Алгебра высказываний - В помощь студентам ПМР

Раздел 1. Алгебра
высказываний.
1.1. Высказывания и операции над ними.
Курс
математической
логики
отвечает
за
формализацию
человеческих
рассуждений.
Высказывание - исходное понятие логики высказываний, поэтому мы не определяем его через другие
понятия этой теории.
Определение: Высказывание - это простое, грамматически правильное, повествовательное
предложение, о котором в данный момент мы можем судить истинно оно или ложно.
Например:
Киев - столица Украины - истинное высказывание.
Тирасполь - столица России - ложное высказывание.
Логика высказываний рассматривает предложения языка не с точки зрения их смысла,
содержания, а только с точки зрения их истинности или ложности. Не всякое предложение может быть
истинным или ложным, а следовательно быть высказыванием. Как Вас зовут?
Ветренно. (это предложение является высказыванием, другое дело что это не полное предложение по
правилам русского языка) Ух, хорошо!
Вопросительное
или
повелительное
предложения
не
являются
высказываниями.
Повествовательные предложения не всегда могут считаться высказываниями. Так в трудах Аристотеля
приводится, так называемый парадокс лжеца:
«Я лжец», - сказал лжец.
(1)
Если говорящий - лжец, то в этом заявлении он выступает в противоположном для себя качестве,
а именно - нелжеца. Следовательно
«Я лжец», - сказал нелжец.
(2)
Теперь получается, что правдивый человек сообщает о себе, что он лжец. Следовательно (1) и (2)
не являются высказываниями, т.к. по определению высказывание не может быть одновременно и
истинно и ложно.
Сопоставим каждому простому высказыванию некоторую переменную, которая принимает
значение 1, если высказывание истинно и 0, если высказывание ложно. Такие переменные назовем
пропозициональными.
Алгебра высказываний рассматривает способ образования одних высказываний из других, более
простых, с помощью так называемых логических операций (связок), причем необходимо учесть, что
истинностные значения сложных высказываний определяются истинностными значениями входящих в
них высказываний, а не их смыслом.
Смысл сказанного не интересует.
Значение Х ( Р ) называется логическим значением или значением истинности
высказывания Р,
\1,
если
если
высказывание
высказывание Р
Р
истинно, [ 0 ,
ложно.
В алгебре высказываний используется пять операций (логических связок): инверсия,
конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность.
1. Отрицанием (~[Р, читается «не Р») высказывания ~[Р называется высказывание «не Р», которое
истинно, когда Р- ложно, и наоборот.
2. Дизьюнкция. (РУ<3)- читается «Р или ((»
3. Коньюнкцией (Р&(()
4. Импликация (Р=>((, Р—»■(() «если Р, то 0», «из Р следует С)», «Р достаточно для С)», «С)
необходимо для Р»
5. Эквивалентность (Р<=>((, Р<-»-С() «Р равносильно 0», «Р тогда и только тогда, когда 0», «Р
необходимо и достаточно для С»
Название
Опера
операции
ция
-А
отрицание
АлВ
коньюнкция
АVВ
дизьюнкция
А == В импликация
А <=>
В
Полное прочтение полученного
Краткое прочтение полученного
высказывания
неверно, что А
верно, чтоА и верно, что В
верно, чтоА или верно, что В
если верно, чтоА, то верно, что В
высказывания
не А
АиВ
А или В
если А, то В А
влечет В
эквиваленция А эквивалентно В
А тогда и только тогда когда В
верно, чтоА, тогда и только тогда,
когда верно, что В
Таблица, которая определяет, какие значения принимают высказывания, полученные с помощью
этих операций, называется истинностной.
А
0
0
1
1
В
0
1
0
1
АлВ
0
0
0
1
-А
1
1
0
0
АVВ
0
1
1
1
А == В
1
1
0
1
А <=> В
1
0
0
1
1.2. Алфавит и формулы алгебры высказываний
Определим понятие формулы логики высказываний.
Допустим в предметном языке имеются предложения, внутренняя структура которых нам
безразлична. Требуется только чтоб мы могли их распознавать и различать. Такие предложения
называются элементарными формулами или атомами. Атомы обозначаются большими буквами
латинского алфавита с индексами и без: А, В, . Рь Р2...
Сложные высказывания описываются сложными формулами или молекулами. Молекулы
строятся из атомов с помощью логических операторов (связок).
Определение: Алфавитом АВ называется любое непустое множество, элементы которого
называется символами данного алфавита.
Определение:
Словом
в
данном
алфавите
называется
произвольная
конечная
последовательность символов возможно пустая.
Слово А называется подсловом слова В, если В=В1АВ2 , где В1, В2-некоторые слова, возможно
пустые.
Алфавит логики высказываний содержит : 1 ) пропозициональные переменные
с индексами или без (А, В, . Р1, Р2, . )
2) символы логических связок.
3) символы скобок( ).
Слово в алфавите алгебры высказываний называется формулой, если оно удовлетворяет
следующим требованиям:
1. V пропозициональная переменная есть формула.
2. Если А и В формулы, то формулами будут (—А), (А&В), (АУВ), (А=>В), (А<=>В)
3. Других формул нет.
Определение: Подформулой формулы А называется любое подслово А, которое само является
формулой. Например: (Р V р = Я )) - формула т.к. <2, Я, Р - формулы по (1); () = Я - формула по (2);
(р v(Q = Я )) - формула
(Р
V (() = Я
) - не является формулой т.к.
Р и ^ = Я - формулы, применяя пункт (2) получим формулу (Р V р = Я )) а не слово (Р V ( ( ) =
Я ), т.к. не хватает одной правой скобки, а по пункту (3) - других формул нет.
Следуя определению получаем формулы с большим количеством скобок, что затрудняет восприятие.
Для их упрощения примем следующее соглашение об опущении скобок: 1) Опускать внешние скобки
(первую левую и последнюю правую);
2) Опускать все те пары скобок без которых возможно восстановление первоначальной формулы
на основе следующих правил: каждое вхождение знака — относится к наименьшей формуле, следующей
за ним, а логические операции выполняются в следующем порядке: &, V, =, <=>. С учетом этого
соглашения формула А V —В = —С <=> А запишется так: ( ( ( А V ( —В)) = ( — С ) ) <=> А ) .
Таким
с^ршої^ любое высказывание простое или составное имеет некоторое истинностное
значение, зависящее от значений, составляющих его высказываний и может быть
задано
таблицей
истинности.
Упорядочный набор пропозициональных переменных хі, х2,..,хп называется списком переменных
формулы Б. Часть из них может быть фиктивной.
Высказывания, соответствующие пропозициональным переменным х1 х2 ,,,хп называются
атомарными.
Оценкой списка переменных называется сопоставление каждой переменой списка некоторого
истинностного значения.
Пусть формулы А и В зависят от одного и того же числа пропозициональных переменных.
Определение: Формулы А и В называются равносильными, если на любой оценке списка (х1, х2,
.. .,хп) они принимают одинаковые значения. А = В.
Отношение равносильности является отношением эквивалентности:
1) А = А - рефлексивность,
2) если А = В , то В = А
3) если А = В,
В
- симметричность,
= С , то А = С - транзитивность.
1.3. Основные равносильности логики
высказываний.
Основные равносильности ЛВ - все основные равносильности, которые были рассмотрены в
курсе «Дискретной математики».
A V A = A,
A & A =A
A
A&B
VB =B VA ,
=B
- идемпотентный закон
&A
- коммутативный закон
A
V( B VC ) = ( A VB ) VC
A &(B
V( B
A
VC ) = ( A
&C)
V( A
=A
A&(B&C)
& B ) V( A & C ) 1
= ( A VB )
&B)
,
&(A
VC )
=(A
& B ) & C - ассоциативный закон
>
- дистрибутивный закон A
VB ) = A
- закон поглощения
J
A&(A
-склеивание - расщепление
A = ( A & B ) v(A&-
A = ( A v B ) & ( A v-B) -
B ) , -(A v B ) = ( - A ) & ( -
( A & B ) = ( - A ) v ( - B ) - закон
B ), -(-A ) = A
двойного отрицания A & ( - A v B )
- де Моргана
A v ( - A & B )=A vB A v = A & B A & ( -A) = Л А v И
( -A) = И,
= И,
- закон Парецкого
- закон противоречия
А & И = А,\
законы констант
1) -A = --Л
B =И
-И = Л,
2) A
А & Л
=&
Л C, = BА &VCЛ = А
3) A v C =способы
B v Cперехода от одних равносильностей к другим.
Рассмотрим
4) A 1: Пусть
C А== В
B и С- произвольная формула, тогда имеют место следующие
Лемма
C
равносильности:
5) A a C = B a C
C & A = C & B C v A = C v B C =i A = C
=i B C ^ A = C ^ B
Лемма 2: Пусть А=В и С- произвольная формула в которой выделено вхождение
пропозициональной переменой Xi. Пусть СА- это формула, полученная из С заменой переменой х;
формулой А, СВ - соответственно заменой переменой xi формулой В, тогда СА = СВ.
Утверждение 1: (Правило равносильных преобразований). Пусть СА -формула, содержащая
формулу А как подформулу и пусть СВ получено из СА заменой А на В, тогда если А = В, то СА = СВ.
Утверждение
2:
(Правило
устранения
символов
логических
связок
импликации
и
эквиваленции). Для любой формулы можно указать равносильную ей формулу не содержащую
символов логических связок, импликации эквивалентности:
A =>B = - A v B
A ^ B = A & B v ( - A ) & ( - B ) = ( A v ( -B) )&(( -A) v B)
1.4. Тождественно истинные формулы.
Правильные рассуждения.
Пусть формула А зависит от списка пропозициональных переменных (х1, х2, .. .,х„ ).
Определение: А- называется: 1.) Тавтологией (тождественно истиной, общезначимой), если на
любой оценке списка переменных она принимает значение И (истина).
2.) Выполнимой, если на некоторой оценке списка переменных она принимает значение И.
3.) Противоречием (тождественной ложной, невыполнимой), если на любой оценке списка
переменных она принимает значение Л (ложь).
4.) Опровержимой, если на некоторой оценке списка переменных она принимает значение ложь.
С точки зрения логики тавтология представляет собой логический закон, т.к. при подстановке
вместо переменных каких-либо значений в результате получаем истинное значение.
Наиболее важные тавтологии:
1) А V— А
- закон исключения третьего
2) А = А
3) А = ( В = А )
цепное рассуждение.
5) ( А = ( В = С ) ) = ( ( А = В ) = ( А = С ) )
6) ( А & В ) = А
(А&В) = В
7) А = ( В = ( А & В ) )
8) А = ( А V В )
9)
В = (А V В)
( в В = — А ) = А —В = А ) = В)
10) ( ( А = В
) =А ) =А
- закон Пирса
При доказательстве утверждений в различных математических теориях обычно используют
рассуждения, которые на языке логики можно выразить различными формулами ЛВ.
Определение: Рассуждение называется правильным, если из коньюнкции посылок следует
заключение, то есть всякий раз, когда все посылки истинны, заключение тоже истинно. Пусть РьР2, -
Р т - посылки, а Б - заключение, тогда для определения правильности
рассуждения по схеме---------------------- необходимо доказать тождественную истинность формулы
(Р] >Р2>...Рп = Б ) = ]
Пример 1: Проанализировать рассуждение: «Если число 5 простое, то оно не чётное. Число 5 нечётное.
Следовательно, число 5 простое.»
Т.о., необходимо выяснить, является ли данное рассуждение правильным. Выделим
высказывания.
А: «число 5 простое»;
В: «число 5 нечётное».
Р1 :
А == В Р 2 :
В В:
А
Р ,Р
А ==В , В
Схема рассуждения: -------------
В
А
---------------
Докажем:
( А ==В ) & В ) => А = ( - А VВ ) & В V А = А & ( - В ) V-В V А =-В V А Ф1
А
0
0
1
1
В
0
1
0
1
А => В
(А == В ) &В
( А => В ) &В )= А
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
Вывод: Так как данная формула не тождественно истинная, то данное рассуждение не является
правильным, и не имеет силу закона.
Пример 2. Если Пётр занимается спортом, то он никогда не болеет. Пётр занимается спортом.
Следовательно Пётр никогда не болеет.
А: «Петр занимается спортом».
В: «Петр никогда не болеет».
Р1 :
Р
2
А => В
: А
В : В
А
Схема рассуждения:
Докажем:
В,А
----------- В----
( ( А => В ) & А )=> В = ( - А V В ) & А V В = А & ( - В ) V-А V В = - А V-В V В = 1
Распространенными схемами правильных рассуждений являются следующие:
А
В
А =1В
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
( А == В ) & А ( А == В ) & А ) =
В
0
0
0
1
1
1
1
1
Следовательно, исходное рассуждение правильное.
А = В,А
А = В,-В
В
-А
Рассмотрим условное высказывание вида А = В , где А - конъюнкция посылок, В -заключение.
Иногда вместо доказательства истинности этого условного высказывания удобнее доказать логическую
истинность некоторого другого высказывания, равносильного исходному. Такие методы доказательства
называются косвенными. Одним из примеров косвенного доказательства является метод доказательства
от противного. Предполагают, что высказывание А = В ложно, и исходя из этого предположения
приходят к противоречию, а именно, что некоторое высказывание С и истина и ложь одновременно.
Применимость
этой
формы
косвенного
доказательства
оправдывается
следующей
равносильностью
А = В = -(А = В ) = ( С & -С)
Существуют и другие схемы доказательства от противного
А = В = ( А & -В ) = - А А = В = -В = -А Пример 3:
Общезначима ли формула: (А VВ ) = ( А & В ).
Применим метод доказательства от противного. Пусть формула ( А VВ ) = ( А & В )= Л
\А V В = И
тогда по определению импликации <
, откуда (А,В)=(И,Л).
[А & В =Л
Имеется такой набор А и В при котором формула принимает значение Л. Следовательно эта формула не
является тавтологией.
Пример 4: Общезначима ли формула: ( А = В ) = (((В = С ) = ( А = С )).
Предположим, что формула равна Л. Тогда должен существовать хотя бы один набор значений
формул А, В, С при котором формула принимает значение Л. По определению
А =В =И
импликации <
\А =В =И
.
ч
откуда
В => С = И
значит
[(В = С) = ( А = С ) = Л
А => С = Л
(А,С) = ( И, Л)
,
а
\ ( А , В , С )=( И ,И, Л )
И =В =И
или \
что противоречит условию импликации.
И
=
Л
=
И
[
[
В =Л =И
Следовательно было сделано неверное предположение. Следовательно формула - тавтология.
Формула G называется следствием из формулы Fi, F2...Fn, если оно образуется в истинное
высказывание на всяком наборе значений переменных, для которых в истинное высказывание
образуются все формулы Fi, F2.. .Fn то есть Fi, F2.. .Fm |= G |- (F)
Практические задания к разделу i
ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
1.1. Какие из следующих предложений являются высказываниями?
а) Москва - столица России.
б) Студент физико-математического факультета педагогического института.
в) Треугольник ABC подобен треугольнику А'В'С'.
г) Луна есть спутник Марса.
д) 2 + V3 - V5.
е) Кислород - газ.
ж) Каша - вкусное блюдо.
з) Математика - интересный предмет.
и) Картины Пикассо слишком абстрактны.
к) Железо тяжелее свинца.
л) Да здравствуют музы!
м) Треугольник называется равносторонним, если его стороны равны. н)
Если в треугольнике все углы равны, то он равносторонние. о) Сегодня
плохая погода.
п) В романе А. С. Пушкина «Евгений Онегин» 136 245 букв. р)
Река Ангара впадает в озеро Байкал.
Решение. б) Это предложение не является высказыванием, потому что оно ничего не утверждает о
студенте.
в) Предложение не является высказыванием: мы не можем определить, истинно оно или ложно,
потому что не знаем, о каких именно треугольниках идет речь.
ж) Предложение не является высказыванием, так как понятие «вкусное блюдо» слишком
неопределенно.
п) Предложение - высказывание, но для выяснения его значения истинности нужно затратить
немало времени.
1.2. Укажите, какие из высказываний предыдущей задачи истинные, а какие - ложные.
1.3. Сформулируйте отрицания следующих высказываний; укажите значения истинности
данных высказываний и их отрицаний:
а) Волга впадает в Каспийское море. б)
Число 28 не делится на число 7.
в) 6 > 3.
г) 4 < 5.
д) Все простые числа нечетны.
1.4. Установите, какие из высказываний в следующих парах являются отрицаниями друг
друга и какие - нет (объясните почему):
а) 2 < 0, 2 > 0. б) 6 < 9, 6 > 9.
в) «Треугольник ABC прямоугольный», «Треугольник ABC тупоугольный».
г) «Натуральное число n четно», «Натуральное число n нечетно».
д) «Функция f нечетна», «Функция f четна».
е) «Все простые числа нечетны», «Все простые числа четны».
ж) «Все простые числа нечетны», «Существует простое четное число».
з) «Человеку известны все виды животных, обитающих на Земле», «На Земле существует вид
животных, не известный человеку».
и) «Существуют иррациональные числа», «Все числа рациональные».
Решение. а) Высказывание «2 > 0» не является отрицанием 'высказывания «2 < 0», потому что
требование не быть меньше 0 оставляет две возможности: быть равным 0 и быть больше 0. Таким
образом, отрицанием высказывания «2 < 0» является высказывание «2 > 0».
1.5. Следующие высказывания запишите без знака отрицания:
а) —(a < b);
в) —(a > b);
б) —(a < b);
г) —(a > b ) .
1.6. Определите значения истинности следующих высказываний:
а) Ленинград расположен на Неве и 2 + 3 = 5.
б) 7 - простое число и 9 - простое число.
в) 7 - простое число или 9 - простое число.
г) Число 2 четное или это число простое.
д) 2 < 3, 2 > 3, 2 • 2 < 4, 2 • 2 > 4.
е) 2 • 2 = 4 или белые медведи живут в Африке.
ж) 2 • 2 = 4, и 2 • 2 < 5, и 2 • 2 > 4.
Решение. а) Так как оба простых высказывания, к которым применяется операция конъюнкции,
истинны, поэтому на основании определения этой операции и их конъюнкция есть истинное
высказывание.
1.7. Определите значения истинности высказываний А, В, С, D и Е, если:
a) A & (2 • 2 = 4)1
> - истинные высказывания, а
в ) С v (2 • 2 = 5) [
б) В & (2 ■ 2 = 4)
г)
Ь V (2 ■ 2 = 5)
д)
Е & (2 ■ 2 =
ложные.
5)
Решение. в) Дизъюнкция высказываний есть истинное высказывание лишь в случае, когда по
меньшей мере одно из входящих в дизъюнкцию составляющих высказываний (членов дизъюнкции)
истинно. В нашем случае второе составляющее высказывание «2 • 2 = 5» ложно, а дизъюнкция двух
высказываний истинна. Поэтому первое составляющее высказывание С истинно.
1.8. Сформулируйте и запишите в виде конъюнкции или дизъюнкции условие истинности
каждого предложения (а и Ь — действительные числа):
а) а ■ Ь Ф 0
г) — = 0
Ь
ж) — Ф 0
Ь
б) а ■ Ь = 0
д) — = 3
з) а2 + Ь2 Ф О
в) а2 + Ь2 = 0
е) —| < 3
и) —| > 3
Решение. г) Дробь равна нулю лишь в случае, когда числитель равен нулю и знаменатель не равен
нулю, т. е. (а = 0) & (Ь Ф 0).
1.9. Определите значения истинности следующих высказываний:
а) Если 12 делится на 6, то 12 делится на 3.
б) Если 11 делится на 6, то 11 делится на 3.
в) Если 1 5 делится на 6, то 1 5 делится на 3.
г)Если 15 делится на 3, то 15 Делится на 6.
д) Если Саратов расположен на Неве, то белые медведи обитают в Африке.
е) 1 2 делится на 6 тогда и только тогда, когда 1 2 делится на 3.
ж) 11 делится на 6 тогда и только тогда, когда 11 делится на 3.
з) 1 5 делится на 6 тогда и только тогда, когда 1 5 делится на 3.
и) 1 5 делится на 5 тогда и только тогда, когда 1 5 делится на 4.
к) Тело массой т обладает потенциальной энергией mgh тогда и только тогда, когда оно находится
на высоте к над поверхностью земли.
Решение. а) Так как высказывание-посылка «1 2 делится на 6» истинно и, высказываниеследствие «12 делится на 3» истинно, то и составное высказывание на основании определения
импликации также истинно.
ж) Из определения эквивалентности видим, что высказывание вида Р < =$ () истинно, если
логические значения высказываний Р и () совпадают, и ложно в противном случае. В данном примере
оба высказывания к которым применяется связка «тогда и только тогда», ложны. Поэтому все составное
высказывание истинно.
1.10. Пусть через А обозначено высказывание «9 делится на 3», а через В — высказывание «8
делится
а)
на
А == В
3».
Определите
г) -В == А
значения
ж) А == -В
истинности
следующих
высказываний:
к) -А о -В
б) В == А
д) -А == -В
з) В == -А
л) -А о В
в) -А == В
е) -В => -А
и) А о В
м) А о -В
Решение. е) Имеем Я(А) = 1, Я(В) = 0 . Поэтому
Я(-В == -А) = -Я(В) == -Я( А) = -0 = -1 = 1 == 0 = 0 .
1.11. Определите значения истинности высказываний А, В, С и Б в следующих предложениях,
из которых первые два истинны, а последние два ложны:
а) Если 4 - четное число, то А.
б) Если В, то 4 - нечетное число.
в) Если 4 - четное число, то С.
г) Если Б, то 4 - нечетное число.
Решение. а) Импликация двух высказываний есть ложное высказывание лишь в единственном
случае, когда посылка истинна, а заключение ложно. В данном случае посылка «4 - четное число»
истинна и по условию все высказывание также истинно. Поэтому заключение А ложным быть не может,
т. е. высказывание А истинно.
1.12. Определите значения истинности высказываний А, В, С и Б в следующих предложениях,
из которых первые два истинны, а последние два ложны:
а) А о (2 < 3);
б) В о (2 > 3);
в) С о (2 < 3);
г) В о (2 > 3).
1.13. Пусть через А обозначено высказывание «Этот треугольник равнобедренный», а через В
- высказывание «Этот треугольник равносторонний». Прочитайте следующие высказывания:
а) -А & -В
г) ( А V В ) о А
б) -(А V В)
д) -(А & В) о -В
в) -А ==-В
е) (А & -В)= > — А
Решение. е) Если треугольник равнобедренный и неравносторонний, то неверно, что он
неравнобедренный.
1.14. Следующие составные высказывания расчлените на простые и запишите символически,
введя буквенные обозначения для простых их составляющих:
а) Если 18 делится на 2 и не делится на 3, то оно не делится на 6.
б) Произведение трех чисел равно нулю тогда и только тогда, когда одно из них равно нулю.
в) Если производная функция в точке равна нулю и вторая производная этой функции в той же
точке отрицательна, то данная точка есть точка максимума этой функции.
г) Если в треугольнике медиана не является высотой и биссектрисой, то этот треугольник не
равнобедренный и не равносторонний.
Решение. г) Выделим и следующим образом обозначим простейшие составляющие высказывания:
А: «В треугольнике медиана является высотой»;
В: «В треугольнике медиана является биссектрисой»;
С: «Этот треугольник равнобедренный»;
Б: «Этот треугольник равносторонний».
Тогда данное высказывание символически записывается так:
(-А & -В)=(-С & -О).
1.15. Из двух данных высказываний А и В постройте составное высказывание с помощью
операций отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, которое было бы:
а) истинно тогда и только тогда, когда оба данных высказывания ложны;
б) ложно тогда и только тогда, когда оба данных высказывания истинны.
1.16. Из трех данных высказываний А, В, С постройте составное высказывание, которое истинно,
когда истинно какое-либо одно из данных высказываний, и только в этом случае.
1.17. Пусть высказывание А =
В истинно. Что можно сказать о логическом значении
высказывания
1.18. Если высказывание А о В истинно (ложно), то что можно сказать о логическом значении
высказываний:
а) А о -В;
б) -А о В ;
в) -А = В;
г) В = А ?
1.19. Если высказывание А = В истинно, а высказывание А о В ложно, то что можно сказать о
логическом значении высказывания В = А ?
1.20. Существуют ли три таких высказывания А, В, С, чтобы одновременно высказывание А & В
было истинным, высказывание А & С — ложным и высказывание ( А & В) & -С — ложным?
1 .21 . Для каждого из помещенных ниже высказываний определите, достаточно ли приведенных
сведений, чтобы установить его логическое значение. Если достаточно, то укажите это значение. Если
недостаточно, то покажите, что возможны и одно, и другое истинностные значения:
а) ( А = В)= С, Я(С) = 1;;
г) -(А V В) о (-А & -В), Я(А) = 1;
б) А & (В = С), Я ( В = С ) = 0;
д) ( А = В)=(-В ==-А) Я(В) = 1;
в) А v (B = С), Я(В) = 0;
е) ( А & В ) = ( А V С ), Я(А) = 0.
Решение. а) Поскольку заключение импликации истинно, то и вся импликация будет истинным
высказыванием независимо от логического значения посылки.
НАХОЖДЕНИЕ СЛЕДСТВИЙ ИЗ ПОСЫЛОК
1 .22. Найдите все неравносильные между собой и не тождественно истинные формулы алгебры
высказываний, являющиеся логическими следствиями следующих формул (посылок): а) X == (X V Z) и
Z == Y;
б) X == Y и Х;
в) X == Y и -Y;
г) X о Y и -X ;
д) X V Y, X и -Y;
е) X == Y и Y == Z;
ж) X о Y и Y о Z ;
з) ( X & Y)= Z и X V Y ;
и) ( X & Y)= Z и Y == X ;
к) X == Y, Y V Z и (X & Y) о Z; л) ( X &
Y )=>-г, Y и Z.
Решение. а) Составляем конъюнкцию посылок и равносильными преобразованиями приводим ее к
совершенной конъюнктивной нормальной форме: ( X ==( V Z ))& ( == Y )=(( V Y V Z )& (-Z V Y ) = = (-С
V
Y V Z)& (( V Y v -Z)& (-X V Y V
).
Логическими следствиями из данных посылок будут все совершенные дизъюнктивные одночлены,
входящие в полученную СКНФ, а также всевозможные конъюнкции этих одночленов по два, по три и т.
д. Выписываем получающиеся формулы, придав им более удобную равносильную форму:
1) -X V Y V Z = X ==( V Z) (первая посылка);
2) X V Y v -Z = Z
V
Y);
3) -X V Y v -Z = (X & Z) == Y ;
4) (-XV Y V Z)&((VY v -Z) = (о Z^ Y;
5) (-X V Y V Z)&(-X V Y v -Z) = -С V Y = X == Y;
6) (( V Y V -Z) & (-X V Y V -Z) = Y V -Z = Z == Y (вторая посылка);
7) (-X V Y V Z )& (( V Y V
v -X
&
=
)& (-X V
Y V -Z )=(-X V Y V Z )& (( V
)==
Y v (-X V Z)&= Y
(X V Z) = Y .
1.23. Найдите формулу F (X, Y), зависящую только от переменных X и Y и являющуюся
логическим следствием указанных формул (посылок):
а) X = Z,
=
^, Y == V и
& V;
б) -X == Z и ^ == -Z;
в) -X V Z,
& ^ и Y == X;
г) X == Z, Y о-^ и Z == V;
д) X & У & -2, X V V, 2 <=> -7 и X => 7;
е) -X V 2, У =>-2, V =>(У & 2) и V V X.
Решение. а) Составляем таблицы истинности для формул, являющихся посылками:
X
0
0
0
0
0
Y
0
0
0
0
1
Z
0
0
1
1
0
V
0
1
0
1
0
X == Z
1
1
1
1
1
-Z ==-Y
1
1
1
1
0
Y == V
1
1
1
1
0
-Z & V
0
1
0
0
0
2
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
Далее, в правом столбце цифрами отмечаем те строки, в которых все четыре посылки принимают
значение 1. Этому требованию удовлетворяет лишь вторая строка, в которой А,(Х)=0 и A,(Y)=0.
Следовательно, если мы найдем такую формулу F (X, Y), для которой F(0, 0) = 1, то такая формула будет
логическим следствием четырех данных посылок. Ищем такую формулу, используя СДНФ и считая, что
на всех других наборах значений переменных искомая формула обращается в 0:
F(0, 1)=F(1, 0)=F(1, 1)=0.
Получаем F ( X , Y) = -X & -Y.
1.24. Найдите следствие из посылок:
(-X & Y) v Z, -(X & Y) и Y == (X v -Z),
содержащее только переменные:
а) X и Z;
б) Y и Z.
1.25. Найдите следствие из посылок X v Y, X == Z и Y о V, содержащее только
переменные:
а) X и V;
б) Y, Z и V.
1. 26. Найдите следствие из посылок задачи 1.23. а), содержащее только переменные X и V. 1.27.
Найдите следствие из посылок:
X ==(Y v Z ), V == —Y, (X & —W ) = V, W == X,
зависящее только от переменных V, W и Z.
1.28. Найдите следствие из посылок:
X == Y, Z == V, — V == —Z, — Y & V,
содержащее только переменные:
а) X и Z;
б) X и V.
1.29. Докажите, что описанный в решении задачи 1.23 а) способ отыскания логического
следствия из данных посылок, содержащего только заданные пропозициональные переменные,
позволяет найти самое сильное из следствий, т. е. такое следствие, что все другие следствия,
связывающие указанные переменные, сами из него следуют.
1.30. Найдите все следствия из посылок: «Если сумма цифр целого числа делится на 3, то это число
делится на 3 или на 9»; «Если целое число делится на 9, то оно делится на 3». Найденным следствиям
придайте содержательный смысл.
Решение. Введем обозначения для простых высказываний:
X: «Сумма цифр целого числа делится на 3»;
Y: «Целое число делится на 3»;
Z: «Целое число делится на 9».
Тогда первая посылка символически запишется в виде формулыX == (Y v Z) , а вторая - в
виде формулыZ == Y. Задача сводится к тому, чтобы из этих формул (посылок) получить все формулы,
являющиеся их логическими следствиями. Для данных посылок эта задача решена нами в задаче 1.22, а.
Остается придать этим формулам содержательный смысл:
X
== (y v Z) : «Если сумма цифр делится на 3, то число делится на 3 или на 9»;
Z
== (X v Y): «Если число делится на 9, то оно делится на 3 или сумма цифр делится на 3»;
(X
& Z) == Y : «Если сумма цифр делится на 3 и число делится на 9, то оно делится на 3»;
(X
^
Z) v Y
: «Сумма цифр делится на 3 тогда и только тогда, когда число делится на 9 или число
делится на 3»;
X
== Y : «Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3»;
Z
== Y : «Если число делится на 9, то оно делится на 3»;
(X v Z)
== Y : «Если сумма цифр числа делится на 3 или число делится на 9, то число делится на 3».
1 .31 . Найдите все следствия из посылок и выразите их в содержательной форме: «Если последняя
цифра целого числа четна, то число делится на 2 или на 4»; «Если целое число делится на 4, то оно
делится на 2».
Указание. Запишите посылки в виде формул алгебры высказываний и сравните их с посылками
предыдущей задачи.
1.32. Найдите все следствия из посылок: «Если целое число делится на 2 и на 5, то оно делится на
10»; «Целое число делится на 2 и не делится на 5». Выразите полученные следствия в содержательной
форме.
Указание. Выразите посылки в виде формул алгебры высказываний и обратитесь к задаче
1 .22, и.
1 .33. Найдите все следствия из посылок: «Если у четырехугольника две противоположные стороны
параллельны
и
они
же
равны,
то
этот
четырехугольник
-параллелограмм»;
«У
данного
четырехугольника две противоположные стороны равны или параллельны».
Указание. См. задачу 1.22, з.
1.34. Какая связь между высказываниями «Данный четырехугольник - ромб» и «Данный
четырехугольник - квадрат» логически следует из следующих четырех посылок: «Если данный
четырехугольник
-
ромб,
то
его
диагонали
взаимно
перпендикулярны»;
«Если
диагонали
данного четырехугольника не взаимно перпендикулярны, то он не является квадратом»; «Если
данный четырехугольник - квадрат, то его можно вписать в окружность»; «Неверно, что
данный четырехугольник имеет взаимно перпендикулярные диагонали или не может быть
вписан в окружность»?
Решение. Введем обозначения для простейших высказываний, входящих в посылки: X:
«Четырехугольник — ромб»; У: «Четырехугольник — квадрат»;
2: «Диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны»;
V: «Четырехугольник можно вписать в окружность».
Тогда посылки можно записать символически следующим образом: X = > Z,
^ =>-У,
Y = > V,
—2 V — V).
Последняя посылка равносильна такой: — Z & V, и поэтому задача сводится к тому, чтобы из
данных посылок получить следствие, зависящее лишь от переменных X и У. Эта задача решена нами в
задаче 1.23, а. Остается придать полученной формуле —X & —Y, содержательный смысл:
«Четырехугольник не является ни ромбом, ни квадратом».
1.35. Из посылок предыдущей задачи найдите правильное заключение о связи между
высказываниями: «Данный четырехугольник - ромб» и «Данный четырехугольник можно
вписать в окружность».
Указание. См. задачу 1.26.
1.36. Даны посылки: «Если целое число п больше 1, то оно простое либо составное»;
«Если целое число четное, то оно не простое»; «Если целое число больше 1 и не больше 2, то
оно четное»; «Если целое число 2, то оно больше 1 ». Из этих посылок
найдите
следствие,
связывающее высказывания: «Целое число больше 2», «Целое число четное» и «Целое число
составное».
У к а з а н и е . Выразите посылки в виде формул алгебры высказываний и обратитесь к задаче
1.27.
1.37. Даны посылки: «Если данный четырехугольник - ромб, то его диагонали перпендикулярны»;
«Если данный четырехугольник - квадрат, то его диагонали равны»; «Если диагонали данного
четырехугольника не равны, то он не квадрат»; «Диагонали данного четырехугольника не
перпендикулярны и равны». Найдите следствие из этих посылок, состоящее из высказываний:
а) «Данный четырехугольник - ромб» и «Данный четырехугольник - квадрат».
б) «Данный четырехугольник - ромб» и «Диагонали данного четырехугольника равны».
У к а з а н и е . Выразите посылки в виде формул алгебры высказываний и обратитесь к
задаче 1.28.
НАХОЖДЕНИЕ ПОСЫЛОК ДЛЯ ДАННЫХ СЛЕДСТВИЙ
1.38. Найдите все неравносильные между собой и не тождественно ложные формулы алгебры
высказываний, для которых следующая формула является логическим следствием (за исключением
самой данной формулы):
а) X о Y;
г) -X v Y );
б) X == Y;
д) (X v Y ) = (X & Y ).
в) X v-Y;
Решение. а) Чтобы определить, логическим следствием каких посылок является данная
формула Б (Х1, Х2, ........ , Хп), ее необходимо привести к совершенной конъюнктивной нормальной
форме и затем составить конъюнкции формулы Б с недостающими в ее СКН-форме совершенными
дизъюнктивными одночленами вида X* V X* V .... V Х*п (где X * есть либо Х{ , либо —Х), взятыми
по одному, по два и т. д.
Приведем данную формулу к СКН-форме:
X <=> У = (X => У) & (У => X) = (—X V У) & (X V —У).
Недостающими в этой форме дизъюнктивными одночленами вида X * V У * являются X V У и —X V —У.
Поэтому искомыми посылками для данной формулы являются формулы ( X <=> У ) & ( X V У), (X <=>
У ) & ( —X v —У) и ( X <=> У ) & ( X V У ) & ( —X V —У). Преобразуем их равносильным образом к
более простым формулам:
(X <=> У) & (X V У) = (—X V У) & (X V —У) & (X V У) = (—X V У) & X = X & У;
(X <=> У) & (—X V —У) = (—X V У) & (X V —У) & (—X V —У) = (—X V У) & —У = —X & —У;
(X <=> У) & (X V У) & (—X V —У) = (—X V У) & (X V —У) & (X V У) & (—X V —У) =
= (—X V У) & X & (—X V —У) = —X & X = О
(т. е. эта последняя посылка представляет собой тождественно ложную формулу, из которой логически
следует всякая формула алгебры высказываний, в том числе и данная X о У ).
Итак, всякая формула, для которой формула X о У является логическим следствием, равносильна
либо формуле Х&У, либо формуле —Х&—У, либо тождественно ложна. Поскольку из тождественно
ложной формулы логически следует любая формула, то мы впредь не будем упоминать тождественно
ложную формулу в числе возможных посылок для данной формулы (за исключением случая, когда
тождественно ложная формула является единственной посылкой для данной формулы).
1.39.
Найдите
недостающую
посылку
(формулу)
¥,
зависящую
лишь
от
указанных
пропозициональных переменных так, чтобы была верна следующая выводимость:
а) X V У V I, —У & V, Г(I, V ) [ X & У;
б) X I , У о — V, ^(1, V) [ —X V —У;
в) X v —I, У ( X & I), Г (X, У) [■ —У v —I;
г) X I, —У v —I, I (У V V), Г(X,У) [■ X& —V;
д) У
I, (X V I) => (V & У),
У ) [■ X V ;
е) —X & У, Г (X, У, I) |- I;
Решение. а) Составим таблицы истинности для формул,
являющихся
посылками и
заключением:
X
0
0
0
0
0
0
0
0
У
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
ъ
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
V
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
XVУV2
0
0
-У & V
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
X&V
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
4
1
1
0
Далее, в правом столбце отметим цифрами
1
те
строки, в которых обе данные посылки принимают значение 1, а следствие принимает значение 0. Этому
требованию отвечает лишь четвертая строка, в которой ^(Ъ)=1 и ?і(У)=1. Ясно, что при этих значениях Ъ
и V искомая посылка ¥(2, V) должна принять значение 0, так как в противном случае формула X&V не
будет логическим следствием формул X V У V 2, —У & V и Б (Ъ, V) (потому что на значениях Ц Х)=0,
Х (У)=0, Ц 2)=1, А (У)=1 все посылки примут значение 1, а формула X&V примет значение 0). Будем
считать, что на других наборах значений переменных 2 и V формула ¥(2, V) принимает значение 1. Итак,
для искомой посылки ¥(2, V) получаем следующую таблицу истинности:
Z V F(Z, V)
0 0
1
0 1
1
1 0
1
1 1
0
Находим СКН-форму для искомой формулы. Получаем: F(Z, V)=—Zv—V=Z=—V.
1.40. Найдите все формулы, зависящие от переменных X и У и являющиеся посылками для
формул: а) X; б) -Х.
Указание. Предварительно разложите данные формулы по переменным X и Y.
1.41. Найдите все посылки (формулы), зависящие от переменных X, У и Ъ, для формул: а)
б) ( X о Y )&-Г;
( X = Z )&( = X )&X;
в) X&Y.
1.42. Докажите, что описанный в решении задачи 1.39 а) способ отыскания недостающей
посылки дает наиболее слабую формулу, связывающую указанные переменные (т. е. такую
формулу, которая сама может быть следствием других формул, содержащих те же переменные).
1 .43. В следующем рассуждении найдите недостающую посылку, связывающую высказывания
«Прямые а и Ь лежат в одной плоскости» и «Прямые а и Ь скрещиваются» так, чтобы рассуждение было
правильным:
1) Прямые a и Ь либо параллельны, либо пересекаются, либо скрещиваются.
2) Прямые а и Ь лежат в одной плоскости и не пересекаются.
3) ???
Следовательно, прямые а и Ь лежат в одной плоскости и параллельны.
Р е ш е н и е . Введем обозначения для простейших высказываний, входящих в это рассуждение:
X: «Прямые а и Ь параллельны»;
Y: «Прямые a и Ь пересекаются»;
Ъ: «Прямые a и Ь скрещиваются»;
V: «Прямые а и Ь лежат в одной плоскости».
Тогда задача сводится к отысканию такой формулы F (Ъ, V), зависящей от переменных Ъ и V, что
справедлива следующая выводимость:
X V Y V Z, - [ & V, F(Z,V) |= X & V .
В задаче 1.39, а такая формула нами найдена: Z = -V. Остается придать этой формуле
содержательный смысл: «Если прямые а и Ь скрещиваются, то они не лежат в одной плоскости».
1 .44. В следующем рассуждении найдите недостающую посылку так, чтобы рассуждение было
правильным и посылка выражала связь между высказываниями: «Целое число оканчивается нулем»;
«Целое число делится на 5»; «Целое число оканчивается цифрой 5».
1) Целое число делится на 5 и не оканчивается нулем.
2) ???
Следовательно, целое число оканчивается цифрой 5.
Указание.
См. задачу 1.39, е.
ПРАВИЛЬНЫЕ И НЕПРАВИЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
1.45. Я пойду или в кино на новую кинокомедию (А), или на занятие по математической
логике (В). Если я пойду в кино на новую кинокомедию, то я от всей души посмеюсь (С). Если я
пойду на занятие по математической логике, то испытаю большое удовольствие от следования
по путям логических рассуждений (О). Следовательно, или я от всей души посмеюсь, или испытаю
большое удовольствие от следования по путям логических рассуждений.
Справедливо ли проведенное рассуждение?
Р е ш е н и е . Учитывая символические обозначения высказываний, приведенные в условии, запишем
посылки нашего рассуждения: A V B, A == C, B == D.
Покажем, что для формул алгебры высказываний имеет место следующее логическое следование:
A V B, A == С, B == D [■ C V D.
1.46. Если цех II не будет участвовать в выпуске нового образца продукции, то не будет участвовать
и цех I. Если же цех II будет участвовать в выпуске нового образца, то в этой работе непременно должны
быть задействованы цеха I и III. Необходимо ли участие цеха Ш, если в выпуске нового образца будет
участвовать цех I?
1.47. Если Антон ляжет сегодня поздно, то утром он будет в нерабочем состоянии. Если он ляжет
не поздно, то ему будет казаться, что он много времени теряет бесполезно. Следовательно, или Антон
завтра будет в нерабочем состоянии, или ему будет казаться, что он много времени теряет напрасно.
Справедливо ли такое заключение?
1.48. Если я пойду завтра на первое занятие (А), то должен буду рано встать (В), а если я
пойду вечером на танцы (С), то лягу спать поздно (О). Если я лягу спать поздно и встану рано,
то буду вынужден довольствоваться пятью часами сна (Е). Я просто не в состоянии обойтись
пятью
часами
сна.
Следует
ли
отсюда,
что
я
должен
или
пропустить
завтра
первое занятие, или не ходить вечером на танцы?
Решение.
виде:
Посылки нашего рассуждения можно записать в следующем символическом
(А == B)&(C == D ) , ( р & B) == E, —К.
Нам нужно выяснить, вытекает ли отсюда утверждение- А ^ / -С. Предположим, что
высказывание
- А -С
ложно, в то время как все посылки истинны. Тогда
Я Я - А 47 - С)
= 0, т. е Я(А)=1 и
Я(С)=1, в то время как
Я(( А
=
В)&(С = Б ) ) = Я(( Б & В) = Е) = Я (-Е) = 1.
Из этих условий заключаем, что Я(Е)=0, Я(Б & В) = 0. Следовательно, Я(Б) = 0 или Я(В) = 0. Если
Я(Б) = 0, то
Я (С = Б ) = Я (С ) = Я (Б )= 1 = 0 = 0 и Я((А = В)&(С = Б))= 0, что
противоречит предположению. Если же Я(В) = 0, то аналогично
Я(А = В) = 0 и Я ( ( А = В)&(С = Б)) = 0, что снова противоречит предположению. Следовательно,
не может быть ложно высказывание
-А
^/
-С
, если все данные посылки истинны. Значит, вывод - А у - С верен.
1.49. Если завтра будет холодно, то я надену теплое пальто, если рукав будет починен. Завтра будет
холодно, а рукав не будет починен. Следует ли отсюда, что я не надену теплое пальто?
1.50. Андрей или переутомился, или болен. Если он переутомился, то он раздражается. Он не
раздражается. Следует ли отсюда, что он не болен?
1.51. Если 2 - простое число, то 2 - наименьшее простое число. Если 2 - наименьшее простое число,
то 1 не является простым числом. Число 1 не является простым числом. Следует ли отсюда, что 2 наименьшее простое число? Следует ли отсюда, что 2 -простое число?
1 .52. Если выиграет куйбышевский «Спартак», то Куйбышев будет торжествовать. Если же
выиграет саратовский «Кристалл», то торжествовать будет Саратов. Выиграет или «Спартак», или
«Кристалл». Однако если выиграет «Спартак», то Саратов не будет торжествовать, а если выиграет
«Кристалл», то торжествовать не будет Куйбышев. Вытекает ли отсюда, что Куйбышев будет
торжествовать тогда и только тогда, когда не будет торжествовать Саратов?
1.53. Или Анна и Антон одного возраста, или Анна старше Антона. Если Анна и Антон одного
возраста, то Наташа и Антон не одного возраста. Если Анна старше Антона, то Антон старше Николая.
Следует ли отсюда, что либо Наташа и Антон не одного возраста, либо Антон старше Николая?
1.54. Если 6 - составное число, то 12 - составное число. Если 12 - составное число, то существует
простое число больше чем 1 2. Если существует простое число больше 1 2, то существует составное
число больше 1 2. Если 6 делится на 2, то 6 - составное число. Число 1 2 составное. Следует ли отсюда,
что 6 - составное число?
1.55. Если я поеду автобусом, а автобус опоздает, то я пропущу назначенное свидание. Если я
пропущу назначенное свидание и начну огорчаться, то мне не следует ехать домой. Если я не получу
работу, то я начну огорчаться и мне следует поехать домой. Следует ли тогда, что если я поеду
автобусом и автобус опоздает, то я получу работу?
1.56. Если Сергей выиграет теннисный турнир, то он будет доволен, а если он будет доволен, то он
плохой борец в последующих турнирах. Но если он проиграет этот турнир, то потеряет поддержку своих
болельщиков. Он плохой борец в последующих турнирах, если потеряет поддержку своих болельщиков.
Если он плохой борец в последующих турнирах, то ему следует прекратить занятия теннисом. Сергей
или выиграет этот турнир, или проиграет его. Следовательно, ему нужно прекратить занятия теннисом.
Справедливо ли приведенное рассуждение с точки зрения логики?
«ЛОГИЧЕСКИЕ» ЗАДАЧИ
1.57. Один из трех братьев Витя, Толя, Коля разбил окно. В разговоре участвуют еще
двое братьев - Андрей и Дима.
-
Это мог сделать только или Витя, или Толя, - сказал Андрей.
-
Я окно не разбивал, - возразил Витя, - и Коля тоже.
-
Вы оба говорите неправду, - заявил Толя.
-
Нет, Толя, один из них сказал правду, а другой сказал неправду, - возразил Дима.
-
Ты, Дима, неправ, - вмешался Коля.
Их отец, которому, конечно, можно доверять, уверен, что трое братьев сказали правду. Кто разбил
окно?
Р е ш е н и е . Введем обозначения для высказываний: В:
«Витя разбил окно»; Т: «Толя разбил окно»; К: «Коля разбил
окно».
Тогда высказывания братьев можно записать в символической форме следующим образом: А = В V
Т; V = —В & —К;
Ь = —А & — V = —(В V Т)& —(—В & —К) = —В & — Т & (В V К)= — Т & —В & К; Б = ( А & —V)
V (—А & V) = ((В V Т) & —(—В & —К)) V (—(В V Т) & (—В & —К)) = = ((В V Т) & (В V К)) V (—
В & — Т & —К) = В V ( Т & К) V (—В & — Т & —К) = М = —Б = —(В V (— Т & —К)) = —В & (Т V
К).
Образуем из высказываний А, V, Ь, Б, М всевозможные конъюнкции по три высказывания: А^&Ь,
А^&О, А&Ь&Б, А&Ь&М, А&Б&М, V&Ь&D, V&Ь&M, V&D&M, Ь&Б&М Поскольку из высказываний А,
V, Ь, Б и М только три истинны, то из десяти конъюнкций истинна лишь одна. Проверьте
самостоятельно, что конъюнкции А&Ь, V&Ь и Ь&Б ложны, а поэтому восемь из перечисленных
конъюнкций ложны. Остаются две конъюнкции: А& V&D и А&V&М. Рассмотрим их:
А & V & Б = (В V Т ) & —В & —М & (В V (—Т & —М)) = (В V (Т & — Т & —М)) & —В & —М = =0; А
& V & М = ( В V Т ) & —В & —М&(Т V М) = Т & —В & —М & Т = Т & —В & —М
Итак, заключаем, что истинно высказывание Т&—В&—М, т. е. истинны высказывания Т,
—В и —М. Следовательно, окно разбил Толя.
1.58. Один из трех братьев поставил на скатерть кляксу.
- Витя не ставил кляксу, - сказал Алеша. - Это сделал Боря.
- Ну, а ты что скажешь? - спросила бабушка Борю.
- Это Витя поставил кляксу, - сказал Боря. - А Алеша не пачкал скатерть.
- Я знаю, что Боря не мог это сделать. А я сегодня не готовил уроки, - сказал Витя.
Оказалось, что двое мальчиков в каждом из двух случаев сказали правду, а один оба раза сказал
неправду. Кто поставил на скатерть кляксу?
Указание.
Образуйте сначала всевозможные попарные дизъюнкции из высказываний
братьев. Все они будут истинны. Затем рассмотрите конъюнкцию всех этих истинных дизъюнкций. Она
также будет истинна. Преобразовав ее к конъюнкции элементарных высказываний, установите
виновного.
1.59. Один из четырех мальчиков испортил выключатель. На вопрос: «Кто это сделал?» — были
получены такие ответы: 1) «Это сделал или Миша, или Коля»; 2) «Это сделал или Витя, или Коля»; 3)
«Это не могли сделать ни Толя, ни Миша»; 4) «Это сделал или Витя, или Миша». Можно ли по этим
данным установить, кто виновен в поломке выключателя, если из четырех высказываний три
высказывания истинны?
1.60. Четыре друга - Антонов (А), Вехов (В), Сомов (С), Деев (Д) - решили провести свой отпуск в
четырех различных городах - Москве, Ленинграде, Киеве и Ташкенте. В какой город должен поехать
каждый из них, если имеются следующие ограничения:
Р) если А не едет в Москву, то С не едет в Ленинград;
Q) если В не едет ни в Москву, ни в Ташкент, то А едет в Москву;
Р) если С не едет в Ташкент, то В едет в Киев;
S) если Д не едет в Москву, то В едет в Москву;
Т) если Д не едет в Ленинград, то В не едет в Москву?
Р е ш е н и е . Символом Ам обозначим высказывание; «Антонов едет в Москву», символом -—Ам
высказывание «Антонов не едет в Москву». Аналогичны буквенные обозначения и для других
товарищей. Тогда ограничения символически запишутся так:
Р
= ( -АМ = -С л) = Ам у-С л;
0
= (-Вм
&- В т ) ==Ам
= Вм V Вт V Ам
;
Я = (-Ст == Вк ) = Ст V Вк;
Я = (-Бм == Вм ) = Бм V Вм ;
Т
=(Б
л = - В м ) = - Б л v-Bм .
Составляем последовательно конъюнкции этих высказываний. Каждая из них истинна:
Р & 0 = ( А м v-Cл ) & ( В м V В т V А м ) = ( А м & В м ) V( - С л & В м ) V( А м &
В т ) V V ( ( С л & В т ) V А м V ( ( С л & А м ) = ( м & В т ^ А м V (-Сл & В м ^ (-Сл
& В т ) = = А м v( x C л & В м И-Сл & В т ) ;
Р & 0 & Я = [ А м V( - С л & В м ) V( - С л & В т ) ] &( С т VВт ) =\Ам & ( С т VВ к ) "[V
v[(Cл & В м ) & ( С т VВк ) Ы -Сл & В т & ( С т VВ т ) ] =( А м & С т ) V( А м & В к ) V
V( - С л & В м & С т ) V( - С л & В м & В к ) V ( - С л & В т & С т ) V( - С л & В т & В к ) = =
( А м & С т ) V( А м & В к ) V( - С л & В м & С т ) ;
Р &0 & Я & Я = [(Ам & С т ) V( А м &В к ) V( - С л &В м &С т ) ] &(Дм VВм ) =
&С т &( Дм V Вм ) Ь\Ам &В к &( Дм V Вм ) Ы-С л &В м &С т &( Дм V
Вм ) ] = = ( А м &С т & Д м ^ ( А м & С т &В м ^ ( А м & В К & Д м К ( м & В к & В м
К
= \Ам
47
(-С
л & В м & Ст & Дм ) v (-Сл & В м & Ст & В м
= - Сл & В м & Ст ■
При проведении преобразований мы использовали тот факт, что ложными являются те
)
конъюнкции, в которых говорится, что одно лицо поедет в два разных города или что два разных
человека поедут в один город. Таким образом, мы установили, что конъюнкция -С л & Вм & Ст
истинна, т. е. истинны высказывания Вм и Ст. Далее, из условия Т и истинности Вм заключаем, что —Дл истинно, т. е. Дл ложно. Тогда истинно Ал. Следовательно, истинно Дк. Итак, Антонов едет в Ленинград,
Вехов - в Москву, Сомов - в Ташкент, Деев - в Киев.
1.61. Шесть спортсменов - Адамов, Белов, Ветров, Глебов, Дронов, Ершов - в проходившем
соревновании заняли шесть первых мест, причем ни одно место не было разделено между ними. О том,
кто какое место занял, были получены такие высказывания: 1 ) «Кажется, первым был Адамов, а вторым
- Дронов»; 2) «Нет, на первом месте был Ершов, а на втором - Глебов»; 3) «Вот так болельщики! Ведь
Глебов был на третьем месте, а Белов - на четвертом»; 4) «И вовсе не так: Белов был пятым, а Адамов вторым»; 5) «Вы все перепутали: пятым был Дронов, перед ним - Ветров». Известно, что в
высказывании каждого болельщика одно утверждение истинное, а второе ложное. Определите, какое
место занял каждый из спортсменов.
Указание. Рассмотрите высказывание; А;: «Адамов занял 1-е место» (1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6).
Аналогичные значения имеют символы: В;, У;, О;, Б;, Е;. Высказывания болельщиков представьте в виде
дизъюнкций. Все они будут истинны. Рассмотрите конъюнкцию этих истинных дизъюнкций.
Преобразуйте эту конъюнкцию и, учитывая ее истинность, выведите распределение мест между
спортсменами.
1.62. Для четырех дружинников, фамилии которых начинаются буквами А, Е, Р, С, необходимо
составить график дежурств на четыре вечера подряд, учитывая, что: 1 ) С и Р не могут дежурить в
первый вечер в связи с командировкой; 2) если С выйдет во второй вечер или Р - в третий то Е сможет
подежурить в четвертый; 3) если А не будет дежурить в третий вечер, то Е согласен дежурить во второй
вечер; 4) если А или Р будут дежурить во второй вечер, то С сможет пойти в четвертый вечер; 5) если Р
в четвертый вечер уедет на конференцию, то А придется дежурить в первый, а С - в третий вечер.
1 .63. При составлении расписания уроков на один день учителя математики, истории и
литературы высказали следующие пожелания: математик просил поставить ему или первый, или второй
урок; историк - или первый, или третий; учитель литературы - или второй или третий. Как составить
расписание уроков, чтобы учесть все пожелания?
1.64. Для полярной экспедиции из восьми претендентов А, В, С, Б, Е, Б, О и Н надо отобрать шесть
специалистов: биолога, гидролога, синоптика, радиста, механика и врача.. Обязанности биолога могут
выполнять Е и О, гидролога - В и Б, синоптика - Б и О, радиста - С и Б, механика - С и Н, врача - А и Б.
Хотя некоторые претенденты владеют двумя специальностями, в экспедиции каждый сможет выполнять
только одну обязанность. Кого и кем следует взять в экспедицию, если Б не может ехать без В, Б - без Н
и без С, С не может ехать одновременно с О, а А не может ехать вместе с В?
1 .65. Некий остров населен жителями, каждый из которых либо всегда говорит правду, либо
всегда лжет и которые отвечают на вопросы только посредством «да» или «нет». К развилке дорог, из
которых одна ведет в столицу острова, а другая туда не приводит, подходит путешественник. Никаких
знаков, указывающих, какая из дорог куда ведет, у развилки нет. Но здесь стоит местный житель, некто
N. Какой вопрос, предусматривающий ответ «да» или «нет», должен задать ему путешественник, чтобы
определить, какая дорога ведет в столицу острова?
Решение. Пусть А обозначает высказывание: <^ всегда говорит правду», а В обозначает
высказывание: «Дорога, идущая налево, ведет в столицу». Построим такое составное высказывание из
высказываний А и В, чтобы ответ местного жителя на вопрос, истинно ли оно, гласил «да» тогда и
только тогда, когда истинно высказывание В независимо от того, говорит ли местный житель всегда
правду или всегда лжет.
Путешественнику достаточно спросить: «Верно ли, что N всегда говорит правду и дорога, идущая
налево, ведет в столицу или что N всегда говорит неправду и дорога, идущая налево не ведет в
столицу?», т. е. «Истинно ли высказывание (A & В) V (—A & —В) ?» Проверим, что из ответа «да» вне
зависимости от того, говорит ли N правду или нет, следует, что дорога, идущая налево, ведет в столицу,
а из ответа «нет» следует, что эта дорога не ведет в столицу. Здесь возможны 4 случая:
а) ответ «да», N говорит правду; а)
ответ «да», N лжет; а) ответ «нет», N
говорит правду; а) ответ «нет», N
лжет.
Рассмотрим, например, последний случай. Тогда Х [ ( А
& В ) V (—A & —В)] = 1, Х(А) = 0.
Так как Х(А) = 0 , то Х(А & В) = 0 , и следовательно, Х(—А & —В) = 1. И снова: так как Х(А)= 0 ,
то Х(—А) = 1, а значит Х(—В) = 1. Отсюда Х(В)= 0 . Итак, при ответе «нет» мы заключаем, что дорога,
идущая налево, не ведет в столицу.
Оставшиеся
три
случая
предполагается
читателю
аналогичным
образом
рассмотреть
самостоятельно.
1 .66. Три ученика различных школ города Новгорода приехали на отдых в один летний лагерь. На
вопрос вожатого, в каких школах Новгорода они учатся, каждый дал ответ: Петя: "Я учусь в школе №24,
а Леня - в школе № 8". Леня: "Я учусь в школе №24, а Петя - в школе № 30". Коля: "Я учусь в школе
№24, а Петя - в школе № 8".
Вожатый, удивленный противоречиями в ответах ребят, попросил их объяснить, где правда, а где
ложь. Тогда ребята признались, что в ответах каждого из них одно утверждение верно, а другое - ложно.
В какой школе учится каждый из мальчиков?
1.67 Четыре спортсменки: Аня, Валя, Галя и Даша — заняли первые четыре места в
соревновании по гимнастике, причем никакие две из них не делили между собой эти места. На вопрос,
какое место заняла каждая из спортсменок, трое болельщиков ответили: 1 . Аня — второе место, а Даша
— третье место.
2. Аня — первое место, а Валя — второе место.
3. Галя — второе место, а Даша — третье место.
Оказалось, что каждый из болельщиков ошибся один раз. Какое
место заняла каждая из спортсменок?
1 .68 Беседуют трое друзей: Белокуров, Чернов и Рыжов. Брюнет сказал Белокурову:
"Любопытно, что один из нас блондин, другой - брюнет, третий - рыжий, но ни у кого цвет волос не
соответствует фамилии".
Какой цвет волос у каждого из друзей?
1 .69 Три друга: Алеша, Боря и Володя - учатся в различных школах города Новгорода (в школах
№1, 8, 30). Все они живут на различных улицах (улица Рогатица, улица Газон и улица Ломоносова).
Причем один из них любит математику, второй - биологию, а третий - химию. Известно, что:
1 . Алеша не живет на улице Рогатица, а Борис не живет на улице Газон.
2. Мальчик, живущий на улице Рогатица, не учится в школе №30.
3. Мальчик, живущий на улице Газон, учится в школе №1 и любит математику.
4. Володя учится в школе №30.
5. Ученик школы №8 не любит химию.
В какой школе учится каждый из друзей, на какой улице он живет и какой предмет любит?
1.70. В семье четверо детей. Им 5, 8, 13 и 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера и Галя. Сколько
лет каждому ребенку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори, и сумма лет Ани и Веры
делится на три.
1 .71 . Четыре подруги пришли на каток каждая со своим братом. Они разбились на пары и
начали кататься. Оказалось, что в каждой паре "кавалер" выше "дамы", и никто не катается со своей
сестрой. Самый высокий из компании - Юра Воробьев, следующий по росту - Андрей Егоров, потом
Люся Егорова, Сережа Петров, Оля Петрова, Дима Крымов, Инна Крымова и Аня Воробьева. Кто с кем
катается?
1.72. На улице, встав в кружок, беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Надя и Галя.
1 . Девочка в зеленом платье - не Аня и не Валя - стоит между девочкой в голубом платье и Надей.
2. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей.
Какого цвета платье у каждой из девочек?
1.73. Как-то раз четыре товарища (Петя, Боря, Леша и Коля) пошли со своими сестрами
(Светой, Наташей, Олей и Леной) на школьный новогодний бал.
Определите, кто чей брат и кто с кем танцевал во время первого танца, если: 1 .
Каждый из ребят не танцевал со своей сестрой.
2. Лена танцевала с Петей, а Светлана — с братом Наташи.
3. Оля танцевала с братом Светланы, Боря — с сестрой Алеши, а Алеша — с сестрой Пети.
1.74. Огород прекрасной садовницы Лилии расшалился. Стоило ей пойти на пляж
заняться серфингом, как репа перемешалась с капустой, бобы - с морковью. Лилия составила
карту, по которой можно было бы вспомнить, что и где было посажено, но карту стащили
несносные мыши!
Посмотрим, что же можно теперь сделать, чтобы восстановить былое великолепие.
1. Большинство грядок — не шпинат и не капуста.
2. Моркови на две грядки больше, чем репы, а шпината — на две грядки больше, чем моркови.
3. Грядок с бобами меньше, чем с огурцами.
4. Капусты на одну грядку меньше, чем шпината.
5. Лилия не очень любит репу, по этому посадила ее всего лишь одну грядку.
1.75. По утрам пятеро друзей (Макс, Дора, Боб, Иван и Борис) встречаются за чашкой
кофе. Один из них выпивает в день одну чашку кофе, другой - 4, третий - 5, четвертый - 6, пятый 8, однако кто-то пьет кофе без сахара, другие кладут в свою чашку по 1, 2, 4, 6 кусочков сахара, и
несколько человек пьют свой кофе с молоком. Ваша задача - выяснить, сколько чашек кофе
выпивает за день каждый; сколько кусочков сахара он кладет в кофе, и кто пьет кофе с молоком, а
кто - нет.
1 . Иван кладет в кофе втрое больше кусочков сахара, чем тот, кто выпивает за день 4 чашки кофе.
2. Трое, включая того, кто кладет в кофе 4 кусочка сахара, пьют кофе без молока.
3. Боб выпивает только одну чашку кофе в день, пьет кофе без молока и без сахара.
4. Дора пьет кофе и с молоком, и с сахаром.
5. Макс, который пьет кофе без молока, кладет в него вдвое меньше кусочков сахара, чем тот, кто
выпивает за день в двое больше него кофе.
Борис выпивает на 2 чашки кофе больше, чем Иван - но Иван кладет в кофе на два куска сахара
больше, чем Борис.