно) периодических бесконечных цепных дробей.
Сформулируйте теорему Лагранжа.
Изложите основные идеи доказательства теоремы Лагранжа.
9. Разложите в бесконечные цепные дроби иррациональности
13 ,
1 3
.
3
10. Сформулируйте теорему о чисто периодических бесконечных цепных дробях.
11. Сформулируйте теорему о разложении в периодические бесконечные цепные дроби квадратных корней из натуральных неквадратных чисел.
12. Разложите в бесконечные цепные дроби 12 , 17 , 19 .
Тема: Представление натуральных чисел в виде суммы двух квадратов.
1. Что такое задача о представлении натуральных чисел в виде суммы двух
квадратов ?
21
2. Представьте (если возможно) в виде сумм двух квадратов числа 3, 4, 5, 7,
11, 13, 27.
3. Сформулируйте основной результат о представлении простого числа в виде
суммы двух квадратов.
4. Докажите, что простое число вида p = 4n+3 не представимо в виде суммы
двух квадратов.
5. Изложите основные идеи доказательства представимости простого числа
вида p = 4n+1 в виде суммы двух квадратов.
6. Сформулируйте общий результат о представлении натурального числа в виде суммы двух квадратов.
7. Докажите, что если два числа представимы в виде суммы двух квадратов, то
и их произведение тоже представимо в этом виде.
8. Какова связь задачи о представлении натуральных чисел в виде суммы двух
квадратов с теорией разложения квадратичных иррациональностей в цепные
дроби ?
9. Найдите, основываясь на теории разложения квадратичных иррациональностей в цепные дроби, представление в виде суммы двух квадратов простых чисел p = 73, 97, 101.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Тема: Приближения действительных чисел подходящими дробями.
Что такое подходящие дроби ?
Приведите примеры подходящих дробей.
Сформулируйте основные свойства подходящих дробей.
Докажите несколько нетривиальных свойств подходящих дробей.
Обоснуйте сходимость подходящих дробей.
Найдите приближение числа e подходящими дробями с точностью до
0,001.
Сформулируйте и докажите результат о том, что рациональная дробь, достаточно хорошо аппроксимирующая действительное число, совпадает с
одной из подходящих дробей.
РАЗДЕЛ II. Теория сравнений
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Тема: Системы сравнений.
Что такое полиномиальное сравнение ?
Что такое система полиномиальных сравнений ?
Что значит решить систему полиномиальных сравнений ?
Сформулируйте теорему о структуре решений системы сравнений первой
степени.
Приведите примеры совместной и несовместной систем сравнений первой
степени.
Докажите что любая система сравнений первой степени эквивалентна системе сравнений с попарно взаимно простыми модулями.
22
7. Решите системы:
 2  x  1 (mod 6 )  32  x  14 (mod 24 )
 32  x  14 (mod 27 )



3  x  2 (mod 4 ) , 13  x  222 (mod 144 ) , 13  x  22 (mod 144 )
5  x  7 (mod 8 )  15  x  77 (mod 88 )
 15  x  77 (mod 88 )



1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
1.
2.
3.
4.
Тема: Квадратичные вычеты и невычеты.
Что такое квадратичное сравнение ?
Что такое квадратичный вычет и невычет ?
Приведите примеры квадратичных вычетов и невычетов по различным модулям.
Докажите, что по любому простому модулю количество квадратичных вычетов равно количеству квадратичных невычетов.
Докажите, что решение произвольного квадратичного сравнения
ax2+bx+c  0 (mod m) сводится к решению двучленного сравнения вида
x2  A (mod M).
Опишите алгоритм решения сравнения вида x2  A (mod M) по любому
модулю M.
Решите квадратичные сравнения:
3x2 + 2x – 5  0 (mod 5), 8x2 – x + 1  0 (mod 12).
Тема: Символ Лежандра и закон взаимности Гаусса.
Что такое символ Лежандра ?
Какая связь символа Лежандра с квадратичными сравнениями ?
Сформулируйте основные правила для вычисления символа Лежандра.
Докажите несколько нетривиальных правил.
5. Вычислите   ,   ,   .
 7   59   2 
6. Сформулируйте квадратичный закон взаимности Гаусса.
15
43
55
43
59
53
2
37   101 
7. Как связаны   и   ,   и   , 
и 
 ?
 59   43   2   53   101   37 
8. Разрешимы ли сравнения: x2  17 (mod 43), x2  43 (mod 17) ?
9. Опишите основные идеи любимого Вами доказательства квадратичного закона взаимности Гаусса.
РАЗДЕЛ IV. Алгебраические и трансцендентные числа
Тема: Теорема Лиувилля о приближениях алгебраического числа рациональными числами и её применение к построению трансцендентных чисел и
доказательству иррациональности некоторых чисел.
1. Что такое алгебраическое число ?
2. Что такое трансцендентное число ?
23
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Докажите, что число 3 1  2 является алгебраическим.
Приведите известные Вам примеры трансцендентных чисел.
Сформулируйте теорему Лиувилля.
Докажите теорему Лиувилля для квадратичной иррациональности.
Опишите основные идеи общего доказательства теоремы Лиувилля.
Приведите пример трансцендентного числа Лиувилля.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности
характеризующих этапы формирования компетенций
Зачёт по дисциплине проверяет умение решать стандартные задачи.
Экзамен по дисциплине состоит из контроля теоретической части и умения
решать стандартные задачи. В каждом билете – один вопрос и одна задача по теме билета.
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ЗАДАНИЙ ДЛЯ ЗАЧЁТА
1. Укажите частное и остаток от деления 520 на 23.
2. Двумя способами найдите НОК[ 134, 126 ] и НОД( 134, 126 ), вычислите линейное разложение НОД( 134, 126 ).
3. Докажите, что если x2 + y2 = z2 , то xy  12.
4. При каких n  N 22n+1 – 5  3 ?
5. При каких n  N n3 – 5n + 2  7 ?
6. Разложите
2121
в конечную цепную дробь и найдите все её подходящие дро1500
би.
7. Найдите каноническое разложение числа n = 1496.
8. Найдите число и сумму натуральных делителей числа 1358.
9. Найдите число и сумму целых делителей числа 1358.
10. Докажите, что сумма трёх последовательных натуральных степеней числа 2
делится на 14.
11. С помощью конечных цепных дробей найдите линейное разложение
НОД(1340, 1260).
12. Разложите 5 в бесконечную цепную дробь.
13. Найдите первые три цифры разложения в бесконечную цепную дробь числа
2π.
ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
24
ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
1. Теорема о делении целых чисел с остатком.
2. Основные свойства делимости целых чисел нацело.
3. НОД и НОК целых чисел: определение, свойства, способы нахождения,
примеры.
4. Алгоритм Евклида и линейное разложение НОД(a, b).
5. Взаимно простые числа и их свойства. Примеры.
6. Простые числа и их свойства. Основная теорема арифметики.
7. Вычисление НОД(a, b) и НОК[a, b] с помощью канонических разложений
чисел a, b. Примеры.
8. Функция Эйлера: определение, вычисление (p), примеры.
9. Функция Эйлера: мультипликативность, примеры.
10. Бесконечность множества простых чисел. Решето Эратосфена.
11. Представление рациональных чисел конечными цепными дробями.
12. Подходящие дроби и их основные свойства.
13. Представление иррациональных чисел бесконечными цепными дробями.
Примеры.
14. Квадратичные иррациональности и периодические бесконечные цепные дроби. Примеры.
15. Сравнения и их свойства. Проверка арифметических действий с помощью
сравнений. Примеры.
16. Кольцо вычетов Zm , группа Zm* , поле Zp .
17. Общий признак делимости Паскаля. Признаки делимости на 2n, 5n, 3, 9, 11.
18. Теоремы Эйлера и Ферма. Примеры использования для вычисления остатков.
19. Полиномиальные сравнения и их решения. Редукция сравнения по составному
модулю к модулю, являющемуся степенью простого числа, а затем – к простому модулю.
20. Теорема о сравнениях первой степени. Различные методы решения сравнений
первой степени. Примеры.
21. Показатели и их свойства. Первообразные корни. Нахождение первообразных
корней. Примеры.
22. Существование первообразных корней по простому модулю. Примеры.
23. Представление рациональных чисел десятичными дробями. Длина периода десятичного представления рационального числа. Примеры.
24. Индексы и их свойства. Таблицы индексов и антииндексов. Решение двучленных сравнений axn  b (mod m) с помощью индексов. Примеры.
25. Числа алгебраические и трансцендентные. Теорема Лиувилля и построение
трансцендентных чисел. Примеры.
ТРЕБОВАНИЯ К ОТВЕТУ
Для получения оценки “удовлетворительно” необходимо знать основные определения
и формулировки теорем (по всему курсу), уметь приводить примеры и решать стандартные
задачи.
25
Для получения оценки “хорошо” нужно, в дополнение к вышеизложенному, уметь доказывать основные результаты билета.
Для получения оценки “отлично” нужно, кроме прочего, доказать все теоретические результаты билета.
11. Образовательные технологии
Используются:




а) аудиторная работа:
информационные лекции,
проблемные лекции,
коллоквиумы,
активные и интерактивные формы занятий.



б) внеаудиторная работа
домашние задания,
домашние контрольные и самостоятельные работы,
внеаудиторные индивидуальные консультации.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. Бухштаб А.А. Теория чисел. – СПб: Издательство “Лань”, 2008.
2. Виноградов И.М. Основы теории чисел. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
3. Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 2008.
4. Нестеренко Ю.В. Теория чисел. – М.: Издательский центр “Академия”, 2008.
5. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – СПб: Издательство “Лань”, 2008.
б) дополнительная литература:
6. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел – М.: Наука, 1985.
7. Валицкас А.И. Конспект лекций по теории чисел: Теория делимости в кольце
целых чисел. – Тобольск: изд-во ТГПИ, 2002.
8. Валицкас А.И., Евсюкова Е.В., Шаипова А.Я., Шебанова Л.П. Разноуровневые задания по курсу: “Алгебра и теория чисел”: Учебно-методическое пособие для студентов физико-математических факультетов пединститутов. – Тобольск: изд-во ТГПИ, 1998.
26
9. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С., Стеллецкий И.В. Алгебра – М.: Просвещение, 1978.
10. Воробьев Н.Н. Признаки делимости – М.: Наука, 1980.
11. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи – М.: Наука, 1978.
12. Воронин С.М. Простые числа – М.: Знание, 1978.
13. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию чисел.
– М.: Изд. МГУ, 1984.
14. Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. – Москва-Ленинград, 1940.
15. Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. – М.: Просвещение, 1964.
16. Казачек Н.А., Перлатов Г.Н., Виленкин Н.Я., Бородин А.И. Алгебра и теория
чисел. Части I, II, III. – М.: Просвещение, 1974.
17. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. – М.: Наука, 1975.
18. Кострикин А.И. Введение в алгебру (в 3-х ТТ.). – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000.
19. Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел. – М.: Просвещение, 1970.
20. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.
21. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. Части I, II – М.: Просвещение, 1978.
22. Михелович Ш.Х. Теория чисел. – М.: Просвещение, 1967.
23. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. –М.: Наука, 1982.
24. Постников М.М. Введение в аналитическую теорию чисел. – М.: Наука, 1971.
25. Прахар К. Распределение простых чисел. – М.: Мир, 1967.
26. Сирота Е.Р., Евсюкова Е.В. Готовимся к государственному экзамену. Алгебра
и теория чисел. – Тобольск: Изд-во ТГПИ, 1995.
27. Степанов С.А. Сравнения. – М.: Знание, 1975.
28. Хинчин А.Я. Цепные дроби. – М.: Едиториал УРСС, 2004.
29. Эльнатанов Б.А. Развитие метода решета. – Душанбе, 1984.
в) периодические издания:
г) мультимедийные средства:
д) Интернет-ресурсы:
1.
Теория чисел // Википедия: свободная энциклопедия. – Электрон. дан. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Теория_чисел
13. Перечень информационных технологий, используемых при
осуществлении образовательного процесса по дисциплине, включая перечень программного обеспечения и информационных справочных
27
систем (при необходимости)
При выполнении практических работ в качестве информационных технологий может использоваться следующее программное обеспечение:
 Microsoft Word.
 Microsoft Excel.
 Microsoft PowerPoint.
14. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Компьютерный класс, оснащённый средствами мультимедиа и компьютерами:
микропроцессор не ниже Pentium IV, объём ПЗУ не меньше 2-3 ГБ, объем ОЗУ
не меньше 512 МБ, операционная система Windows XP / 7 с текстовым редактором Word – 2003 и средами программирования TurboPascal или Delphi.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
Дисциплина “Теория чисел” относится к базовой части специальных дисциплин и изучается в III–IV семестрах II-го курса. На её изучение отведено 6 зачётных единиц (216 часов), из них аудиторных – 92 часа: 16 часов лекций и 16
часов практических занятий в III семестре и 20 часов лекций и 40 часов практик в IV семестре. На самостоятельную работу студентов выделено 97 часов.
Форма итогового контроля: зачёт в III семестре и экзамен – в IV семестре.
Основные требования к знаниям и умениям студентов-математиков раскрываются в государственном стандарте. Будущий математик должен:
 знать роль и место математики в системе наук, осознавать фундаментальный и прикладной характеры математики;
 владеть системой основных математических структур и аксиоматическим
методом;
 владеть методологией построения математических моделей;
 знать основные этапы истории математики и иметь представление об ос28
новных современных тенденциях её развития;
 уметь выявлять и развивать математические способности учащихся.
Курс теории чисел в вузе строится в соответствии с этими основными задачами. Теория чисел исследует некоторые специфические свойства целых чисел и
определённых на них операций и отношений. При этом изучаемые свойства не
ограничиваются только знакомым всем отношением делимости нацело, но касаются весьма абстрактных понятий, позволяющих, тем не менее, прояснить суть
некоторых арифметических законов и применимых для решения конкретных
практических задач, связанных с целыми числами. Дисциплина “Теория чисел”
занимает исключительно важное место в системе математического образования
будущего учителя математики, как для подготовки его к практической деятельности, так и для воспитания математической культуры и глубокого понимания
основного школьного курса математики и сути этого курса с точки зрения математики высшей.
Вместе с тем, изучение курса теории чисел преследует и следующие цели:
 Знание курса необходимо для других предметов, для которых теория чисел
является поставщиком понятий, дает необходимый математический аппарат (алгебра, геометрия, математический анализ, информатика);
 Знакомство с приложениями различных тем курса и их значением в математике, в самых различных областях жизни;
 Освещение определенных задач элементарной математики с точки зрения
современной науки. Имея высокою эрудицию, из всех подходов к освещению какого-либо вопроса легче выбрать самый целесообразный;
 Отдельные разделы курса тесно связаны со школьной программой по математике, а другие являются основой для школьных факультативных курсов.
Это позволяет глубже понимать школьный курс математики и школьные
факультативные курсы, создает базу для работы в классах с углубленным
изучением математики, ведения кружковых занятий;
 Явная ориентация на профессиональное становление будущего учителя математики.
29
В самостоятельной работе особое внимание следует уделить решению дополнительных задач, в которых студент может проявить свои знания и умение мыслить. Что касается теоретических разделов, выносимых на самостоятельное изучение, то их усвоение контролируется с одной стороны контрольными вопросами, контрольными работами, а с другой – вопросами для экзамена. Рекомендуется выполнять все домашние задания.
На зачёте в III семестре студенту следует продемонстрировать умение решать стандартные задачи. Экзаменационный билет на экзамене в IV семестре
состоит из теоретического вопроса и задачи по теме этого вопроса.
30